BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio

Transkriptio

1 BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio Atomien aaltoluonne tulee parhaiten esiin matalissa lämpötiloissa, jossa niiden terminen de Broglien aallonpituus λ T = h2 2πmT lähestyy niiden keskimääräistä välimatkaa - ja lopulta ylittää sen. Kaasun ollessa erittäin alhaisessa lämpötilassa (ja riittävän tiheää) atomien aaltofunktiot leviävät toistensa päälle ja ns. Bose-Einsteinkondensaatissa yhdistyvät yhdeksi laajaksi aalloksi, jossa makroskooppinen määrä yksittäisiä atomeja on systeemin perustilassa ja käyttäytyvät täysin kollektiivisesti. Tämä voi tapahtua vain bosoneilla, joiden on mahdollista miehittää sama kvanttitila moninkertaisesti; fermioneilla Paulin kieltosääntö estää tämän. 1

2 Ilmiön ymmärtämiseksi tarkastellaan nyt lähemmin matalan lämpötilan bosonikaasua, jonka yksihiukkasenergiatiloja merkitään jälleen symbolilla ε l ; tällöin suurkanoniseksi partitiofunktioksi saadaan tunnetusti Z G = e βn l(ε l μ), n 1 = n 2 = missä summien suppeneminen vaatii ε l μ. Koska tämä on voimassa kaikille tiloille, ts. myös perustilalle ε l =, on meidän vaadittava, että bosoneille μ. Bosonisysteemin hiukkasmäärä saadaan viime luonnolla johdettujen tulosten avulla annettua muodossa l N = n l l = C 1 V dε ε 1/2 e β(ε μ) 1 N V = C 1T 3/2 x 1/2 e x μ/t 1 dx. Jos lämpötilaa lasketaan nyt alemmaksi pitäen hiukkastiheyttä N/V vakiona (käytännössä sekä hiukkasten lukumäärää että tilavuutta), on selvästi kemiallisen potentiaalin kasvettava - ja lopulta lähestyttävä arvoa μ. Merkitään nyt tätä vastaavaa, lämpötilasta riippuvaa hiukkasmäärää N 1 (T):llä: N 1 (T) = C 1 VT 3/2 x1/2 e x 1 dx. Tässä esiintyvän integraalin arvo saadaan laskettua analyyttisesti muodossa dx x1/2 e x 1 = dx x 1/2 e x 1 1 e x = dx x 1/2 e x e nx n= = dx x 1/2 e nx n=1 = 1 n 3/2 ds s1/2 e s n=1 = ζ ( 3 2 ) Γ (3 2 ) = ζ (3 2 ) π 2, missä ζ(z) = n=1 on Rienmannin zeta-funktio. Kaikkiaan olemme siis saaneet 2 N 1 (T) V 1 n z = C 1T 3/2 π 2 ζ (3 2 ) = ζ (3 2 ) (λ T) (λ T ) 3 (olet. g = 1),

3 josta voimme ratkaista annettua hiukkastiheyttä vastaavan minimilämpötilan T c, jota siis vastaa μ =. Jos systeemin lämpötilaa lasketaan vielä tämän rajan alle pitäen hiukkastiheyttä vakiona, syntyy siihen ns. Bose-Einsteinin kondensaatti, jossa makroskooppinen osa hiukkasista kerääntyy perustilaan ε = ja ylläolevaa tarkastelua pitää tietyiltä osin korjata. Bose-Einsteinin kondensaatin oikea kuvailu vaatii perustilan ε = käsittelyn erikseen. Kun summa muutetaan integraaliksi N = 1 e β(ε l μ) 1 l N = C 1 V ε 1/2 dε e β(ε μ) 1, ( ) häviää nimittäin perustilan kontribuutio nollamittaisena joukkona, vaikka matalissa lämpötiloissa sen osuus onkin makroskooppisesti merkittävä. Tämän vuoksi Bose- Einstein-kondensaattia kuvailtaessa kirjoitetaan N = n + n l l=1, missä n = 1 e βμ 1 ja jatkumorajaa käytetään vain jälkimmäiselle summatermille. Jos kokonaishiukkasmäärää pidetään annettuna vakiona, on kriittisen lämpötilan T c alapuolella kävevintä kirjoittaa N = N (T) + N 1 (T), missä jälkimmäiselle normaalikomponentille pätee yllä johdettu jatkumotulos Kun T = T c, pätee toisaalta N 1 (T) = C 1 VT 3/2 π 2 ζ (3 2 ). N 1 (T c ) = C 1 VT c 3/2 π 2 ζ (3 2 ) = N, 3

4 joten termille N 1 (T) saadaan T c :n alapuolella yksinkertainen lauseke N 1 (T) = N ( T 3/2 ), T c ja kondensaatin hiukkasmäärälle N puolestaan N (T) = N (1 ( T 3/2 ) ). T c Tilannetta havainnollistaa seuraava kuva, jossa kemiallisen potentiaalin μ arvo häviää lämpötiloilla T < T c. Korkeammilla lämpötiloilla kondensaatin kontribuutio taas häviää, ja kemiallisen potentiaalin lämpötilariippuvuus voidaan ratkaista edellisen sivun yhtälöstä ( ) (muista, että kokonaishiukkasmäärä N oletetaan systeemissä vakioksi). N N 1 N T T c Kondensoitunut bosekaasu on siitä poikkeuksellinen systeemi, että sille kanoninen ja suurkanoninen ensemble eivät ole samanarvoisia, vaan hiukkasluvun fluktuaatio jälkimmäisessä on luokkaa ΔN/N~1. Fysikaalisesti oikeat tulokset kondensoidussa faasissa (T < T c ) saadaan seuraavasti: Sisäinen energia: perustila ei vaikuta sisäiseen energiaan, koska ε =. Siispä voimme käyttää jatkumotuloksia E = C 1 V ε 3/2 dε e βε 1 = 3 π 4 ζ (5 2 ) C 1VT 5/2 = C 1 VT 5/2 dx x3/2 e x 1 4

5 Lämpökapasiteetti Entropia C V = T ( S C V = ( E ( S = 5 E 2 T = C V T = 15 8 πc 1 Vζ ( 5 2 ) T1/2 S = 5 4 πc 1 Vζ ( 5 2 ) T3/2 + f(v). Jotta termodynamiikan 3. pääsääntö olisi voimassa, eli S kun T, on toisaalta vaadittava, että T:stä riippumaton vakio f(v) =. Siispä saadaan S = 5 4 πc 1 Vζ ( 5 ) 2 T3/2 = 5 E 3 T. Vapaa energia: F = E TS = E 5 3 E = 2 3 E = 1 2 πc 1 Vζ ( 5 2 ) T5 2. Paine p = ( F V ) T = F V = 1 2 πc 1 ζ ( 5 2 ) T5 2. Bosekondensoituneen aineen paine ei siis riipu tilavuudesta. Jos systeemin tilavuutta pienennetään isotermisesti, kasvaa kondensaatissa olevien hiukkasten lukumäärä siten, että paine pysyy vakiona. Periaatteessa tätä puristusta voidaan jatkaa lähes nollatilavuuteen saakka. Tällä on huomattava vaikutus systeemin faasidiagrammalle, ja erityisesti se merkitsee, että osa pt-tasosta on suljettu pois. Faasidiagramman hahmottelu on yo. tulosten avulla varsin helppoa. 5

6 Fotonikaasun termodynamiikkaa Tarkastellaan aluksi yksiulotteista harmonista värähtelijää, jota kuvaa Hamiltonin operaattori H = 1 2m p 2 + k 2 x 2, ja jonka energiatasot ovat tunnetut ε n = ħω (n + 1 ). Vastaavaksi (suur)kanoniseksi 2 tilasummaksi saadaan helposti Z = e βħω(n+1/2) = n 1 2 sinh (βħω/2), na energiatilan n esiintymistodennäköisyydeksi puolestaan P n = 1 Z e βħω(n+1/2). Indeksin n odotusarvoksi saadaan tästä edelleen tulos n = n e βħω(n+1/2) n n e βħω(n+1/2) = n e βħωn n n e βħωn = 1 β n e βħωn ħω n e βħωn = 1 ħω β ln ( 1 1 e βħω) = 1 ħω ħωe βħω 1 e βħω = 1 e βħω 1, joka on muodoltaan vuorovaikuttamattomien bosonien miehitysluku energialla ħω (huomaa, että tässä tapauksessa tuloksen fysikaalinen tulkinta on kuitenkin erilainen kuin aiemmin). Energian odotusarvoksi saadaan samalla tavoin E = e βħω(n+1/2) ħω (n ) n e βħω(n+1/2) n = ħω 2 tanh (βħω/2). Ylläoleville tuloksille saadaan mielenkiintoinen tulkinta muistamalla, että harmonisen oskillaattorin Hamiltonin funktio voidaan luomis- ja tuhoamisoperaattorien avulla lausua muodossa 6

7 H = ħω (n ) = ħω (a a ), missä olemme määritelleet miehityslukuoperaattorin n = a a, ja luomis-sekä tuhoamisoperaattorit toteuttavat tutut komuutaatiorelaatiot [a, a ] = 1, jne. Harmonisen oskillaattorin tilan n voidaankin siis ajatella koostuvan nollapisteenergian lisäksi n:stä identtisestä energiakvantista ħω, jolloin yhtä harmonista oskillaattoria voidaan ajatella myös aitona bosonisena monihiukkassysteeminä. Yhteys yksiulotteisen oskillaattorin ja sähkömagneettisen säteilyn välille saadaan huomaamalla, että sähkömagneettisen kentän normaalivärähtelyt ottavat Lagrangen formalismissa nimenomaan harmonisen oskillaattorin muodon, mikä tarkoittaa, että säteilykenttä voidaan kvantisoida joukkona vuorovaikutuksettomia harmonisia oskillaattoreita. Vakuumissa normaalimoodit ovat tasoaaltoja, joita kuvaa aaltolukuvektori k sekä energia ε = ħc k = ħω, missä ω on aaltolukua vastaava kulmataajuus. Aaltolukua vastaava impulssi on puolestaan p = ħk. Annettua kulmataajuutta vastaa joukko tiloja, joiden energia on kvantittunut energiakvantin ħω, fotonin, monikertoina. Fotonit ovat spin-1 hiukkasia, joilla on kuitenkin vain 2 transversaalista polarisaatiomoodia, joten Hamiltonin funktiossa H = ħω(k ) (a k λ a k λ ) k λ polarisaatioindeksi λ saa kaksi arvoa ympyräpolarisaatiota käyttäen L ja R. Niiden statistista mekaniikkaa voidaan kuvata harmonisen oskillaattorin kanonisella joukolla, joka vastaa fotonisysteemin suurkanonista joukkoa kemiallisen potentiaalin arvolla μ =. Vuorovaikutuksettomina bosoneina termisessä tasapainossa oleva fotonikaasu noudattaa BE-statistiikkaa, ja erityisesti fotonien miehitysluku saadaan harmonisen oskillaattorin jakaumasta 7

8 n (ω) = 1 e βħω 1, jota tässä tapauksessa kutsutaan historiallisista syistä Planckin jakaumaksi. Tutkitaan nyt termodynaamista rajaa eli suurta tilavuutta ja fotonien lukumäärää olettaen säteilyn spektri jatkuvaksi. Tällöin kaikki kulmataajuudet ω ovat edustettuina, jolloin kutakin ω:aa vastaavat moodit noudattavat yo. jakaumaa ja jatkumoon siirtyminen voidaan suorittaa muodossa k dω f(ω), jossa f(ω) on jokin normitustekijä. Muistamalla edelleen vapaaan kvanttimekaanisen systeemin aaltolukujen sallitut arvot L-sivuisessa kuutiossa, k = 2π L (n x, n y, n z ) ; n i =,1,2,, i = x, y, z, saadaan riippumattomien värähtelymoodien lukumääräksi aaltolukuvektorin tilavuuselementissä (kuten aiemmin) dn k = 2V (2π) 3 dk = V π 2 k2 dk, josta ottamalla huomioon relaatio ω = ck edelleen dn ω = f(ω)dω = V ω2 π 2 c 3 dω. Nyt voidaan laskea energiatiheys fotonikaasussa muodossa Ԑ(T) E V = 1 V ħ ω f(ω)n (ω) dω = ħ π 2 c 3 dω ω 3 e βħω 1 dω Ԑ(ω, T), missä olemme saaneet nk. spektriseksi energiatiheydeksi Planckin säteilylain 8

9 Ԑ(ω, T) = ħω 3 π 2 c 3 (e βħω 1). Tämä siis vastaa termisen fotonikaasun energiatiheyttä kulmataajuuden funktiona. Pienillä kulmataajuuksilla (tai korkeilla lämpötiloilla) βħω 1 tästä saadaan Rayleigh-Jeansin lakina tunnettu muoto Ԑ(ω, T) ω 2 T, kun taas korkealla taajuudella / matalalla lämpötilalla βħω 1 se palautuu Wienin lain muotoon Ԑ(ω, T) ω 3 e βħω. Planckin spektrin maksimikohta, joka löydetään etsimällä yo. funktion derivaatan nollakohta, puolestaan toteuttaa ω max T, mikä oli jo aiemmin tunnettu kokeellisena Wienin siirtymälakina. Rayleigh-Jeansin laki on klassisen fysiikan mukainen tulos, ja lisäksi klassisen ekvipartitioteoreeman mukainen; korkeilla kulmataajuuksilla se kuitenkin johtaa täysin väärään (itse asiassa divergoivaan) tulokseen. Vuodelta 1896 peräisin oleva Wienin laki on puolestaan alunperin kokeellisiin tuloksiin sovitettu fenomenologinen kaava, jonka eksponentissa Planckin vakio ensimmäistä kertaa esiintyi (tuolloin toki eri nimellä ja ilman oikeaa fysikaalista tulkintaa). Yllä johdetussa spektrisen energiatiheyden lausekkeessa oleva integraali voidaan vielä lopuksi suorittaa analyyttisesti, jolloin systeemin kokonaisenergiatiheydeksi saadaan T4 Ԑ(T) = π 2 (ħc) 3 dω x 3 e x 1 = 6T4 π 2 (ħc) 3 ζ(4) = π2 T 4 15(ħc) 3 = 4 c σt4. Tässä olemme käyttäneet hyväksi tulosta ζ(4) = π4 ja merkinneet ns. Stefan- Boltzmannin vakiota symbolilla σ = lämpökapasiteetti sekä entropia T ( S C V = ( E = C V ( S π2 6ħ 3 c 9 2. Edelleen saadaan helposti systeemin = ( Ԑ(T)V T ) V = 16 c σt3 V = 16 c σt2 V S = 16 3c σt3 V + f(v), missä termodynamiikan kolmannen pääsäännön johdosta on valittava f(v) =. 9

10 Lopuksi lasketaan vielä systeemin vapaa energia ja paine, F = E TS = Ԑ(T)V TS = 4σ c VT4 16σ 3c VT4 = 4σ 3c VT4 p = ( F V ) T = 4σ 3c T4 = 1 3 Ԑ(T). Tästä nähdään, että myöskään fotonikaasun paine ei riipu tilavuudesta, vaan sen isoterminen kokoonpuristuvuus on ääretön. Mustan kappaleen säteily Fotonikaasua on tähän asti käsitelty tasapainosysteeminä, mihin sisältyy varsin epätriviaali oletus siitä, että se on vuorovaikutuksessa sopivan ympäristön, ns. mustan kappaleen, kanssa. Hyvin tarkkaan vuorovaikutuksettomana systeeminä (korkeilla lämpötiloilla tähän tulee pieniä korjauksia virtuaalisista elektronipositronipareista) kaasu ei nimittäin käytännössä koskaan termalisoituisi sen sisäisten vuorovaikutusten johdosta, vaan systeemi pysyisi voimakkaasti epäergodisena. Musta kappale taas on sisäisesti termisessä tasapainossa oleva järjestelmä, joka toimii fotonikaasulle lämpökylpynä emittoimalla ja absorboimalla fotoneja siten, että niiden jakauma asettuu termodynaamisen tasapainon vaatimaan muotoon. Musta kappale on määritelmällisesti objekti, joka absorboi kaiken siihen tulevan säteilyn, ja päästyään tiettyyn termaalia tasapainoa vastaavaan lämpötilaan myös emittoi säteilyä samalla intensiteetillä. Säteilyn osuessa kylmään mustaan kappaleeseen sen lämpötila siis aluksi nousee, kunnes takaisin emittoidun säteilyn energia vastaa absorboitavaa säteilyä. Silloin se on saavuttanut tasapainon, ja sen pinnan lämpötila vastaa emittoidun säteilyn lämpötilaa. Mustan kappaleen säteily on termodynaamisessa tasapainossa olevaa fotonikaasua. Tarkastellaan nyt isotrooppista säteilyä, joka on lähtöisin mustasta kappaleesta, esim. aukosta sellaisen säiliön seinässä, joka sisältää tasapainossa olevaa fotonikaasua (tietyssä lämpötilassa T). Säteilyteho kulmassa θ pinnan normaalivektorista olevaan avaruuskulma-alkioon dω saa nyt yksinkertaisen geometrisen tarkastelun avulla muodon 1

11 W(T, θ)dω = Ԑ(T)A c cos θ dω 4π, jossa on otettu huomioon se, että vain dω osa fotoneista lähtee oikeaan suuntaan. 4π Vastaava säteilyn radianssi puolestaan on säteilyteho avaruuskulmayksikköä dω ja säteilevän pinnan kohtisuoraa pinta-alaa A cos θ kohti, ts. L(T) = Ԑ(T)c 4π. Tämä osoittaa erityisesti, että säteilevä pinta näyttää kaikista suunnista yhtä kirkkaalta. Lopuksi johdetaan vielä lauseke mustan kappaleen säteilyn intensiteetille I, eli sen kokonaisteholle koko puoliavaruuteen pinta-alayksikköä kohti. Tälle suureelle saadaan ylläolevan perusteella I = Ԑ(T)c 2π 4π dφ π/2 dθ sin θ cos θ = Ԑ(T) c 4 = σ T 4, mikä tunnetaan Stefan-Boltzmannin lakina. 11