Mat-2.8 Sovelletu matematka erkostyö Sjotussalku optmot Black-Ltterma -malllla Kar Vatae (4753V) 9.5.24
Ssällysluettelo Johdato...2 2 Sjotussalku optmot Markowtz malllla...3 2. Sjotussalku optmot...5 2.2 Parametre estmot...7 3 Black-Ltterma -mall... 3. Tasapaotuottoje käätee optmot... 3.2 Markkaäkemyste lsäys tasapaomall...3 4 Johtopäätöksä...8 Lähdeluettelo...2
Johdato Sjotussalku optmot pyrk parhaa mahdollse tuoto ja rsk suhtee löytämsee strumette paotuksa muuttamalla. Optmaalsella sjotussalkulla o mahdollsmma korkea tuotto-odotus, joka pyrtää saavuttamaa mahdollsmma alhasella rskllä. Optmaalse sjotussalku valta pohjautuu moder portfoloteora peruskästtes, tuottooo ja rskä kuvaavaa tuottoje keskhajotaa el volatlteett. (Elto & Gruber 99.) Sjotussalku optmot tuoto ja rsk suhtee maksmota o teoreettsest tomva mall, mutta käytäössä se tuottaa use tutvsest epämelekkätä sjotussalkkuja. Sjotussalku optmot o hyv herkkä lähtöparametre estmolle. Ertysest epäluotettavat tuottoestmaatt johtavat helpost epämelekkäs sjotussalku jakaum. Tästä syystä hstorasta estmodut tuottoestmaatt evät aa luotettavaa tulosta optmaalselle sjotussalkulle. Tuotto-odotukse estmossa vodaa käyttää hstorallste tuottoje sjasta mm. CAP-malla. Sä tuotto-odotukset suhteutetaa de markkarsk, jollo sjotussalku optmot johtaa tehokkaamm hajautettuh sjotussalku jakaum. (Jaur 997.) Black-Ltterma -mallssa käytetää Bayeslasta lähetymstapaa yhdstämää markkode tasapaotuotot sjottaja om markkaäkemyks. Markkode tasapaotuotot estmodaa käätese optmo avulla, jollo tasapaotuotot johtavat markkadeks mukasee sjotussalku paojakaumaa. Ku tasapaotuottoh yhdstetää markkaäkemykset, sjotussalku optmot ataa tulokseks markkadeks kaltase paojakauma, joka pokkeaa aettuje markkaäkemyste osalta markkadeks paojakaumasta. Markkaäkemyste paoarvoo sjotussalkussa vakuttaa de luottamustaso, joka kuvastaa äkemyste epävarmuutta. (Black & Ltterma 992.) 2
2 Sjotussalku optmot Markowtz malllla Optmaalse sjotussalku valta perustuu moder portfoloteora kehtyksee 95-luvu alussa. Moder portfoloteora sa alkusa, ku tuleva taloustetee obelst Harry Markowtz (952) julkas mea-varace -teora, joka kuvaa sjotussalku tuoto ja rsk suhtee tehtävää optmota. Moder portfoloteora lähtökohta o oletus, että kakke sjotusstrumette logartmset tuotot ovat ormaaljakautueta. Ku sjotusstrumett tuotto r määrtellää suhteellseks hamuutokseks: dp P (2.) r = rt = l, P P vodaa moderssa portfoloteorassa olettaa jatkuva, logartme tuotto ormaaljakautueeks: P 2 (2.2) rt = l ~ N( µ, ) P, mssä todeäkösyysjakauma theysfukto o (2.3) [( x µ ) / ] / 2 f ( x) = e. 2 2π 2 Normaaljakaumaolettamukse perusteella yksttäse sjotusstrumet tuottojakauma vodaa kuvata yksselttesest odotusarvo µ ja varass 2 avulla. (Lueberger 998.) Moder portfoloteora olettaa sjotussalku jatkuva tuottojakauma oudattava multormaaljakaumaa, joka muodostuu leaarsesta yhdstelmästä ormaaljakautueta sjotusstrumetteja. Jakauma multormaalsuus tarkottaa jokase yksttäse satuasmuuttuja oleva ormaaljakautuut ja lsäks mkä tahasa jakauma kahde muuttuja välllä valltsee yhteys, joka korrelaato tyhjetäväst kuvaa (Jaur 997). Sjotussalku tuotolle r p pätee seuraava oletus: 3
(2.4) r ~ ( µ, Σ), joka todeäkösyysjakauma theysfukto o p N p (2.5) f ( x) = e p / 2 / 2 (2π ) Σ ( x µ)'σ, (x µ) / 2 mssä Σ o satuasmuuttuje X symmetre ja postvdeftt kovarassmatrs (Johso & Wcher 22). Sjotussalku tuottojakauma o ss multormaaljakaumaolettamukse ojalla kuvattavssa yksttäste strumette tuottoje odotusarvoje µ ja strumette akasarjosta estmodu kovarassmatrs Σ avulla. Sjotussalku tuoto odotusarvo saadaa sjotusstrumette suhteellsella osuudella paotettua summaa de tuottoje odotusarvosta: (2.6) E ( rp ) = w E ( r ) = w' µ. Vastaavast sjotussalku odotettuje tuottoje varass o laskettavssa sjotusstrumette suhteellste paoje w ja sjotusstrumette välste kovarasse j avulla: 2 (2.7) = w w = w ' Σw, p j j j mssä w o sjotussalku strumette paovektor ja Σ o symmetre postvdeftt kovarassmatrs. Sjotussalku varass o kovarassmatrs ohella määrteltävssä myös yksttäste strumette volatlteette ja strumette välste korrelaatode avulla. Koska korrelaatolle ρ j pätee: (2.8) j ρ j =, j sjotussalku varass vodaa lmasta käyttäe strumette välstä korrelaatota: 4
(2.9) 2 p = w w j j = w w j j ρ j j j el matrsmuodossa 2 ½ ½ p = w ' Σw = w ' V ρv w, mssä w o sjotussalku strumette paovektor, V ½ o strumette volatlteetesta koostuva dagoaalmatrs ja ρ o symmetre postvdeftt korrelaatomatrs. (Johso & Wcher 22.) 2. Sjotussalku optmot Markowtz mea-varace -teora mukaa o mahdollsta löytää varass mmova sjotussalkku strumette suhteellsa paotuksa optmomalla. Jos strumette korrelaatot ovat peempä ku yks, varass mmova sjotussalkku koostuu strumette yhdstelmästä, sllä hajauttame epätäydellsest korrelov strumetteh vähetää samaakasta tappo mahdollsuutta er strumetessa. Mmvarasssalku lsäks o mahdollsta optmoda kullek tuotto-odotukselle varass mmova salkku, jollo lopputuloksea o saatavssa tehokkade salkkuje joukko. Ratoaalse sjottaja tuls tämä teora mukaa sjottaa aoastaa äh optmaals sjotussalkkuh. Vastaava tehokkade sjotussalkkuje joukko saavutetaa myösk maksmomalla tuotto-odotusta kullek varass tasolle. (Lueberger 998.) Varass mmottehtävä kullek sjotussalku tuotto-odotukselle E(r p ) vodaa krjottaa seuraavassa muodossa: (2.) M ku 2 = =,j= w E( r ) = E( r w w j w =, j, p ) ja mssä w o sjotusstrumet suhteelle pao sjotussalkussa, j o sjotusstrumette väle kovarass ja E(r ) o sjotusstrumet tuotto-odotus. (Lueberger 998.) 5
Optmottehtävä ratkasu saadaa krjottamalla mmottehtävä Lagrage yhtälöks L ja ratkasemalla Lagrage kertomet λ ja µ dervomalla yhtälö. (2.) = L w w jj-λ w E( r ) E( rp ) -µ w 2,j= = = Ku Lagrage yhtälö dervodaa strumette suhteellste paoje ja Lagrage kertome λ ja µ suhtee, lopputulokseks saadaa + 2 yhtälöä. (2.2) j= = = w j j λe( r ) µ =, w E( r ) = E( r ) w = p ku =, 2,..., Nästä vodaa ratkasta tarvttavat + 2 tutematota muuttujaa el strumette suhteellset paot w ja Lagrage kertomet λ ja µ. (Lueberger 998.) Tavallsest sjotussalku optmot ltetää myös rsktö korko r f. Rsktö korko o tuotto, joka vo saada lma markkarskä, jote rskttömä koro volatlteett o olla. Mkäl sjotusstrumett ssältää rskä ts. se volatlteett pokkeaa ollasta, se tuotto-odotukse tuls olla rsktötä korkoa suuremp. Sjotusstrumet rskpreemo o rskttömä koro ylttävä tuottoodotus: E(r ) - r f. Rskpreemo ja volatlteet avulla vodaa määrtellä sjotusstrumet ta sjotussalku rskkorjattu tuotto. Moderssa portfoloteorassa rskkorjattuja tuottoja tarkastellaa tavaomasest Wllam F. Sharpe (966) kehttämä Sharpe luvu avulla. (2.3) Sharpe = r r f Optmaale sjotussalkku vodaa määrtellä suurmma rskkorjatu tuoto omaavaks sjotussalkuks. Tällö sjotussalku Sharpe luku el rskpreemo ja volatlteet suhde saa maksmarvosa. Optmottehtävä saa tällö muodo: 6
(2.4) Max ku = = w ( E( r w, j= =, p ) r w w j j f ), Ku optmottehtävästä 2.4 muodostetaa Lagrage yhtälö ja dervodaa se muuttuje suhtee, tehtävä ratkasuks saadaa: (2.5) ja v w k = = E( r v k = v k k ) r. f, ku k =, 2,..., Tällö optmottehtävä ataa ratkasuks yhde optmaalse sjotussalku, jolla o suur rskkorjattu tuotto. (Lueberger 998.) 2.2 Parametre estmot Lähtöparametreks sjotussalku optmot tarvtaa estmaatt sjotusstrumette tuottoodotukslle sekä strumette välslle kovarasselle. Tuotto-odotuste estmot hstoradatasta o tavallsest ogelmallsta. Se sjaa sjotussalku kovarassstruktuur ptkä tähtäme eusteet vodaa estmoda kohtuullse hyv rttävä ptkästä hstoradatasta. (Jaur 997.) Kovarassmatrs o symmetre postvdeftt matrs, joka dagoaallla o yksttäste strumette varasst ja dagoaal ylä- ja alapuolella strumette välset kovarasst: (2.6) Σ = M 2 2 22 M 2 L L O L 2. M 7
Tavallsmm kovarassmatrs estmodaa sjotussalku hstorallssta tuotosta käyttäe harhatota OLS-estmaatta: (2.7) ˆ = j ( rt r )( rjt rj ) (Pdyck & Rubfeld 998). t= Kovarass- ja korrelaatomatrs oleas vaatmus o matrs postvdefttsyys. Postvdefttsyys takaa se, että matrs estmaatt evät ole keskeää rstrtasa ja että sjotussalku kokoasvarass e saa mssää tlateessa egatvsta arvoa. Postvse defttsyyde takaamseks tuls korrelaatomatrs lasketaa käyttää vähtää yhtä paljo havatoja ku sjotussalkussa o rskmuuttuja. Tämä syyttää ogelma dmesode määrästä, sllä suure kovarassmatrs käyttö vaats ptkät datasarjat, jote rskmuuttuje määrälle tulee jossak psteessä vastaa luoollset rajat. Käytäössä rttävä ehto matrs postvdefttsyydelle o se, että kakk se omasarvot ovat postvsa. (Jaur 997.) Mkäl tuotto-odotus estmodaa kovarassmatrs tavo hstoradataa perustue, she vakuttaa aoastaa akasarjoje alku- ja loppupsteet. Hstorallste tuottoje odotusarvo o tuottoje keskarvo. Ku logartmslle tuotolle estmodaa keskarvoa, äärpstede välssä olevat tuottopsteet summautuvat koko perod tuotoks. Tällö alkuperäste hta-akasarjoje äärpstede välssä oleve htapstede merktys katoaa: P P (2.8) ( ) l l E r = =. P P Hstoradataa perustuva tuotto-odotukse estmaatt vo saada hyv tosstaa pokkeava arvoja rppue estmotperod valasta. Tästä syystä hstoralle estmaatt e aa rttävä luotettavaa arvoa odotetulle tuotolle. (Jaur 997.) Tuotto-odotuksa vo estmoda hstorallste tuottoje sjasta pääomamarkkode tasapaomall el Captal Asset Prcg -mall avulla. Captal Asset Prcg -mall, lyheettyä CAP-mall, pyrk selttämää sjotusstrumet tuottoa markkatuoto avulla. Sjotusstrumet tuottoodotukse määrttää markkadeks tuoto odotusarvo ja strumet markkarskkerro β sekä vakoterm α. Istrumet tuotto-odotus E(r ) kuvataa leaarsella yhtälöllä: 8
(2.9) E ( r ) r f = α + β ( rm r f ) + ε, mssä r m o markkadeks tuotto-odotus, r f o rsktö korko ja vrheterm ε ~ N(, 2 ε ) o korrelomato satuasmuuttuja. Mall mukaa sjotusstrumet tuotto-odotus määräytyy kahde tekjä summaa. Vakoterm α o strumettkohtae rsktö yltuotto suhteessa markkaa ja kulmakerro β kuvaa strumet rskherkkyyttä markka tuottoje muutokslle. Mkäl α = ja β =, o strumet rsk yhtä suur ku markkadeks keskmäär ja tuotto-odotus myös samakaltae. Matala beeta kertoo alhasesta rskstä ja korkea beeta puolestaa markkota suuremmasta rskstä. (Elto & Gruber 99.) Yksttäse sjotusstrumet beeta el markkarskkerro vodaa estmoda käyttäe osakkee ja markkadeks välstä kovarassa,m ja markkadeks varassa 2 m : (2.2), m β = = ρ, m. 2 m m Yleesä estmotaessa sjotusstrumette tuotto-odotuksa CAP-malllla strumettkohtae rsktö yltuotto el α oletetaa ollaks. Tällö tuotto-odotuksee vakuttaa aoastaa strumettkohtae markkarskkerro, rsktö korko sekä markkadeks tuotto-odotus. Markkadeks tuotto-odotus tulee määrttää jollak muulla meetelmällä ee CAP-mall käyttöä. Ku tuotto-odotuksa estmodaa CAP-mall avulla, kakke strumette tuotto-odotukset o suhteutettu de markkarsk. Nä vodaa olettaa optmaalse sjotussalku hajauttava tehokkaamm rskä, sllä molemmat optmot vakuttavat parametrt, tuotto ja rsk, o suhteutettu tossa. Lsäks usede hstorallste tuottoestmaatte sjasta o rttävää estmoda aoastaa markkadeks ptkä akaväl tuotto-odotus sekä rsktö korko. CAP-malla vodaa estmoda sjotusstrumette tuotto-odotuksa melko hyv, mkäl sjotusstrumett korrelovat rttävä vomakkaast markka kassa. Beeta e pysty selttämää hekost markka kassa korrelova strumet käyttäytymstä, sllä hekko korrelaato peetää beetaa ja samalla myös koko CAP-mall seltysastetta. (Alexader 2.) 9
3 Black-Ltterma -mall Markowtz sjotussalku optmotmall o hyv herkkä lähtöparametre valalle. Ertysest vrheellsest estmodut hstorallset tuotto-odotukset vovat helpost johtaa tutvsest epämelekkäs sjotussalku allokaatoh. Tästä syystä Markowtz optmotmalla e ole kovkaa laajast käytetty salkuhodo apua. (Idzorek 22.) Fsher Black ja Robert Ltterma (99) julkasvat uude mall sjotussalku optmot. Black-Ltterma -mall käyttää Bayeslasta lähetymstapaa yhdstämää markkode tasapaotuotot sjottaja om markkaäkemyks. Mall lähtökohtaa o markkode tasapaotuottovektor, joka estmodaa käätesellä optmolla käyttäe markkadekse strumettpaoja sekä sjotusstrumette kovarassmatrsa. Tasapaotuottovektor vodaa lttää sjottaja oma äkemyksä tetyllä luottamustasolla kuvastava kompoett. Tällö tuotto-odotukset sytyvät tasapaotuottoje ja tasapaotuottoh vakuttave tety varmuustaso omaave markkaäkemyste paotetusta yhdstelmästä. (He & Ltterma 999.) 3. Tasapaotuottoje käätee optmot Black-Ltterma -mall lähtökohtaa ovat markkode tasapaotuotot. Markkode tasapaotuotot estmodaa käyttäe käätestä optmota. Käätesessä optmossa tuotto-odotukset ssältävä vektor Π lasketaa sjotusstrumetelle estmodu kovarassmatrs Σ ja markkapaoje w avulla: (3.) Π = δ Σ w, mssä δ o rskaversokerro, joka kuvastaa rahotusmarkkode keskmäärästä rsksetokykyä. Rskaversokerro o määrtelty rskttömä koro ylttävä tuoto ja varass suhteeks: r m r f (3.2) δ =. (Idzorek 22.) 2 m Käätee optmot tuottaa sjotusstrumetelle sellaset tasapaotuotot, että markkapaolla muodostettu salkku o optmaale sjotussalkku. Mkäl Markowtz sjotussalku optmo-
tmall asetetaa lähtöparametreks tasapaotuotot sekä tä vastaava kovarassmatrs, optmot ataa tulokseks markkapaoje mukase sjotussalku. (Idzorek 22.) Käätee optmot vaat CAP-mall tavo oletukse pääomamarkkode ylesestä ptkä akaväl tuotto-odotuksesta sekä rskttömästä korosta. Ertysest globaale osakemarkkode tuotto-odotukssta o tehty lukusa määrä akateemsa tutkmuksa, jotka atavat hyv erlasa estmaatteja osakkede ptkä akaväl odotetulle tuotolle. Ibbotso ja Che (23) ovat esttäeet osakemarkkode ptkä akaväl tuoto ylttävä 5,9 prosetlla rskttömä koro perustue osakkede fudametaaldataa sekä makrotaloudells tekjöh. Samassa tutkmuksessa estetää rskttömä koro ptkä akaväl keskarvo oleva 3,47 % ja osakemarkkode ptkä akaväl volatlteet oleva 9.67 %. Tässä erkostyössä o käytetty ätä oletuksa osakemarkkode rskaversokertome lasketaa, jollo kerro saa arvo δ =.525. Taulukkoo 3. o estmotu Dow Joes Stoxx -deks tomala odotettuja ptkä akaväl tuottoja er meetelmllä. Hstorallset tuotot ja kovarassmatrs o estmotu kuukausttasesta tuottodatasta akavälllä 3.2.986 3.4.24. Black-Ltterma -mall käätesessä optmossa o käytetty Dow Joes Stoxx -deks tomaloje markkapaoja 3.4.24 sekä edellä mattua rskaversokerrota. Markkadeksks CAP-mall o estmotu Dow Joes Stoxx - deks tuotto-odotus perustue se hstorallsee volatlteett ja edellä mattuu rskaversokertomee. Taulukko 3.: Tuotto-odotuste estmot Stoxx-deks tomalolle er meetelmllä Tomaloje markkapaot 3.4.24 Black-Ltterma: käätee optmot CAP-mall Hstorallset tuotot Raaka-aeet 4.8% 8.5% 8.6% 6.7% Syklset tuotteet.8% 8.43% 8.42% 2.98% Epäsyklset tuotteet 9.9% 6.76% 6.6% 9.8% Eerga.6% 7.2% 6.86% 9.% Rahotuspalvelut 28.4% 8.5% 8.32% 5.42% Terveydehuolto.% 6.96% 6.73% 2.86% Perusteollsuus 8.% 8.4% 8.39% 4.66% Tekologa 4.2%.28%.38% 4.77% Telekommukaato 8.5% 8.3% 8.36% 8.4% Vede- ja sähköjakelu 4.7% 6.45% 6.4% 7.65% Käätee optmot ja CAP-mall tuottavat hyv samakaltaset tuotto-odotukset tomaladekselle. Molempe malle tomvuutee vakuttaa suhteellse vomakkaat korrelaatot tomala-
dekse välllä. Tomaladekst ovat tsessää hyv hajautettuja, sllä e koostuvat usesta osakkesta. Tämä johdosta e korrelovat vomakkaast koko markkadeks kassa. Hstorallset tuotot pokkeavat merkttävä paljo musta tuottoestmaatesta. Hstoralls tuottoh vakuttaa aoastaa kaks htapstettä el tomaladekse hat 3.2.986 sekä 3.4.24. Taulukossa 3.2 o estetty Dow Joes Stoxx tomaladeksestä koostuvat optmaalset sjotussalkut er tuottoestmaatella. Sjotussalkut o optmotu käyttäe tomaladekse kuukaustuotosta akavälltä 3.2.986-3.4.24 estmotua kovarassmatrsa sekä taulukossa 3. estettyjä tuotto-odotuksa. Taulukko 3.2: Sjotussalku optmot er tuottoestmaatella Tomaloje markkapaot 3.4.24 Optmot Black-Ltterma - mall tuotolla Optmot CAP-mall tuotolla Optmot hstorallslla tuotolla Paot Paoero Paot Paoero Paot Paoero Raaka-aeet 4.79% 4.79%.% 2.93% -.87% 74.47% 69.67% Syklset tuotteet.85%.85%.% 4.75% 3.9% -94.7% -25.56% Epäsyklset tuotteet 9.89% 9.89%.% 2.65% 2.76% 63.95% 54.6% Eerga.58%.58%.% 8.7% -2.4% 36.68% 26.% Rahotuspalvelut 28.36% 28.36%.% 2.% -7.26% -5.37% -79.73% Terveydehuolto.3%.3%.% 4.8% -5.22% 66.8% 56.78% Perusteollsuus 8.6% 8.6%.% 3.8% 5.74% -32.8% -4.25% Tekologa 4.24% 4.24%.% 6.75% 2.5% 33.32% 29.9% Telekommukaato 8.47% 8.47%.% 9.8%.6% 42.95% 34.48% Vede- ja sähköjakelu 4.73% 4.73%.% 5.97%.23% 6.8% 55.35% Black-Ltterma -mallssa käätesellä optmolla estmodut tasapaotuotot johtavat optmossa määrtelmäsä mukasest markkapaoh. CAP-malllla estmodut tuotto-odotukset pokkeavat va hema tasapaotuotosta, mutta sjotussalku optmot johtaa hyv erlasee paojakaumaa. Mkäl sjotussalku optmossa käytetää hstorallsa tuottoestmaatteja, tuloksea o markkapaoh verrattua täys erlae sjotussalkku. Optmot ataa tulokseks myös egatvsa paoja el short-postota. Sjotussalku optmot o hyv herkkä ertysest tuotto-odotuste estmaatelle. Tästä syystä hstorallste tuottoestmaatte käyttö johtaa helpost tutvsest epämelekkäs sjotussalkkuh. Mkäl sjotussalku optmot kutek käytetää hstorallsa tuotto-odotuksa, optmottehtävää asetetaa use rajotukseks vaatmus paoje postvsuudesta. Tällö vältytää epämellyttävltä egatvslta strumettpaolta, mutta optmo tulos e välttämättä ole se 2
melekkäämp. Myös CAP-malllla estmodut tuotto-odotukset vovat johtaa epämelekkäs tuloks sjotussalku optmossa, mkäl strumett evät korrelo rttäväst markkadeks kassa. Se sjaa käätesellä optmolla estmodut tasapaotuotot johtavat aa markkadeks mukasee paojakaumaa. (He & Ltterma 999.) 3.2 Markkaäkemyste lsäys tasapaomall Black-Ltterma -mall vahvuutea o se, että se mahdollstaa sjottaje markkaäkemyste lsäämse markkolle estmotuh tasapaotuottoh. Tasapaotuotot johtavat aa markkadeks mukasee paojakaumaa, jota o käytetty tasapaotuottoje estmossa. Tasapaotuottoh vodaa Black-Ltterma -mallssa lsätä tety varmuustaso omaava markkaäkemyksä ste, että sjotussalku optmot johtaa edellee tutvsest melekkäs sjotusstrumette paojakaum. (Black & Ltterma 992.) Black-Ltterma -mall kulmotuu kokoasuudessaa tuotto-odotuste a posteror estmaatt tuottavaa yhtälöö: (3.3) E(r) = [( Σ) + P'Ω P] [( τσ) Π + P'Ω Q] τ, mssä E(r) o sjotusstrumette uus a posteror tuottovektor ( ), τ o paokerro tasapaotuottoje ja markkaäkemyste välselle suhteelle, Σ o hstorallssta tuotosta estmotu kovarassmatrs ( ), P o markkaäkemykset okelle strumetelle kuvaava matrs (m ), Ω o markkaäkemyste luottamustasot ssältävä dagoaalmatrs (m m), Π o käätesellä optmolla estmodut tasapaotuotot ssältävä vektor ( ) ja Q o markkaäkemykset ssältävä vektor (m ). (Black & Ltterma 992.) Black-Ltterma -mall sall sekä absoluuttste että relatvste markkaäkemyste lsäämse tuotto-odotuks. Mall vo sjottaa m kappaletta markkaäkemyksä, jotka kohdstetaa okelle strumetelle matrs P avulla ja markkaäkemyste suuruus lmastaa vektorssa Q. 3
Esmerkktapaukseks o valttu kolme Dow Joes Stoxx tomaladekselle täys satuasest muodostettua markkaäkemystä, josta esmmäe o absoluutte ja keks seuraavaa ovat relatvsa markkaäkemyksä:. Eergatomala tuottaa 6,8 % vuodessa luottamustasolla 3 %. 2. Tekologa tuottaa 2,5 % eemmä ku telekommukaato luottamustasolla 7 %. 3. Terveydehuolto ja syklset tuotteet tuottavat yhdessä % eemmä ku raaka-aeet, perusteollsuus ja epäsyklset tuotteet luottamustasolla 5 %. Tällö (3.4) 6.8% Q = 2.5% % ja P = 3 2 3 2 3, ku tomalat o järjestetty seuraava matrs mukasee järjestyksee: Raaka-aeet Syklset tuotteet Epäsyklset tuotteet Eerga Rahotuspalvelut Terveydehuolto Perusteollsuus Tekologa Telekommukaato Vede- ja sähköjakelu Markkaäkemyste epävarmuus lmastaa dagoaalmatrsssa Ω. Matrs dagoaallla o jokase markkaäkemykse luottamustaso LT käätesluku skaalattua kalbrottekjällä k. (3.5) k k LT 3% = k Ω = k LT 2 7%. k k LT 3 5% Idzorek (22) o määrttäyt kalbrottekjä k markkaäkemysmatrs P varass avulla. Markkaäkemysmatrs varass lasketaa matrstuloa kovarassmatrs kassa: PΣP. Lsäks hä olettaa markkaäkemyste oudattava keskmäär ormaaljakaumaa, joka kes- 4
karvo o 5 % ja keskhajota 6,33 %. Tällö kalbrottekjä k o markkaäkemysmatrs ja keskmääräse markkaäkemykse tulo: (3.6) k =.5 PΣP. Paokerro τ määrttää yhdessä keskmääräste luottamustasoje kassa markkaäkemyste vakutukse suuruude Black-Ltterma -malllla estmotuh tuottoh. Mtä suuremp o markkaäkemyste luottamustaso, stä eemmä markkaäkemykset vakuttavat a posteror tuottoestmaatteh. Mkäl sjottaja markkaäkemykset ovat erttä epävarmoja, malllla estmodut tuotot ovat lähellä tasapaotuottoja. Paokerro τ vakuttaa käätesest tasapaotuottoje merktsevyytee. Mtä peemp o paokerro τ, stä eemmä markkadeks tasapaotuotot vakuttavat a posteror tuottoestmaatteh. (Idzorek 22.) Paokertome τ suuruudesta o estetty er tutkmuksssa moelasa äkemyksä. Idzorek (22) o määrttäyt paokertome luottamustasoje keskarvo ja markkaäkemysmatrs varass suhteea: (3.7) m k m = LT τ =. PΣP' Tällö paokerro τ o suoraa verraolle luottamustasoje kalbrottekjää k. Mkäl keskmääräe luottamustaso ols 5 prosetta, paokertome τ arvoks tuls tällä meetelmällä tasa yks. Idzorek (22) o johtaut kalbrottekjä k olettae paokertome arvoks τ =, jollo kalbrottekjä k saa keskmääräselle markkaäkemykse luottamustasolle (5 %) kaava 3.6 mukase arvo. Taulukoo 3.3 o estmotu tuotto-odotuksa Black-Ltterma -malllla edellä mattuje äkemyste mukasest. Black-Ltterma -malla vodaa kalbroda joko muuttamalla kalbrottekjää k ta paokerrota τ. Malla o kalbrotu atamalla paokertomelle τ er arvoja ja tarkastelemalla aettuje markkaäkemyste toteutumsta estmodussa tuotto-odotuksssa. 5
Taulukko 3.3: Black-Ltterma -malllla estmotuja tuottoestmaatteja Tasapaotuotot τ = τ =.5 τ = τ = 2 τ = 5 τ = Markkaäkemykse tavote Markkaäkemys 7.2% 6.97% 6.93% 6.88% 6.82% 6.8% 6.8% Markkaäkemys 2.97% 2.2% 2.3% 2.38% 2.45% 2.47% 2.5% Markkaäkemys 3.39%.46%.5%.59%.7%.%.% Raaka-aeet 8.5% 8.2% 8.2% 8.22% 8.24% 8.26% Syklset tuotteet 8.43% 8.53% 8.58% 8.65% 8.76% 8.86% Epäsyklset tuotteet 6.76% 6.78% 6.78% 6.8% 6.85% 6.9% Eerga 7.2% 6.97% 6.93% 6.88% 6.82% 6.8% Rahotuspalvelut 8.5% 8.58% 8.62% 8.66% 8.75% 8.82% Terveydehuolto 6.96% 7.2% 7.6% 7.2% 7.27% 7.39% Perusteollsuus 8.4% 8.48% 8.5% 8.55% 8.62% 8.69% Tekologa.28%.54%.67%.8%.%.7% Telekommukaato 8.3% 8.34% 8.37% 8.43% 8.57% 8.7% Vede- ja sähköjakelu 6.45% 6.47% 6.48% 6.5% 6.55% 6.6% Mkäl paokerro τ lähestyy ollaa, Black-Ltterma mall palauttaa tuottoestmaateks käätesellä optmolla ratkastut tasapaotuotot. Ku paokerrota kasvatetaa, markkaäkemys alkaa vakuttaa tuottoestmaatteh eemmä. Koska markkaäkemyks lttyy epävarmuutta, e saavuttavat tavotetasosa vasta, ku paokerro τ ostetaa huomattava suureks. Markkaäkemyste lsääme vakuttaa myös de tomaloje tuottoestmaatteh, jolle e ole muodostettu markkaäkemyksä. Taulukossa 3.4 o estetty optmodut sjotussalkut käyttäe Black-Ltterma -malla. Sjotussalku optmot o käytetty taulukossa 3.3 estettyjä tuottoestmaatteja paokertome τ er arvolla sekä aemm mattua hstoradatasta estmotua kovarassmatrsa. Taulukossa 3.4 o estetty myös optmotuje sjotussalkkuje rsklukua volatlteett sekä aktvrsk. Aktvrsk o estmotu käyttäe kovarassmatrsa ja sjotussalku paoeroja suhteessa markkapaoh. 6
Taulukko 3.4: Sjotussalku optmot Black-Ltterma -mall tuottoestmaatella Tomaloje markkapaot 3.4.24 Optmot paokertomella τ =.5 Optmot paokertomella τ = Optmot paokertomella τ = 2 Optmot paokertomella τ = 5 Paot Paoero Paot Paoero Paot Paoero Paot Paoero Raaka-aeet 4.79% 3.4% -.65%.75% -3.4% -.4% -5.2% -4.22% -9.% Syklset tuotteet.85% 3.49% 2.64% 5.63% 4.78% 8.9% 8.5% 24.58% 3.73% Epäsyklset tuotteet 9.89% 8.3% -.59% 6.99% -2.9% 4.89% -5.%.93% -8.96% Eerga.58% 8.% -2.56% 6.9% -4.39% 3.8% -6.78%.52% -.6% Rahotuspalvelut 28.36% 28.64%.28% 28.82%.46% 28.95%.59% 28.67%.3% Terveydehuolto.3% 2.66% 2.63% 4.77% 4.74% 8.% 7.98% 23.76% 3.73% Perusteollsuus 8.6% 8.5%.8% 8.22%.6% 8.27%.2% 8.4%.8% Tekologa 4.24% 8.5% 3.92% 9.66% 5.42%.82% 6.58%.42% 7.9% Telekommukaato 8.47% 4.67% -3.8% 3.23% -5.24% 2.9% -6.38%.44% -7.3% Vede- ja sähköjakelu 4.73% 4.78%.5% 4.74%.% 4.69% -.4% 4.75%.2% Sjotussalku volatlteett & aktvrsk 7.3% 7.56%.99% 7.78%.5% 8.3% 2.% 8.33% 2.93% Markkaäkemyste lsääme tuottoestmaatteh vakuttaa odotetulla tavalla optmaals sjotussalkkuh. Postvset markkaäkemykset kasvattavat tomaloje paotusta ja egatvset vastaavast vähetävät tomaloje paotusta. Rahotuspalvelulle sekä vede- ja sähköjakelulle e estetty mtää markkaäkemyksä, jote de paot sälyvät suhteellse muuttumattoma. Paokertome τ kasvattame lsää odotetust paoeroja suhteessa markkapaoh. Samalla kasvaa myös sjotussalku aktvrsk, joka e kutekaa saa ertyse suura arvoja, vakka paokerro kasvatetaa suhteellse suureks. Sjotussalku optmot vo johtaa egatvs paoh, mkäl paokerrota kasvatetaa laks. Slt salku koostumus sälyy tutvsest melekkäää suhteellse suurllak paokertome arvolla. Paokertome τ valtaa vo vakuttaa tavotteea oleva aktvrsk taso. Paokertome kalbrot la korkealle tasolle e ole kutekaa melekästä, sllä aktvrsk ousee markkaäkemyste luottamustaso kasvaessa. Tällö epävarmat markkaäkemykset johtavat Black- Ltterma -mallssa automaattsest peempää aktvrsk ku luottamustasoltaa korkeat markkaäkemykset. Mkäl paokerro τ lasketaa Idzorek (22) esttämällä kaavalla 3.7, se saa esmerkktapauksea olevssa markkaäkemyksssä arvo,3. Tällö sjotussalku optmot tuottaa hyv samakaltase sjotussalku jakauma ku paokertome arvolla τ =. 7
4 Johtopäätöksä Harry Markowtz kehttämä sjotussalku optmotmall o teoreettsest tomva mall sjotussalku optmolle. Meetelmää e kutekaa ole käytäössä koettu tomvaks, sllä optmot johtaa helpost tutvsest epämelekkäs sjotussalku jakaum. Sjotussalku optmot o hyv herkkä lähtöparametre estmaatelle. Sjotusstrumette volatlteetesta ja korrelaatosta koostuva kovarassmatrs ptkä akaväl estmaatt vodaa suhteellse luotettavast estmoda rttävä ptkästä hstoradatasta. Se sjaa hstorallset tuottoestmaatt atavat erttä epäluotettava arvoja tuotto-odotukslle, sllä tuottoestmaatt muodostuvat va kahde pstee välsstä tuotosta. Melekkäämpä tuottoestmaatteja vodaa tuottaa mm. CAP-malllla. Sä sjotusstrumette tuotto-odotukset estmodaa suhteuttamalla e markkarskkertome el beeta avulla markkadeks tuotto-odotuksee. Koska CAP-mallssa tuotto-odotukset o suhteutettu de markkarsk, e johtavat sjotussalku optmossa tutvsest melekkäämpää sjotussalku paojakaumaa. Black-Ltterma -mallssa yhdstetää markkode tasapaotuotot ja sjottaja omat markaäkemykset. Tulokseks sytyy tuottoestmaatteja, jotka johtavat optmossa markkadeks kaltasee sjotussalku paojakaumaa, joho kutek vakuttaa markkaäkemykset aetulla luottamustasolla. Black-Ltterma -mall lähtökohtaa ovat markkode tasapaotuotot, jotka ratkastaa käätesellä optmolla. Markkode tasapaotuotot johtavat sjotussalku optmossa markkadeks mukasee paojakaumaa. Black-Ltterma -mall vahvuus o se, että se mahdollstaa er luottamustaso omaave markkaäkemyste lsäämse markkode tasapaotuottoh. Markkaäkemykset vakuttavat malllla luotuh a posteror tuottoestmaatteh de luottamustasosa mukasest. Varmemp markkaäkemys vakuttaa epävarmaa äkemystä eemmä tuottoestmaatteh. Black-Ltterma -mall kalbrolla vodaa vakuttaa markkode tasapaotuottoje ja markkaäkemyste välsee suhteesee a posteror tuottoestmaatessa. Mkäl tasapaotuotolle aetaa eemmä paoa, sjotussalku optmot johtaa lähelle markkadeks paojakaumaa. Ku markkaäkemyste paoa lsätää, optmaale sjotussalkku pokkeaa yhä eemmä markkadeksstä kasvattae sjotussalku aktvrskä. Mall kalbrot vakuttaa tavoteltava aktvrsk. Aktvrsk kutek ousee markkaäkemyste varmuustaso kasvaessa, jote 8
epävarmat markkaäkemykset johtavat automaattsest peempää aktvrsk el peemp pokkeam markkadeks paosta. 9
Lähdeluettelo Alexader, C., 2. Market models: a gude to facal data aalyss. Joh Wley & Sos Ltd. Black, F. ja R. Ltterma, 99. Asset Allocato: Combg Ivestor Vews Wth Market Equlbrum. Goldma, Sachs & Co. Black, F. ja R. Ltterma, 992. Global Portfolo Optmzato. Facal Aalysts Joural 48(5), 28-43. Elto, E. J., ja M. Gruber, 99. Moder portfolo theory ad vestmet aalyss, 4 th edto. Joh Wley & Sos Ltd. He, G. ja R. Ltterma, 999. The Ituto Behd the Black-Ltterma Model Portfolos. Goldma Sachs & Co. http://faculty.fuqua.duke.edu/~charvey/teachg/ba453_24/gs_the_tuto_behd.pdf Ibbotso, R. G. ja P. Che, 23. Log-Ru Stock Returs: Partcpatg the Real Ecoomy. Facal Aalysts Joural 59(), 88-98. Idzorek, T., 22. A Step-by-Step Gude to the Black-Ltterma Model. Workg paper. http://faculty.fuqua.duke.edu/~charvey/teachg/ba453_22/how_to_do_black_ltterma.doc Jaur, O., 997. Rskehallta uudesta äkökulmasta. Kauppakaar Oy, Helsk. Johso, R. A. ja D. W. Wcher, 22. Appled multvarate statstcal aalyss, 5 th edto. Pretce Hall, New York. Lueberger, D. G., 998. Ivestmet scece. Oxford Uversty Press, New York. Markowtz, H. M., 952. Portfolo Selecto. Joural of Face 7(), 77-9. Pdyck, R. S. ja D. L. Rubfeld, 997. Ecoometrc models ad ecoomc forecasts, 4 th edto. McGraw-Hll, Sgapore. Sharpe, W.F., 966. Evaluatg Mutual Fud Performace. Joural of Busess 39, 9-38. 2