Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Transkriptio

1 1 MAT LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat ss vektoreta x = x1 x2 x, jollo myös saotaa, että fukto f o : muuttuja fukto Dervota varte tarvtsemme fukto raja-arvo kästtee Peraate o sama, ku jatkuvuutta määrteltäessä: Ku muuttujapuolella o jouko A pstede joo { x k } joka lähestyy jota pstettä x koht, kuvapuolella fukto vastaave arvoje f ( x k ) joo lähestyy (mahdollsest) jota arvoa koht Jos tämä raja-arvo o olemassa ja sama jokasella pstettä x koht suppeevalla joolla { x k }, fuktolla f : A o rajaarvo, ku x x : lm f ( x ) = x x Muuttujapuolella tuo pste x e välttämättä kuulu joukkoo A Sllo rttää, että se o jouko A kasautumspste (lmt pot, rajapste) el että o olemassa jouko A \ { x } pstestä koostuva joo, joka suppeee koht pstettä x Sellae pste x, joka joko kuuluu joukkoo A ta o A: kasautumspste, o jouko A kosketuspste

2 2 Jatkuva fukto tapauksessa pstee x tok o kuuluttava joukkoo A Saamme ss fukto jatkuvuudelle seuraava karakterso: Lause 1 Fukto f : A o psteessä x A jatkuva, jos ja va jos x x ( ) lm f( x) = f x Jooje raja-arvoja koskevsta tulokssta saadaa fuktode summlle, tulolle ja osamäärlle luoollset, reaalfuktolle tutut laskusääöt (ks Laaja matematkka 3) Verrattua (yhde) reaalmuuttuja fukto raja-arvoh, useamma muuttuja fuktode raja-arvoje laskeme o yleesä huomattavast vakeampaa Tämä johtuu lähä stä, että lähestymstapoja o paljo eemmä Esmerkks lähestymssuuta o äärettömä mota, ku tä reaalaksellla o va kaks y x Esm 1 Raja-arvoa lm e ole olemassa, koska lähestyme ptk ( xy, ) (0,0) y + x koordaattakseleta johtaa er arvoh: x-aksela ptk lähestyttäessä lähestyy lauseke arvoa -1, ja y-aksela ptk arvoa 1 Esm 2 Raja-arvoa lm xy ( xy, ) (0,0) 2 4 x + y 2 e myöskää ole Tos koordaattakseleta 2 ptk lähestyme johtaa arvoo 0, mutta paraabela x = y ptk lähestyttäessä lähestytää arvoa ½

3 3 Esm 3 Fuktolla orgossa: 3 xy 2 4 f( x, y) =, ( x, y) (0,0) x + y se sjaa o raja-arvo lm f( x, y) = 0 Kokelemalla ptk koordaattakseleta saadaa 0 ( xy, ) (0,0) Tästä vodaa päätellä, että jos raja-arvo o olemassa, se o pakko olla 0 Arvot xy xy xy 0 = = xy, x 0, x + y x + y x o selväst vomassa myös, ku x = 0 Tästä ähdää, että raja-arvo o 0 Fukto raja-arvo käste vodaa esttää myös "ε δ " muodossa: Olkoo x jouko A kosketuspste Sllo fuktolle f : A pätee: lm f ( x ) = x x jos ja va jos jokasella ε > 0 o olemassa sellae δ > 0, että { } x A\ x & x x < δ f( x) < ε

4 4 2 Osttasdervaatat Oletetaa yhde reaalmuuttuja fuktode dervot tuetuks Osttasdervot o sllo dealtaa ykskertae: pdetää muta muuttuja vakoa, pats stä, joka suhtee dervodaa Jos fukto f : A määrttelyjoukko A o avo ja x = ( x,, x ) A, f: :s osttasdervaatta o 1 f ( x+ te ) ( ) ( ) lm f x x =, t 0 t mkäl okeapuolee raja-arvo o olemassa Jos ämä osttasdervaatat ovat olemassa jokasessa A: psteessä jokasella, saotaa: Fuktolla f : A o esmmäse kertaluvu osttasdervaatat Fukto o sllo jatkuvast dfferetotuva, mkäl ämä osttasdervaatat ovat jatkuva Jos esmmäse kertaluvu osttasdervaatat vodaa osttasdervoda, saadaa tose kertaluvu osttasdervaatat Nästä käytetää merktää 2 f ( x): = ( x ) j j Vastaavast määrtellää muut korkeamma kertaluoka osttasdervaatat

5 5 Dervotjärjestystä e välttämättä vo vahtaa Esm 4 Fuktolla xy( x y ), ( xy, ) (0,0) f( x, y) = x + y 0, ( xy, ) = (0,0) o esmmäse kertaluvu osttasdervaatat ( x,0) = x, x ja (0, y) = y, y, kute erotusosamäärllä y f f laskemalla ähdää Ss (0,0) = 1 ja (0,0) = 1 yx xy Mutta oeks tämä o harvasta, sllä dervotjärjestys vodaa vahtaa, jos tose kertaluvu osttasdervaatat ovat jatkuva: Lause 2 Dervomsjärjestykse vahto Jos fuktolla f : A o jatkuvat tose kertaluvu osttasdervaatat avomessa joukossa A, jokasessa A: psteessä x o vomassa f f ( x) = ( x), kaklla, j= 1,2,, j j

6 6 3 Välarvolause Suuatut dervaatat Reaalfukto f :[ ab, ] välarvolause takas, että välllä ( ab, ) o pste c, jossa f ( b) f( a) = f ( c)( b a) Fukto f rtt tässä olla suljetulla välllä ab, jatkuva ja avomella välllä ( ab, ) dfferetotuva Useamma muuttuja reaalarvoselle fuktolle f : A, A avo, saadaa jatkossa kehteltyä vastaavalae tulos Oletetaa f :llä oleva esmmäse kertaluvu osttasdervaatat A:ssa Todetaa es, että tarkasteltaessa fukto f muuttumsta aa yhde muuttuja x suhtee, saadaa reaalmuuttuja t fukto t f( x+ te ) Tämä dervaatta kohdassa t = 0 o sllo ( x ) Jos a o sellae luku, että jaa xx, + ae A, sllo reaalfuktode välarvolausee ojalla o olemassa sellae vako 0 < θ < 1, että f ( x+ ae) f( x) = ( x+ θae ) a Edelle tulos e velä oke käy välarvolauseeks, koska sä o tehty muutoksa psteestä x va koordaattaksele suut (el katavektore e suut Koska kutek melvaltasee psteesee päästää lmesest :llä koordaattaksele suutasella askeleella, saadaa ä ylesemp tulos Lause 3 Olkoo säde r > 0 sellae, että avo kuula Br( x ) A, ja muutos h pe, että x+ h B r ( x ) Sllo o olemassa pstettä z1,, z Br ( x ), x z < h, jode kautta kulke fukto f saama muutos o f( x+ h) f( x) = h ( z ) x = 1

7 7 Osttasdervaatat ovat määrtelmä mukaa dervaattoja koordaattakselede suutaa Ylesemm vodaa määrtellä fukto f : A suuattu dervaatta psteessä x A suutaa p: f f( x+ tp) f( x) ( x) = lm t p 0 t (Tämä rppuu pats vektor p suuasta, myös se ptuudesta Se vuoks mossa estyksssä määrtellää suuattu dervaatta va ykskkövektor suutaa) Käyttämällä lausee 2 tulosta, saadaa jatkuvast dfferetotuvalle fuktolle f suuattu dervaatta olemassa olevaks jokasessa avome jouko A psteessä x ja jokaselle suualle p 0 Suuattu dervaatta vodaa sllo laskea osttasdervaattoje avulla: ( x) = p x p x = 1 ( ) Tälle saadaa ykskertae estysmuoto gradet avulla Jos fuktolla f : A o avomessa joukossa A olemassa esmmäse kertaluvu osttasdervaatat, fukto f gradett psteessä x o f ( x) = ( x), ( x),, ( x) x1 x2 x Ylesmm gradetta pdetää vektora, jollo se o tässä estyksessä pystyvektor: f ( x) = ( x) 1 ( x) 2 ( x)

8 8 Käyttämällä gradetta saamme jatkuvast dfferetotuvalle fuktolle suuatu dervaata kaavaks: Lause 4 ( x) = f ( x) T p p Kokoamalla tulokset yhtee saadaa: Lause 5 Välarvolause Olkoo f : A jatkuvast dfferetotuva avomessa joukossa A Jos jaa xx, + h ssältyy joukkoo A, o olemassa sellae luku θ, 0< θ <1, että f( x+ h) f( x) = f( x+ θh) T h Suuattu dervaatta kertoo fukto muutosopeude suutaa p, jos p o ykskkövektor Sllo jos suuaks otetaa gradet suuta ormeerattua, ähdää, että fukto kasvaa opemm gradettsa suutaa Vastaavast vodaa todeta, että fukto peeee opemm gradettsa vastasuutaa

9 9 Esmmäse kertaluvu osttasdervaattoje olemassaolo e velä takaa fukto jatkuvuutta Esmerkkä stä käy fukto xy, (, ) (0,0) xy f( x, y) = x + y 0, ( xy, ) = (0,0) Mutta osttasdervaattoje jatkuvuus pelastaa taas tlatee: Lause 6 Jos f : A o avomessa joukossa A määrtelty jatkuvast dfferetotuva fukto (el fuktolla o joukossa A jatkuvat esmmäse kertaluvu osttasdervaatat), f o jatkuva