Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Transkriptio

1 TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest torstaa 4.. klo 0.00, koska Edta akaa laskarede mallratkasut perata 5. akaa.. Peruavlelä tutk tety laottee vakutusta perua sado määrää (satoa mtataa ykskössä toa/hehtaar). Vlelä valtsee arpomalla kahdeksa peltoruutua, oh okasee paaa er määrä laotetta: esmmäsee arvottuu ruutuu ykskkö, tosee arvottuu ruutuu ykskköä e. Merktää laottee määrää muuttualla x a sado määrää muuttualla Y. Koetulokset ovat seuraavat: x Y a) Prrä koetulokssta pstedagramm a hahmottele kuvaa pemmä elösumma (el PNS) suora. b) Määrää regressomall Y = β0 + βx + ε regressokertome PNS-estmaatt. c) Määrää estmodu regressomall ääösvarass estmaatt. d) Määrää estmodu regressomall seltysaste. e) Määrää regressokertomelle β symmetre 95 %: luottamusväl. f) Testaa hypoteesa H 0 : β = 0. Käytä kakssuutasta vahtoehtosta hypoteesa a 5 %: merktsevyystasoa. g) Testaa hypoteesa H 0 : β 0 = 0. Käytä kakssuutasta vahtoehtosta hypoteesa a 5 %: merktsevyystasoa. a) 30 Laottee määrä a peruasato sato (t/ha) laottee määrä

2 b) Muodostetaa avuks taulukko: x y x y (x ) (y ) SUM Lasketaa tauluko avulla elösummat a artmeettset keskarvot: SSxy = xy x y / = 800 = 48.5 = = = 8 36 SSxx = x x / = 04 = 4 = = 8 67 SSyy = y y / = 3577 = = = Termstä SS yy käytetää meä seltettävä elösumma ta kokoaselösumma. x = 36/ 8 = 4.5 y = 67 / 8 = Edellsstä saadaa regressokertome estmaatt: ˆ SSxy 48.5 β = =.55 SSxx 4 βˆ ˆ 0 = y βx Estmotu regressosuora o ss y = x. Huomaa suora kulmakertome tulkta: yhde laoteykskö lsäys kasvattaa satoa keskmäär.55 toa hehtaara kohde. c) Lasketaa seltetty elösumma SSR (Regresso Sum of Squares). Tästä käytetää myös use meä mallelösumma: SSR = SS SSE = βˆ SS = = yy xy Edellsestä saadaa ääöselösumma SSE (Error Sum of Squares): SSE = SSyy SSR = = Toe tapa laskea ääöselösumma SSE o k. resduaale elöde summa laskeme: ( ˆ ˆ ) β0 β SSE = y x = Jääösvarass harhato estmaatt: SSE σ ˆ = = 5.8 6

3 d) Mall seltysaste o seltety elösumma suhde seltettävä elösummaa: SSR R = = 0.66 SS yy Seltysaste mttaa havatoe a mall yhteesopvuutta. Koska seltysaste o välltä [0, ], se lmastaa use prosettea. Tässä tehtävässä vodaa saoa "mall selttää 6.6 % seltettävä elösummasta". e) Estmodaa es regressokertome β varass: σˆ 5.8 s ˆ = = 0.38 β SSxx 4 Luottamusväl o muotoa β ˆ ± t s α / βˆ, df =. 95 %: luottamusväl luottamuskertomeks saadaa t-akauma taulukosta.447, ku vapausasteta o 6. Luottamusvälks saadaa ste (0.45,.065). f) H 0 : β = 0, H : β 0 Testsuure: βˆ 0.55 t = = s β ˆ 5 %: merktsevyystasoa vastaavks hylkäysraoks saadaa t-akauma taulukosta ±.447, ku vapausasteta o 6. Koska testsuuree laskettu arvo 3.04 o suuremp ku hylkäysraa.447, testsuuree laskettu arvo o hylkäysalueella a H 0 vodaa hylätä 5 %: merktsevyystasolla. Regressokerro β pokkeaa ss tlastollsest merktseväst ollasta. (sama äkee myös e-kohda luottamusvälstä, koska arvo 0 e ole estmodu väl ssällä). g) Estmodaa es regressokertome β 0 varass: s x 4.5 = + ˆ = ˆ σ β0 SS xx 8 4 H 0 : β 0 = 0, H : β 0 0 Testsuure: βˆ t = = s β ˆ 0 5 %: merktsevyystasoa vastaavks hylkäysraoks saadaa t-akauma taulukosta ±.447, ku vapausasteta o 6. Koska testsuuree laskettu arvo o suuremp ku hylkäysraa.447, testsuuree laskettu arvo o hylkäysalueella a H 0 vodaa hylätä 5 %: merktsevyystasolla. Regressokerro β 0 pokkeaa ss tlastollsest merktseväst ollasta.

4 . (Yhteesopvuustest) Kompoet käyttöä vätetää oleva ekspoettakautuut odotusarvoa 500 tuta. Pomtaa kompoetesta ykskertae satuasotos kokoa 00 a merktää käyttöät ylös: tomta-aka kpl alle 50 h h h h 30 yl 000 h 9 Sopvatko havaot yhtee se kassa, mtä akaumasta o vätetty? Testaa 5 %: merktsevyystasolla. H 0 : Kompoette käyttökä oudattaa ekspoettakaumaa odotusarvoa 500 h H : Kompoette käyttökä e oudata ekspoettakaumaa odotusarvoa 500 h Lasketaa luokke todeäkösyydet (olettae, että H 0 pätee) a de avulla odotetut frekvesst. Esmerkks P(50 < X < 500) = e 50/500 e 500/ a vastaava luoka odotettu frekvess o ste Huomaa, että odotettua frekvesseä e pyörstetä kokoasluvuks. Testsuure perustuu havattue frekvesse a odotettue frekvesse vertaluu, ote odotettue frekvesse summa täytyy täsmätä havattue frekvesse summa 00 kassa. Havatut frekvesst a odotetut frekvesst taulukossa: Lasketaa testsuuree arvo: χ Luokka O luoka t. E alle 50 h h h h yl 000 h Summa: k ( O E) ( ) ( ) = = E = df = k = 4 (yhtää parametra e estmotu). 5 %: merktsevyystasolla vapausastella 4 saadaa χ -akauma taulukosta krttseks arvoks 9.49, ote ollahypotees vodaa hylätä 5 %: merktsevyystasolla. Havatoe perusteella kompoette elkä e oudata ekspoettakaumaa odotusarvoa 500 tuta.

5 3. (Homogeesuustest) Kahdelle heklölle A a B o kummallek aettu oppa a kumpaak o pyydetty hettämää stä 0 kertaa. A a B kertovat saatue slmälukue frekvesse akautuee kute alla taulukossa o estetty. Oko mahdollsta, että heklöt ovat käyttäeet samaa oppaa? Testaa 5 %: merktsevyystasolla. Slmäluku A: tulokset B: tulokset Huomaa, että tässä testausasetelmassa o kerätty kaks tosstaa rppumatota otosta a tehtävää o tutka, ovatko otokset peräs samasta akaumasta (akauma muodosta e tehdä mtää oletusta). Huomaa, että tutka o päättäyt kummak otokse koo etukätee. Muotollaa hypoteest: H 0 : A- a B-frekvesst ovat peräs samasta akaumasta H : A- a B-frekvesst evät ole peräs samasta akaumasta Merktää deksllä rveä, =,,, r (egl. row), deksllä sarakketa, =,,, c (egl. colum). Odotetut frekvesst määrätää kertomalla vastaava havattue frekvesse sarakesumma vastaavalla rvsummalla a akamalla frekvesse kokoassummalla. O Sum Sum E Sum Sum Esm. odotettu frekvess E 6 = 59 0/40 = 9.5. Lasketaa testsuuree arvo kaavalla χ r c ( O ) E = E = = Järestetää laskutomtukset selkeyde vuoks taulukkoo kute edellä: χ Sum.406

6 Vapausastede lukumäärä df = (r )(c ) = 5 a krttseks arvoks saadaa.07. Nollahypotees ää vomaa, koska laskettu testsuuree arvo.406 o peemp ku.07. O ss mahdollsta, että heklöt A a B ovat hettäeet sama oppaa. 4. (Rppumattomuustest) Eräässä taloudellsessa tutkmuksessa kartotett yrtyste tulevasuudeodotuksa. Tutkmuksessa haastatelt ykskertasella satuasotaalla valtut 85 er yrtykse edustaaa a saat seuraavalaset tulokset: Näkymät: Yrtykse tyypp: hyvät eutraalt huoot vetyrtykset 7 33 kotmarkkayrtykset Testaa 5 %: merktsevyystasolla pokkeavatko vetyrtyste a kotmarkkayrtyste tulevasuudeodotukset tosstaa. Rppumattomuustestssä tutka o päättäyt aoastaa otoskoo etukätee a kerää yhde aoa otokse, mutta havatut frekvesst akautuvat satuasest sekä yrtykse tyyp mukaa että tulevasuudeäkyme mukaa. Itse test suortetaa kute homogeesuustestk. Muotollaa hypoteest: H 0 : Vetyrtyste a kotmarkkayrtyste suhtautumsessa tulevasuutee e ole eroa H : Vetyrtyste a kotmarkkayrtyste suhtautumsessa tulevasuutee o eroa Merktää deksllä rveä, =,,, r (egl. row), deksllä sarakketa, =,,, c (egl. colum). Odotetut frekvesst määrätää kertomalla vastaava havattue frekvesse sarakesumma vastaavalla rvsummalla a akamalla frekvesse kokoassummalla. O 3 Sum Sum E 3 Sum Sum Esm. odotettu frekvess E 3 = 40 7/ Lasketaa testsuuree arvo kaavalla χ r c ( O ) E = E = =

7 Järestetää laskutomtukset selkeyde vuoks taulukkoo kute edellä: χ Sum.709 Vapausastede lukumäärä df = (r )(c ) = a krttseks arvoks saadaa Nollahypotees ää vomaa, koska laskettu testsuuree arvo.709 o peemp ku Vetmarkkode a kotmarkkode yrtyste tulevasuudeodotukset evät pokkea tlastollsest merktseväst tosstaa. Pstetehtävä. Eräässä tehtaassa o kolme er työvuoroa: A, B a C. Ptkällä aaaksolla vuorossa A tapahtuu 0 työtapaturmaa a vuorossa B a C kummassak 0 työtapaturmaa. Vakuttaako työvuoro työtapaturme lukumäärää? Testaa 5 %: merktsevyystasolla. Kakk työvuorot oletetaa yhtä ptkks a kakssa vuorossa o yhtä palo työtekötä. Muotollaa testattavat hypoteest: H 0 : Työvuoro e vakuta työtapaturme lukumäärää H : Työvuoro vakuttaa työtapaturme lukumäärää Jos työvuoro e vakuta työtapaturme lukumäärää, tapaturme lukumäärä ptäs oudattaa dskreettä tasasta akaumaa. El hypoteest vodaa muotolla: H 0 : Työtapaturme lukumäärä er vuorossa oudattaa dskreettä tasasta akaumaa H : Työtapaturme lukumäärä er vuorossa e oudata dskreettä tasasta akaumaa Tässä tehdää tos saoe yhteesopvuustest. Merktää havattua frekvesseä O (egl. observed) a odotettua frekvesseä E (egl. expected): O Luokka 3 Summa Havattu frekvess E Luokka 3 Summa Odotettu frekvess

8 Lasketaa testsuuree arvo: χ k ( O ) ( ) ( ) ( ) E = = + + = 4 E = Nollahypotees pätessä testsuure oudattaa (asymptoottsest) χ -akaumaa vapausastella df = k = a testsuuree suuret arvot vttaavat she, että ollahypotees e päde. Krttseks arvoks saadaa χ -akauma taulukosta 5.99, ote H 0 ää vomaa 5 %: merktsevyystasolla. Työtapaturme lukumäärät er työvuorossa evät pokkea tosstaa tlastollsest merktseväst el havatut erot työtapaturme lukumäärssä vovat olla satuasvahtelu aheuttama. Pstetehtävä. Eräässä 4 kua otoksessa suhteellse rkollsuude (rkoksa per 000 asukasta) a asukastheyde (asukasta per km ) välse otoskorrelaatokertome arvoks saat r = Testaa ollahypoteesa, että ko. muuttuat ovat korrelomattoma. Käytä kakssuutasta vahtoehtosta hypoteesa a 5 %: merktsevyystasoa. H 0 : ρ = 0, H : ρ 0 r 0.57 t = = r 0.57 Jos ollahypotees pätee, testsuure oudattaa t-akaumaa vapausastella. Krttsks arvoks 5 %: merktsevyystasolla saadaa ±.0. Nollahypotees ää vomaa 5 %: merktsevyystasolla ts. asukastheys a suhteelle rkollsuus evät korrelo. Huomaa, että yhde selttää leaarse regressomall tapauksessa test korrelaatokertomelle a test regressokertomelle yhtyvät. Lsäks yhde selttää leaarse regressomall seltysaste o sama ku otoskorrelaatokertome elö. Perataa 5. lueolla kerrataa älkmmäse välkoealuee asota. Tovomuksa kertauslueolla kästeltävstä ahesta vo lähettää sähköpostlla osotteesee mat090@cc.hut.f. Jälkmmäe välkoe o tstaa 6.. klo 9-. Ilmottautume Topssa o auk. Koealue: Lase kra luvut , 5.8, , (pl. bootstrapluottamusvält), lueot vkolta a laskuharotukset 7-. Välkoeuusa 7.. tulokset löytyvät kurss kotsvulta. Sekä välkokee että uustakokee arvosteluu vo tutustua torstaa 4. klo Systeemaalyys laboratoro Rhessä (U9a, päärakeukse Mell-sal puolee pääty, toe kerros).