Luento 8: Liikemäärä ja impulssi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luento 8: Liikemäärä ja impulssi"

Transkriptio

1 Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

2 Ajankohtaista

3 Konseptitesti 1 ÄLÄ KOKEILE TÄTÄ KOTONA! Kysymys Ajattele nopeasti! Ajat kapealla yksisuuntaisella tiellä kun yhtäkkiä mutkan takaa ilmestyy vastaantuleva auto. Auto on täysin identtinen ja kulkee samaa vauhtia kuin sinun autosi. Mitä teet? 1. Ajat suoraan seinää päin 2. Törmäät vastaantulevaan autoon 3. On ihan sama mitä teet 4. Ryhdyt tutkimaan luentokalvoja

4 Konseptitesti 1 ÄLÄ KOKEILE TÄTÄ KOTONA! Kysymys Ajattele nopeasti! Ajat kapealla yksisuuntaisella tiellä kun yhtäkkiä mutkan takaa ilmestyy vastaantuleva auto. Auto on täysin identtinen ja kulkee samaa vauhtia kuin sinun autosi. Mitä teet? 1. Ajat suoraan seinää päin 2. Törmäät vastaantulevaan autoon 3. On ihan sama mitä teet (liikemäärän kannalta) 4. Ryhdyt tutkimaan luentokalvoja

5 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

6 Johdanto Esimerkiksi kahden kappaleen törmäyksissä on vaikea määrittää minkäsuuruiset ja -suuntaiset voimat vaikuttavat kappaleisiin Tällaisia ongelmia on usein helpointa käsitellä impulssin (impulse) ja liikemäärän (momentum) avulla Ratkaistaan käyttäen liikemäärän säilymisen periaatetta Vaikuttavia voimia ei tällöin tarvitse edes tuntea

7 Newtonin toinen laki Newtonin toinen laki (N-II) m-massaiselle kappaleelle Kiihtyvyys on ~a = dv/! N-II voidaan lausua muodossa X ~F = ~ F net = m~a = m d~v = d(m~v) Yhtälö ~ F net = m~a ei ole Newtonin toinen laki yleisimmässä muodossaan Siinä on jo oletettu, että kappaleen massa säilyy vakiona Määritellään seuraavaksi liikemäärä, jonka avulla N-II voidaan yleistää

8 Liikemäärä Määritellään kappaleen liikemääräksi ~p = m~v Liikemäärä Liikemäärä on vektori, jolla sama suunta kuin nopeusvektorilla. Liikemäärä voidaan lausua komponenteittain p x = mv x, p y = mv y ja p z = mv z

9 Newtonin 2. lain yleinen muoto Liikemäärän avulla lausuttuna Newtonin toinen laki saadaan muotoon ~F net = d~p = Kappaleeseen vaikuttava nettovoima on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän muutos ajan suhteen Voimassa vain inertiaalikoordinaatistoissa. Yleisempi kuin ~ F net = m~a, koska voidaan käyttää myös silloin kun massa muuttuu liikkeen aikana (raketti)

10 Impulssi Tarkastellaan hiukkasta, johon kohdistuu vakiovoima ~ F net Määritellään voiman impulssi (vektorisuure) ~ J = ~ F net (t 2 t 1 )=~ F net t N-II: kun ~ F net on vakio, niin myös d~p/ on vakio, joten ~ J = ~ F net t = d~p t = ~p t t = ~p 2 ~p 1

11 Impulssi: muuttuva voima Jos voima ~ F net (t) ei ole vakio, impulssi lasketaan integraalina Zt 2 ~ J = ~ F net (t) Impulssin ja liikemäärän muutoksen välinen yhteys on edelleen Zt 2 ~ J = t 1 ~ F net (t) = t 1 Z t 2 t 1 Z ~p 2 d~p = ~p 1 d~p = ~p 2 ~p 1

12 Impulssi vs. liikemäärä Liikemäärän muutos riippuu voiman vaikutusajasta Jos hiukkasen lähtee levosta liikkeelle (eli ~p 1 = 0), niin ~ J = ~p2 ~p 1 =) ~p 2 = ~p 1 + ~ J = ~ J eli liikemäärä on se impulssi, joka tarvitaan hiukkasen kiihdyttämiseksi levosta kyseiseen nopeuteen Impulssi riippuu voiman vaikutusajasta

13 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

14 Konseptitesti 2 Kysymys Kitkattomalla alustalla nopeudella v liikkuva vaunu törmää paikallaan olevaan vaunuun ja vaunut jatkavat matkaansa yhteen takertuneina. Vaunut ovat identtisiä. Mikä on vaunujen nopeus törmäyksen jälkeen? 1. v v 3. Nolla v 5. v 6. Tarvitaan lisää tietoa

15 Konseptitesti 2 Kysymys Kitkattomalla alustalla nopeudella v liikkuva vaunu törmää paikallaan olevaan vaunuun ja vaunut jatkavat matkaansa yhteen takertuneina. Vaunut ovat identtisiä. Mikä on vaunujen nopeus törmäyksen jälkeen? 1. v v 3. Nolla v 5. v 6. Tarvitaan lisää tietoa

16 Useamman kappaleen systeemit Tarkastellaan seuraavaksi kahden (tai useamman) hiukkasen muodostamaa systeemiä Systeemin sisäisiä voimia (internal forces) ovat systeemin hiukkasten väliset keskinäiset vuorovaikutukset Ulkopuolisten kappaleiden aiheuttamat voimat ovat ulkoisia voimia (external forces) Jos systeemiin ei kohdistu ulkoisia voimia, systeemi on eristetty (isolated).

17 Liikemäärän säilyminen Merkitään hiukkasen A aiheuttamaa voimaa B:hen ~ F ab :lla, ja B:n A:han ~ F ba :lla ~F ab = d~p a ~F ab = d~p b N-III:n mukaan ~ F ab = ~ F ba =) ~ F ab + ~ F ba = 0 ~F AB + ~ F BA = d~p A + d~p b = d(~p A + ~p B ) Systeemin liikemäärä on siis riippumaton ajasta eli se säilyy = 0

18 Liikemäärän säilyminen: monta kappaletta Monen kappaleen systeemin kokonaisliikemäärä ~ P ~P = ~p a + ~p b +...= m a ~v a + m b ~v b +...= X i m i ~v i Keskinäiset vuorovaikutukset kumoavat toisensa pareittain ~ F ij = ~ F ji = 0, joten liikemäärän säilymislaki saadaan muotoon d~ P X = 0, kun ~F ext = 0 Jos systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien resultantti on nolla, systeemin kokonaisliikemäärä säilyy

19 Komponenttimuoto Koska liikemäärä on vektorisuure, se voidaan jakaa komponentteihin P x = X i m i v x,i, P y = X i m i v y,i, P z = X i m i v z,i Jokaisen kokonaisliikemäärän komponentin suuruus säilyy eristetyssä systeemissä ( P F ~ ext = 0) dp x dp y dp z = 0, = 0, = 0

20 Törmäyksistä Tarkastellaan eristettyä systeemiä Oletetaan, että törmäyksessä törmäysvoimat ovat paljon suurempia kuin ulkoiset voimat eli F coll F ext Jos voimat konservatiivisia 1, niin kineettinen energia K säilyy ja puhutaan kimmoisasta eli elastisesta (elastic) törmäyksestä. Jos taas voimat eivät konservatiivisia, niin K yleensä pienenee! Kimmoton eli epäelastinen (inelastic) törmäys Jos kappaleet liikkuvat törmäyksen jälkeen yhdessä! Täysin kimmoton törmäys Kaikissa tapauksissa kokonaisliikemäärä säilyy 1 voima, jonka tekemä työ W riippuu vain esim. alku- ja loppunopeuksien erotuksesta W = 1 2 mv mv 2 1, aiheesta tarkemmin luennolla 10

21 Täysin kimmoton törmäys v a2 = v b2 = v 2 A v a1 B Tarkastellaan ensin täysin epäelastista törmäystä, jolloin hiukkasten nopeusvektorit törmäyksen jälkeen ovat samat (kappaleet tarttuvat yhteen) ~v a2 = ~v b2 = ~v 2 Liikemäärä säilyy, joten ~v 2 = m a~v a1 + m b ~v b1 m a + m b

22 Kimmoisa törmäys Eristetyssä systeemissä tapahtuva kimmoisa törmäys Liikemäärä ja kineettinen energia säilyvät Törmäyksessä vaikuttavien voimien oltava konservatiivisia Muodonmuutoksiin varastoitunut potentiaalienergia saadaan kokonaan takaisin kineettiseksi energiaksi Suora kimmoisa törmäys Kahden kappaleen suorassa kimmoisassa törmäyksessä nopeusero säilyy ~v b2 ~v a2 = (~v b1 ~v a1 )

23 Konseptitesti 3 Kysymys Päältä avoimeen junanvaunuun sataa pystysuoraan vettä sen liikkuessa alunperin vakionopeudella vaakasuoralla junaradalla. Junaradan ja vaunun välinen kitka on merkityksettömän pieni. Veden kertymisen takia vaunun vauhti: 1. Kasvaa 2. Ei muutu 3. Vähenee vaunun vesimassan kasvaessa.

24 Konseptitesti 3 Kysymys Päältä avoimeen junanvaunuun sataa pystysuoraan vettä sen liikkuessa alunperin vakionopeudella vaakasuoralla junaradalla. Junaradan ja vaunun välinen kitka on merkityksettömän pieni. Veden kertymisen takia vaunun vauhti: 1. Kasvaa 2. Ei muutu 3. Vähenee vaunun vesimassan kasvaessa.

25 Harjoitus Kysymys Päältä avoimeen junanvaunuun sataa pystysuoraan vettä sen liikkuessa alunperin vakionopeudella vaakasuoralla junaradalla. Junaradan ja vaunun välinen kitka on merkityksettömän pieni. Määritä laskien parin kanssa mitä tapahtuu vaunun kineettiselle energialle E k = 1 2 mv 2 vaunun vesimassan kasvaessa (lisää energiatarkasteluja luennolla 10). 1. Kasvaa 2. Ei muutu 3. Vähenee 4. Ratkaisua ei voi tehdä annettujen tietojen perusteella

26 Ratkaisu

27 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

28 Massakeskipiste Hiukkassysteemin massakeskipisteen (center of mass) paikkavektori määritellään seuraavasti ~r cm = m 1~r 1 + m 2 ~r m 1 + m = P P i m i~r i i m i Massakeskipiste Massakeskipiste ja painopiste ovat samat mikäli gravitaatiokenttä on systeemin alueella homogeeninen.

29 Massakeskipisteen nopeus Ottamalla massakeskipisteen paikkavektorin yhtälöstä aikaderivaatta saadaan massakeskipisteen nopeusvektori ~v cm = m 1~v 1 + m 2 ~v m 1 + m Merkitään systeemin kokonaismassaa M = P m i Nyt massakeskipisteen nopeudesta saadaan = M~v cm = X m i ~v i = ~ P P P i m i~v i Kokonaisliikemäärä on sama kuin jos systeemin kokonaismassa olisi keskittynyt massakeskipisteeseen ja liikkuisi samalla nopeudella kuin massakeskipiste i m i

30 Sisäiset ja ulkoiset voimat Derivoidaan edellinen yhtälö ajan suhteen eli M d~v CM = X m i d~v i =) m~a CM = X m i ~a i Kirjoittamalla yhtälön oikealle puolelle jokaisen hiukkasen liikeyhtälö Newtonin 2. lain mukaan saadaan sinne yhteensä summa kaikista hiukkasiin vaikuttavista voimista eli P mi ~a i = P i (P j ~ F ji ), joka voidaan jakaa sisäisiin ja ulkoisiin voimiin X X ~F ji = X X F ~ = ~F ext + X F ~ int i j

31 Hiukkassysteemin liikeyhtälö Systeemin sisäisten voimien summa häviää Newtonin 3. lain perusteella eli P Fint = 0 Yhdistetään tulokset M~a CM = X m i ~a i = X i X ~F ji = X F ~ ext j Systeemin massakeskipiste liikkuu kuten yksittäinen hiukkanen, jonka massa on koko systeemin massa M ja johon vaikuttaa kaikki systeemin osasiin vaikuttavat ulkoiset voimat P ~ F ext

32 Eristetty systeemi Kirjoitetaan edellinen vielä muodossa X ~F ext = M~a CM = M d~v CM = d hm~v CM i mikä on Newtonin 2. laki hiukkassysteemille. Eristetylle systeemille (ulkoisten voimien summa P ~ F ext = 0) = d ~ P X ~F ext = 0 =) d ~ P = 0 eli kokonaisliikemäärä ~ P säilyy ja massakeskipiste liikkuu vakionopeudella

33 Massakeskipistekoordinaatisto Törmäyksiin liittyvät probleemat usein helpompi ratkaista ns. massakeskipistekoordinaatistossa (cm-koordinaatisto) Koordinaatiston origo O 0 kiinnitetty systeemin massakeskipisteeseen Siirtymät, nopeudet etc. mitataan suhteessa tähän origoon Määritelmän mukaisesti massakeskipisteen nopeus suhteessa origoon on nolla (pilkutetut suureet cm-koordinaatistossa) ~v 0 cm = m 1~v m 2 ~v m 1 + m = ~ P 0 M = 0 Seuraus: cm-koordinaatistossa ~ P 0 1 = 0 =) ~p 0 A1 = ~p 0 B1 ja ~P 0 2 = 0 =) ~p 0 A2 = ~p 0 B2

34 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

35 Muuttuvamassaiset systeemit Liikemäärätarkastelu on hyödyllinen myös silloin, kun systeemin osien massa muuttuu ajan funktiona. Tällaisia systeemejä ovat esim. raketti, sadepisara, kuljetinhihna, ketju, jne. Tarkastellaan esimerkkinä tällaisista systeemeistä rakettia ja sen suoraviivaista liikettä. Lopuksi muutama esimerkki muiden muuttuvamassaisten systeemien analyysistä Perusanalyysi pohjautuu Newtonin 2. lain yleistykseen ~F ext = d~p Myös voiman impulssi on hyvin käytännöllinen ratkaisukeino Z t 0 ~F(t) = ~ P(t) ~ P(0)

36 Rakettiyhtälö Yksinkertaisuuden vuoksi: rakettiin ei vaikuta ulkoisia voimia Ajan hetkellä t raketin massa m ja nopeus ~v Infinitesimaalisen lyhyessä ajassa raketin massa muuttuu dm < 0 Pakokaasuja purkautuu dm:n verran nopeudella ~v ex raketin suhteen Pakokaasun nopeus ~v fuel koordinaatiston suhteen Lasketaan ensin systeemin kokonaisliikemäärä ajanhetkellä t +

37 Pakokaasujen ja raketin liikemäärä Tarkastellaan ajanhetkeä t + Pakokaasujen liikemäärä ( dm)~v fuel = dm(~v ~v ex ) missä pakokaasujen nopeudelle on käytetty koordinaatistomuunnosta ~v fuel = ~v Raketin liikemäärä ~p rak =(m + dm)(~v + d~v) Systeemin kokonaisliikemäärä ~P(t + ) =(m + dm)(~v + d~v) dm(~v ~v ex ) ~v ex

38 Liikemäärän muutos Liikemäärä hetkellä t on P(t) ~ =m~v Liikemäärän muutos ajassa on d~ P = P(t ~ + ) P(t) ~ =(m + dm)(~v + d~v) dm(~v ~v ex ) m~v = m~v m~v + md~v + ~vdm + dmd~v ~vdm + ~v ex dm = md~v + ~v ex dm Termi dmd~v on merkityksettömän pieni verrattuna muihin termeihin! jätetään pois

39 Ei ulkoisia voimia Jos systeemiin ei vaikuta ulkoisia voimia, on liikemäärän muutos d~ P = 0 md~v = ~v ex dm =) Z ~v ~v 0 Z d~v m = ~v ex m 0 dm m Jos raketin poistokaasujen nopeus raketin suhteen on vakio, niin integraalista saadaan 1 h m0 i h m0 i (~v ~v 0 )=ln =) ~v = ~v 0 + ~v ex ln ~v ex m m

40 Raketin kiihtyvyys Raketin hetkellinen kiihtyvyys voidaan ratkaista liikemäärän säilymislaista "jakamalla" se :llä d~ P d~v = m d~v + ~v ex dm = ~a = ~v ex m dm = 0 =) Raketin liikemäärän muutoksen aiheuttaa työntövoima ~F thrust = m~a = ~v ex dm Kiihtyvyys

41 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

42 Harjoitus 1 Kappale A törmää toiseen kappaleeseen B nopeudella 2.0 m s 1. Törmäyksen jälkeen kappaleen A liikesuunta on muuttunut 30 ja sen nopeus on 1.0 m s 1. Mikä on kappaleen B nopeus (suuruus ja suunta) törmäyksen jälkeen? A:n massa on 5.0 kg ja B:n 3.0 kg.

43 Harjoitus 1 Ratkaisu Liikemäärä säilyy: x :m A v A = m A v 0 A cos + m Bv 0 Bx y :m A v 0 A sin + m Bv 0 By =) v 0 Bx = m Av A m A v A 0 cos m B v 0 By = m AvA 0 sin m q B =) v 0 B = vbx 02 + v By 02 = arctan v 0 By v 0 Bx

44 Harjoitus 2 Ballistisella heilurilla voidaan mitata luodin nopeus, jos luoti jää kiinni heiluriin. Oletetaan, että heiluri nousee luodin törmäyksen jälkeen korkeudelle h alkuperäisestä asemastaan. Laske luodin tulonopeus.

45 Harjoitus 2 Ratkaisu 1. Törmäys: liikemäärä säilyy =) mv 0 =(m + M)v 2. Heilahdus: mekaaninen energia säilyy E 1 = E 2 v 0 = m + M m =) 1 2 (m + M)v 2 =(m + M)gh =) v = p 2gh v = m + M p 2gh m

46 Esimerkki 1 Tehtävä Laske kahden hiukkasen alku- ja loppunopeudet sekä kokonaisliikemäärä cm-koordinaatistossa suorassa kimmoisassa törmäyksessä. Laboratoriokoordinaatistossa ensimmäisen kappaleen (A) nopeus ennen törmäystä olkoon v A1 ja toinen kappale (B) olkoon ennen törmäystä levossa. Ratkaisu v cm = m Av A1 m A + m B ja v 0 = v v cm v 0 A1 = v A1 v cm = v A1 m A m A + m B v A1 = v 0 B1 = v B1 v cm = 0 m A m A + m B v A1 = m B v A1 m A + m B m B v A1 m A + m B

47 Esimerkki 1 jatkuu Kokonaisliikemäärä cm-koordinaatistossa on P 0 1 = m A v 0 A1 + m B v 0 B1 = m Am B v A1 m A + m B =) v 0 B1 = m A m B v 0 A1. Lisäksi Kappaleiden kineettinen energia P 0 2 = m A v 0 A2 + m B v 0 B2 = 0, joten v 0 B2 = m A m B m A + m B v A1 = 0 m A m B v 0 A2 ma 2 K 1 = 1 2 m A(vA1) m B v 0 A1 m B K 2 = 1 2 m A(vA2) m ma B v 0 A2 m B 2

48 Esimerkki 1 jatkuu Kineettinen energia säilyy: K 1 = K 2, joten v 0 A1 = v 0 A2 ja v 0 B1 = v 0 B2 Jotta törmäys tapahtuisi v 0 A1 = v 0 A2 ja v 0 B1 = v 0 B2 Tällöin v 0 A2 = m B m A + m B v A1 ja v 0 B2 = m A m A + m B v A1

49 Esimerkki 2 Raketti on ulkoavaruudessa, kaukana painovoimakentistä. Kun rakettimoottori käynnistetään, polttoaineen polttonopeus on km 0 = m s, missä m 0 on raketin alkumassa. 1. Mikä on raketin alkukiihtyvyys, jos palokaasun ulostulonopes on 2400 m s 1? 2. Mikä on raketin loppunopeus, jos 3/4 raketin massasta on polttoainetta? 3. Mikä on viimeisen polttoaineosan nopeus?

50 Esimerkki 2 Ratkaisu Määritelmät dm m 0 = km 0 = 120 s dp =(m + dm)(v + dv) v fuel dm mv dp = m dv + v ex dm (v ex = 2400 m s 1 ) = m dv + v ex dm = 0 =) m dv = v ex dm

51 Esimerkki 2 Ratkaisu Z v 0 a) a = dv = v ex dm m 0 = kv ex m m Alussa m = m 0 =) a = kv ex = 20 m s 2 b) m dv dv = dm + v ex = 0 =) mdv + v ex dm = 0 v ex Z m m 0 dm m =) v = v ex(ln m ln m 0 ) Loppumassa m = 1/4m 0 v = v ex ln m 0 m = v ex ln m s 1 c) v v fuel = v ex =) v fuel = v v ex = 930 m s 1 v fuel positiivinen eli samaan suuntaan kuin raketin nopeus

52 Rakettiyhtälö yleisessä muodossa Nyt rakettiin vaikuttaa myös ulkoisia voimia Raketin liikemäärän muutos dp = P(t + ) P(t) =(m + dm)(v + dv) dm(v v ex ) mv = m dv + v ex dm Liikeyhtälö (diff. yhtälö!) dp = m dv + v ex dm = X F ext

53 Kuljetinhihna Suuri kuljetinhihna (massa M) Ajan hetkellä t hihnan päällä materiaalia massa m Hihnalle putoaa materiaalia funktion dm/ mukaisesti M ~v m(t)

54 Kuljetinhihna, jatkoa Hihnan ja sen päällä olevan materiaalin muodostaman systeemin liikemäärän muutos dp = P(t + ) P(t) =(M + m + dm)(v + dv) (M + m)v dp = dm v +(M + m)dv = dm v +(M + m)dv = X F ext Tästä voidaan ratkaista esim tarvittava ulkoinen voima, jotta linjan nopeus pysyy vakiona.

55 Sadepisara Vesipisaraan tiivistyy ilmankosteutta Vesimolekyyleillä jokin keskimääräinen nopeus ~v 0 Systeemin liikemäärän muutos ajassa d~ P = ~ P(t + ) ~ P(t) =(m + dm)(~v + d~v) (m~v + dm ~v 0 ) d~ P = md~v + dm(~v ~v 0 ) = dm (~v ~v 0)+m d~v = X ~ F ext

56 Pöydältä putoava ketju Ketju asetettu osittain pöydän päälle Loput ketjusta roikkuu vapaasti pöydän ulkopuolella Ketju päästetään irti ajan hetkellä t = 0 Pöydän ja ketjun välistä kitkaa ei huomioida t = 0 VKK 1 VKK 2 N T ` x 0 T x 0 w 1 w 2

57 Pöydältä putoava ketju Differentiaaliyhtälö X X Liikeyhtälöt: F 1 = T = m 1 a ja F 2 = w 2 T = m 2 a Alkuehdot x = `0 ja nopeus v = 0 Massat m 1 = (` x) ja m 2 = x, missä = M/` Liikeyhtälöistä m 2 g m 1 a = m 2 a =) xg (` x)a = xa =) d 2 x 2 = g` x

58 Pöydältä putoava ketju Yleinen ratkaisu Yhtälö d 2 x = g` 2 x toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö (näihin palataan tarkemmin kurssin loppupuolella värähdysliikkeen yhteydessä) Ratkaistaan käyttämällä yritettä x = A e t +B e t Sijoitetaan differentiaaliyhtälöön Saadaan yhtälön yleinen ratkaisu 2 x = g` x =) = r g` x = A ep g` t +B e p g` t

59 Pöydältä putoava ketju Erityisratkaisu Vakiot A ja B saadaan alkuehdoista dx (t = 0) = A B = 0 =) A = B x(t = 0) =A + B = c Erityinen ratkaisu x = c 2 h ep g` t + e =) A = B = c 2 p g` ti

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä

Luento 8: Liikemäärä ja impulssi. Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä Luento 8: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Harjoituksia ja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions)

6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6.1 Newtonin III laki Voimme laskea kappaleen liiketilan Newtonin II lain avulla, jos tunnemme kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Jos kappaleita

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvaajassa on kuvattu kappaleen nopeutta

Lisätiedot

:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38)

:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) 'VLTJ,)Ł /Ł 2015-09-21 13:37:37 1/50 luentokalvot_05_combined.pdf (#38) Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 2015-09-21 13:37:37

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait

Lisätiedot

Luento 5: Voima ja Liikemäärä

Luento 5: Voima ja Liikemäärä Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle

Lisätiedot

Massakeskipiste Kosketusvoimat

Massakeskipiste Kosketusvoimat Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

Voiman ja liikemäärän yhteys: Tämä pätee kun voima F on vakio hetken

Voiman ja liikemäärän yhteys: Tämä pätee kun voima F on vakio hetken Liikemäärä Henkilöauto törmää tukkirekkaan, miksi henkilöautossa olijat loukkaantuvat vakavasti, mutta rekan kuljettaja selviää yleensä aina vammoitta? Mihin suuntaan ja millä nopeudella rekka ja henkilöauto

Lisätiedot

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010

53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010 53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010 Luennot: Luennoitsija: Kurssin kotisivu: ma & to 10-12 (E204) Rami Vainio, Rami.Vainio@helsinki.fi http://theory.physics.helsinki.fi/~klmek/ Harjoitukset:

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys

Lisätiedot

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike

Luento 13: Periodinen liike Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,

Lisätiedot

Liikemäärä ja voima 1

Liikemäärä ja voima 1 Liikemäärä ja voima 1 Tällä luennolla tavoitteena Kinematiikan ongelma ja sen ratkaisu: Miten radan ja nopeuden saa selville, jos kappaleen kiihtyvyys tunnetaan? Analyyttinen ratkaisu Liikemäärän, voiman

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Ajankohtaista FuksiProffaBuffa Järjestetään

Lisätiedot

Miltä työn tekeminen tuntuu

Miltä työn tekeminen tuntuu Työ ja teho Miltä työn tekeminen tuntuu Millaisia töitä on? Mistä tiedät tekeväsi työtä? Miltä työ tuntuu? Mitä työn tekeminen vaatii? Ihmiseltä Koneelta Työ, W Yksikkö 1 J (joule) = 1 Nm Työnmäärä riippuu

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

BM30A0240, Fysiikka L osa 4 BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike Mansfield and O Sullivan: Understandin physics, painos 1999, kpl 4. Näitä löytyy myös Youn and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 4, osin myös luvuissa 3 ja 5. 4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

Lisätiedot

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5

L a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5 Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei

Lisätiedot

kertausta Esimerkki I

kertausta Esimerkki I tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia

Luento 11: Potentiaalienergia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Palautus mennessä

Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Palautus mennessä Fysiikan olympiavalmennus, avoin sarja Kirje 1 Palautus 31.1.2012 mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuksen ensimmäinen

Lisätiedot

8 Suhteellinen liike (Relative motion)

8 Suhteellinen liike (Relative motion) 8 Suhteellinen liike (Relative motion) 8.1 Inertiaalikoordinaatistot (Inertial reference of frames) Newtonin I laki on II lain erikoistapaus. Jos kappaleeseen ei vaikuta ulkoisia voimia, ei kappaleen liikemäärä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Työ ja kineettinen energia

Työ ja kineettinen energia Työ ja kineettinen energia Kaikki mekaniikan probleemat voidaan periaatteessa ratkaista Newtonin lakien avulla, liikeyhtälöistä. Työ- ja energiakäsitteiden käyttöönottaminen kuitenkin yksinkertaistaa monia

Lisätiedot

dx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.

dx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7. BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

Muunnokset ja mittayksiköt

Muunnokset ja mittayksiköt Muunnokset ja mittayksiköt 1 a Mitä kymmenen potenssia tarkoittavat etuliitteet m, G ja n? b Mikä on massan (mass) mittayksikkö SI-järjestelmässäa? c Mikä on painon (weight) mittayksikkö SI-järjestelmässä?

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Gravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike

Gravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike Gravitaatio ja heittoliike Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike KERTAUS Newtonin lait Newtonin I laki Kappale, johon ei vaikuta voimia/voimien summa on nolla, ei muuta liiketilaansa

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman

Lisätiedot

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA

VUOROVAIKUTUS JA VOIMA VUOROVAIKUTUS JA VOIMA Isaac Newton 1642-1727 Voiman tunnus: F Voiman yksikkö: 1 N (newton) = 1 kgm/s 2 Vuorovaikutus=> Voima Miten Maa ja Kuu vaikuttavat toisiinsa? Pesäpallon ja Maan välinen gravitaatiovuorovaikutus

Lisätiedot

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä: Mekaaninen energia Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa Suppea energian määritelmä: Energia on kyky tehdä työtä => mekaaninen energia Ei

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 4 Keät 207. Rekyyli Luentomonisteessa on käsitelty tilanne, jossa hiukkanen (massa M) hajoaa kahdeksi hiukkaseksi (massat m ja m 2 ). Tässä käytetään

Lisätiedot

1.4 Suhteellinen liike

1.4 Suhteellinen liike Suhteellisen liikkeen ensimmäinen esimerkkimme on joskus esitetty kompakysymyksenäkin. Esimerkki 5 Mihin suuntaan ja millä nopeudella liikkuu luoti, joka ammutaan suihkukoneesta mahdollisimman suoraan

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012

766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 766323A-02 Mekaniikan kertausharjoitukset, kl 2012 Gravitaatio, liikemäärämomentti, ellipsiradat T 1: Oleta, että Marsin kuu Phobos kiertää Marsia ympyrärataa pitkin. Ympyrän säde on 9380 km ja kiertoaika

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1 763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi

Lisätiedot