2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

Transkriptio

1 HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa. (monisteen Lause 2.2 tai muistisääntö (2.2)). Ratkaisu: Satunnaismuuttujan U tiheysfunktio on 2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = 0, muualla. Selvästi siis P(U > 0) =, eli P(U (0, )) =. Huomataan, että 0 < u <, 3+u kun u > 0. Satunnaismuuttuja V on U :n muunnos, eli V = g(u), missä g on funktio (0, ) (0, ) ja g(u) = u, joka selvästi on aidosti kasvava, kun 0 < u <. Näin 3+u ollen sille on olemassa käänteisfunktio h : (0, ) (0, ). Käänteisfunktion lauseke saadaan selville ratkaisemalla u yhtälöstä v = u 3 + u 3v + uv = u u = 3v v. Sijoittamalla u = h(v) saadaan h(v) = 3v. Sekä g että h ovat rationaalifunktioina v jatkuvasti derivoituvia määrittelyjoukoissaan, joten määritelmän 2.0 nojalla funktio g : (0, ) (0, ) on diffeomorfismi. Kun 0 < v <, lauseen 2.2 (tai muistisäännön (2.2)) nojalla ja f V (v) on nolla muualla. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) ( ) 3v 3 = f U v ( v) 2 ( ) 3v 3 = 2 exp 2 v ( v) 2 ( ) 6 6v = ( v) exp 2 v 2. Lognormaali satunnaismuuttuja X > 0 on satunnaismuuttuja, jonka logaritmi ln X on normaalijakautunut. Normaalijakauman tiheysfuntio f : R (0, ) parametreilla µ R ja σ 2 > 0 on f(x µ, σ 2 ) = 2πσ 2 exp( (x µ)2 /(2σ 2 )).

2 Näytä, että lognormaali satunnaismuuttuja X on jatkuva ja määrää sen tiheysfuntio. Ratkaisu: Olkoon funktio g : (0, ) R, jolle g(x) = ln(x). Logaritmifunktio on aidosti kasvava, kun x (0, ), joten sille on olemassa käänteiskuvaus h : R (0, ). Käänteiskuvauksen lauseke saadaan ratkaisemalla x yhtälöstä g(x) = y ln(x) = y e ln(x) = e y x = e y Sijoittamalla x = h(y) saadaan h(y) = e y. Sekä g että h ovat logaritmi- ja eksponenttifunktioina jatkuvasti derivoituvia, joten määritelmän 2.0 nojalla funktio h : R (0, ) on diffeomorfismi. Olkoon Y = ln X normaalijakautunut satunnaismuuttuja parametreilla µ ja σ 2, missä satunnaismuuttuja X > 0. Kun x (0, ), lauseen 2.2 nojalla satunnaismuuttujalla X = h(y ) = e Y on jatkuva jakauma tiheysfunktiolla f X (x) = f Y (g(x)) g (x) ja muualla tiheysfunktio on nolla. Koska f Y (y) on normaalijakauman tiheysfunktio pisteessä y ja g (x) = d ln(x) = = (sillä x > 0), niin X :n tiheysfunktioksi dx x x saadaan f X (x) = = exp( (ln(x) 2πσ 2 µ)2 /(2σ 2 )) x x 2πσ exp( (ln(x) 2 µ)2 /(2σ 2 )), kun x (0, ) ja muualla tiheysfunktio on nolla. Kertymäfunktiotekniikka: Tehdään sama vielä kertymäfunktiotekniikalla. Se koostuu seuraavista askeleista: (a) Johdetaan sm:n X kertymäfunktio F X (b) Perustellaan, että F X on jatkuvan jakauman kf (c) Lasketaan sm:n X tiheysfunktio f X Määritelmän mukaan F X (x) = P(X x). Koska X > 0, niin väistämättä F X (x) = 0 jokaisella x 0, sillä tapahtuma { 0 < X x 0 } on mahdoton tapahtuma. Voidaan siten olettaa, että x > 0. Tällöin F X (x) = P(X x) = P(ln X ln x), sillä logartimi (ja sen käänteiskuvaus) ovat kasvavia funktioita. Koska tiedämme, että ln X ja Y N(µ, σ 2 ) ovat samoin jakautuneita, niin F X (x) = P(X x) = P(ln X ln x) = P(Y ln x) = F Y (ln x) kun x > 0. Olemme siten päätelleet, että F Y (ln x), kun x > 0 F X (x) = 0, kun x 0

3 Jotta F X olisi jatkuvan jakauman kf, niin meidän tulisi näyttää että se toteuttaa seuraavat ehdot: a) se on kf, b) jatkuva koko R:ssä sekä c) jatkuvasti derivoituva poislukien korkeintaan äärellisen monta poikkeuspistettä. Kohdan a) pitäisi olla kunnossa, koska johdimme sen suoraan kertymäfunktion määritelmästä, mutta tarkistetaan se samalla. Jotta F X olisi jatkuva, niin voimme tarkistaa sen kolmessa osassa: kun x < 0, on se vakiofunktiona jatkuva ja kun x > 0, niin F X on myös jatkuva, sillä logaritmifunktio on jatkuva ja F Y on jatkuva, koska Y on jatkuvasti jakautunut (sillä on tf!). Ainoa ongelmakohta voisi olla kun x = 0, missä F X (0) = 0. Vasemmanpuolinen raja-arvo on selvästi kunnossa (mieti miksi :). Oikeanpuolinen raja-arvo puolestaan lim F X(x) = lim F x 0 + x 0 + Y (ln x) = lim F Y (y) = 0 y missä käytimme apuna tietoa: kun x 0 +, niin ln x. Viimeinen yhtäsuuruus seuraa, koska F Y on kf. Siispä F X on jatkuva koko R:ssä. Viimeinen askel on näyttää että F X on olemassa ja jatkuva (poislukien mahdolliset poikkeuspisteet). Kun x < 0, niin F X(x) = 0, mikä on jatkuva. Kun x > 0, niin F X(x) = F Y (ln x) x (ln x) = f Y (ln x)x = x 2πσ 2 exp( (ln x µ)2 /(2σ 2 )). Tämä on jatkuva funktio, sillä se on tulo kahdesta jatkuvasta funktiosta /x ja exp(... ), missä jälkimmäinen on f Y (ln x) on jatkuva, sillä f Y on jatkuva ja logaritmi on jatkuva. Olemme siten näyttäneet, että F X on jatkuvan funktion kf (nyt voimme sen myös helposti tarkistaa: se on kasvava, koska sen derivaatta on ei-negatiivinen, se on jatkuva (joten se on oikealta jatkuva), F X ( ) = 0 ja F X ( ) = F Y ( ) =, mutta tämä seurasi siis laskustamme, mutta on aina hyvä tarkastaa asia). Lisäksi tiedämme, että derivaatta sopivasti täydennettynä kelpaa tiheysfunktioksi, joten voimme sanoa, että eräs sm:n X tiheysfunktio on f X (x) = x exp( (ln x 2πσ 2 µ)2 /(2σ 2 )), kun x > 0, 0, muutoin. Tämä on luonnollisesti sama mikä saatiin aiemmin muuttujanvaihtotekniikalla. 3. Heitetään 8-sivuista noppaa kaksi kertaa. V on ensimmäisen heiton silmäluku ja V 2 toisen heiton silmäluku. Määritellään satunnaismuuttujat X = min(v, V 2 ) ja Y = max(v, V 2 ). Perustele, miksi satunnaismuuttujien X ja Y yptnf on /, kun x = y 8, f (X,Y ) (x, y) = 2/, kun x < y 8, 0, muuten. Tarkista myös, että f (X,Y ) todella on yptnf. Johda reuna-ptnf:t f X ja f Y yptnf:n reunasummina. Ratkaisu: Oletetaan tavalliseen tapaan, että kahden nopan silmäluvut V ja V 2 ovat riippumattomia. Koska X = min(v, V 2 ) ja Y = max(v, V 2 ), pätee X Y, jolloin f X,Y (x, y) = 0, kun x > y. Lisäksi selvästi f X,Y = 0, kun (x, y) / {,..., 8} {,..., 8}.

4 Huomataan, että tapahtuma {X = x, Y = x} = {V = x, V 2 = x}, eli jos minimi ja maksimi ovat sama luku, heittojen silmälukujen on oltava samat. Riippumattomuuden nojalla saadaan P(V = x, V 2 = x) = P(V = x)p(v 2 = x). Lisäksi kun tiedetään, että, x {,..., 8} 8 P(V = x) = P(V 2 = x) = 0, x / {,..., 8}, niin voidaan todeta, että jos x = y, niin f X,Y (x, y) = P(X = Y ) = ( ) 2 8 =, kun (x, y) {,..., 8} {,..., 8}. Tutkitaan vielä tapaus x < y ja (x, y) {,..., 8} {,..., 8}. Tällöin tapahtuma {X = x, Y = y} voidaan lausua yhdisteenä {V = x, V 2 = y} {V = y, V 2 = x}, sillä minimi voidaan saada joko ensimmäisellä heitolla tai toisella heitolla ja jos toinen on minimi, niin toisen on oltava maksimi. Nämä kaksi tapahtumaa ovat erilliset, joten tn-mitan additiivisuuden nojalla P(X = x, Y = y) = P(V = x, V 2 = y) + P(V = y, V 2 = x) ( ) 2 ( ) 2 = P(V = x)p(v 2 = y) + P(V = y)p(v 2 = x) = + = Tarkistetaan vielä, että kyseessä on yptnf. Merkitään S = {,..., 8} {,..., 8}, jolloin f X,Y : S R on ei-negatiivinen funktio ja pistetodennäköisyyksien summa on (taulukosta on apua): Reunajakaumat saadaan summaamalla toinen muuttuja x/y / 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 5/ 2 0 / 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 3/ / 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ / / 2/ 2/ 2/ 2/ 9/ / 2/ 2/ 2/ 7/ / 2/ 2/ 5/ / 2/ 3/ / / x / 3/ 5/ 7/ 9/ / 3/ 5/ y pois, eli f X (x) = y f Y (y) = x 7 2x, x {,..., 8} f X,Y (x, y) = 0, x / {,..., 8} 2y, y {,..., 8} f X,Y (x, y) = 0, y / {,..., 8}. 4. Jatkoa tehtävään 3. a) Ovatko tehtävän 3 satunnaismuuttujat X ja Y riippumattomia? b) Esitä tapahtuma {X > x} muodossa {V > v, V 2 > v 2 } keksimällä sopivat v ja v 2. c) Päättele silmälukujen V ja V 2 riippumattomuuden ja kohdan b) avulla sm:n X kf F X.

5 d) johda kohdan c) kertymäfunktiosta F X vastaava reuna-ptnf f X (toivottavasti sait saman kuin edellisessä tehtävässä) Ratkaisu: a) Koska esimerkiksi P(X >, Y = ) = 0 49 = P(X > )P(Y = ), niin satunnaismuuttujat X ja Y eivät ole riippumattomia. b) Tapahtuma {X > x} tarkoittaa, että pienempi silmäluvuista on aidosti suurempaa kuin x. Tämä vaatii, että molempien silmälukujen on oltava aidosti suurempaa kuin x. Tapahtuma voidaan siis muotoilla c) Jos x {,..., 8}, niin {X > x} = {V > x, V 2 > x}. F X (x) = P(X x) = P(X > x) = P(V > x, V 2 > x) ( ) 8 x 2 6x x2 = P(V > x)p(v 2 > x) = =. 8 Koska X on diskreetti ja sen arvojoukko on [, 8] N, saadaan F X :stä kertymäfunktio täydentämällä se paloittain vakioksi oikealta jatkuvaksi porrasfunktioksi, jonka epäjatkuvuuskohdat löytyvät joukosta {,..., 8}. Lisäksi, kun x <, niin F X (x) = P (X x) = 0 ja kun x > 8, niin F X (x) = P (X x) =. d) Kyseessä on diskreetti satunnaismuuttuja, joten kun x {,..., 8}, saadaan pistetodennäköisyysfunktio laskemalla kertymäfunktion arvojen erotuksia X :n arvojoukon peräkkäisissä arvoissa, eli f X (x) = P (X = x) = P (X x) P (X x ) = F X (x) F X (x ) 6x x2 6(x ) (x )2 = = 6x x2 6(x ) + (x ) 2 = 6x x2 6x x 2 2x + = 7 2x. 5. Heitetään tavallista lanttia neljä kertaa (ja oletetaan, että heitot ovat riippumattomia). Määritellään satunnaismuuttujat X j = { j. heitto kruuna }, kun j =, 2, 3, 4. Määritellään näiden avulla satunnaismuuttujat W = 2X 2 + X ja V = 4X + 8X 4 2 sekä Y = W + V. a) Selitä perustellen, miksi W V. b) Määrää ptnf f Y ja tunnista satunnaismuuttujan Y jakauma (jakauma on tuttu). Ratkaisu: a) Määritellään funktiot h ja h 2 seuraavasti: h : R 2 R, h (x, y) = 2x + y + 3 ja h 2 : R 2 R, h 2 (x, y) = 4x + 8y 2.

6 Määritellään satunnaisvektorit Z = (X 2, X 3 ) ja Z 2 = (X, X 4 ). Nyt satunnaismuuttujat W ja V voidaan kirjoittaa satunnaisvektoreiden Z ja Z 2 funktioina, eli W = 2X 2 + X = h (X 2, X 3 ) = h (Z ) ja V = 4X + 8X 4 2 = h 2 (X, X 4 ) = h 2 (Z 2 ). Koska lantinheitot ovat toisistaan riippumattomia, satunnaismuuttujat X j ovat toisistaan riippumattomia (j =, 2, 3, 4), jolloin niistä muodostetut satunnaisvektorit Z ja Z 2 ovat toisistaan riippumattomia ja tällöin myös niiden muunnokset h (Z ) = W ja h 2 (Z 2 ) = V ovat toisistaan riippumattomia. b) Määritellään satunnaisvektori X = (X, X 2, X 3, X 4 ) ja funktio jolloin g : R 4 R, g(x, x 2, x 3, x 4 ) = 4x + 2x 2 + x 3 + 8x 4 +, Y = W + V = 2X 2 + X X + 8X 4 2 = 4X + 2X 2 + X 3 + 8X 4 + = g(x). Merkitään X:n arvojoukkoa S :llä, jolloin S = {(x, x 2, x 3, x 4 ) x i {0, }}. Tällöin P(X = x) = kaikilla x S, sillä jokainen 6:sta neljän kolikonheittotuloksen kombinaatiosta on yhtä todennäköinen. 6 Siten f Y (y) = P(Y = y) = P(g(X) = y) = P(g(X) = y, X S) = P(g(X) = y, X = x) = {g(x) = y}p(x = x) x S x S Käymällä läpi kaikki arvojoukon S arvot, saadaan g(0, 0, 0, 0) = g(, 0, 0, 0) = 4 + = 5 g(0,, 0, 0) = 2 + = 3 g(0, 0,, 0) = + = 2 g(0, 0, 0, ) = 8 + = 9 g(,, 0, 0) = = 7 g(, 0,, 0) = = 6 g(, 0, 0, ) = = 3 g(0,,, 0) = = 4 g(0,, 0, ) = = g(0, 0,, ) = = 0 g(,,, 0) = = 8 g(,, 0, ) = = 5 g(, 0,, ) = = 4 g(0,,, ) = = 2 g(,,, ) = = 6

7 Näin ollen x S {g(x) = y}p(x = x) = {y {, 2,..., 5, 6}}, 6 eli Y noudattaa diskreettiä tasajakaumaa arvojoukkona luonnolliset luvut yhdestä kuuteentoista. 6. Olkoon X Bin(n, p). Lasketaan odotusarvo EX 2 kahdella tavalla (helpompi riippumattomuuteen perustuva tapa ensi viikolla). Tapa (TTL): Lasketaan odotusarvo käyttämällä Lausetta 4.5, toisin sanoen laskemalla summa EX 2 = x 2 f(x) samantapaisella tekniikalla, kuin mitä käytetään luentomonisteen esimerkissä 4.3. (Opastus: käytä apuna identiteettiä x 2 = x(x )+x. Identiteetin termiä x vastaava summa EX = xf(x) = np on jo laskettu esimerkissä 4.3. Lopputuloksen pitäisi olla np( p) + n 2 p 2.) Ratkaisu: Odotusarvo EX 2 = x 2 f(x) = (x + x(x ))f(x) = xf(x) + x(x )f(x) n! = np + x(x ) x=2 x!(n x)! px ( p) n x n = np + n(n )p 2 (n 2)! x=2 (x 2)!(n x)! px 2 ( p) n x ( ) n 2 = np + n(n )p 2 n 2 p k ( p) n 2 k k=0 k }{{} = = np + n 2 p 2 np 2 = np( p) + n 2 p 2. Kolmanneksi viimeisellä rivillä oleva summa on yksi, koska kyseessä on jakauman Bin(n 2, k) pistetodennäköisyyksien summa yli jakauman arvojoukon.