Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Transkriptio

1 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor, Frekvess, Frekvesstulkta, Harhato estmaattor, Keskee raja-arvolause, Keskhajota, χ -jakauma, Logartme uskottavuusfukto, Luottamuskerro, Luottamustaso, Luottamusväl, Maksmot, Momett, Momettestmaattor, Momettmeetelmä, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otoskoko, Otosvarass, Rppumattomuus, Stadardotu ormaaljakauma, Suhteelle frekvess, Suhteelle osuus, Suurmma uskottavuude estmaattor, Suurmma uskottavuude meetelmä, t-jakauma, Todeäkösyys, Uskottavuusfukto, Varass, Ykskertae satuasotos Estmot Satuasotos Olkoo, =,,, satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;θ) rppuu parametrsta θ. Tällö havaot, =,,, ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;θ):,,, f( x; θ ), =,,, Estmaattor ja estmaatt Oletetaa, että todeäkösyysjakauma f(x;θ) parametr θ o tutemato ja se estmomsee käytetää havatoje, =,,, fuktota el (otos-) tuuslukua T = g(,,, ) Tällö fuktota T = g(,,, ) kutsutaa parametr θ estmaattorks ja fukto g havatoarvosta laskettua arvoa x, x,, x t = g( x, x,, x ) kutsutaa parametr θ estmaatks. Otosjakauma Oletetaa, että havaot, =,,, muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta f(x;θ) ja olkoo Ilkka Mell (008) /4

2 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B T = g(,,, ) jok parametr θ estmaattor. Koska estmaattor T o satuasmuuttuja, sllä o todeäkösyysjakauma, jota kutsutaa estmaattor T otosjakaumaks. Estmaattor T otosjakauma muodostaa tlastollse mall el todeäkösyysmall estmaattor T arvoje satuaselle vahtelulle otoksesta tosee. Harhattomuus Estmaattora T saotaa parametr θ harhattomaks estmaattorks, jos E(T) = θ Tehokkuus Estmaattor T o tehokkaamp ku estmaattor T, jos Var(T ) < Var(T ) Täystehokkuus (mmvarasssuus) Estmaattor T saotaa täystehokkaaks, jos se varass Var(T) o peemp ku mkä tahasa muu estmaattor. Estmotmeetelmät Suurmma uskottavuude meetelmä Ykskertae satuasotos Olkoo, =,,, satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;θ) rppuu parametrsta θ. Tällö havaot, =,,, ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;θ):,,, f( x; θ ), =,,, Uskottavuusfukto Koska havaot, =,,, muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta f(x;θ), otokse yhtesjakauma theysfukto o f( x, x,, x ; θ ) = f( x; θ) f( x ; θ) f( x ; θ) jossa f ( x; θ ), =,,, o yksttäsee havatoo lttyvä pstetodeäkösyys- ta theysfukto. Otokse, =,,, uskottavuusfukto L( θ; x, x,, x ) = f( x, x,, x ; θ ) Ilkka Mell (008) /4

3 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B o havatoje, =,,, yhtesjakauma pstetodeäkösyys- ta theysfukto f arvo psteessä x, x,, x tulkttua parametr θ arvoje fuktoks. Uskottavuusfukto L ssältää kake formaato otoksesta. Suurmma uskottavuude estmaattor Olkoo t = g x x x (,,, ) parametr θ arvo, joka maksmo otokse, =,,, uskottavuusfukto L( θ ; x, x,, x ) parametr θ suhtee. Huomaa, että uskottavuusfukto L maksm atava parametr θ arvo t o havatoarvoje (muuttuje) x, x,, x fukto. Sjottamalla uskottavuusfukto L maksm parametr θ suhtee atavassa lausekkeessa t = t( x, x,, x ) muuttuje x, x,, x pakalle havaot (satuasmuuttujat),,, saadaa parametr θ suurmma uskottavuude estmaattor el SU-estmaattor ˆ θ = g(,,, ) Parametr θ suurmma uskottavuude estmaattor ˆ θ tuottaa parametrlle θ arvo, joka maksmo pomtu otokse el saatuje havatoarvoje uskottavuude (todeäkösyyde). Ste parametr θ suurmma uskottavuude estmaattor ˆ θ otoskohtae arvo maksmo todeäkösyyde saada juur se otos, joka o saatu. Suurmma uskottavuude estmaattor määrääme Parametr θ suurmma uskottavuude estmaattor määrätää maksmomalla uskottavuusfukto L( θ ; x, x,, x ) parametr θ suhtee. Kakssa sääöllsssä tapauksssa maksm löydetää merktsemällä uskottavuusfukto L(θ) dervaatta L (θ) ollaks ja ratkasemalla θ saadusta ormaalyhtälöstä L (θ) = 0 Logartme uskottavuusfukto Uskottavuusfukto maksm kaattaa tavallsest etsä maksmomalla uskottavuusfukto sjasta logartmsta uskottavuusfuktota (uskottavuusfukto logartma) Ilkka Mell (008) 3/4

4 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B l( θ; x, x,, x ) = log L( θ; x, x,, x ) Koska havaot,,, o oletettu tässä rppumattomks, logartme uskottavuusfukto vodaa krjottaa seuraavaa muotoo: l( θ ) = log L( θ ) = log ( f( x; θ) f( x ; θ) f( x ; θ) ) = log f( x; θ ) + log f( x ; θ) + + log f( x ; θ) = l( θ ; x) + l( θ ; x) + + l( θ ; x ) jossa l(θ ; x ) = log f(x ; θ), =,,, o yhtee havatoarvoo x lttyvä logartme uskottavuusfukto. Jos parametr θ SU-estmaattor ˆ θ e täytä hyvä estmaattor krteeretä äärellsllä havatoje lukumäärllä, SU-estmaattor ˆ θ käyttöä parametr θ estmaattora vodaa perustella SUestmaattor ylesllä asymptoottslla omasuukslla: Hyv yles ehdo pätee: () SU-estmaattor ˆ θ o tarketuva el Pr( ˆ θ θ) =, ku + () SU-estmaattor ˆ θ o asymptoottsest ormaale. Normaaljakauma parametre suurmma uskottavuude estmaattort Satuasmuuttuja oudattaa ormaaljakaumaa, jos se theysfukto o muotoa x µ f( x; µσ, ) = exp, < µ <+, σ> 0 σ π σ Normaaljakauma parametrea ovat jakauma odotusarvo E( ) = µ ja varass Var( ) = D ( ) = σ Normaaljakauma N(µ,σ ) odotusarvo µ ja varass σ SU-estmaattort ovat havatoje,,, artmeette keskarvo ja otosvarass = = ˆ σ ( ) = = Ilkka Mell (008) 4/4

5 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Normaaljakauma N(µ,σ ) odotusarvo µ SU-estmaattorlla o seuraavat omasuudet: () () () (v) (v) o harhato. ja ˆ σ ovat yhdessä tyhjetävä parametrelle µ ja σ. o tehokas el mmvarasse estmaattor. o tarketuva. oudattaa ormaaljakaumaa: σ N µ, Normaaljakauma N(µ,σ ) varass σ SU-estmaattorlla ˆ σ o seuraavat omasuudet: () () () (v) (v) ˆ σ o harhae, mutta estmaattor s = ( ) ˆ = σ = o harhato. ja ˆ σ ovat yhdessä tyhjetävä parametrelle µ ja σ. ˆ σ e ole tehokas el mmvarasse estmaattor. ˆ σ o tarketuva. ( ) s /σ oudattaa χ -jakaumaa: ( ) s σ χ ( ) Ekspoettjakauma parametr suurmma uskottavuude estmaattor Satuasmuuttuja oudattaa ekspoettjakaumaa Exp(λ), jos se theysfukto o λx f( x) = λe, x 0, λ > 0 Ekspoettjakauma aoaa parametra o λ = E( ) Ekspoettjakauma Exp(λ) parametr λ SU-estmaattor o ˆ λ = jossa = = o havatoje,,, artmeette keskarvo. Ilkka Mell (008) 5/4

6 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Beroull-jakauma odotusarvoparametr suurmma uskottavuude estmaattor Olkoo A tapahtuma, joka todeäkösyys o p: Pr(A) = p Määrtellää satuasmuuttuja seuraavast:, jos A tapahtuu = 0, jos A e tapahdu Satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametrlla p: Ber( p) jossa Pr(A) = p = E() Beroull-jakauma Ber(p) odotusarvoparametr p SU-estmaattor o havatoje,,, artmeette keskarvo = = Huomaa, että f = jossa f o kostukse kohteea oleva tapahtuma A suhteelle frekvess otoksessa. Beroull-jakauma Ber(p) odotusarvoparametr p SU-estmaattorlla ˆp o seuraavat omasuudet: () ˆp o harhato. () () (v) (v) ˆp o tyhjetävä. ˆp o tehokas el mmvarasse estmaattor. ˆp o tarketuva. ˆp oudattaa asymptoottsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p, Momettmeetelmä Olkoo, =,,, ykskertae satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;θ), joka parametra o p-vektor θ = (θ, θ,, θ p ) Ilkka Mell (008) 6/4

7 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tällö havaot, =,,, ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x;θ):,,, f( x; θ ), =,,, Oletetaa, että jakaumalla f(x;θ) o kakk (orgo-) momett kertalukuu p saakka: Oletetaa, että momette k E( ) =, k =,,, p, =,,, k ja parametre,,, p θ, θ,, θ p välllä o jatkuva bjekto el käätäe ykskästtee kuvaus: () = g( θ, θ,, θp ) = g( θ, θ,, θp ) p = g p( θ, θ,, θp) Tällö parametrt θ, θ,, θ p vodaa esttää momette,,, p fuktoa: () θ = h(,,, p ) θ = h(,,, p ) θ p = hp(,,, p) Estmodaa momett,,, p vastaavlla otosmometella: k ak =, k =,,, p = Sjottamalla estmaattort a, a,, a p momette,,, p pakalle yhtälöh (), saadaa parametre θ, θ,, θ p momettestmaattort el MM-estmaattort ˆ θ = h( a, a,, ap ) ˆ θ = h( a, a,, ap ) ˆ θ p = hp( a, a,, ap) Ilkka Mell (008) 7/4

8 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Normaaljakauma parametre momettestmaattort Normaaljakauma N(µ,σ ) odotusarvo µ ja varass σ MM-estmaattort ovat havatoje,,, artmeette keskarvo ja otosvarass = = ˆ σ ( ) = = Ekspoettjakauma parametr momettestmaattor Ekspoettjakauma Exp(λ) parametr λ MM-estmaattor o ˆ λ = jossa = = o havatoje,,, artmeette keskarvo. Beroull-jakauma odotusarvoparametr momettestmaattor Beroull-jakauma Ber(p) odotusarvoparametr p MM-estmaattor o havatoje,,, artmeette keskarvo = = Huomaa, että f = jossa f o kostukse kohteea oleva tapahtuma A suhteelle frekvess otoksessa. Välestmot Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl, ku jakauma varass o tuettu Otos ormaaljakaumasta Olkoo, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ, σ ): Ilkka Mell (008) 8/4

9 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B,,, N( µσ, ), =,,, Normaaljakauma parametre estmot Oletetaa, että ormaaljakauma N(µ, σ ) varass σ o tuettu ja estmodaa odotusarvoparametr E() = µ se harhattomalla estmaattorlla: Havatoje artmeette keskarvo = = o odotusarvoparametr E() = µ harhato estmaattor. Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl, ku jakauma varass o tuettu Valtaa luottamustasoks Luottamustaso kttää todeäkösyyde, jolla kostruotava luottamusväl pettää ormaaljakauma odotusarvo µ todellse arvo. Määrätää luottamuskertomet z / ja +z / ste, että Pr( z z /) = ja Pr( z + z /) = N(0,)-jakauma theysfukto 0.5 jossa satuasmuuttuja z oudattaa stadardotua 0.4 ormaaljakaumaa: z N(0,) Ste luottamuskertomet z / ja +z / toteuttavat ehdo Pr( z z + z ) = / / Normaaljakauma odotusarvoparametr µ luottamusväl luottamustasolla ( ) o tuetu varass σ tapauksessa muotoa jossa σ z, + z / / σ = havatoje artmeette keskarvo otoksessa σ = jakauma varass = havatoje lukumäärä z / ja +z / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet stadardodusta ormaaljakaumasta N(0,) 0 / / z / 0 +z / Ilkka Mell (008) 9/4

10 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Luottamusväl kostrukto perustuu she, että µ N(0,) σ / Koska luottamusväl o symmetre keskpsteesä suhtee, luottamusväl estetää use muodossa σ ± z / Luottamusväl ptuus o σ z / Luottamusväl kostruktosta seuraa, että σ σ Pr z/ µ + z/ = Ste luottamusväl pettää parametr µ todellse arvo todeäkösyydellä ( ) ja se e petä parametr µ todellsta arvoa todeäkösyydellä. Luottamusväl omasuudet () Normaaljakauma odotusarvo µ luottamusväl keskpste vahtelee otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus e vahtele otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus rppuu valtusta luottamustasosta ( ), havatoje lukumäärästä ja jakauma varasssta σ. (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos luottamustasoa ( ) peeetää (kasvatetaa). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos havatoje lukumäärää kasvatetaa (peeetää). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos jakauma varass σ peeee (kasvaa). Luottamusväl frekvesstulkta Normaaljakauma odotusarvo µ luottamusvälllä o seuraava frekvesstulkta: () Jos otataa jakaumasta N(µ, σ ) tostetaa, keskmäär 00 ( ) % otokssta kostruodusta luottamusvälestä pettää parametr µ todellse arvo. () Jos otataa jakaumasta N(µ, σ ) tostetaa, keskmäär 00 % otokssta kostruodusta luottamusvälestä e petä parametr µ todellsta arvoa. Johtopäätökset luottamusvälstä Oletetaa, että olemme teheet johtopäätökse, että kostruotu luottamusväl pettää odotusarvoparametr µ todellse arvo: () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o okea 00 ( ) %:ssa tapauksa. () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o väärä 00 %:ssa tapauksa. Ilkka Mell (008) 0/4

11 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Vrheellse johtopäätökse mahdollsuutta e saada hävämää, elle luottamusvälä tehdä äärettömä leveäks, jollo väl e eää ssällä formaatota odotusarvoparametr µ todellsesta arvosta. Vaatmukset luottamusvällle Ols tovottavaa pystyä kostruomaa parametrlle µ mahdollsmma lyhyt luottamusväl, joho lttyvä luottamustaso ols samaakasest mahdollsmma korkea. Molempe vaatmuste samaakae täyttäme e ole kutekaa mahdollsta, jos otoskoko pdetää kteää: () Luottamustaso kasvattame pdetää luottamusvälä, jollo teto parametr µ todellse arvo sjasta tulee epätarkemmaks. () Luottamusväl lyhetäme peetää luottamustasoa, jollo teto parametr µ todellse arvo sjasta tulee epävarmemmaks. Otoskoo määrääme Oletetaa, että ormaaljakauma odotusarvoparametrlle µ halutaa kostruoda luottamusväl, joka tovottu ptuus o A. Tarvttava otoskoko saadaa kaavasta jossa z σ A / = z / = luottamustasoo ( ) lttyvä luottamuskerro ormaaljakaumasta Normaaljakauma odotusarvo ja varass luottamusvält, ku jakauma varass e ole tuettu Otos ormaaljakaumasta Olkoo, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(µ, σ ). Tällö satuasmuuttujat, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ, σ ):,,, N( µσ, ), =,,, Normaaljakauma parametre estmot Estmodaa ormaaljakauma N(µ, σ ) parametrt µ ja σ de harhattomlla estmaattorella: Havatoje artmeette keskarvo = = o odotusarvoparametr E() = µ harhato estmaattor ja havatoje otosvarass s = ( ) = o varassparametr Var() = σ harhato estmaattor. Ilkka Mell (008) /4

12 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl, ku jakauma varass e ole tuettu Valtaa luottamustasoks Luottamustaso kttää todeäkösyyde, jolla kostruotava luottamusväl pettää ormaaljakauma odotusarvo µ todellse arvo. t-jakauma theysfukto Määrätää luottamuskertomet t / ja +t / ste, että Pr( t t /) = ja Pr( t + t /) = / / jossa satuasmuuttuja t oudattaa t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) t / 0 +t / Ste luottamuskertomet t / ja +t / toteuttavat ehdo Pr( t t + t ) = / / Normaaljakauma odotusarvoparametr µ luottamusväl luottamustasolla ( ) o tutemattoma varass σ tapauksessa muotoa s s t/, + t/ jossa = havatoje artmeette keskarvo otoksessa s = otosvarass = havatoje lukumäärä t / ja +t / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet t-jakaumasta vapausaste ( ) Luottamusväl kostrukto perustuu she, että µ t ( ) s/ Koska luottamusväl o symmetre keskpsteesä suhtee, luottamusväl estetää use muodossa s ± t / Ilkka Mell (008) /4

13 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Luottamusväl ptuus o s t / Luottamusväl kostruktosta seuraa, että s s Pr t/ µ + t/ = Ste luottamusväl pettää parametr µ todellse arvo todeäkösyydellä ( ) ja se e petä parametr µ todellsta arvoa todeäkösyydellä. Odotusarvo luottamusväl omasuudet () Normaaljakauma odotusarvo µ luottamusväl keskpste vahtelee otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus vahtelee otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus rppuu valtusta luottamustasosta ( ), havatoje lukumäärästä ja otosvarasssta s. (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos luottamustasoa ( ) peeetää (kasvatetaa). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos havatoje lukumäärää kasvatetaa (peeetää). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos otosvarass s peeee (kasvaa). Odotusarvo luottamusväl frekvesstulkta Normaaljakauma odotusarvo µ luottamusvälllä o seuraava frekvesstulkta: () Jos otataa jakaumasta N(µ, σ ) tostetaa, keskmäär 00 ( ) % otokssta kostruodusta luottamusvälestä pettää parametr µ todellse arvo. () Jos otataa jakaumasta N(µ, σ ) tostetaa, keskmäär 00 % otokssta kostruodusta luottamusvälestä e petä parametr µ todellsta arvoa. Johtopäätökset odotusarvo luottamusvälstä Oletetaa, että olemme teheet johtopäätökse, että kostruotu luottamusväl pettää odotusarvoparametr µ todellse arvo: () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o okea 00 ( ) %:ssa tapauksa. () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o väärä 00 %:ssa tapauksa. Vrheellse johtopäätökse mahdollsuutta e saada hävämää, elle luottamusvälä tehdä äärettömä leveäks, jollo väl e eää ssällä formaatota odotusarvoparametr µ todellsesta arvosta. Vaatmukset odotusarvo luottamusvällle Ols tovottavaa pystyä kostruomaa parametrlle µ mahdollsmma lyhyt luottamusväl, joho lttyvä luottamustaso ols samaakasest mahdollsmma korkea. Molempe vaatmuste samaakae täyttäme e ole kutekaa mahdollsta, jos otoskoko pdetää kteää: Ilkka Mell (008) 3/4

14 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B () () Luottamustaso kasvattame pdetää luottamusvälä, jollo teto parametr µ todellse arvo sjasta tulee epätarkemmaks. Luottamusväl lyhetäme peetää luottamustasoa, jollo teto parametr µ todellse arvo sjasta tulee epävarmemmaks. Otoskoo määrääme Oletetaa, että ormaaljakauma odotusarvoparametrlle µ halutaa kostruoda luottamusväl, joka tovottu ptuus o A. Tarvttava otoskoko saadaa kaavasta z /σ = A jossa z / = luottamustasoo ( ) lttyvä luottamuskerro ormaaljakaumasta Normaaljakauma varass luottamusväl Valtaa luottamustasoks Luottamustaso kttää todeäkösyyde, jolla kostruotava luottamusväl pettää ormaaljakauma varass σ todellse arvo. Määrätää luottamuskertomet χ / ja ste, että ja Pr( χ χ /) = χ / Pr( χ χ /) = jossa satuasmuuttuja χ oudattaa χ -jakaumaa vapausaste ( ): χ χ ( ) Ste luottamuskertomet χ / ja ehdo / / χ / toteuttavat Pr( χ χ χ ) = Normaaljakauma varassparametr σ luottamusväl luottamustasolla ( ) o muotoa jossa ( ) s ( ) s, χ/ χ / s = otosvarass = havatoje lukumäärä / χ / χ -jakauma theysfukto / χ / Ilkka Mell (008) 4/4

15 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B χ ja / Luottamusväl kostrukto perustuu she, että ( ) s σ Luottamusväl ptuus o χ / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet χ -jakaumasta vapausaste ( ) χ ( ) ( ) s χ / χ/ Luottamusväl kostruktosta seuraa, että ( ) s ( ) s Pr σ = χ/ χ / Ste kostruotu luottamusväl pettää parametr σ todellse arvo todeäkösyydellä ( ) ja se e petä parametr σ todellsta arvoa todeäkösyydellä. Varass luottamusväl omasuudet () Normaaljakauma varass σ luottamusväl ptuus vahtelee otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus rppuu valtusta luottamustasosta ( ), havatoje lukumäärästä ja otosvarasssta s. () Luottamusväl lyheee (pteee), jos luottamustasoa ( ) peeetää (kasvatetaa). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos havatoje lukumäärää peeetää (kasvatetaa). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos otosvarass s peeee (kasvaa). Varass luottamusväl frekvesstulkta Normaaljakauma odotusarvo σ luottamusvälllä o seuraava frekvesstulkta: () Jos otataa jakaumasta N(µ,σ ) tostetaa, keskmäär 00 ( ) % otokssta kostruodusta luottamusvälestä pettää parametr σ todellse arvo. () Jos otataa jakaumasta N(µ,σ ) tostetaa, keskmäär 00 % otokssta kostruodusta luottamusvälestä e petä parametr σ todellsta arvoa. Johtopäätökset varass luottamusvälstä Oletetaa, että olemme teheet johtopäätökse, että kostruotu luottamusväl pettää varassparametr σ todellse arvo: () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o okea 00 ( ) %:ssa tapauksa. () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o väärä 00 %:ssa tapauksa. Ilkka Mell (008) 5/4

16 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Vaatmukset varass luottamusvällle Ols tovottavaa pystyä kostruomaa parametrlle σ mahdollsmma lyhyt luottamusväl, joho lttyvä luottamustaso ols samaakasest mahdollsmma korkea. Vaatmuste samaakae täyttäme e ole kutekaa mahdollsta: () Luottamustaso kasvattame pdetää luottamusvälä, jollo teto parametr σ todellse arvo sjasta tulee epätarkemmaks. () Luottamusväl lyhetäme peetää luottamustasoa, jollo teto parametr σ todellse arvo sjasta tulee epävarmemmaks. Beroull-jakauma odotusarvo luottamusväl Beroull-jakauma Olkoo A o jok tapahtuma ja olkoo Pr( A) = p c Pr( A ) = p= q Määrtellää satuasmuuttuja, jos A tapahtuu = 0, jos A e tapahdu Tällö satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametraa p = Pr(A) = E() Merktää: Ber( p) Beroull-jakauma pstetodeäkösyysfukto o f x p = p p x= < p< x x ( ; ) ( ), 0,;0 Otos Beroull-jakaumasta Olkoo, =,,, satuasotos Beroull-jakaumasta Ber(p). Tällö satuasmuuttujat, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa Beroull-jakaumaa Ber(p):,,, Ber( p), =,,, Beroull-jakauma odotusarvoparametr estmot Estmodaa Beroull-jakauma Ber(p) odotusarvoparametr p se harhattomalla estmaattorlla: pˆ = = Ilkka Mell (008) 6/4

17 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Koska, jos A tapahtuu =, =,,, 0, jos A e tapahdu f pˆ = = = jossa f o tapahtuma A frekvess otoksessa. Ste Beroull-jakauma odotusarvoparametr p estmaattor ˆp o tapahtuma A suhteelle frekvess otoksessa. Huomaa, että f B( p, ) Beroull-jakauma odotusarvoparametr luottamusväl Valtaa luottamustasoks Luottamustaso kttää todeäkösyyde, jolla kostruotava luottamusväl pettää Beroulljakauma odotusarvoparametr p todellse arvo. Määrätää luottamuskertomet z / ja +z / ste, että 0.5 N(0,)-jakauma theysfukto Pr( z z /) = 0.4 ja 0.3 Pr( z + z /) = 0. jossa satuasmuuttuja z oudattaa stadardotua / / ormaaljakaumaa: 0. z N(0,) Ste luottamuskertomet z / ja +z / toteuttavat ehdo Pr( z z + z ) = / / Beroull-jakauma odotusarvoparametr p approksmatve luottamusväl luottamustasolla ( ) o muotoa p ˆ( p ˆ ˆ) p ˆ( p ˆ) p z/, pˆ + z/ jossa ˆp = odotusarvoparametr p harhato estmaattor = havatoje lukumäärä z / ja +z / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet stadardodusta ormaaljakaumasta N(0,) 0 z / 0 +z / Ilkka Mell (008) 7/4

18 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Luottamusväl kostrukto perustuu she, että keskese raja-arvolausee mukaa pˆ p a N(0,) pˆ( pˆ) / Koska luottamusväl o symmetre keskpsteesä ˆp suhtee, luottamusväl estetää use muodossa pˆ ± z / Luottamusväl ptuus o pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) z / Luottamusväl kostruktosta seuraa, että pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) Pr pˆ z p pˆ + z = / / a Ste luottamusväl pettää parametr p todellse arvo approksmatvsest todeäkösyydellä ( ) ja se e petä parametr p todellsta arvoa approksmatvsest todeäkösyydellä. Luottamusväl omasuudet () Beroull-jakauma odotusarvoparametr p luottamusväl keskpste ˆp vahtelee otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus vahtelee otoksesta tosee. () Luottamusväl ptuus rppuu valtusta luottamustasosta ( ), havatoje lukumäärästä ja estmaattorsta ˆp. (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos luottamustasoa ( ) peeetää (kasvatetaa). (v) Luottamusväl lyheee (pteee), jos havatoje lukumäärää kasvatetaa (peeetää). (v) Luottamusväl o lyhmmllää, ku pˆ 0 ta (v) Luottamusväl o psmmllää, ku p ˆ = Luottamusväl frekvesstulkta Beroull-jakauma odotusarvoparametr p approksmatvsella luottamusvälllä o seuraava frekvesstulkta: () Jos otataa jakaumasta Ber(p) tostetaa, keskmäär 00 ( ) % otokssta kostruodusta luottamusvälestä pettää parametr p todellse arvo. () Jos otataa jakaumasta Ber(p) tostetaa, keskmäär 00 % otokssta kostruodusta luottamusvälestä e petä parametr p todellsta arvoa. Ilkka Mell (008) 8/4

19 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Johtopäätökset luottamusvälstä Oletetaa, että olemme teheet johtopäätökse, että luottamusväl pettää odotusarvoparametr p todellse arvo: () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o okea 00 ( ) %:ssa tapauksa. () Luottamusväl kostruktosta seuraa, että tehty johtopäätös o väärä 00 %:ssa tapauksa. Vrheellse johtopäätökse mahdollsuutta e saada hävämää, elle luottamusvälä tehdä äärettömä leveäks, jollo väl e eää ssällä formaatota odotusarvoparametr p todellsesta arvosta. Vaatmukset luottamusvällle Ols tovottavaa pystyä kostruomaa parametrlle p mahdollsmma lyhyt luottamusväl, joho lttyvä luottamustaso ols samaakasest mahdollsmma korkea. Molempe vaatmuste samaakae täyttäme e ole kutekaa mahdollsta, jos otoskoko pdetää kteää: () () Luottamustaso kasvattame pdetää luottamusvälä, jollo teto parametr p todellse arvo sjasta tulee epätarkemmaks. Luottamusväl lyhetäme peetää luottamustasoa, jollo teto parametr p todellse arvo sjasta tulee epävarmemmaks. Otoskoo määrääme Oletetaa, että Beroull-jakauma odotusarvoparametrlle p halutaa kostruoda luottamusväl, joka tovottu ptuus o A Tarvttava otoskoko saadaa kaavasta z / p( p) = A Tarvttava otoskoko saavuttaa maksmsa ku z / = p = A Ilkka Mell (008) 9/4

20 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 9.. Kolme tutkjaa A, B ja C ovat määrttäeet erää teollsuuslatokse jätevesstä ph-arvoja tavotteeaa estmoda jätevese keskmääräe ph-arvo µ havatoje perusteella. Määrtykset teht keräämällä useta tosstaa rppumattoma vesäyttetä ja määräämällä äytekohtaste ph-arvoje keskarvot. Tutkjode saamat tulokset: Tutkja Näyttede lukumäärä ph-lukuje artmeette keskarvo A B C (a) (b) (c) Näytä, että estmaattort A + B + C A, B, C ja ABC = 3 ovat harhattoma keskmääräselle ph-arvolle µ. Mkä estmaattoresta o luotettav sä melessä, että se varass o pe? Näytä, että velä peemp varass ku yhdelläkää ym. estmaattorlla o sellasella estmaattorlla, joka saadaa laskemalla äyttede lukumäärllä paotettu artmeette keskarvo (ts. artmeette keskarvo, joka saadaa yhdstämällä tutkjode aestot ja laskemalla yhdstety aesto ph-lukuje artmeette keskarvo). Tehtävä 9.. Mtä opmme? Tehtävässä vertallaa todeäkösyysjakauma parametr erlasa harhattoma estmaattoreta, estmaattorede odotusarvoja ja varasseja. Tehtävä 9.. Ratkasu: Jos, =,,, o ykskertae satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja varass o σ, havaot, =,,, ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo ja varass:,,, E( ) = µ, =,,, Var( ) = σ, =,,, Olkoo = = Ilkka Mell (008) 0/4

21 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B havatoje, =,,, artmeette keskarvo. Tällö E( ) = µ σ Var( ) = (a)&(b) Estmaattort A, B, C ja ABC ovat harhattoma, koska ja E( ) = E( ) = E( ) = µ A B C E( ABC ) = E ( A + B + C ) 3 = E( A ) E( B ) E( C ) = ( µ + µ + µ ) = µ 3 Estmaattorede A, B, C varasst ovat σ Var( A) = = 0.σ 0 σ Var( B) = = 0.067σ 5 σ Var( C ) = = 0.005σ 00 Estmaattoresta A, B, C luotettav o estmaattor C, koska se varass o pe, mkä johtuu stä, että se perustuu suurmpaa äyttede lukumäärää. Koska estmaattort A, B, C ovat rppumattoma, Var( ABC ) = Var ( A + B + C ) 3 = Var( A ) Var( B ) Var( C ) σ σ σ = + + = 0.09σ Ste estmaattor stä, että luotettavta estmaattora saavat estmaattorssa ABC varass o suuremp ku estmaattor C, mkä johtuu C epäluotettavammat estmaattort. ABC yhtä suure pao ku estmaattor C A ja B Ilkka Mell (008) /4

22 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B (c) Määrtellää äyttede lukumäärllä paotettu artmeette keskarvo kaavalla = A B C Estmaattor o harhato parametrlle µ, koska E( ) = E( A) + E( B) + E( C) = µ + µ + µ = µ Estmaattor varassks saadaa artmeettste keskarvoje A, B, C rppumattomuude taka: 5 = Var( ) = 0 Var( ) 5 Var( ) 00 Var( ) A + B + C σ = = σ 5 σ Ste estmaattor varass o peemp ku estmaattorede A, B, C ja ABC, mkä johtuu stä, että estmaattorssa estmaattort A, B, C ovat saaeet paoksee h lttyve havatoje lukumäärät. Huomautuksa: () Todeäkösyysjakauma parametrella o aa useta erlasa harhattoma estmaattoreta; kaklla llä o ss yhtä suuret odotusarvot, mutta de varasst evät välttämättä ole yhtä suura. () Harhattomsta estmaattoreta parhampaa vodaa ptää stä, joka varass o pe. Tätä vaatmusta o tapaa kutsua (täys-) tehokkuus- ta mmvarasssuuskrteerks. Ilkka Mell (008) /4

23 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 9.. Satuasmuuttuja theysfukto o f(x) = ( + θ)x θ, 0 < x < Kysymys: Mks parametr θ ptää toteuttaa ehto θ >? Oletetaa, että satuasmuuttujasta o saatu havaot 0.5, 0.3, 0., 0., 0. (a) Hahmottele theysfukto kuvaaja parametr θ arvolla 0.5, 0,, ja arvo mkä arvosta sops parhate havatoh. (b) Estmo parametr θ momettmeetelmällä. (c) Estmo parametr θ suurmma uskottavuude meetelmällä. (d) Vertaa parametr θ momettestmaatora ja suurmma uskottavuude estmaattora tossa. Tehtävä 9.. Mtä opmme? Tehtävässä äytetää, että suurmma uskottavuude meetelmä ja momettmeeetelmä evät välttämättä tuota samaa estmaattora todeäkösyysjakauma parametrelle. Tehtävä 9.. Ratkasu: Koska f(x) o theysfukto, se ptää toteuttaa ehto f ( x) 0,0< x< mkä toteutuu, jos + θ 0 Parametr arvo θ = e kutekaa käy, koska tällö f ( x) 0,0< x< Ste parametr θ o toteuttava ehto θ > Tämä ehto myös rttävä, koska tällö + θ f( x) dx= ( + θ ) x dx= [ x ] 0 + θ 0 (a) Kuvo alla esttää theysfuktota f(x) = ( + θ)x θ, 0 < x < ku θ = 0.5, 0,, Ilkka Mell (008) 3/4

24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Kuvosta ähdää, että havaot sopvat parhate jakaumaa, jossa θ < 0, koska tällö suur osa jakauma todeäkösyysmassasta keskttyy väl (0,) vasemmapuolesee päähä kute havaot. 5 4 θ = f(x) 3 θ = 0.5 θ = x θ = 0 (b) Estmodaa parametr θ momettmeetelmällä. Määrätää es satuasmuuttuja odotusarvo: θ θ + θ + θ E( ) = xf ( x) dx = x( + θ ) x dx = x = + θ + θ Parametr θ momettestmaattor ˆMM θ toteuttaa yhtälö 0 jossa E( ) = = = o havatoje artmeette keskarvo. Ste + ˆ θ = + ˆ θ MM MM Koska tarkastellussa otoksessa = x = ( ) = = Ilkka Mell (008) 4/4

25 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B saadaa yhtälö + ˆ θ 0.4 = + ˆ θ josta edellee ˆ θ MM = MM MM (c) Estmodaa parametr θ suurmma uskottavuude meetelmällä. Rppumattoma otokse, =,,, uskottavuusfukto o L( θ; x, x,, x) = f( x, x,, x; θ) θ θ θ = ( + θ) x ( + θ) x ( + θ) x θ = ( + θ ) u mssä u = xx x Parametr θ suurmma uskottavuude estmaattor ˆML θ saadaa maksmomalla uskottavuusfukto L(θ) parametr θ suhtee. Tämä tapahtuu etsmällä fukto L dervaata ollakohdat: L = + u + + u = + + u = θ ( θ) 0 ( θ) ( ( θ)log ) 0 ( θ)log 0 Ste ˆ θ ML = log u josta saadaa ˆ θ ML = koska = 5 ja u = (d) Momettmeetelmä ja suurmma uskottavuude meetelmä tuottavat tässä er tulokse. Huomautuksa: () () Momettmeetelmä ja suurmma uskottavuude meetelmä saattavat tuottaa todeäkösyysjakauma parametrelle er estmaattort. Hyvä estmaattor valta o vakea ogelma; juur se taka estmaattorede vertaluu käytetää sellasa hyvyysomasuuksa kute harhattomuus, tehokkuus, tyhjetävyys ja tarketuvuus. () Suurmma uskottavuude estmaattorlle vodaa hyv yles ehdo todstaa tyhjetävyys ja tarketuvuus sekä asymptootte ormaalsuus. Ilkka Mell (008) 5/4

26 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 9.3. Olkoot, =,,, rppumattoma, samaa ekspoettjakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jode odotusarvo E( ) = β, ts. satuasmuuttujat muodostavat ykskertase satuasotokse ekspoettjakaumasta, joka parametr o /β. Määrää parametr β suurmma uskottavuude estmaattor. Tehtävä 9.3. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa ekspoettjakauma parametr suurmma uskottavuude estmota. Tehtävä 9.3. Ratkasu: Oletetaa, että, =,,, o ykskertae satuasotos ekspoettjakaumasta, joka parametra o /β. Ste,,, Exp(/β), =,,, Otokse,,, uskottavuusfukto o L( x, x,, x; β) = f( x; β) f( x; β) f( x; β) = exp x β β = jossa f ( x; β ) = exp x, =,,, β β o havatoo lttyvä theysfukto. Vastaava logartme uskottavuusfukto o l( x, x,, x ; β ) = log L( x, x,, x ; β) = x log( β) β = Suurmma uskottavuude estmaattor parametrlle θ löydetää maksmomalla logartmse uskottavuusfukto l parametr θ suhtee. Tämä tapahtuu dervomalla logartme uskottavuusfukto l parametr θ suhtee, merktsemällä dervaatta ollaks ja ratkasemalla saatu ormaalyhtälö parametr θ suhtee: lx (, x,, x; β ) = x 0 = β β = β Ratkasuks saadaa ˆ β = x = x = Saatu ratkasu ataa logartmse uskottavuusfukto maksm, mkä ähdää esm. sjottamalla saatu ratkasu logartmse uskottavuusfukto. dervaata lausekkeesee. Ilkka Mell (008) 6/4

27 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 9.4. Tehdas vättää, että se valmstamsta tuottesta korketaa 5 % o vallsa. Asakas pom tuottede joukosta ykskertase satuasotokse, joka koko o 50 ja löytää 5 vallsta tuotetta. Vodaako tehtaa vätettä vallste suhteellsesta osuudesta ptää okeutettua? Ohje: Määrää otoksesta 95 %: ja 99 %: luottamusvält tehtaa vättämälle vallste suhteellselle osuudelle ja tee johtopäätös de perusteella. Lsäkysymys: Mte valttu luottamustaso vakuttaa luottamusväl ptuutee? Tehtävä 9.4. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa Beroull-jakauma odotusarvo luottamusväl määräämstä. Tehtävä 9.4. Ratkasu: Tarkastellaa tapahtumaa A = {Satuasest valttu tuote o valle} ja olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr( A) = p c Pr( A ) = p= q Määrtellää satuasmuuttuja, jos satuasest valttu tuote o valle = 0, jos satuasest valttu tuote e ole valle Tällö satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametraa p = Pr(A) = E() Valmstettuje tuottede joukosta pomtt ykskertae satuasotos, joka koko ol = 50 ja otoksessa havatt 5 vallsta tuotetta. Kostruodaa otoksesta saatuje tetoje perusteella ( ) %: luottamusväl odotusarvoparametrlle p. Luottamusväl o muotoa jossa pˆ ± z / pˆ( pˆ) ˆp = odotusarvoparametr p harhato estmaattor = havatoje lukumäärä z / ja +z / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet ormaaljakaumasta N(0,) Parametr p estmaatks saadaa f 5 pˆ = = = Ilkka Mell (008) 7/4

28 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Valtaa luottamustasoks = 0.95 Koska = 0.05 luottamustasoa 0.95 vastaavat luottamuskertomet ovat z = z / z =+ z / 0.05 Luottamuskertomet z/ = z0.05 ja + z/ =+ z0.05 toteuttavat yhtälöt Pr( z z / ) = Pr( z z0.05) = = 0.05 Pr( z + z / ) = Pr( z z0.05) = = 0.05 jossa satuasmuuttuja z oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: z N(0,) Ste Pr( z z + z ) = Pr( z z + z ) = = 0.95 / / Stadardodu ormaaljakauma N(0,) taulukode mukaa z = z = Ste 95 %: luottamusväl Beroull-jakauma parametrlle p o muotoa pˆ( pˆ) 0. ( 0.) pˆ ± z / = 0.± = 0.± = 0.± = (0.05, 0.48) Väl e petä parametr p oletettua arvoa Valtaa luottamustasoks = 0.99 Koska = 0.0 luottamustasoa = 0.99 vastaavat luottamuskertomet ovat z = z / z =+ z / Ilkka Mell (008) 8/4

29 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Luottamuskertomet z/ = z0.005 ja + z/ =+ z0.005 toteuttavat yhtälöt Pr( z z / ) = Pr( z z0.005) = = Pr( z + z /) = Pr( z + z0.005) = = jossa satuasmuuttuja z oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: z N(0,) Ste Pr( z z + z ) = Pr( z z + z ) = = 0.99 / / Stadardodu ormaaljakauma N(0,) taulukode mukaa z0.005 = z = Ste 99 %: luottamusväl Beroull-jakauma parametrlle p o muotoa pˆ( pˆ) 0. ( 0.) pˆ ± z / = 0.± = 0.± = 0.± = (0.037, 0.63) Väl pettää parametr p oletetu arvo Ste otoksesta saatu evdess vttaa she suutaa, että valmstaja vätteesee vodaa kohdstaa jok verra epälyjä. Ogelmaa vodaa tarkastella myös tlastollse testaukse äkökulmasta. Huomautuksa: () Luottamusväl leveee, jos luottamustasoa kasvatetaa, jollo stä tulee epäformatvsemp. () Luottamusväl kapeee, jos otoskokoa kasvatetaa. () Jos luottamusväl ptuus halutaa puolttaa, ptää havatoje lukumäärä elkertastaa. Tehtävä 9.5. Tehdas valmstaa ruuveja. Ruuve pao vahtelee satuasest oudattae ormaaljakaumaa. Ruuve joukosta pomtt ykskertae satuasotos. Otoskeskarvoks saat tällö 5 g. Tehdää (epärealste) oletus, että ormaaljakauma varass 0.5 g o tuettu. Määrää 99 %: luottamusvält ruuve pao odotusarvolle, jos otoskokoa ol (a) Ilkka Mell (008) 9/4

30 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B (b) 00 (c) 0000 Vertaa saatuje luottamusväle ptuuksa tossa. Mte luottamusväl ptuus käyttäytyy otoskoo fuktoa? Tehtävä 9.5. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa ormaaljakauma odotusarvo luottamusväl määräämstä (epärealstsessa) tlateessa, jossa jakauma varass oletetaa tuetuks. Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl määräämstä esmerkktapauksessa, jossa jakauma varassa e oleteta tuetuks kästellää tehtävässä 9.6. Tehtävä 9.5. Ratkasu: Tehdas valmstaa ruuveja. Ruuve pao vahtelee satuasest oudattae ormaaljakaumaa. Ruuve joukosta pomtt ykskertae satuasotos, joka koko ol. Määrtellää satuasmuuttujat = Ruuv pao otoksessa, =,,, Oletukse mukaa,,, N( µσ, ), =,,, jossa varass σ = 0.5 g o tuettu. Otoksee pomttuje ruuve paoje artmeette keskarvo ol = = 5 g = Kostruodaa otoksesta saatuje tetoje perusteella ( ) %: luottamusväl odotusarvoparametrlle µ. Koska varass σ oletett tuetuks, luottamusväl o muotoa jossa ± z / σ = havatoje artmeette keskarvo otoksessa σ = jakauma varass = havatoje lukumäärä z / ja +z / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet ormaaljakaumasta N(0,) Valtaa luottamustasoks = 0.99 Ilkka Mell (008) 30/4

31 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Koska = 0.0 luottamustasoa = 0.99vastaavat luottamuskertomet ovat z / = z z =+ z / Luottamuskertomet z/ = z0.005 ja + z/ =+ z0.005 toteuttavat yhtälöt Pr( z z / ) = Pr( z z0.005) = = Pr( z + z /) = Pr( z + z0.005) = = jossa satuasmuuttuja z oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: z N(0,) Ste Pr( z z + z ) = Pr( z z + z ) = = 0.99 / / Stadardodu ormaaljakauma N(0,) taulukode mukaa z0.005 =.58 + z = Ste 99 %: luottamusväl ormaaljakauma odotusarvoparametrlle µ o muotoa σ 0.5 ± z / = 5 ±.58 (a) = : Luottamusvälks saadaa σ 0.5 ± z / = 5 ±.58 = 5 ±.9 = (3.7, 6.9) (b) = 00: Luottamusvälks saadaa σ 0.5 ± z / = 5 ±.58 = 5 ± 0.9 = (4.87, 5.9) 00 (c) = 0000: Ilkka Mell (008) 3/4

32 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Luottamusvälks saadaa σ 0.5 ± z / = 5 ±.58 = 5 ± 0.09 = (4.987, 5.09) Jos otataa tostetaa, luottamustaso frekvesstulka mukaa otokssta kostruodut luottamusvält pettävät (keskmäär) 99 %:ssa otoksa parametr µ tutemattoma arvo ja (keskmäär) %:ssa otoksa e stä tee. Huomautuksa: () Luottamusväl leveee, jos luottamustasoa kasvatetaa, jollo stä tulee epäformatvsemp. () Luottamusväl kapeee, jos otoskokoa kasvatetaa. () Jos luottamusväl ptuus halutaa puolttaa, ptää havatoje lukumäärä elkertastaa. (v) Luottamuskertomet ptää valta ormaaljakauma sjasta t-jakaumasta, jos varass σ e ole tuettu ja se joudutaa estmomaa otoksesta. Nä saatava estmotuu varass σ perustuva luottamusväl o leveämp ku tässä kostruotu tuettuu varass σ perustuva luottamusväl; ks. tehtävää 9.6. Jos havatoje lukumäärä aetaa kasvaa rajatta, estmotuu varass σ perustuva luottamsväl lähestyy tuettuu varass σ perustuvaa luottamusvälä. Tehtävä 9.6. Tehdas valmstaa auloja. Nauloje ptuus vahtelee satuasest oudattae ormaaljakaumaa. Nauloje joukosta pomtt ykskertae satuasotos, joka koko ol 30. Otoskeskarvoks saat 9.99 cm ja otosvarassks 0.0 cm. (a) Määrää 95 %: luottamusväl auloje ptuude odotusarvolle. (b) Määrää 90 %: luottamusväl auloje ptuude varasslle. Tehtävä 9.6. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa ormaaljakauma odotusarvo ja varass luottamusväl määräämstä tlateessa, jossa jakauma varass e ole tuettu. Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl määräämstä esmerkktapauksessa, jossa jakauma varass o tuettu kästellää tehtävässä 9.5. Ilkka Mell (008) 3/4

33 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 9.6. Ratkasu: (a) Tehdas valmstaa auloja. Nauloje ptuus vahtelee satuasest oudattae ormaaljakaumaa. Nauloje joukosta pomtt ykskertae satuasotos, joka koko ol 30. Määrtellää satuasmuuttujat = Naula ptuus otoksessa, =,,, = 30 Oletukse mukaa,,, N(, ), =,,,30 30 µσ Otoksee pomttuje ruuve paoje artmeette keskarvo ol 30 = = 9.99 cm 30 = ja otosvarass ol 30 s = ( ) = 0.0 cm 30 = Kostruodaa otoksesta saatuje tetoje perusteella ( ) %: luottamusväl odotusarvoparametrlle µ. Koska varass σ oletett tutemattomaks, luottamusväl o muotoa s ± t / jossa = havatoje artmeette keskarvo otoksessa s = otosvarass = havatoje lukumäärä t / ja +t / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet t-jakaumasta t( ) Valtaa luottamustasoks = 0.95 Koska = 0.05 luottamustasoa = 0.95vastaavat luottamuskertomet ovat t / = t t =+ t / 0.05 Ilkka Mell (008) 33/4

34 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Luottamuskertomet t/ = t0.05 ja + t/ =+ t0.05 toteuttavat yhtälöt Pr( t t / ) = Pr( t t0.05) = = 0.05 Pr( t + t / ) = Pr( t + t0.05) = = 0.05 jossa satuasmuuttuja t oudattaa t-jakaumaa vapausaste ( ) = 9: t t( ) = t(9) Ste Pr( t t + t ) = Pr( t t + t ) = = 0.95 / / t-jakauma t(9) taulukode mukaa t0.05 = t = Ste 95 %: luottamusväl ormaaljakauma odotusarvoparametrlle µ o muotoa s 0. ± t / = 9.99 ± = 9.99 ± = (9.953,0.07) Jos otataa tostetaa, luottamustaso frekvesstulka mukaa otokssta kostruodut luottamusvält pettävät (keskmäär) 95 %:ssa otoksa parametr µ tutemattoma arvo ja (keskmäär) 5 %:ssa otoksa e stä tee. Huomautuksa: () Luottamusväl leveee, jos luottamustasoa kasvatetaa, jollo stä tulee epäformatvsemp. () Luottamusväl kapeee, jos otoskokoa kasvatetaa. () Jos luottamusväl ptuus halutaa puolttaa, ptää havatoje lukumäärä elkertastaa. (v) Luottamuskertomet vodaa valta t-jakauma sjasta ormaaljakaumasta, jos varass σ o tuettu. Nä saatava tuettuu varass σ perustuva luottamusväl o kapeamp ku tässä kostruotu estmotuu varass σ perustuva luottamusväl; ks. tehtävää 9.5. Jos havatoje lukumäärä aetaa kasvaa rajatta, estmotuu varass σ perustuva luottamsväl lähestyy tuettuu varass σ perustuvaa luottamusvälä. Ilkka Mell (008) 34/4

35 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B (b) Tehdas valmstaa auloja. Nauloje ptuus vahtelee satuasest oudattae ormaaljakaumaa. Nauloje joukosta pomtt ykskertae satuasotos, joka koko ol 30. Määrtellää satuasmuuttujat = Naula ptuus otoksessa, =,,, = 30 Oletukse mukaa,,, N(, ), =,,,30 30 µσ Otoksee pomttuje ruuve paoje artmeette keskarvo ol 30 = = 9.99 cm 30 = ja otosvarass ol 30 s = ( ) = 0.0 cm 30 = Kostruodaa otoksesta saatuje tetoje perusteella ( ) %: luottamusväl varassparametrlle σ. Luottamusväl o muotoa ( ) s ( ) s, χ/ χ / jossa s = otosvarass = havatoje lukumäärä χ ja / χ / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet χ -jakaumasta vapausaste ( ) Valtaa luottamustasoks = 0.90 Koska = 0.0 luottamustasoa = 0.90vastaavat luottamuskertomet ovat χ / = χ0.95 χ = χ / 0.05 Ilkka Mell (008) 35/4

36 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Luottamuskertomet χ = χ ja χ = χ toteuttavat yhtälöt / 0.95 / 0.05 Pr( χ χ /) = Pr( χ χ0.95) = = 0.05 Pr( χ χ / ) = Pr( χ χ0.05) = = 0.05 jossa satuasmuuttuja χ oudattaa χ -jakaumaa vapausaste ( ) = 9: Ste χ χ ( ) = χ (9) Pr( χ / χ χ/ ) = Pr( χ0.95 χ χ0.05) = = 0.90 χ -jakauma χ (9) taulukode mukaa χ / = χ = / Ste 90 %: luottamusväl ormaaljakauma varassparametrlle σ o muotoa ( ) s ( ) s (30 ) 0.0 (30 ) 0.0,, (0.0068,0.064) = = χ/ χ / Jos otataa tostetaa, luottamustaso frekvesstulka mukaa otokssta kostruodut luottamusvält pettävät (keskmäär) 90 %:ssa otoksa parametr σ tutemattoma arvo ja (keskmäär) 0 %:ssa otoksa e stä tee. Huomautuksa: () () Luottamusväl leveee, jos luottamustasoa kasvatetaa, jollo stä tulee epäformatvsemp. Luottamusväl ptuus pysyy suullee samamttasea, jos otoskokoa kasvatetaa. Tehtävä 9.7. Kutaa suutellaa ydvomalaa. Kua asukkade melpteet halutaa selvttää ykskertasee satuasotataa perustuvalla kyselytutkmuksella. Kuka suur otos kutalaste joukosta o pomttava, jotta saatas 99 %: varmuus stä, että otoksesta laskettu vomala raketamse kaattaje suhteelle osuus e pokkea eempää ku 0.5 %-ykskköä vomala raketamse kaattaje todellsesta suhteellsesta osuudesta? Ilkka Mell (008) 36/4

37 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 9.7. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa tarvttava otoskoo määräämstä, ku Beroull-jakauma odotusarvoparametrlle halutaa saada tety mttae luottamusväl. Tehtävä 9.7. Ratkasu: Tarkastellaa tapahtumaa A = {Satuasest valttu kua asukas kaattaa vomala raketamsta} ja olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr( A) = p c Pr( A ) = p= q Määrtellää satuasmuuttuja, jos satuasest valttu kua asukas kaattaa vomala raketamsta = 0, jos satuasest valttu kua asukas e kaata vomala raketamsta Oletetaa, että satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametraa p = Pr(A) = E() Jos kuassa o N asukasta, pn = F o vomala raketaje lukumäärä kakke kua asukkade joukossa. Ste odotusarvoparametr F p = N vodaa tulkta vomala raketamse kaattaje suhteellseks osuudeks kakke kua asukkade joukossa. Oletetaa, että kua asukkade joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joka koko. Jos vomala raketamse kaattaje lukumäärä otoksessa o f, kaattaje suhteelle osuus otoksessa f pˆ = o odotusarvoparametr p harhato estmaattor. Beroull-jakauma odotusarvoparametr p luottamusväl o muotoa jossa pˆ ± z / pˆ( pˆ) ˆp = odotusarvoparametr p harhato estmaattor = havatoje lukumäärä z / ja +z / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet ormaaljakaumasta N(0,) Ilkka Mell (008) 37/4

38 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Ste Beroull-jakauma parametr p luottamusväl o muotoa ˆp ± a jossa ˆp o otoksesta laskettu suhteelle osuus. Jos haluamme parametrlle p luottamusväl, joka ptuus o a, vomme muodostaa otoskoo ratkasemseks yhtälö pˆ( pˆ) z / Ratkasuks saadaa = a z / pˆ( pˆ) = a Jos otoskooks valtaa pe kaava atamaa lukuarvoa suuremmsta kokoasluvusta, saadaa haluttu varmuus stä, että vomala raketamse kaattaje suhteelle osuus kakke kutalaste joukossa o otoksesta kostruodu luottamusväl ssällä. Koska ˆp : arvoa e tueta ( ˆp : arvo saadaa tetyst selvlle vasta otokse pommse jälkee), o järkevää korvata ˆp luvulla, joka maksmo tarvttava otoskoo. Fukto f (ˆ) p = pˆ( pˆ) o alaspä aukeava paraabel, joka saavuttaa maksmsa psteessä p ˆ = Ste (maksmaale) tarvttava otoskoko saadaa kaavasta z / = a Tehtävässä a = = 0.99 z / =.58 Ste tarvttava otoskoko o z /.58 = a = = Kommetteja: () Jos haluamme ä kapea luottamsväl (±0.5 %) ä korkealla luottamustasolla (99 %) vomala raketaje suhteellselle osuudelle kakke kua asukkade joukossa, tarvtsemme otokse, joka o paljo suuremp ( > asukasta) ku kyselytutkmuksssa tavallsest käytetyt otokset ( ). Ilkka Mell (008) 38/4

39 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Olemme ss saaeet paradoksaalse tulokse, että tarvttava otoskoko ylttäs usemmssa Suome kussa kua asukasluvu! Tämä o se hta, joka joudumme maksamaa otokse pomtaa lttyvästä sattumasta ja asetusta tarkkuusvaatmuksesta. () Tavallsest kyselytutkmuksssa käytetää otoskokoja ja 95 %: luottamustasoa. Suhteellse osuude luottamusväl ptuus o a = z / pˆ( pˆ) Jos tässäk korvaamme (ee otokse pomtaa tutemattoma) suhteellse osuude ˆp lukuarvolla, joka maksmo fukto f (ˆ) p = pˆ( pˆ) saamme luottamusväl maksmptuudeks a = z / 4 Jos luottamustasoa o = 0.95 / = 0.05 ja ormaaljakauma taulukode mukaa z / =.96 Jos ss otoskoko vahtelee välllä [500,000], 95 %: luottamusväl ptuus vahtelee välllä ( 0.0, 0.044) Tästä ähdää se, että tyypllsssä vaalkyselyssä puoluede todells kaatusosuuks lttyvä epävarmuus o huomattava suurta. Tehtävä 9.8. Tölktety tuoremehu C-vtamptosuus (mg/dl) vahtelee jok verra valmstuserästä tosee oudattae ormaaljakaumaa. Laboratoro haluaa selvttää erää tuoremehumerk keskmääräse C-vtamptosuude mttaamalla ptosuudet myyssä oleve tuoremehutölkke joukosta pomtusta ykskertasesta satuasotoksesta. Laboratoro haluaa tarka arvo C-vtamptosuudesta, että vodaa 95 %: varmuudella tehdä johtopäätös, että otoksesta laskettu keskmääräe C-vtamptosuus e pokkea todellsesta keskmääräsestä C-vtamptosuudesta eempää ku 0.5 mg. Määrää tarvttava otoskoko, ku akasempe tutkmuste perusteella tedetää, että C- vtamptosuude otoskeskhajota o tavallsest. mg. Tehtävä 9.8. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa tarvttava otoskoo määräämstä, ku ormaaljakauma odotusarvoparametrlle halutaa saada tety mttae luottamusväl. Ilkka Mell (008) 39/4

40 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Tehtävä 9.8. Ratkasu: Oletetaa, että tölktety tuoremehu C-vtamptuus vahtelee satuasest valmstuserästä tosee oudattae ormaaljakaumaa. Määrtellää satuasmuuttujat = Tuoremehu C-vtamptosuus (mg/dl) Oletamme, että N( µ, σ ) Oletetaa, että tölkke joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joa koko o. Kostruodaa otoksesta saatuje tetoje perusteella ( ) %: luottamusväl odotusarvoparametrlle µ. Koska varass σ o oletettu tuetuks, luottamusväl o muotoa jossa ± z / σ = havatoje artmeette keskarvo otoksessa σ = varass = havatoje lukumäärä z / ja +z / = luottamustasoo ( ) lttyvät luottamuskertomet stadardodusta ormaaljakaumasta N(0,) Ste odotusarvo µ luottamusväl o muotoa M ± a jossa M o havatoje artmeette keskarvo otoksessa. Jos haluamme parametrlle µ luottamusväl, joka ptuus o a, vomme muodostaa otoskoo ratkasemseks yhtälö a= z / Ratkasuks saadaa σ z /σ = a Jos otoskooks valtaa pe kaava atamaa lukuarvoa suuremmsta kokoasluvusta, saadaa haluttu varmuus stä, että todelle C-vtamptosuus o otoksesta kostruodu luottamusväl ssällä. Tehtävässä a = 0.5 = 0.95 z / =.96 σ = Ilkka Mell (008) 40/4

41 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Ste tarvttava otoskoo kaava ataa tulokseks luvu z /σ.96 = = 6.5 a 0.5 jote otoskooks ptää valta vähtää 6. Ilkka Mell (008) 4/4