Utsjoki ABI KURSSI MEKANIIKKAA MOMENTUM IMPULSE ENERGY CONSERVATION. Rutherfordin sironta

Transkriptio

1 Utsjoki ABI KURSSI MEKANIIKKAA MOMENTUM IMPULSE ENERGY CONSERVATION Rutherfordin sironta vm

2 MOMENTUM IMPULSE COLLISIONS Rekan ja henkilöauton törmäyksessä vaikuttavia voimia on lukematon määrä, jotta törmäyksiin voitaisiin soveltaa Newtonin toista lakia, olisi kaikki nämä voimat tunnettava. I. Soveltamalla liikemäärän käsitteitä ongelmaan sinun ei tarvitse tietää mitään vaikuttavista voimista ennustaessasi tulevaisuutta (kappaleiden liikeratoja). II. Newtonin toista lakia on myös erittäin vaikeata soveltaa suoraan tilanteisiin, joissa on kyseessä hetkellisiä voimia, kuten tennispallon lyönti mailalla. Tälläisiin tilanteisiin avuksi tulee impulssi. III. Liikemäärän säilyminen on suuri säilymislaki, joka on voimassa silloinkin kun jätämme Newtonilaisen maailman ja astumme lähes valonnopeudella kulkevien hiukasten maailmaan, jossa Newtonin oletus absoluuttisesta ajasta ja avaruudesta ei ole voimassa. a= Koska d v Newtonin toinen laki saadaan muotoon: F =m d v d = m v. Newtonin toinen laki siis sanoo, että kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on yhtä kuin kappaleen massan ja nopeuden tulon m v muutos aikayksikössä. Massan ja nopeuden tuloa sanotaan liikemääräksi. Liikemäärän määritelmä on: p=m v Newtonin toinen laki liikemäärän avulla lausuttuna on: d F = p 1. Kok o n ai s v oi m a o n liik e m ä ä r ä n m u ut o s! (N2) 2. Nop e a m u ut o s liik e m ä ä r ä s s ä v a atii s u ur e n v oi m a n 3. Liik e-e n e r gi a o n s k al a ari ja o n v e rr a n n ollin e n n o p e u d e n n eli ö ö n 4. Liik e m ä ä r ä o n v e kt ori ja o n v e rr a n n ollin e n n o p e ut e e n Matemaattinen ero liike-energian ja liikemäärän välillä on selvä (kohdat 3 ja 4), mutta mitä perustavanlaatuista (fysikaalista) eroa näillä kahdella on? Vastauksen saamme kun tarkastelemme liikemäärän sukulaista voiman impulssia.

3 Voiman impulssi F on vakio tietyllä aikavälillä t 2 t 1, tällöin Jos kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima d liikemäärän muutos aikayksikössä p on myös vakio, jolloin: F = p 2 p 1. Kertomalla tämä yhtälö puolittain ajan muutoksella t 2 t 1 saadaan t 2 t 1 voiman impulssi: I= F t 2 t 1 = p 2 p 1 eli I = p 2 p 1 (pätee vaikka voima ei olisikaan vakio!) Impulssi on liikemäärän muutos F ja kiihdyttämiseen tarvitun ajan t 2 t 1 Impulssi on kiihdyttävän voiman tulo. Kappaleen liikemäärä on sama kuin kappaletta kiihdyttänyt impulssi (vaikuttanut voima tietyllä aikavälillä). Kappaleen saama liike-energia on työ, joka täytyy tehdä kiihdytettäessä kappaletta. 1. tehtävä. Keilapallon tielle vai tennispallon tielle? Keilapallolla ja tennispallolla on sama liikemäärä p=8,0 kgm/s. Kumman kiinniottamisessa on suurempi työ, keilapallon (m= 2 kg, v= 2 m/s) vai tennispallon (m=0,1 kg, v= 40 m/s)? 2. YO 05 kevät tehtävä 13. Pystysuoraan putoavaa pesäpalloa lyödään mailalla siten, että maila kohdistaa palloon vaakasuoran voiman, jonka suuruus riippuu ajasta oheisen kuvan mukaisesti. Kuinka suurella nopeudella ja mihin suuntaan pallo lähtee lyönnin jälkeen, kun pallon massa on 150 g ja putoamisnopeus lyöntihetkellä on 11,2 m/s?

4 3. Paluu kelkkatehtävään... Kumpi kelkka saavuttaa maalin suuremmalla liikemäärällä? Vai ovatko liikemäärätkin samat? Käytä impulssiperiaatetta, joka sanoo, että kelkan liikemäärä on sama kuin kelkkaa kiihdyttänyt impulssi. Olkoon Δt aika jonka kelkalla kuluu voiman F vaikutuksen t. alaisena. Kelkan kokema impulssi on siis: I = F Koska kelkka, jonka massa on 2m kiihtyy hitaammin, on se kauemmin voiman F vaikutuksen alaisena, näin ollen sen kokema impulssi I on suurempi kuin kelkan, jonka massa on m. Osoita, että raskaammalla kelkalla on 2 kertaa suurempi liikemäärä kuin kevyemmällä kelkalla. 4. YO 04 syksy tehtävä 15 Lattialla pomppivan lentopallon kiihtyvyys määritettiin tietokoneeseen kytketyllä ultraäänianturilla a) Tulkitse oheinen kiihtyvyyden kuvaaja. b) Millä ajanhetkellä liikeelle lähdön jälkeen pallo on ensimmäisen kerran lakipisteessä? c) Määritä lattian palloon kohdistaman kosketusvoiman suurin arvo, kun pallon massa on 0,27 kg.

5 Eristetyn systeemin kokonaisliikemäärä säilyy Tämä on seuraus Newtonin kolmannesta laista P (alussa) = P (lopussa) Mieti kuitenkin aina tarkasti ovatko kappaleet, jotka vuorovaikuttavat eristettyjä muista ulkoisista voimista! Periaate siis sanoo, että eristetyn kappalejoukon liikemäärien summa (vektorisumma) ei muutu. Miksi, näin on? Mietimme kahta tanssivaa astronauttia A ja B tyhjässä avaruudessa. Kun A kohdistaa voiman B:hen, niin B kohdistaa N3 mukaan yhtä suuren, mutta vastakkaissuuntaisen voiman A:han. Eli A: n kohdistama voima B : hen F B: n kohdistama voima A: han=0 F Kirjoitamme nyt voimat Newtonin toisen lain avulla: d p A d p B d p A p B = =0 P = P A P B Yllä olevassa yhtälössä kokonaisliikemäärä Viiden tai miljoonan tanssivan astronautin tapauksessa tulos olisi sama: Liikemäärä on joka hetki vakio vaikka yksittäisten kappaleiden liikemäärät systeemissä muuttuisisvatkin, eli: dp =0 Eli kokonaisliikemäärän aikaderivaatta = 0, joten systeemin kokonaisliikemäärä on vakio! Kuva: Ydinhajoaminen ja liikemäärä Ydinhajoamisessa kokonaisenergia Q on hajoamistuotteiden liike-energioiden summa. Kokonaisliikemäärä säilyy (= 0). a) Kahden hiukkasen hajonta. b) Kolmen hiukkasen hajonta, elektronin liike-energia välillä 0-Q C) Kun antineutriinon liikemäärä ja energia ovat pienet, elektronin liikeenergia on lähes Q d) entä tämä?

6 5. YO 07 kevät tehtävä 9 Lyhytikäisen 12 N -isotoopin -hajoamisen tulosydin 12C jää viritettyyn tilaan. Ydin siirtyy perustilaan emittoimalla gammafotonin, jonka energia on 15,102 MeV. Laske 12 C -ytimen gammaemissiossa saama liike-energia (rekyylienergia). Oletetaan, että ydin ei liiku fotonin emissionsuunnassa ennen emissionta. Kuinka suuri on 12C ytimen viritystilan energia? 6. YO 04 syksy tehtävä 4 Suomenlinnan valleilla oleva museotykki pääsee ammuttaessa liikkumaan taaksepäin pitkin kiskoja, jotka muodostavat 11 asteen kulman vaakatasoon nähden. Oletetaan, että tällä tykillä ammutaan alaviistoon kiskojen suuntaisesti ammus, jonka massa on 230 kg ja lähtönopeus 470 m/s. Kuinka paljon tykin painopiste nousee, kun tykin massa on kg? 7. YO 04 kevät tehtävä 12 Espoon Otaniemessä sijaitsevan ydinreaktorin yhteydessä toimii uusi lääketieteellinen yksikkö, joka antaa ns. boorisieppaushoitoa (BNCT). Tässä täsmähoidossa boori saadaan kerääntymään aivokasvaimeen, jolloin kasvaimen booria sisältävät solut voidaan tuhota seuraavan ydinreaktion avulla: n 5 B 3 L i 2 H e Määritä litium ytimen ja α- hiukkasen liike-energiat olettaen, että booriytimeen törmäävän neutronin liike-energia on mitätön reaktiossa vapautuvaan energiaan verrattuna. 8. YO 05 syksy tehtävä 10 Pelaaja saa jääkiekkopelissä syötön siten, että kiekko liukuu jäätä pitkin täsmälleen kaukalon poikittaissuunnassa nopeudella 18 m/s. Lyöntilaukauksen jälkeen kiekko liukuu täsmälleen kentän pituussuunnassa nopeudella 33 m/s kohti maalia. Määritä mailan kiekkoon kohdistama iskuvoiman impulssi (suuruus ja suunta). Jääkiekon massa on 170g.

7 Epäelastinen tormäys Liikemäärä säilyy P (alussa)= P (lopussa) Liike-energia EI SÄILY! Liike-energia kuluu rakenteiden rikkoutumiseen ja poistuu lämpönä ulos systeemistä. 9. tehtävä Luodin nopeuden mittaus Luoti jonka massa on m ammutaan kahdella narulla kattoon kiinnitettyyn puupölkkyyn massa M (ballistinen heiluri). Luodin upottua puuhun puu heilahtaa korkeudelle y tasapainoasemastaan. Ilmoita luodin nopeus v. Elastinen tormäys Liikemäärä säilyy, sekä Liike-energia säilyy 10. tehtävä. Kaksi suurta periaatetta siis pätee. Biljardipallo B on levossa kun siihen törmää biljardipallo A nopeudella v. Lähtien liikemäärän ja liike-energian säilymisestä osoita, että pallon B nopeus on: vb = 2m A v ma mb

8 Kappaleiden pyörimisliike hitausmomentti M ja pyörimisliikemäärä L. Hitausmomentti on kappaleen kyky vastustaa momenttia, eli pyörimään saattavaa voimaa, samoin kuin suorassa etenemisliikkeessä massa m on kappaleen kyky vastustaa liikkeellelähtöä voiman F vaikutuksesta. Pyörimisliikkeessä etenemisliikettä vastaavat säylymislait ovat voimassa. Suora etenemisliike Pyörimisliike Matka s Kiertyvä kulma θ Massa m Hitausmomentti J Voima F Momentti M = Fl Liikemäärä p Pyörimisliikemäärä L Kiihtyvyys a Kulmakiihtyvyys α Nopeus v Kulmanopeus ω Radiaalinen kiihtyvyys a rad = r (r on säde) Radiaalinen nopeus v rad = r Kaavoja tai siis suuria totuuksia: n o p e u s: = t 1 2 m a t k a: = 0 0 t t 2 M = Fl -Mo m e ntti o n v oi m a k ert a a vipu v ar si M =J L= J -Ne wt o ni n t oin e n laki py öri mi sliikk e ell e -Liik e m ä ä r ä py öri mi sliikk e e s s ä (s äilyy) py öri mi s e n e r gi a: 1 K = J 2 2

9 11. YO 07 kevät. Tehtävä 6 a) Selosta lyhyesti, mitä tarkoitetaan kappaleen hitausmomentilla. Mitkä tekijätvaikuttavat hitausmomentin suuruuteen? b) Kuvan mukaisessa laitteessa herkästi laakeroidun pyörän säde on 0,30 m. Kun pyörän ympärille kierretyn ohuen vaierin varassa riippuva 48 kg:n kuorma lähtee putoamaan, sen kiihtyvyys on 6,1 m/s 2. Kuinka suuri on pyörän hitausmomentti? 12. tehtävä. Massat ja väkipyörä Massa m1 liukkaalla pinnalla on kiinnitetty vaierilla väkipyörän kautta maatakohti roikkuvaan massaan m2. Väipyörän massa on m p ja säde R. Vaieri pyörittää väkipyörää massan m2 lähtiessä levosta putoamaan kohti maata, vaieri ei veny eikä luista. Laske kappaleiden kiihtyvyydet, sekä väkipyörän kulmakiihtyvyys ja köyden jännitys. Onko köyden jännitys sama kaikissa köyden osissa? 13. YO 07 kevät. Tehtävä 10 Ilmakiväärin luodin nopeuden mittaamiseksi tasapaksu puusauva ripustettiin yläpäästään kuvan mukaisesti siten, että se pääsi heilahtamaan kiinteän akselin A ympäri. Puusauvan pituus oli 30 cm ja massa 420 g. Luoti (m=0,511 g) ammutiin siten, että se osui vaakasuoralla, akselia vastaan kohtisuoralla nopeudella sauvan alapäähän upoten siihen. Kuinka suuri oli luodin nopeus, kun sauva heilahti törmäyksen jälkeen 25 astetta pystysuoraan suuntaan nähden? 14. YO 05 syksy. Tehtävä 6. Laske kuvan esittämän karusellin kiertoaika ja ripustustangon istuimeen kohdistama voima, kun tytön ja istuimen yhteinen massa on 65 kg.