8. kierros. 2. Lähipäivä

Transkriptio

1 8. kierros 2. Lähipäivä

2 Viikon aihe Tilaestimointi Tilasäätö Saavutettavuus, ohjattavuus Tarkkailtavuus, havaittavuus

3 Mitoitus Kontaktiopetusta: 8 tuntia Kotitehtäviä: 4 tuntia

4 Tavoitteet: tietää Saavutettavuus Ohjattavuus Tarkkailtavuus Havaittavuus Tilaestimointi Tilasäätö

5 Tavoitteet: ymmärtää Miten saavutettavuus ja tarkkailtavuus liittyvät tilaestimointiin ja -säätöön Milloin tilaestimointia voi ja kannattaa käyttää Milloin tilasäätö voi ja kannattaa käyttää

6 Tavoitteet: soveltaa Osaa määrittää onko systeemi saavutettava tai tarkkailtava Osaa muodostaa systeemille tilaestimaattorin Osaa säätää systeemiä tilasäätimellä

7 Tietoisku I: Tilaestimointi Kaikki systeemin tilat eivät välttämättä ole aina mitattavissa Jos viime kerran mekaanisesta systeemistä olisi mitattavissa vain paikka. Nopeus on estimoitava paikkamittauksen ja ohjauksen perusteella. Mitkä ovat vaihtoehdot?

8 Tilaestimointi Datan perusteella Derivoidaan paikkaa numeerisesti saadaan nopeus Mallin perusteella Syötetään tunnetulle mallille käytetyt ohjaussignaalit ja lasketaan mallin perusteella nopeus Mallin ja datan yhdistelmällä Käytetään mallin antamaa tilaa, jota korjataan datan perusteella

9 Mekaaninen esimerkki Mitä Simulink-mallissa tapahtuu?

10 Mekaaninen esimerkki Numeerinen derivointi Malli ja yhdistelmä Huom: häiriötön tapaus!

11 Mekaaninen esimerkki Otetaan mukaan prosessi- ja mittauskohinaa

12 Numeerinen Mallin perusteella Yhdistelmä

13 Tilaestimointi Tarkastellaan mallin ja datan yhdistävää estimaattoria tarkemmin u(t) + x(t) y(t) B y C + B Tilahavaitsija + + A K A y ^ x(t) ^ ^ x(t) e(t) C + _ ^ y(t) R S T x( t) x ( t) ~ x ( t ) todellinen tila tilan estimaatti estimaatin poikkeama ~ x ( t ) = x ( t ) x ( t)

14 Tilaestimointi Tilahavaitsija x ( t ) = Ax ( t) + Bu( t) + Ke ( t) = Ax ( t) + Bu( t) + K y( t) Cx ( t) b = A KC x ( t) + Bu( t) + Ky( t) Estimaattori ja todellinen malli R S g x ( t) = Ax( t) + Bu( t) T x ( t ) = ( b Ax ) Bu( ) K y( ) Cx ( g t + t + t t) = Ax ( b t) + Bu( t) + K Cx( t) Cx ( g t) Vähennetään lausekkeet toisistaan b b g b g b gb g b g x ( t) x ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t ) Ax ( t) Bu( t) K Cx( t) Cx ( t) = A x( t) x ( t) KC x( t) x ( t) = A KC x( t) x ( t) ~ x ( t ) = x ( t ) x ( t) ~ x ( t ) = A KC ~ x ( t ) b g g

15 Mekaaninen esimerkki Tehdään tilahavaitsija tutulle systeemille: R S T L NM x ( t) = x( t) u( t) Ax( t) Bu( t) y( t) = 1 0 x( t) = Cx( t) O QP L + N M O Q P = + b g Lk1Q O = + + = N M P x ( t ) A KC x ( t) Bu( t) Ky( t), K Sijoittakaa estimointivirheen pienenemistä kuvaavat navat pisteeseen -5 k 2 (vihje: karakteristinen yhtälö)

16 Tilaestimointi ja -säätö r(t) T + _ u(t) + x(t) y(t) B y C + A B Tilahavaitsija + + K A y ^ x(t) ^ e(t) C + _ ^ y(t) Säädin L

17 Tilaestimointi ja -säätö Katsotaan säädetyn järjestelmän käyttäytymistä tilaestimaattoria käytettäessä R S T x ( t) = Ax( t) + Bu( t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), u ( t ) = Tr ( t ) Lx ( t) x t = Ax t + Bu t + K Cx t Cx t R S T Muuttujanvaihto x ( t) = Ax( t) + BTr( t) BLx ( t) b x ( t ) = Ax ( t) + BTr( t) BLx ( t) + KC x( t) x ( t) x ( t ) = x ( t ) ~ x( t) ( ) ( ) x ( t) = Ax( t) + BTr( t) BL x( t) x( t) x ( t) x ( t) = ( A BL) x( t) x ( t) + BTr( t) + KCx ( t) x ( t) = ( A BL) x( t) + BTr( t) + BLx ( t) x ( t) = x ( t) ( A BL) x( t) + ( A BL) x ( t) BTr( t) KCx ( t) x ( t) = ( A BL) x( t) + BTr( t) + BLx ( t) x ( t) = ( A KC) x ( t) g b g

18 Tilaestimointi ja -säätö Tilaesitys lohkomatriisimuodossa L NM O QP = L NM x ( t) A BL BL x( t) BT ~ ( ) ~ r( t) x t 0 A KC x ( t ) 0 L ( ) y( ) C 0 x t t = N M~ x ( t ) O QP Karakteristinen yhtälö (huom: systeemimatriisi on yläkolmiomatriisi!) FL NM O QP L NM Tilaestimaattori ja säädin voidaan suunnitella toisistaan riippumatta! OI QP O QP L N M O Q P + L N M O Q P K.Y.: det HG si 0 A BL BL KJ det( si A BL) det( si A KC) 0 si 0 A KC = + + = 0

19 Tilaestimointi ja -säätö Yhdistetään tilaestimointi ja -säätö mekaanisessa esimerkissä RL NM S T K O QP = L NM x ( t) A BL BL x( t) BT ~ ( ) ~ r( t) x t 0 A KC x ( t ) 0 L ( ) y( ) C 0 x t t = N M~ x ( t ) L = N M 8 O Q P, L = 20 8, T = 25 4 O QP L N M O Q P L + N M O Q P Simuloikaa systeemiä Simulinkillä O QP

20 Harjoituksia!

21 Tietoisku II: Integroinnin augmentointi Tilasäätimen avulla voidaan vaikuttaa stabiilisuuteen, värähtelyihin ja nopeuteen Kerroin T mitoitetaan yleensä niin, että staattinen vahvistus on 1 ( ei pysyvää poikkeamaa) Kuormitushäiriöiden kanssa homma ei toimi häiriöt eivät näy tiloissa pysyvää poikkeamaa

22 Integroinnin augmentointi Häiriön summautuessa tiloihin säädin kyllä reagoi häiriöön, mutta T on mitoitettu poistamaan ainoastaan referenssisuureen pysyvä poikkeama loppuarvo edelleen pielessä Ratkaisu: integroidaan erosuuretta (tämä tekee samalla T-skaalauksen turhaksi)

23 Integroinnin augmentointi Systeemi ja sen tilasäädin x ( t) = Ax( t) + Bu( t), uv ( t ) = Lx ( t ) y( t) = Cx( t) Otetaan mukaan erosuureen integraali; otetaan erosuureen integraaleista uusia tilamuuttujia u( t) = u ( t) + u ( t), u ( t) = Lx( t), u ( t) = L x ( t) = L ( y ( τ ) y( τ )) dτ v I v I I I I ref 0 Ohjaus lohkomatriiseina x( t) u( t) = uv( t) + ui ( t) = Lx( t) LIxI ( t) = [ L L I ] I ( t) x Uuden tilamuuttujan derivaatta x ( t) = y ( t) y( t) = y ( t) Cx( t) I ref ref t

24 Integroinnin augmentointi Nyt saadaan x ( t) = Ax( t) BLx( t) BLIxI ( t) x ( t) = Ax( t) + Bu( t) u( t) = Lx( t) LIxI ( t), x I ( t ) = Cx ( t ) + yref ( t ) y( t) = Cx( t) x I ( t) = Cx( t) + y ref ( t) y( t) = Cx( t) x ( t) A BL BLI x( t) 0 = + r I ( t) I ( t) y ef ( t) x C 0 x I * * * * x ( t) = A x ( t) + B yref ( t) * * x( t) y( t) = C x ( t) y( t) = [ C 0] I ( t) x Karakteristinen yhtälö si A + BL BL * I K.Y.: det ( si A ) = det = 0 s C I

25 Mekaaninen esimerkki Tehkää mekaaniselle systeemille integroiva säädin, jolla säädetyn järjestelmän navat saadaan pisteeseen -1 Simuloikaa systeemiä häiriöllä, joka summautuu systeemin tiloihin

26 Harjoituksia!

27 Hakkuriteholähteet Seuraavalla kerralla