PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

Transkriptio

1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 1: lämpötila, Boltzmannin jakauma Ke

2 Richard Feynmanin miete If, in some cataclysm, all scientific knowledge were to be destroyed, and only one sentence passed on to the next generation of creatures, what statement would contain the most information in the fewest words? I believe it is the atomic hypothesis (or atomic fact, or whatever you wish to call it) that all things are made of atoms little particles that move around in perpetual motion, attracting each other when they are a little distance apart, but repelling upon being squeezed into one another. In that one sentence you will see an enormous amount of information about the world, if just a little imagination and thinking are applied. 2

3 Esimerkki: molekyylimoottorit YouTube: Kinesin protein walking on microtubule 3 Monimutkainen makromolekyyli, jonka toimintaa viime kädessä ohjaa termodynamiikka!

4 Aiheet tänään 1. Termodynamiikan peruskäsitteitä 2. Lämpötila 3. Makro- ja mikrotilat 4. Lämpötilan tilastollinen määritelmä 5. Boltzmannin jakauma 4

5 Osaamistavoitteet 1. Osaat omin sanoin määritellä käsitteet mikro- ja makrotila, erilaiset statistisen fysiikan ensemblet (joukot) 2. Osaat yllä olevista käsitteistä lähtien johtaa lämpötilan tilastollisen määritelmän sekä selittää mikä on termisen tasapainon ja systeemin makrotilan välinen suhde 3. Osaat esittää mikrotilan todennäköisyyden Boltzmann-jakauman avulla sekä laskea tätä käyttäen ensemble-keskiarvoja fysikaalisille suureille 5

6 Systeemi ja ympäristö Systeemi, tarkastelun alla oleva fysikaalinen kokonaisuus Systeemiä ympäröivä fysikaalinen kokonaisuus, joka voi vaikuttaa systeemin tilaan, muodostaa sen ympäristön 6 Systeemi + ympäristö = universumi

7 Erityyppisiä systeemejä Eristetty. Ei vuorovaikuta ympäristön kanssa (ei energian eikä hiukkasten vaihtoa) de Suljettu. Vaihtaa energiaa ympäristön kanssa, mutta ei hiukkasia. Erillisinä rajoituksina voidaan käyttää adiabaattista rajapintaa (ei lämmönsiirtoa) tai mekaanista työtä estävää rajapintaa. dn de Avoin. Vaihtaa sekä energiaa että hiukkasia ympäristön kanssa. 7

8 Termodynaaminen (tasapaino)tila Alussa systeemissä esiintyy makroskooppisesti havaittavia muutoksia (fysikaalisten suureiden gradienteista seuraavia virtauksia jne.) Kun systeemin annetaan kehittyä ajassa kyllin pitkään, se saavuttaa tilan, jossa ei enää esiinny makroskooppisesti havaittavia muutoksia ajassa. Tällöin se on saavuttanut termodynaamisen tasapainotilan. 8

9 Tilanmuuttujat V, p, T, N, U, S, μ,... Termodynaamisen tilaa karakterisoi joukko makroskooppisia, kokeellisesti havaittavia ja hyvin määriteltyjä suureita (esim. V, p, T, N,...) Tilan yksikäsitteiseen määrittelemiseen tarvitaan vain rajoitettu määrä näitä suureita, joita kutsutaan tilanmuuttujiksi Muut termodynaamista tilaa karakterisoivat suureet ovat tällöin tilanmuuttujien määräämiä tilanfunktioita 9 Muista: lämpö Q ja työ W eivät ole tilanfunktioita

10 Termodynaaminen prosessi Systeemin tilan muuttamista/muuttumista kutsutaan termodynaamiseksi prosessiksi Riippuen siitä, miten prosessi tapahtuu tilanmuuttujat ovat tai eivät ole hyvin määriteltyjä V 1, p 1, T 1,... 1 V 2, p 2, T 2,

11 Tilanfunktioiden ominaisuuksia Koska tilanfunktio on tilan yksikäsitteisesti määrittelemä, sen muutos tilasta toiseen ei voi riippua valitusta prosessista (integroimistiestä), vaan ainoastaan prosessin alku- ja lopputiloista Tilanfunktion differentiaalin sanotaan tällöin olevan eksakti Epäeksaktin differentiaalin integraalin arvo vuorostaan riippuu integroimistiestä 11 Integroimistiestä käytetään usein yksinkertaisempaa nimitystä polku

12 Lämpötila 12

13 Pohdintaa Mikä on lämpötila? Mitä on lämpö? 13

14 Lämpötilaero ja lämpö Q T 1 T 2 (> T 1 ) T 1 Q T 2 (> T 1 ) T 3 T 3 14 Tämän me kaikki tiedämme: lämpö virtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään. Mutta miksi juuri näin? Energia kuitenkin säilyy prosessissa

15 Termodynamiikan 0. pääsääntö A 1) Jos B on A:n kanssa termisessä (* tasapainossa... B C 2)... ja C on A:n kanssa termisessä tasapainossa... 3) niin B on C:n kanssa termisessä tasapainossa *) systeemit vuorovaikuttavat, mutta eivät tee mekaanista työtä toisiinsa 15

16 Termodynamiikan 0. pääsääntö Tarkastellaan kahta yksinkertaista fluidia, joiden tilat vakio ainemäärällä määrittävät täysin niiden paine p ja tilavuus V p 0, V 0 kiinnitetty Kun systeemit asettuvat termiseen tasapainoon, tiettyä (valittua) p 1 :n arvoa vastaa tietty V 1 :n arvo Vaihdetaan nyt paineen arvoksi p 2. Termisessä tasapainossa tätä vastaa tietty tilavuuden arvo V 2 p 1, V 1 Kaikki (p,v)-parit, jotka ovat termisessä tasapainossa vertailusysteemin kanssa muodostavat tarkastellun systeemin isotermin 16

17 Esimerkki: ideaalikaasun isotermit Mikä tahansa isotermin pisteistä on termisessä tasapainossa valitun vertailusysteemin kanssa a Vaihtamalla vertailusysteemi voidaan tarkastellulle systeemille määrittää uusia isotermejä b c 17

18 Lämpötilan mittaus: esimerkkejä Tarkasteltavan systeemin ja lämpömittarin välinen lämpötilaero saa aikaan jonkin fysikaalisesti mitattavan muutoksen 18 Käytännössä kuitenkin huomaamme, että erityyppiset lämpömittarit eivät tarkalleen anna samoja lukemia miksi?

19 Muita lämpömittareita Pt 4 He:n kylläisen höyryn paine RuO 2 Sensorin resistanssi lämpötilan funktiona 19 Lämpötilaa heijastavan termometrisen suhteen ei välttämättä täydy käyttäytyä lineaarisesti lämpötilan funktiona

20 Kaasulämpömittari Manometrin oikeaa jalkaa liikutetaan niin, että kaasun tilavuus pysyy vakiona Kaasun paine saadaan elohopeapatsaan korkeudesta (hydrostaattinen paine) + periaatteessa tarkka (kaasu käyttäytyy kuin ideaalikaasu alhaisessa paineessa) 20 - epäkäytännöllinen, vaatii laitteiston huolellista mekaanista säätämistä

21 Veden kolmoispiste Nykyinen kansainvälinen lämpötilastandardi (1954) T tr = 273,16 K p tr = 0,61 kpa 21

22 Makro- ja mikrotilat 22

23 Systeemin tilan todennäköisyys Kaasumolekyylejä eristetyssä laatikossa kumpi kuvien konfiguraatioista on todennäköisempi? a) Oikea b) Molemmat yhtä todennäköisiä c) Vasen 23

24 Makrotila Systeemin makroskooppinen (termodynaaminen) tila Kokeellisesti määritettävät ominaisuudet: T, p, V, N, ρ,... Ei riipu siitä, millä teorian tasolla kuvaamme mikrorakenteen (klassisessa termodynamiikassa ei itse asiassa käytetä mitään mikrotason kuvausta aineesta!) Voi olla myös epätasapainotila! (Tämä on statistisen fysiikan vahvuus; klassinen termodynamiikkahan käsittelee vain tasapainotiloja) 24

25 Mikrotila Systeemin tarkka mikroskooppinen kuvaus Valitun mikrotason kuvauksen kaikki parametrit Yleisesti tiettyä makrotilaa vastaa suunnaton määrä erilaisia mikrotiloja 25

26 Eristetyn systeemin tasapainotila Systeemin tasapainotila on se makrotila, joka on kaikkien mahdollisten makrotilojen joukosta (vieläpä ylivoimaisesti) todennäköisin Kolme oletusta 1. Kukin mikrotila on yhtä todennäköinen 2. Systeemin mikrotilat vaihtuvat jatkuvasti 3. Systeemi käy läpi kaikki mikrotilat ja on yhtä kauan aikaa jokaisessa niistä (ergodinen hypoteesi) 26

27 Harjoitus: mikrotilat Ideaalikaasua säiliössä, N, V ja T vakioita 2. Hiukkasia eri energiatiloilla E i, systeemi vakiolämpötilassa Tarkastellaan yllä olevia systeemejä Mikä on systeemin yksi mikrotila? Mikä on systeemin yksi makrotila? (Mitä erilaisia makrotiloja on?) Minkälainen (kvalitatiivisesti) on systeemin tasapainotila? 27

28 Ensemble (joukko) Niiden mikrotilojen joukko, jotka vastaavat tiettyä makrotilaa Gibbs: Termodynaamiset, makrotilan ominaisuudet ensemble-keskiarvoja Esimerkiksi sisäenergia: Entä aikakeskiarvo (oikea mittaus?) Ergodisen hypoteesin mukaan jonkin makroskooppisen ominaisuuden mitattu aikakeskiarvo lähenee ensemble-keskiarvoa mittausaikavälin kasvaessa. Käytännössä kuitenkin ajan ei yleensä täydy olla kovin pitkä, jotta mittaustulos on kyllin tarkka (vrt. paineen tai lämpötilan mittaus) J. Willard Gibbs 28

29 Erilaisia ensemblejä Mikrokanoninen, kuvaa eristettyä systeemiä NVE-ensemble de T 0 Kanoninen, systeemi termisessä tasapainossa lämpövarannon kanssa NVT-ensemble dn de T 0 Suurkanoninen, systeemi termisessä ja kemiallisessa tasapainossa lämpövarannon kanssa μvt-ensemble 29

30 Lämpötilan tilastollinen määritelmä 30

31 Terminen tasapaino Ympäristön (1) ja systeemin (2) mikrotilojen kokonaismäärä Maksimoimalla Ω(E) saadaan tasapainoehdoksi 31

32 Tilastollinen määritelmä Määritellään Valitaan Lämpötila vastaa näin ideaalikaasulain absoluuttista lämpötilaa (K) Harjoitus: mitä oheinen tasapainoehto tarkoittaa? 32

33 Boltzmannin jakauma 33

34 Mikrotilan todennäköisyys Eristetyn systeemin (1+2) mikrotilojen määrä Kunkin systeemin 2 mikrotilan todennäköisyys 1 lämpövaranto 2 Taylorin sarjasta 34

35 Boltzmannin jakauma Boltzmannin tekijä Yhdelle systeemin 2 mikrotilalle E 2 = ε Normitetaan kaikkien mikrotilojen avulla partitiofunktio Z Harjoitus: Mitä kaikkia oletuksia Boltzmannin jakauman taustalla on? 35

36 Esimerkki Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma ideaalikaasulle 36