Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5

Transkriptio

1 Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan normitusvakio N: dxφ φ = dxn φ + 3iφ + iφ 3 N φ 3iφ iφ 3 =. Koska ominaisfunktiot φ n ovat ortonormitettuja, antavat ristitermien integraalit tulokseksi 0 ja jäljelle jää N dxφ φ 3 i dxφ φ i dxφ 3φ 3 =, N =, N = 4. Todennäköisyys saada energian arvoksi E 3 on sama kuin todennäköisyys löytää hiukkanen tilalta φ 3, kun se on alunperin ollut superpositiotilassa φ. Superpositiotilassa tämä todennäköisyys on tilan φ 3 normitusvakion normin neliö P E 3 = Ni = i = 4 4. Näin ollen todennäköisyys saada energian mittauksessa arvoksi E 3 on /4. Kun Hamiltonin operaattori H operoi sen ominaistilaan φ n, pätee ominaisarvoyhtälö Hφ n = E n φ n. Näin ollen operaattorille H saadaan H φ = H 4 φ 3iφ iφ 3 = 4 H φ 3iH φ ih φ 3

2 = 4 E Hφ 3iE Hφ ie 3 Hφ 3 = 4 E φ 3iE φ ie 3φ 3. Tällöin operaattorin H odotusarvo H on H = Tehtävä dxφ H φ = dx φ + 3iφ + iφ 4 3 Eφ 3iEφ ie 3φ 3, H = 4E + 9E + E3. 4 Käytetään laskuissa hyödyksi tietoa x, p] = i ja kommutaattorirelaatiota A, B] = B, A]. Kommutaattori p, x ] p, x ] = p x xp = ppx xpp + pxp pxp = ppx xp + px xpp = p p, x] + p, x] p = p i + i p = i p. Välissä lisättiin 0 lisäämällä ja vähentämällä lausekkeesta pxp. ausekkeen arvo säilyy siis samana ja lisätyt termit helpottavat termien muokkausta siten, että saatu lauseke voitiin esittää tunnettujen kommutaattoreiden avulla. Samaa nollan lisäys menetelmää käytetään myös seuraavissa laskuissa. Kommutaattori x, p ] x, p ] = x p px = xxp pxx + xpx xpx = xxp px + xp pxx = x x, p] + x, p] x = xi + i x = i x. Nollan lisäys tehtiin lisäämällä 0 = xpx xpx. 3 Kommutaattori x, p ] x, p ] = x p p x = xxpp ppxx + pxxp pxxp = pxxp pxx + xxp pxxp = p x, p ] + x, p ] p = i xp + px + xp xp = i xp + i px xp = 4i xp + i p, x] = 4i xp +. Nollan lisäys saadaan aikaan lisäämällä 0 = pxxp pxxp. Ratkaistaan vielä yleinen kommutaattorisääntö AB, C] = A B, C]+A, C] B: AB, C] = ABC CAB = ABC CAB + ACB ACB A BC CB + AC CA B = A B, C] + A, C] B.

3 Tehtävä 3 uentokalvoissa on johdettu äärettömän syvän potentiaalikuopan ratkaisut välillä 0, ]. Siirretään kuitenkin tässä tehtävässä ratkaisujen helpottamiseksi laatikko origon suhteen symmetriselle välille, /], jonka pituus on yhtä suuri kuin aikaisemmalla välillä, joten periodisten ratkaisujen jakson pituus ei muutu. Sen sijaan periodisissa ratkaisuissa täytyy nyt ottaa huomioon vaihetekijä +/, jotta paikan x arvoilla ratkaisut saavat samat arvot molemmissa tapauksissa. Näin ollen ratkaisut tiloille ψ ja ψ 3 tällä uudella välillä ovat ψ x = ψ 3 x = π sin x + = πx sin + π πx ψ x = cos, 3π sin x + 3πx = sin + 3π 3πx ψ 3 x = cos. Näin ollen ajasta riippuva aaltofunktio superpositiotilalle on kokonaisuudeessaan ψ x, t = N e iet/ ψ x ie iet/ ψ 3 x. Kun potentiaali ei riipu ajasta esim. tässä tapauksessa äärettömän potentiaalikuopan kuopan rajat ja suuruus eivät muutu ajassa, operaattoreiden odotusarvot eivät myöskään riipu ajasta ja etsiessä ratkaisua tulolle ˆx ˆp voidaan ajasta riippuvat kertoimet jättää superpositiotilan tapauksessa huomiotta ja tarkastella pelkkiä stationaarisia ratkaisuja ψ x = N ψ x iψ 3 x. Aaltofunktio on ensin normitettava / / dxψ ψ = dxn ψ + iψ 3N ψ iψ 3 = / N dxψψ + 4ψ3ψ 3 i ψψ 3 ψ3ψ =. Stationaariratkaisut ψ ja ψ 3 ovat reaalisia ja ortonormitettuja, joten integraalista saadaan N + 4 = N = 5. 3

4 Seuraavaksi paljastuu syy kuopan rajojen siirtämiselle. Odotusarvojen integraalien laskemisessa voidaan hyödyntää tietoa parillisista ja parittomista funktioista. Parilliselle funktiolle f pätee f x = f x ja parittomalle funktiolle g puolestaan g x = g x. Valitun välin suhteen cos x ja cos x sekä x ovat parillisia funktioita. Sen sijaan x ja sin x ovat parittomia. Kahden parittoman funktion tulo on parillinen, parillisten tulo on parillinen ja parittoman ja parillisen tulo on pariton. Tiedosta on hyötyä, sillä origon suhteen symmetrisen välin yli parittoman funktion integraali häviää! Palataan odotusarvojen laskemiseen. Paikkaoperaattorin ˆx odotusarvo on ˆx = / dxψ ˆxψ = / dxxψ ψ. Ortonormaaliudesta seuraa, että ristitermien integraalit häviävät ja jäljelle jää ˆx = / dx x cos πx ] / ] 3πx + 4 dx x cos. 5 Nyt x cos x on pariton funktio, joten molemmat integraalit häviävät, minkä tuloksena ˆx = 0. Paikkaoperaattorin neliön tapauksessa ei valitettavasti selviydytä näin helpolla. = / dx 5 ˆx / = dxψ ˆx ψ = x cos πx / dxx ψ ψ ] / ] 3πx + 4 dx x cos. Sijoituksella x = y/π ja trigonometrisella identiteetillä cos x = / + cos x saadaan integraali muotoon π/ ˆx = 5π 3 dy π/ ] π/ y + y cos y + dy y + y cos 6y ]. π/ Osittaisintegroimalla saadaan osittaisintegrointikaava johdettu liitteessä ˆx 5 ] = π/ 5π 3 6 y3 π π/ 4 π 9 = 5π 3 5π 3 4 π 4 π = π, missä pystyviiva ensimmäisellä rivillä tarkoittaa määrätyn integraalin sijoitusta hakasulkujen sisällä olevaan lausekkeeseen. 4

5 Paikkaoperaattorin ja sen neliön odotusarvojen laskemisen jälkeen voidaan laskea keskihajonta ˆx: ˆx = ˆx ˆx = 3 90π. Vastaavasti liikemääräoperaattorin ˆp = i / x tapauksessa saadaan, että ˆp = / dxψ ˆpψ = / dxψ i x ψ. Superpositiotilan aaltofunktion derivaatta koostuu sinifunktioista, ja sin x on pariton funktio, joten parillisen ja parittoman funktion tulona ψ i x ψ integraali yli valitun välin häviää ja ˆp = 0. iikemääräoperaattorin neliön odotusarvoksi saadaan ˆp / = dxψ ˆp ψ = dx / dxψ x ψ. Ristitermit häviävät ortonormaalisuuden vuoksi ja jäljelle jää ˆp = π / 5 3 cos πx = π 5 ] / ] 3πx + 36 dx cos π/ π/ dy + cos y] + 8 dy + cos 6y] π/ π/ = π 5 37 y + ] π/ sin y + 3 sin 6y π/ ˆp = 37π 5. Integraalin ratkaisemiseksi on käytetty samaa y sijoitusta kuin paikan tapauksessa. asketaan vielä liikemääräoperaattorin keskihajonta ˆp: ˆp = ˆp ˆp = π 37 5 Siispä, 37 ˆx ˆp = π π, > ja nähdään, että aaltofunktio toteuttaa Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen. 5

6 Tehtävä 4 Harmonisen värähtelijän laskuoperaattorille pätee yhtälö A = p imωx, mω ja nosto-operaattorille yhtälö A = p + imωx. mω asketaan ensin kommutaattori liikemäärä- ja laskuoperaattorin välille: p, A] = p p imωx p imωx p mω mω = pp pp + imω xp px mω mω = 0 + imω x, p] = mω mω mω, jossa käytettiin jälleen hyödyksi kommutaattorirelaatiota x, p] = i. Nyt tehtävässä todistetun säännön perusteella p, A ] = p p, A] + p, A] p = mω mωp. isäämällä jälleen 0 = imωx imωx ja jakamalla p = p + p saadaan p, A ] = mω p + p + imωx imωx. mω Järjestelemällä termit uudelleen päädytään muotoon p, A ] = mω p + imωx + p imωx mω mω = mω A + A, joka on nyt pyydettyä muotoa p, A ] = c A + A. Edeltävästä yhtälöstä voidaan lukea, että vakio c = mω. 6

7 iite Esitetään tehtävän 3 mallissa ohitettu osittaisintegrointi yleisessä tapauksessa, jolloin sitä voidaan soveltaa molemmissa termeissä. = 0 + y = n π/ π/ dyy cos ny π/ π/ y sin ny sin ny π/ π/ n y n cos ny π/ π/ π/ π/ = π cos nπ sin ny π/ n 4n π/ = cos ny n π cos nπ. n Tapauksissa n = ja n = 3 saadaan tulokseksi cos nπ =. 7