Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
|
|
|
- Pekka Kokkonen
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka Mell (2004) 2 Kokoastodeäkösyys ja : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa kahta hyödyllstä todeäkösyyslaskea a, kokoastodeäkösyyde a ja Bayes a. Molemmlle kaavolle estetää todstus, mutta lsäks kaavoja motvodaa sovellusesmerkke avulla. yhteydessä määrtellää s. Bayeslasessa tlastoteteessä keskeset pror-todeäkösyyde ja posterortodeäkösyyde kästteet. ekä kokoastodeäkösyyde lle että lle estetää myös systeemteoreettset tulkat. Kokoastodeäkösyys ja : Estedot Estedot: ks. seuraava lukuja: Todeäkösyyslaskea peruskästteet Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt TKK (c) Ilkka Mell (2004) 3 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 4 Kokoastodeäkösyys ja >> Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Kokoastodeäkösyys ja : Johdato vasaat Ehdolle todeäkösyys Idusotu ostus Kokoastodeäkösyyde Laaduvalvota Ostus Tosesa possulkevat tapahtumat Tulosäätö Yhteelaskusäätö TKK (c) Ilkka Mell (2004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 6
2 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 7 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta /0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 2/0 Ruuvtehtaalla o kaks koetta ja B, jolla tehdää samalasa ruuveja. - ja B-koee valmstamat ruuvt sekotetaa ja pakataa laatkoh. Koska -koe tom htaamm, laatkoh tulee - ja B-koede valmstama ruuveja suhteessa 3:5. Osa kummak koee valmstamsta ruuvesta o vallsa: () 5 % -koee valmstamsta ruuvesta o vallsa. () 8 % B-koee valmstamsta ruuvesta o vallsa. Valtaa satuasest laatkolle ruuveja tutkttavaks. Pomtaa valtusta laatkosta satuasest ruuv tutkttavaks. Kysymyksä: () Mkä o todeäkösyys, että pomttu ruuv o valle? () Mkä o todeäkösyys, että ruuv o valmstaut -koe, jos ruuv osottautuu vallseks? () Mkä o todeäkösyys, että ruuv o valmstaut B-koe, jos ruuv osottautuu vallseks? TKK (c) Ilkka Mell (2004) 8 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 3/0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 4/0 Merktöjä: Otosavaruus muodostuu laatkollsesta ruuveja Tapahtuma Ruuv o valmstaut -koe Tapahtuma B Ruuv o valmstaut B-koe Tapahtuma V Ruuv o valle euraavat todeäkösyydet tuetaa: Pr() 3/8 Pr(V ) 0.05 Pr(B) 5/8 Pr(V B) 0.08 euraava todeäkösyyksä kysytää: Pr(V) Pr( V) Pr(B V) Tapahtumat ja B muodostavat otosavaruude ostukse: () ja B ovat epätyhjä: ja B () ja B ovat psteverata: B () Joukkoje ja B yhdsteeä saadaa perusjoukko : B TKK (c) Ilkka Mell (2004) 9 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 5/0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 6/0 Ostus B duso ostukse tapahtumaa V, mllä tarkotetaa seuraavaa: () Jos V o epätyhjä el V, aak toe joukosta V ja V B o epätyhjä: V ta V B () V ja V B ovat psteverata: (V ) (V B) koska B () Joukkoje V ja V B yhdsteeä saadaa joukko V: V (V ) (V B) V V B B V TKK (c) Ilkka Mell (2004) TKK (c) Ilkka Mell (2004) 2
3 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 3 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 7/0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 8/0 Tosesa possulkeve tapahtume yhteelaskusääö mukaa: Pr(V) Pr(V ) + Pr(V B) () Ylese tulosääö mukaa: Pr(V ) Pr()Pr(V ) (2) Pr(V B) Pr(B)Pr(V B) (3) jottamalla lausekkeet (2) ja (3) a () saadaa todeäkösyydeks, että satuasest pomttu ruuv o valle: Pr(V) Pr()Pr(V ) + Pr(B)Pr(V B) (3/8) (5/8) % Todeäkösyyde Pr(V) lauseketta saotaa kokoastodeäkösyyde ks. Ehdollse todeäkösyyde määrtelmä perusteella Pr( V) Pr(V )/Pr(V) (4) Pr(B V) Pr(V B)/Pr(V) (5) Ylese tulosääö mukaa Pr(V ) Pr(V )Pr() (6) Pr(V B) Pr(V B)Pr(B) (7) Edellä o todettu, että Pr(V) Pr()Pr(V ) + Pr(B)Pr(V B) (8) TKK (c) Ilkka Mell (2004) 4 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 9/0 Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Esmerkk laaduvalvoasta 0/0 jottamalla lausekkeet (6) ja (8) a (4) saadaa ehdollseks todeäkösyydeks Pr( V): Pr( V ) Pr( V) Pr( V ) Pr( )Pr( V ) Pr( )Pr( V ) + Pr( B)Pr( V B) Ehdollse todeäkösyyde Pr( V) lauseketta saotaa Bayes ks. jottamalla lausekkeet (7) ja (8) a (5) saadaa ehdollseks todeäkösyydeks Pr(B V): Pr( V B) Pr( BV) Pr( V ) Pr( B)Pr( V B) Pr( )Pr( V ) + Pr( B)Pr( V B) Ehdollse todeäkösyyde Pr(B V) lauseketta saotaa Bayes ks. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 6 Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato >> Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta vasaat Idusotu ostus Kokoastodeäkösyyde Ostus Rppumattomuus Tosesa possulkevat tapahtumat Tulosäätö Yhteelaskusäätö TKK (c) Ilkka Mell (2004) 7 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 8
4 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 9 Otosavaruude ostus Otosavaruude epätyhjät osajoukot B, B 2,, B muodostavat otosavaruude ostukse tosesa possulkev tapahtum, jos () B,, 2,, () B B j, j () B B 2 B B B 2 B 5 Otosavaruude ostus: Kommetteja Otosavaruude ostus B, B 2,, B muodostaa avaruude alkode luokkajao, koska: () Joukot B, B 2,, B ovat epätyhjä. () Joukot B, B 2,, B ovat paretta psteverata. () B Jos tapahtumat B, B 2,, B muodostavat otosavaruude ostukse, täsmällee yks tapahtumsta B, B 2,, B sattuu aa, ku se satuaslmö, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus kuvaa, estyy. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 20 Otosavaruude ostukse dusoma ostus : Määrtelmä /2 Olkoo, otosavaruude osajoukko. Olkoo B, B 2,, B otosavaruude ostus. Ostus B, B 2,, B duso ostukse joukkoo : ( B ) ( B j ), j ja ( B ) ( B 2 ) ( B ) B B 2 B 2 B 3 B 4 Olkoo otosavaruude osajoukko. Olkoo B, B 2,, B otosavaruude ostus. Olkoo ( B ), ( B 2 ),,( B ) ostukse B, B 2,, B dusoma ostus joukkoo. Yhteelaskusääö perusteella Pr( ) Pr( B ) () B B 2 B 2 B 3 B 4 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 2 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 22 : Määrtelmä 2/2 : Kommetteja Ylese tulosääö perusteella Pr( B) Pr( B)Pr( B), 2,, jottamalla ämä lausekkeet a (), saadaa kokoastodeäkösyyde Pr( ) Pr( B) Pr( B) B B 2 B 2 B 3 B 4 lmasee otosavaruude osajouko todeäkösyyde Pr() otosavaruude ostukse B, B 2,, B määrääme todeäkösyykse Pr(B ) ja ehdollste todeäkösyykse Pr( B ) avulla. o käyttökelpoe sellasssa tlatessa, jossa todeäkösyydet Pr(B ) ja ehdollset todeäkösyydet Pr( B ) ovat tuettuja. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 23 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 24
5 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 25 Rppumattomuus ja kokoastodeäkösyyde Jos tapahtuma o rppumato jokasesta tapahtumasta B, B 2,, B, kokoastodeäkösyyde sta e ole hyötyä tapahtuma todeäkösyyttä määrättäessä. Rppumattomuus ja kokoastodeäkösyyde : Perustelu Jos B,, 2,, Pr( B ) Pr( ) Pr( B ),,2,, Tällö koska Pr( ) Pr( B ) Pr( ) Pr( B ) B Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( B ) TKK (c) Ilkka Mell (2004) 26 Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato >> Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta vasaat Ehdolle todeäkösyys Idusotu ostus Kokoastodeäkösyyde Käätestodeäkösyys Ostus Posteror-todeäkösyys Pror-todeäkösyys Rppumattomuus TKK (c) Ilkka Mell (2004) 27 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 28 : Määrtelmä /2 : Määrtelmä 2/2 Olkoo, otosavaruude osajoukko. Olkoo B, B 2,, B otosavaruude ostus. Ehdollse todeäkösyyde määrtelmä mukaa Pr( B ) Pr( B ) Pr( ) Pr( B) Pr( B) Pr( ) B B 2 B 2 B 3 B 4 oveltamalla mttäjää kokoastodeäkösyyde a saadaa Bayes : Pr( B)Pr( B) Pr( B ) Pr( B)Pr( B) B B 2 B 2 B 3 B 4 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 29 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 30
6 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 3 : Kommetteja /3 todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa tavallsest pror-todeäkösyydeks. pror (lat.), edeltävä, akasemp Todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa prortodeäkösyydeks, koska se kuvaa eakkokästystä tapahtuma B todeäkösyydestä, ee ku o saatu tetää, että tapahtuma o sattuut. : Kommetteja 2/3 todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa tavallsest posteror-todeäkösyyksks. posteror (lat.), jälkee tuleva, myöhemp Todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa posterortodeäkösyydeks, koska se kuvaa stä mte eakkokästystä tapahtuma B todeäkösyydestä kaattaa muuttaa se jälkee, ku o saatu tetää, että tapahtuma o sattuut. Posteror-todeäkösyyttä Pr(B ) kutsutaa use käätestodeäkösyydeks, koska se o käätee tuettuu todeäkösyytee Pr( B ) ähde. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 32 : Kommetteja 3/3 kertoo mte eakkokästystä tapahtuma B todeäkösyydestä o järkevää korjata se jälkee, ku tapahtuma o havattu. kertoo mte tetoa tapahtuma sattumsesta vodaa käyttää hyväks tapahtuma B todeäkösyyde arvossa. o käyttökelpoe sellasssa tlatessa, jossa todeäkösyydet Pr(B ) ja ehdollset todeäkösyydet Pr( B ) ovat tuettuja. Rppumattomuus ja Jos tapahtuma o rppumato jokasesta tapahtumasta B, B 2,, B, teto tapahtuma sattumsesta e muuta pror-todeäkösyyksä Pr(B ): Jos B, B 2,, B, Pr( B ) Pr( B ),,2,, TKK (c) Ilkka Mell (2004) 33 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 34 Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato >> Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta vasaat lkutla Ehdolle todeäkösyys Kokoastodeäkösyyde Lopputla Posteror-todeäkösyys Pror-todeäkösyys ysteem Verkkodagramm Vältla TKK (c) Ilkka Mell (2004) 35 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 36
7 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 37 Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta ysteemteoreette tulkta kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavolle /4 Oletetaa, että systeemssä o alkutla L, vältlat B, B 2,, B ja yks se lopputlosta o. Oletetaa, että alkutlasta L vodaa päästä lopputlaa va käymällä jossak vältlosta B, B 2,, B. Olkoot Pr(B ) Pr(Käydää vältlassa B ) Pr( B ) Pr(Vältlasta B päästää lopputlaa ) Pr() Pr(Päästää lopputlaa ) Pr(B ) Pr(Lopputlaa tullaa vältla B kautta) Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta ysteemteoreette tulkta kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavolle 2/4 ysteemä vodaa havaollstaa seuraavalla verkkodagrammlla: L Pr(B ) Pr(B ) Pr(B ) B B B Pr( B ) Pr( B ) Pr( B ) TKK (c) Ilkka Mell (2004) 38 Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta ysteemteoreette tulkta kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavolle 3/4 mukaa Pr( ) Pr( B ) Pr( B)Pr( B) Pr() o todeäkösyys slle, että päästää lopputlaa. mukaa todeäkösyys Pr() saadaa laskemalla yhtee alkutlasta L lopputlaa vältloje B,, 2,, kautta kulkeve rette todeäkösyydet Pr( B ) Pr(B )Pr( B ) Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta ysteemteoreette tulkta kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavolle 4/4 mukaa Pr( B) Pr( B) Pr( B ) Pr( ) Pr( B) Pr( ) B B Pr( B)Pr( B ) Pr( B)Pr( B) Pr( )Pr( ) Pr(B ) o ss ehdolle todeäkösyys slle, että o käyty vältlassa B, ku ehtotapahtumaa o se, että o päästy lopputlaa. TKK (c) Ilkka Mell (2004) 39 TKK (c) Ilkka Mell (2004) 40
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys
Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
B. Siten A B, jos ja vain jos x A x
Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,
Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt
Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat
Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
A = B. jos ja vain jos. x A x B
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,
Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys
Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Raja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet
10.5 Jaksolliset suoritukset
4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e
Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,
Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen
Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,
AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU
B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat
Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot
T (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan T (c) Ilkka Mellin (2004) 2 : Mitä oimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa,
Testit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten
Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt. Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskennan
(x, y) 2. heiton tulos y
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen
= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Tapahtumat Peruslaskusäännöt todennäköisyydelle Ehdollinen todennäköisyys
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden
Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien
Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa
Testit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
Horsmakuja 2a ja 2b KIINTEISTÖ OY VANTAAN HORSMAKUJA 2. 01300 Vantaa. Asunto A1 1. krs. H+TupaK+S 45,5 m². Arkkitehtitoimisto Ulpu Tiuri Oy 20.2.
Kuiv. Kuiv. KIINTEISTÖ OY VNTN ORSMKUJ 2 orsmakuja 2a ja 2b sunto 1 1. krs TVIKKITIE +TupaK+S, m² ORSMKUJ PRV. P PK TupaK rkkitehtitoimisto Ulpu Tiuri Oy Kuiv. KIINTEISTÖ OY VNTN ORSMKUJ 2 orsmakuja 2a
Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Todennäköisyyslaskennan kertausta
Todeäkösyyslaskea kertausta Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Joukko-opp Alko, Erotus, Joukko, Komplemett, Lekkaus, Perusjoukko, Psteveraus, Tyhjä joukko, Uo, Yhdste. Todeäkösyys ja se määrtteleme Alkestapahtuma,
Harjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12
Pallollse puolustae: Sokea ja ta käspallo/ Lppupallo Tavote: aalteo estäe sjottue puolustavalle puolelle, potku ta heto estäe, syöttäse estäe rstäe taklaus, pae tla vottase estäe sjottue puolustavalle
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
Lyhyt kuvaus harjoitukse sta. Kommentit harjoitukse n toimivuude sta
Tui yleistavoite:tutustumie toisii (oppilas-opetta), oppilaide tasoo. Kokeilemie eri tassiliikeita. Ee tutia oppilailla oli veryttely, lihasvoima, veyttely tuti. Harjoituks e tavoite Lyhyt kuvaus sta Kommetit
2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut
2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut
1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
Jaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Tilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,
D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
![D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]](/thumbs/55/37411593.jpg "D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]")
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti