3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

Transkriptio

1 Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate W = Tästä johdunkin kätevästi mekaanisen energian säilymisen periaatteeseen: Mekaanisen energian säilyminen (conservation of mechanical energy) Eristetyn systeemin konservatiivisten voimien mekaanisen energian summa on vakio Ja sama suomeksi? Asian voi sanoa myös niin että jos systeemin voimat ovat konservatiiviset sen liike-energian ja potentiaalienergian summa on vakio käytännössä jokin alkuarvo Kirjoitetaan asiasta yhtälö Merkitään liike-energiaa eli kineettistä (kinetic energy) energiaa ja potentiaalienergiaa (potential energy) E pot Silloin Mekaanisen energian säilyminen (conservation of mechanical energy) Mekaanisen energian muutos on nolla eli mekaanisen energian kokonaismäärä säilyy: E pot =0 toisin sanoen 2 m v2 mgh= E missä v on kappaleen nopeuden muutos m sen massa h sen kahden aseman korkeusero eli korkeuden muutos ja E on alkuenergia kun systeemin voimat ovat konservatiiviset Huomaa että koska oletetaan konservatiiviset voimat ei ole väliä sillä mitä kautta tuo korkeusero syntyy: työ ei riipu tiestä Usein kappaleella on jokin lähtöenergia E Se voi olla esimerkiksi kappaleen lähtöpisteessä saama (5)

2 liike-energia tai lähtöpisteeseen liittyvää potentiaalienergiaa tai molempia Yllä kuvatuissa olosuhteissa tämä energia säilyy Kuvittele että heität m massaisen pallon suoraan ylös ja otat sen kiinni kun se tipahtaa takaisin Kun pallo lentää ylös se tekee työtä Maan vetovoimaa vastaan kunnes sen on käyttänyt sinulta saamansa energian kokonaan Olet antanut pallolle jonkin nopeuden v ylös ja siten myös liikeenergian = 2 m v2 Kun pallo pysähtyy saavutettuaan ratansa huipun se on menettänyt kaiken liike-energiansa ja sillä on vain potentiaalienergiaa Potentiaalienergian määrä verrattuna tasoon josta pallo lähti on E pot =mgh missä h on tietysti pallon saavuttama korkeusero Nämä energiamäärät ovat yhtä suuret Tipahtaessaan taas sinun käteesi pallo on menettänyt kaiken potentiaalienergiansa verrattuna lähtötasoonsa eli sinun käteesi ja sillä on vain liike-energiaa Sen määrä on uudestaan tuo sama = 2 m v2 Pallo vaihtaa ylös noustessaan siis liike-energiansa potentiaalienergiaksi ja alas pudotessaan potentiaalienergiansa takaisin liike-energiaksi Kokonaisenergia ei muutu vaan sinun sille antamasi joka on myös yhtä suuri kuin E pot on edelleen tallessa kun pallo palaa lähtökorkeutensa Tämä edellyttää tietysti että ilman vastus on mitätön eli voimat ovat konservatiiviset Lennon mittaan pallon liike-energia ja potentiaalienergia muuttuvat mutta niitten summa on koko lennon ajan se sama jonka sille annoit Ajatellaan 00 metriä leveää ja 5 metriä syvää jokea jonka vesi virtaa 5 m/s Kuvitellaan jokeen vielä koski jonka korkeusero kosken niskan ja suvannon välillä on 0 metriä Joen veden mekaaninen energia heti kosken alla on: Veden virtaamisnopeudesta johtuva liike-energia: 2 mv 2 = g 00 m 5 m 5 m 2 cm 3 5 m 2 s 2(5)

3 Kosken korkeuserosta johtuva potentiaalienergia: mgh=00 m 5 m 5 m s s m s 2 0 m Nämä ovat yhteensä 25 GJ Läheskään kaikkea tätä energiaa ei koskesta tietenkään saada sähkönä Esimerkki 47 Kiväärinluoti ammutaan soralla täytettyyn laatikkoon Luoti liikkuu vaakasuunnassa sen nopeus osumishetkellä on 650 metriä sekunnissa ja sen massa on 8 grammaa Laatikko roikkuu massattomien lankojen varassa ja se pääsee liikkumaan vapaasti Laatikon ja sen sisältämän soran yhteenlaskettu massa on 200 kg Kuinka ylös laatikko heilahtaa? m 0 = 8g m = 200 kg v = 650 m/s Käytännön tilanteessa luodin energiasta menisi suuri osa soran liikuttamiseen muuallekin kuin eteen päin luodin muodon muuttamiseen sekä systeemin lämmittämiseen Oletetaan nyt kuitenkin että luodin koko liike-energia siirtyy laatikon ja sen sisällön liike-energiaksi Laatikko heilahtaa kuvassa oikealle ja ylös kunnes kaikki sen saama liike-energia on muuttunut potentiaalienergiaksi Koska luodin liike-energia on = 2 m 0 v 2 = 2 8 g 650 m s ja tämä muuttuu luodin ja laatikon yhteisen massan potentiaalienergiaksi niin m 0 m g h= 2 8 g 650 m s 2 josta 3(5)

4 h= 2 8 g 650 m 2 s = m 0 m g 2 8 g 650 m 2 s 8 g 200 kg m s 2 =086 m Vastaus: Laatikko heilahtaa 86 sentin korkeuteen Esimerkki 48 Kiväärinluoti ammutaan soralla täytettyyn laatikkoon kuten Esimerkissä 47 Luodin massa on 8 grammaa Mikä on osumishetkellä luodin nopeus vaakasuunnassa jos laatikko heilahtaa 20 metrin korkeuteen? Laatikon ja sen sisältämän soran yhteenlaskettu massa on 200 kg Luodin liike-energia on = 2 m 0 v 2 = 8 g v2 2 ja laatikon ja luodin yhteinen potentiaalienergia E pot = 8 g 200 kg m s 2 2m Yhtälöstä = E pot saadaan nopeuden itseisarvoksi v = 767 m/s Huomaa että kineettinen energia muuttuu vauhdin neliön mukaan joten saamani tulos ei ole 2 m 086 m kertaa Esimerkin 47 vauhti vaan 2 m 086m 650 m s Vastaus: Luodin nopeus vaakasuunnassa on 767 metriä sekunnissa Esimerkki 49 Ilmakiväärin luoti ammutaan suuntaan 45 astetta ylös vaakasuunnasta ja se lentää 200 metriä minkä jälkeen se törmää maahan Mikä oli luodin alkuvauhti jos ilmanvastusta ei tarvitse ottaa huomioon ja jos lähtö- ja putoamispaikat ovat yhtä korkealla merenpinnasta? Merkitään luodin alkunopeutta v 0 :lla Kun luoti ammutaan vinossa suunnassa sen rata on paraabelin muotoinen Ratansa korkeimmassa kohdassa sen mekaaninen energia on kokonaan 4(5)

5 potentiaalienergiana ja sekä lentonsa alussa että lopussa kokonaan liike-energiana Luodin vauhdin pystysuora komponentti merkitään sitä v y :llä on: v y = v sin(45 ) ja sen vaakasuora komponentti merkitään sitä puolestaan v x :llä on: v x = v cos(45 ) Aloitetaan siitä että luodin liike-energia kuluu pystysuunnassa kokonaan nousuun Saadaan yhtälöt ja 2 mv 2 y=mgh mgh=m g 2 g t 2 2 koska h= 2 g t 2 2 missä t on lentoaika ja matka h tehdään kahteen kertaan Tästä saadaan t= 2 v y 2 v sin 45 = g g Ilman energiatarkastelua tämän saa suoraan myös tietenkin siitä että pystysuora alkunopeus on v y v y =v sin 45 ja täytyy olla v y g t=0 s Luoti lentää vaakasuunnassa matkan s ajassa t= v cos 45 tapauksissa sama saadaan yhtälö Koska t on molemmissa 2 v sin 45 g s = v cos 45 josta edelleen v = 44 m/s kun s = 200 m Vastaus: Nopeus oli 44 metriä sekunnissa 5(5)