KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista
|
|
- Jaana Hovinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) 1 Yleisesti joukoista Seuraavaksi tarkastelemme konkreettisella tasolla erilaisia termodynaamisia ensemblejä eli joukkoja, millä tarkoitamme tiettyä makrotilaa vastaavien faasiavaruuden kuvapisteiden määrittämää joukkoa. Määritelmällisesti jokaisella joukon jäsenellä eli sallitulla mikrotilalla on yhtäläinen esiintymistodennäköisyys; mielenkiintoisempi suure onkin sallittujen mikrotilojen tiheys faasiavaruudessa rajalla jossa mahdollisten mikrotilojen määrä on hyvin suuri. Termodynaamisten joukkojen käsite on käytännössä hyödyllinen vain ergodisten ja sekoittuvien systeemien tapauksessa, jolloin systeemi pääsee alkuehdoistaan riippumatta täyttämään koko faasiavaruuden sallitun alueen. Tällöin joukkoa vastaava faasiavaruuden todennäköisyysjakauma on usein myös mahdollista selvittää. Erityisen tärkeiksi joukkojen käsitteet muodostuvat termisessä tasapainotilassa, joissa systeemin ominaisuudet ovat ajallisesti muuttumattomia. Toistaiseksi erikoistummekin tasapainosysteemien käsittelyyn. Niin klassisten kuin kvanttimekaanisten systeemien tapauksessa erotetaan yleensä kolme tasapainojoukkojen perustyyppiä (oletetaan alla tilavuus V vakioksi): Mikrokanoninen joukko: E ja N oletetaan vakioiksi. Mikrokanonisessa joukossa jokaisella ensemblen mikrotilalla on sama energia, ja faasiavaruuden todennäköisyystiheys on vakio sallitussa faasiavaruuden osassa, ts. systeemi täyttää tietyn energiapinnan kokonaan. Myös hiukkasten kokonaislukumäärä oletetaan samaksi kussakin mikrotilassa, eli N on vakio. Kanoninen joukko: < E > ja N oletetaan vakioiksi. Kanonisessa joukossa mikrotilojen energian sijasta energian odotusarvo < E > oletetaan vakioksi ja entropia maksimoidaan tällä reunaehdolla. Tämä tehdään ajattelemalla systeemi yhdistetyksi lämpökylpyyn (heat bath), joka mahdollistaa lämmön (eli energian) siirtymisen systeemin ja kylvyn välillä siten. Tilanteen nähdään myöhemmin johtavan siihen, että systeemi on tietyssä vakiosuuruisessa läpötilassa, jota vastaa jakauma mahdollisia energioita tietyn (Maxwell-Boltzmannin)
2 jakauman mukaisesti. Tämä tarkoittaa sitä, että kanonista joukkoa edustaa tietty jakauma mikrokanonisia joukkoja, joissa jokaisessa on kuitenkin sama määrä N hiukkasia. Suurkanoninen joukko: < E > ja < N > oletetaan vakioiksi. Suurkanonisessa kuten kanonisessakin joukossa energian odotusarvo < E > ja siten lämpötila T on vakio. Nyt kuitenkin hiukkasten määrän sijaan ainoastaan hiukkaslukumäärän odotusarvo < N > on vakio, mistä nähdään seuraavan, että N:n sijaan mikrotilojen kemiallinen potentiaali μ on sama jokaiselle joukon jäsenelle. Siten suurkanoninen joukko voi vaihtaa myös hiukkasia kylvyn kanssa - kuitenkin siten, että μ pysyy vakiona. Suurkanoniseen joukkoon kuuluukin eri hiukkaslukumäärän mikrotiloja. Eri joukkoja verrattaessa on hyvä huomata, että mikrotiloista saatavilla oleva informaatio vähenee kun siirrytään mikrokanonisesta kanonisen kautta suurkanoniseen ensembleen. Kun mikrokanonisen joukon tapauksessa ensemblen kunkin mikrotilan energia (ja siten tietysti myös lämpötila) tunnetaan, kanonisessa ensemblessä tiedetään ainoastaan systeemin lämpötila ja mikrotilojen energioiden tilastollinen jakauma. Sama tapahtuu hiukkaslukumäärälle ja kemialliselle potentiaalille kun siirrytään kanonisesta suurkanoniseen joukkoon. Erilaisia joukkoja käsiteltäessä on myös hyvä palauttaa mieliin myös erilaisten termodynaamisten potentiaalien käsitteet, jotka saadaan suorittamalla sisäiselle energialle U Legendren muunnoksia eri ekstensiivisten suureiden (entropia, hiukkaslukumäärä,...) suhteen. Kukin näistä vastaa tiettyä ensembletyyppiä siten, että ensemblessä vakiona pidettävät suureet toimivat vastaavan potentiaalin luonnollisina muuttujina. Seuraavien parin luennon aikana tulemme käymään yo. konstruktiot läpi varsin yksityiskohtaisesti. 2 Mikrokanoninen joukko: Todennäköisyystiheys Ajasta riippuvan monihiukkassysteemin mikrotiloja ei yleensä kannata yrittää etsiä ratkaisemalla Hamiltonin yhtälöitä tai Liouvillen yhtälöä. Tasapainosysteemeille on kuitenkin mahdollista lähteä liikkeelle Liouvillen yhtälön stationaarisesta muodosta
3 {H, ρ} = 0, josta seuraa, että ρ voi riippua vain liikeintegraaleista kuten Hamiltonin funktio H kokonaisliikemäärä P kokonaisliikemäärämomentti L. Kaikki näistä säilyvät muuttumattomina virtauksen mukana kulkevassa faasiavaruuden elementissä, mutta P voidaan kuitenkin eliminoida sopivalla koordinaatiston valinnalla. Pyörimättömissä systeemeissä (pyörivän systeemin tapaus selvitetään laskuharjoituksissa) pätee siis ρ = ρ(h( )), mikä erityisesti tarkoittaa sitä, että tasapainosysteemeille pätee hyvin yleisesti ρ = vakio, kun H( ) on vakio = E. Jos makroskooppista systeemiä vastaavien mikrotilojen energiat ovat kaikki samoja, määrittelee ehto H( ) = E 2Nd ulotteisesta faasiavaruudesta 2Nd-1-ulotteisen energiapinnan E, jolloin kutsumme ensembleä mikrokanoniseksi joukoksi. Normitusehdosta ρ d = 1 saadaan nyt ρ( ) = 1 Σ E δ(h( ) E), jossa Σ E = d δ(h( ) E) dγ E on yksinkertaisesti tasaenergiamoniston tilavuus (huomaa yo. integroimismittojen dimensioero). Usein on käytännössä helpompaa määritellä mikrokanoninen ensemble δ-funktion sijaan tarkastelemalla ohutta energiaviipaletta E H( ) E + E, jolloin todennäköisyystiheys saa muodon 3
4 ρ( ) = 1 Z E, E [θ(h( ) E) θ(h( ) E E)], missä θ(x) on askelfunktio: 1, x > 0 1 θ(x) = {, x = 0 2 0, x < 0 ϱ Tässä normitusvakio E E+ΔE H Z E, E = dγ[θ(h E) θ(h E ΔE)] on ns. mikrokanoninen tilasumma eli partitiofunktio, joka ilmoittaa tilojen määrän energiaviipaleessa sillä oletuksella, että Γ = 1 vastaa yhtä (kvantti)tilaa. Kun E 0, voidaan johtaa yhteys δ- ja θ -funktioesitysten normitusvakioiden välille ekspandoimalla jälkimmäistä: θ(h E E) = θ(h E) = θ(h E) δ(h E) E + dθ(h E) d(h E) ΔE + O(ΔE 2 ) E=0 => Z E, E = [θ(h E) θ(h E) + δ(h E) E + ] d = [δ(h E) E + ] d, josta muistamalla relaatio Σ E = d δ(h E) saadaan: Z E, E = Σ E E. Tulemme myöhemmin monesti käyttämään mikrokanonisen joukon δ- sekä θfunktioesityksiä sekaisinkin; yllä olevan tarkastelun nojalla ne ovat yhtäpitävät kunhan E voidaan olettaa kyllin pieneksi. 4
5 Mikrokanoninen joukko: entropia Myöhemmin kurssilla käsiteltäessä kineettistä teoriaa tulemme tutustumaan ns. Boltzmannin entropian käsitteeseen epätasapainosysteemeille, ja osoittamaan sen toteuttavan termodynamiikan toisen pääsäännön ds 0. Tämän suureen yleistys monihiukkassysteemeille, joita kuvataan faasiavaruuden todennäköisyystiheyden avulla, on ns. tilastollinen eli Gibbsin entropia dt S = d ρ( ) ln ρ( ), josta lähtien eri ensemblejä vastaavat todennäköisyystiheydet on mahdollista johtaa variaatioperiaatteen avulla. Osoitamme nyt, että erityisesti mikrokanoninen todennäköisyystiheys voidaan johtaa tästä entropian kaavasta lähtien vaatimalla, että ρ maksimoi entropian tietyllä energiakuorella (tai energiaviipaleessa (E, E + E)). Tutkitaan siis variaatiotehtävää, jossa ρ:n funktionaali on maksimoitava reunaehdolla S = energiaviipale. Entropian variaatioksi saadaan d ρ ln ρ d ρ = 1, missä integroimisalue on sallittu δs = d (δρ ln ρ + ρ δln ρ) = d δρ(ln ρ + 1), kun taas reunaehto hoidetaan lisäämällä vastaava sidosyhtälö maksimoitavaan entropiaan Lagrangen kertoimella λ kerrottuna. Tästä saadaan variaatioehdoksi josta saamme ratkaistua δ [S + λ ( d ρ 1)] = 0, d ( δρ(ln ρ + 1) + λδρ) = d ( ln ρ + λ 1) δρ = 0 5
6 ln ρ + λ 1 = 0 ρ = e λ 1 = vakio. Ylläoleva tarkastelu osoitti, että ρ on vakio energiaviipaleessa, kuten pitikin. Lisäksi entropian ääriarvokohta havaitaan maksimiksi, sillä sidosehdon toinen variaatio häviää, kun taas δ 2 S = δ ( d δρ(ln ρ + 1) ) = d (δρ) 2 /ρ 0. Koska ρ on vakio, saadaan edelleen normitusehdosta ja tästä entropiaksi ρ = 1 Z E, E, S = d ρ ln ρ = d 1 ln 1 Z E, E = ln Z E, E. Z E, E Jos faasiavaruus jaetaan ykkösen kokoisiin alkioihin ΔΓ, voidaan Z E, E identifioida niiden mikrotilojen lukumääräksi, jotka toteuttavat systeemin makroskooppiset reunaehdot (mikrokanonisen ensemblen tapauksessa vakioenergian vaatimuksen). Tällöin mikrokanonista tilasummaa kutsutaan usein ns. termodynaamiseksi todennäköisyydeksi ja merkitään W:llä. Suuretta kutsutaan silloin Boltzmannin entropiaksi. S = ln W Osoitetaan vielä lopuksi, että kahden tilastollisesti korreloitumattoman (eivuorovaikuttavan) systeemin entropia toteuttaa ekstensiivisille suureille tyypillisen additiivisuusehdon. Korreloitumattomuudesta seuraa, että niin kokonaissysteemin todennäköisyystiheys kuin faasiavaruuden integroimismittakin faktoroituvat, eli ρ 1+2 = ρ 1 ρ 2 ja d 1+2 = d 1 d 2, 6
7 ja edelleen S 1+2 = d 1+2 ρ 1+2 ln ρ 1+2 = d 1 d 2 ρ 1 ρ 2 ln(ρ 1 ρ 2 ) = d 1 d 2 ρ 1 ρ 2 (ln ρ 1 + ln ρ 2 ) = d 1 ρ 1 ln ρ 1 d 2 ρ 2 d 2 ρ 1 ln ρ 2 d 1 ρ 1 = d 1 ρ 1 ln ρ 1 d 2 ρ 2 ln ρ 2 = S 1 + S 2. Tulos ei ole yllättävä, sillä osasysteemit oletettiin tässä täysin irtikytkeytyneiksi. Tuloksen suhdetta ideaalikaasun sekoitusentropian kasvuun on kuitenkin hyvä pohtia. Miksei tulosten välillä ole ristiriitaa? Esimerkki: mikrokanoninen tilasumma ideaalikaasulle kolmessa ulottuvuudessa Ideaalikaasun Hamiltonin funktio on H = p i 2, joten energiaviipaleen määrittelee i 2m E p i 2 E + E 2m i 2mE p i 2 2m(E + E). i Tämä epäyhtälö rajoittaa sallitut tilat 2mE ja 2m(E + ΔE) säteisten pallokuorien väliin 3N ulotteisessa liikemääräavaruudessa. Kun kuorien väli on ohut, on liikemääräviipaleelle johdettavissa tulos p = 2m(E + E) 2mE = 2mE 1 + E E 2mE 2mE (1 + E 2E 1) = 2m E E 2. 7
8 Toisaalta r-säteisen pallon pinta-ala d-ulotteisessa avaruudessa on tunnetusti (ks. esim. S d = 2πd/2 r d 1 (d/2), jonka avulla saamme johdettua kuorien väliin jäävän impulssiavaruuden osan tilavuudelle tuloksen S d (d = 3N, r = 2mE) p. Integraalit koordinaattiavaruudessa antavat lisäksi tekijän V hiukkasta kohden, joten mikrokanoniseksi partitiofunktioksi saadaan Z E, E = 1 h 3N N! VN 2π 3N 2 ( 2mE) 3N 1 2m (3N/2) E E 2 = [ π3/2 V(2mE) 3/2 N E h 3 ] N! (3N/2)E missä on otettu huomioon, että d :aan on sisällytetty tekijä 1/(h 3N N!). Tästä on selvästi luettavissa myös Σ E :n lauseke. Saadun tuloksen avulla pystymme nyt erityisesti kirjoittamaan entropialle S = ln Z E, E = ln {[ π3 2V(2mE) 3 N 2 E h 3 ] N! ( 3N }. 2 ) E Derivoimalla saatua tulosta energian suhteen ja jättämällä pois termejä jotka ovat pieniä ison N:n rajalla, saadaan tästä edelleen T = 1 1 = ( S E) V,N 3N/2E = 2E 3N. Stirlingin kaavan mukaan pätee toisaalta tunnetusti ln N! N ln N, jonka avulla entropian kaava saa (epäekstensiivisiä termejä lukuunottamatta) muodon N S = ln Z E, E = ln [ V(2πmTN)3 2 N 5/2 ] = N (ln V N ln T + 3 2πm ln 2 h 2 + ). 8
9 Kanoninen joukko Mikrokanoninen joukko ei käytännössä useinkaan sovi makroskooppisten systeemien kuvailuun, sillä vaatimus niitä vastaavien mikrotilojen energian tarkasta tuntemisesta ei isojen systeemien tapauksessa ole realistinen. Tällöin kätevämmäksi osoittautuvat yllä mainitut kanoninen ja suurkanoninen ensemble, jotka vaihtavat ulkoisen kylvyn kanssa lämpöä tai lämpöä ja hiukkasia. Kanonista joukkoa kannattaa ajatella systeeminä joka on kontaktissa sitä äärettömästi suurempaan lämpökylpyyn, jonka kanssa se vaihtaa energiaa siten, että sen lämpötila säilyy vakiona. Systeemin mikrofysikaalinen kokonaisenergia voi siis muuttua - kuitenkin siten, että energian odotusarvo säilyy vakiona. Kanonisen joukon normitettu todennäköisyysjakauma johdetaan kuten yllä mikrokanonisen joukon tapauksessa entropiaa maksimoimalla ottamalla kuitenkin nyt huomioon kaksi sidosehtoa: < I > = d ρ = 1, < H > = d ρ H = E. Lisäksi on syytä huomata, että nyt faasiavaruusintegroinnit eivät rajoitu tasaenergiamonistoon (tai energiaviipaleeseen), vaan ne suoritetaan koko N:n hiukkasen faasiavaruuden yli. Lagrangen kerrointen menetelmää käyttämällä saadaan nyt variaatioehdoksi δ [S + λ ( d ρ 1) + λ ( d ρh E)] = 0, josta saamme kuten mikrokanonisen joukon tapauksessa d ( δρ(ln ρ + 1) + λδρ + λ Hδρ) = d ( ln ρ + λ 1 + λ H) δρ = 0 ln ρ + λ 1 + λ H = 0 ρ ~ e λ H. Saadussa tuloksessa on tapana merkitä λ β, ts. kirjoittaa 9
10 ρ = e βh Z, missä selvästi pätee Z = d e βh, integroimisalueena jälleen koko faasiavaruus. Jotta saadusta todennäköisyystiheyden muodosta on hyötyä, on meidän vielä kyettävä identifioimaan parametrin β fysikaalinen merkitys. Tässä hyödylliseksi osoittautuu lähteä liikkeelle identiteetistä ln ρ = βh ln Z, jonka avulla entropialle saadaan tulos Tämän avulla saadaan edelleen S = < ln ρ > = β < H > + ln Z = βe + ln Z. δz = δ d e βh = δβ d H e βh = EZδβ δs = Eδβ + βδe + δz Z = βδe, joiden avulla päädymme merkittävään identifikaatioon T = ( δe δs ) V,N = 1 β. Lagrangen kertoimena määritelty β ei siis ole mitään muuta kuin lämpötilan kääteisluku ja todennäköisyystiheys ρ = e βh johon palaamme myöhemmin kurssilla. Z puolestaan ns. Boltzmannin jakauma, Käyttäen ylläolevaa tulosta hyväksi voidaan kirjoittaa edelleen energialle ja vastaavasti entropialle d H e βh E = < H > = d e βh = ln Z = T2 ln Z β T 10
11 S = βe + ln Z = T (T ln Z). Tästä sekä Helmholtzin vapaan energian määritelmästä F = E - T S seuraa nyt äärimmäisen tärkeä identiteetti F(T, N, V) = T ln Z (T, N, V), jossa vapaa energia on ilmoitettu luonnollisten muuttujiensa avulla. Tämä on vapaan energian tilastollinen määritelmä, josta termofysiikasta tuttujen derivaattaja Maxwellin relaatioiden kautta saadaan johdettua useita eri termodynaamisia suureita, kuten paine p = ( F V ) T,N. Esimerkki: klassinen ekvipartitioteoreema Oletetaan, että Hamiltonin funktio riippuu jonkin vapausasteen x i neliöstä: H = α i x i 2 + H missä x i on joko paikka- tai liikemääräkoordinaatti ja H ei riipu x i :stä. Sisäinen energia on nyt E = < H > = α i < x i 2 > + < H > eli α i < x i 2 > antaa energiaan kontribuution vapausasteesta x i. Lasketaan < x i 2 >: < x i 2 > = d x i 2 e βh d e βh π = dx i x 2 i e βα 2 i x i 2 1 (βα dx i e βα i x2 = i ) 3/2 i π = βα i 1 2βα i α i < x i 2 > = 1 2β = T 2 Tulos on klassinen ekvipartitioteoreema: jokainen Hamiltonin funktiossa esiintyvä neliöllinen vapausaste antaa sisäiseen energiaan (huom: ei vapaaseen energiaan!) kontribuution T/2. Huomaa erityisesti tuloksen riippumattomuus parametrista α i. Yo. tuloksesta seuraa, että isokooriseen lämpökapasiteettiin tulee kontribuutio 11
12 C V = ( E T ) V = 1 2 jokaisesta neliöllisestä x i :stä. Esimerkkitehtävä: Tarkastellaan N:ää hiukkasta, jotka liikkuvat R-säteisen pallon pinnalla ja joihin vaikuttaa F = α -suuruinen z-akselin suuntainen voima. Laske kyseisen systeemin kanoninen partitiofunktio. 12
Suurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotSuurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
Lisätiedot6. Yhteenvetoa kurssista
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 1: Lämpötila ja Boltzmannin jakauma Ke 24.2.2016 1 YLEISTÄ KURSSISTA Esitietovaatimuksena
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotP = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö
LisätiedotAstrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut
Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
LisätiedotMaxwell-Boltzmannin jakauma
Maxwell-Boltzmannin jakauma Homogeenisessa tasapainotilassa redusoidut yksihiukkastodennäköisyydet f voivat olla vain nopeuden funktioita, f = f(v ), ja H-funktio ei toisaalta voi riippua ajasta, eli dh
LisätiedotLämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH
Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat työtä toimiakseen sillä termodynamiikan toinen pääsääntö Lämpökoneita ovat lämpövoimakoneiden lisäksi laitteet, jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: Mikään laite ei
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 4: entropia Pe 3.3.2017 1 Aiheet tänään 1. Klassisen termodynamiikan entropia
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 27.11. ja tiistai 28.11. Kotitentti Julkaistaan ti 5.12., palautus viim. ke 20.12.
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 6: Vapaaenergia Pe 11.3.2016 1 AIHEET 1. Kemiallinen potentiaali 2. Maxwellin
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty
Lisätiedot= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,
S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
Lisätiedotkertausta edellisestä seuraa, että todennäköisimmin systeemi löydetään sellaisesta mikrotilasta, jollaisia on
tavoitteet kertausta Tiedät mitä on Boltzmann-jakauma ja osaat soveltaa sitä Ymmärrät miten päädytään kaasumolekyylien nopeusjakaumaan Ymmärrät kuinka voidaan arvioida hiukkasen vapaa matka Kaikki mikrotilat,
LisätiedotMuita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin:
Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat ovat työtälämpövoimakoneiden toimiakseen sillä termodynamiikan pääsääntö Lämpökoneita lisäksi laitteet,toinen jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: laiteilmalämpöpumppu
LisätiedotEkvipartitioteoreema. Entropia MB-jakaumassa. Entropia tilastollisessa mekaniikassa
Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän
LisätiedotEkvipartitioteoreema
Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän
LisätiedotStatistinen fysiikka I
Statistinen fysiikka I Kevät 2014 Luennoitsija Aleksi Vuorinen (aleksi.vuorinen@helsinki.fi, A322) Laskuharjoitusassitentti Lasse Franti (lasse.franti@helsinki.fi, A312) Yleistä Luennot salissa CK111 aina
LisätiedotKLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1)
KLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1) Palaamme kurssin lopuksi vielä hetkeksi tasapainosysteemien pariin, mutta tarkastelemme nyt todellisten systeemien kannalta realistisempaa tilannetta, jossa hiukkasten
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
FYSA241, kevät 2012 uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty järjestelmä
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Muistelua johdanto-osasta: Kvanttimekaniikassa
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 5: Termodynaamiset potentiaalit Ke 9.3.2016 1 AIHEET 1. Muut työn laadut sisäenergiassa
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 28.11. ja tiistai 29.11. Kotitentti Julkaistaan to 8.12., palautus viim. to 22.12.
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotIntegroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj
S-4.35 Fysiikka (ES) entti 3.8.. ääritä yhden haikaasumoolin (O) (a) sisäenergian, (b) entalian muutos tilanmuutoksessa alkutilasta =, bar, =,8 m3 loutilaan =, bar, =,5 m3. ärähtelyn vaausasteet voidaan
Lisätiedot7 Termodynaamiset potentiaalit
82 7 ermodynaamiset potentiaalit 7-1 Clausiuksen epäyhtälö Kappaleessa 4 tarkasteltiin Clausiuksen entropiaperiaatetta, joka määrää eristetyssä systeemissä (E, ja N vakioita) tapahtuvien prosessien suunnan.
Lisätiedotkertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma
infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 2: Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö Maanantai 6.11. ja tiistai 7.11. Pohdintaa Mitä tai mikä ominaisuus lämpömittarilla
Lisätiedotinfoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2
infoa tavoitteet Huomenna keskiviikkona 29.11. ei ole luentoa. Oppikirjan lukujen 12-13.3. lisäksi kotisivulla laajennettu luentomateriaali itse opiskeltavaksi Laskarit pidetään normaalisti. Ymmärrät mitä
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 4: Entropia Maanantai 21.11. ja tiistai 22.11. Ideaalikaasun isoterminen laajeneminen Kaasuun tuodaan määrä Q lämpöä......
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 1: lämpötila, Boltzmannin jakauma Ke 22.2.2017 1 Richard Feynmanin miete If,
LisätiedotTässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen
KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotEkvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden.
. Hiilidioksidiolekyyli CO tiedetään lineaariseksi a) Mitkä ovat eteneisliikkeen, pyöriisliikkeen ja värähtelyn suuriat ekvipartitioperiaatteen ukaiset läpöenergiat olekyyliä kohden, kun kaikki vapausasteet
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 2: kineettistä kaasuteoriaa Pe 24.2.2017 1 Aiheet tänään 1. Maxwellin ja Boltzmannin
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLuento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit
Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2015 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 ermodynaaminen tasapaino kanonisessa joukossa Mikrokanoninen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotEntrooppiset voimat. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit
Entrooppiset voimat Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotSpontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi
KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 2. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 3 1 1. TERMODYNAMIIKAN TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ Lord Kelvin: Lämpöenergian täydellinen muuttaminen työksi ei ole mahdollista 2. pääsääntö kertoo systeemissä
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotBOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio
BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio Atomien aaltoluonne tulee parhaiten esiin matalissa lämpötiloissa, jossa niiden terminen de Broglien aallonpituus λ T = h2 2πmT lähestyy niiden keskimääräistä
LisätiedotT F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 4: Entropia Pe 4.3.2016 1 AIHEET 1. Klassisen termodynamiikan entropia 2. Entropian
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
Lisätiedot1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.
FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 1. Johdanto 1 Ajat, paikat Luennot: 20h ma, ke klo 10.15, FYS1,, 9.1.-22.2 Demot: 10h, ke
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
Lisätiedotη = = = 1, S , Fysiikka III (Sf) 2. välikoe
S-11445 Fysiikka III (Sf) välikoe 710003 1 Läpövoiakoneen kiertoprosessin vaiheet ovat: a) Isokorinen paineen kasvu arvosta p 1 arvoon p b) adiabaattinen laajeneinen jolloin paine laskee takaisin arvoon
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 2: Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö Maanantai 7.11. ja tiistai 8.11. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotIdeaalikaasulaki johdettuna mikroskooppisen tarkastelun perusteella! Lämpötila vaikuttaa / johtuu molekyylien kineettisestä energiasta
HYS-A00 Termodynamiikka (TFM), Luentomuistiinpanot Luennot 7-8, kertaus, mitkä olivat oppimistavoitteet? Kineettinen kaasuteoria Oletukset: - kaasun tiheys on riittävän suuri - molekyylin koko on paljon
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 4.12. ja tiistai 5.12. Metallilangan venytys Metallilankaan tehty työ menee atomien välisten
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotLuku 20. Kertausta: Termodynamiikan 2. pääsääntö Lämpövoimakoneen hyötysuhde
Luku 20 Kertausta: Termodynamiikan 2. pääsääntö Lämpövoimakoneen hyötysuhde Uutta: Termodynamiikan 2. pääsääntö Jäähdytyskoneen hyötykerroin ja lämpöpumpun lämpökerroin Entropia Tilastollista termodynamiikkaa
LisätiedotBiofysiikka Luento Entropia, lämpötila ja vapaa energia. Shannonin entropia. Boltzmannin entropia. Lämpötila. Vapaa energia.
Biofysiikka Luento 7 1 6. Entropia, lämpötila ja vapaa energia Shannonin entropia Boltzmannin entropia M I NK P ln P S k B j1 ln j j Lämpötila Vapaa energia 2 Esimerkkiprobleemoita: Miten DNA-sekvenssistä
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotHamiltonin formalismia
Perjantai 3.10.2014 1/20 Hamiltonin formalismia Olemme valmiit siirtymään seuraavalle tasolle klassisen mekaniikan formalismissa, jonka aloitti Hamilton n. 1830. Emme käytä tätä formalismia minkään vaikeamman
LisätiedotMolaariset ominaislämpökapasiteetit
Molaariset ominaislämpökapasiteetit Yleensä, kun systeemiin tuodaan lämpöä, sen lämpötila nousee. (Ei kuitenkaan aina, kannattaa muistaa, että työllä voi olla osuutta asiaan.) Lämmön ja lämpötilan muutoksen
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot