ARITMEETTIS-GEOMETRIS-HARMONINEN KESKIARVOEPÄYHTÄLÖ

ARITMEETTIS-GEOMETRIS-HARMONINEN KESKIARVOEPÄYHTÄLÖ Markus Haula Matematka Pro Gradu-tutkelma Jyväskylä ylopsto Matematka ja tlastotetee latos Kesä 2008

Ssältö. Johdato 2 2. Määrtelmä 3 2.. Artmette keskarvo 3 2.2. Geometre keskarvo 3 2.3. Harmoe keskarvo 4 3. Artmeetts-geometrs-harmoe keskarvoepäyhtälö ja se todstame 5 3.. Todstuksa tapauksessa =2 6 3.2. Ylee tapaus, termä 4. Epäyhtälö H G A sovelluksa 26 4.. Sovelluksa samapaosessa tlateessa 27 4.2. Sovelluksa paotetussa tlateessa ja muta ylestyksä 30 5. Potesskeskarvot 35 5.. Potesskeskarvoepäyhtälö 37 5.2. Potesskeskarvoepäyhtälö sovelluksa 39 6. Kvas-artmeette f-keskarvo 42 Lähdeluettelo 43

2 ARITMEETTIS-GEOMETRIS-HARMONINEN KESKIARVOEPÄYHTÄLÖ. Johdato Tässä pro gradu-tutkelmassa perehdytää kolmee keskarvoo, artmeettsee, geometrsee ja harmosee. Joklase kuva äde keskarvoje hstorallsuudesta ataee stä joskus käytetty yhtesmtys, pythagoralaset keskarvot. Näde keskarvoje välllä valltsee epäyhtälö, joka merktystä kakkee epäyhtälöopp ja tutkmuksee e voda väheksyä ja use tätä epäyhtälöä pdetääk tämä ahepr kvjalkaa. Kysee epäyhtälö ja ertysest se todstame o kehtout matemaatkkoja jo vuossatoja, tosaalta epäyhtälö merkttävyyde ja tosaalta se äeäse helppoude taka. Kahde term tlateessa epäyhtälö leee tuettu jo atk ajosta, mutta ylee, paotettuje keskarvoje tulos :lle termlle äyttäs lmestyee esmmäse kerra vasta 800-luvulla. Pääpao tutkelmassa ok tämä epäyhtälö hyvk erlaste todstukse läpkäyt. Todstuksssa pääpao tulee olemaa ylesssä : term tapauksssa, jota estetää 2 kappaletta. Todstuksa äytetää myös helpossa kahde term tlatessa, sllä ätä kahde term tapauksa vodaa havaollstaa melektoslla geometrsllä argumetella ja tosaalta e tomvat sopva välaskelma momutkasmmlle todstukslle vrt. esm. dukto. Ee todstuks srtymstä estellää kyseste kolme keskarvo määrtelmät ja käydää lyhyest läp mllasssa tlatessa kuk keskarvosta kuvaa keskmääräsyyttä parhate ta pkemmk oke. Tutkelma keskosa keskttyy pääaheesee el artmeetts-geometrs-harmose keskarvoepäyhtälö todstuks. Todstuksa estellää lukusa ja tossa ähde hyvk erlasa matemaattsa työkaluja hyväkskäyttävä. Todstuste jälkee äytetää rusaast esmerkkejä, jossa tetoa tämä epäyhtälö olemassaolosta vodaa soveltaa ja käyttää hyväks. Kahdessa vmesessä kappaleessa tutustutaa ähk) keskarvoh lttyv ylestyks ja osotetaa että artmeetts-geometrs-harmoe keskarvoepäyhtälö o tseasassa erkostapaus ylesemmästä potesskeskarvoepäyhtälöstä. Todstuksssa käytetää apua erlasa matemaattsa tuloksa. Osa tulokssta todstetaa tämä työ puttessa de estyessä esmmäse kerra, jäljempää h luoollsest va vtataa. Apua käytetää myös tuloksa jota e tässä työssä todsteta, tällö vtataa krjallsuutee josta todstus löytyy. Pääasallsea lähdeteoksea tässä tutkelmassa käytetää erttä kattavaa P.S Bulle krjaa Hadbook of Meas ad Ther Iequaltes [2, s. 60-90], myös tutkelmassa estyvät kuvat ovat peräs tästä lähdeteoksesta. Neljäessä kappaleessa tärkeää lähdeteoksea käytetää Herma, Kucera ja Smsa krjaa Equatos ad Iequaltes [5, s. 5-7].

2. Määrtelmä 2.. Artmette keskarvo. Ava esmmäseä o syytä mata että artmeette keskarvo o keskarvosta tuetu ja ykskertas. Suurmmalle osalle hmsä tämä o aoa tapa määrttää keskmääräsyyksä. Ku kasakelellä puhutaa keskarvosta tarkotettaee lähes pokkeuksetta artmeettsta keskarvoa. Määrtelmä 2.. Lukuje a, a 2,..., a artmeette keskarvo määrtellää Aa,, a ) = a + + a. Esmerkk 2.2. Olkoo aettu postvset luvut a ja b, a < b ja lsäks o jok luku x ste että a x b. Jos yrtetää arvata lukua x kyseseltä välltä, mte arvaus o suortettava, että vrhe ols mahdollsmma pe? Ratkasu. Olkoo arvaus y, tällö vrhe ols α = y x. Klassse Tsebysev teoreema mukaa y tulee valta ste että se o yhtä etäällä kummastak päätepsteestä el y a = y b, josta ratkasemalla saadaa y = a+b 2 = Aa, b). Use keskarvoja joudutaa laskemaa tlatessa, jossa sama luku tostuu useaa kertaa ta josta muusta syystä lukuja o syytä paottaa er tavo. Lukuje erlasee paotuksee vo olla syyä esmerkks lukuje lmeemse erlae todeäkösyys. Tällö o kätevää käyttää paotettua keskarvoa. Määrtelmä 2.3. Ku luku a saa postvse pao w, luku a 2 pao w 2 je., tällö paotettu artmeette keskarvo määrtellää A w a w,, a w ) = a w + + a w w + + w. Huomautus 2.4. Helpost ähdää että jos w = = w =, tällö kyseessä o ormaal artmeette keskarvo. Esmerkk 2.5. Opettaja haluaa laskea 22 opplaa luokkasa kokee keskarvo. Tyypllsest usealla opplaalla saattaa olla sama arvosaa, tällö opettaja tehtävää helpottaaksee käyttää paotettua artmeettsta keskarvoa. Koetulokset olvat seuraavalaset: kpl 0; 3kpl 9; 2kpl 8, 5; 5kpl 8; 5kpl 7, 5; kpl 7; 3kpl 6 ja 2kpl 5. Luoka kokede keskarvoks saadaa ss, 0 + 3 9 + 2 8, 5 + 5 8 + 5 7, 5 + 7 + 3 6 + 2 5 A w = 7, 57. + 3 + 2 + 5 + 5 + + 3 + 2 2.2. Geometre keskarvo. Seuraavaks esttelyvuorossa o geometre keskarvo, josta jossa krjallsuudessa äkee käytettävä myös termä keskverto. Määrtelmä 2.6. E-egatvste lukuje a, a 2,, a geometre keskarvo määrtellää Ga,, a ) = a a. Lasketaa seuraavaks tyyplle ja helppo korkolaskuesmerkk tlateesta jossa geometre keskarvo kuvaa keskmääräsyyttä oke. 3

4 Esmerkk 2.7. Pakktllle maksett korkoa esmmäseä vuoa %, tosea vuoa 3% ja kolmatea vuoa 5%. Mkä ol keskmääräe vuotue korkoprosett? Ratkasu. Sovelletaa prosettkertoma geometrse keskarvo yhtälöö el esmmäse vuode jälkee pääoma o tullut, 0-kertaseks je. G = 3, 0, 03, 05, 02987 jote keskmääräe korkoprosett ol ss. 2, 987 ekä tasa 3, mkä ols ollut artmeette keskarvo. Kysee tehtävä o helppo tarkstaa. Pääoma kasvaa ss kolmessa vuodessa, 0, 03, 05, 0923-kertaseks. Ja koska, 03 3, 0927 ja, 02987 3, 0923, havataa artmeettse keskarvo atava väärä ja yllä määrtelty geometre keskarvo puolestaa okea ratkasu kysese kaltasee ogelmaa. Samo ku artmeettse keskarvo kohdalla vo geometrse keskarvo yhteydessä sama luku estyä useaa otteesee ta josta muusta syystä luvulle halutaa ataa erlasa paotuksa. Määrtelmä 2.8. Paotettu geometre keskarvo määrtellää yhtälöä, G w a w,, a w ) = a w a w w ) + +w. 2.3. Harmoe keskarvo. Vmeseä esttelyvuorossa o harmoe keskarvo. Johdatteleva ogelma: Ajat autolla es 00 km opeudella 20 km/h ja toset 00 km opeudella 80 km/h. Mkä o keskopeutes? Ole esttäyt tämä kysymykse molle, loogsee ajatteluu kykeevlle, tutulle täys yllättävssä tlatessa ja pyytäyt hetä vastaamaa tutosa pohjalta. Kakke tutovekkaukset olvat 00 km/h. Kuvaav ol ehkäpä dplomsöörystävä toteamus, ette se stte varmaakaa ole 00 km/h, ku stä vartavaste kysyt. Kakk ystävä ss kuvttelvat keskopeude oleva artmeette keskarvo, jota se e sukaa ole. Ratkasu kysytykaltasee tlateesee ataa harmoe keskarvo. Määrtelmä 2.9. Postvste lukuje a,..., a harmoe keskarvo määrtellää yhtälöä Ha,..., a ) = a +... +. a Esmerkk 2.0. Yllä kuvatu keskopeusogelma ratkasu o ss opeukse harmoe keskarvo. 2 H = = 96 km/h + 20 km/h 80 km/h

Esmerkssä 2.2 tutktt tlaetta mssä vrhe halutt mmoda. Nyt todeäköse vrhee sjaa halutaak mmoda suhteelle vrhe. Esmerkk 2.. Olkoo tlae muute samalae kute esmerkssä 2.2 mutta yt lukua x yrtetää arvata ste että suhteelle vrhe ols mahdollsmma pe. Ratkasu. Olkoo arvaus edellee y, tällö suhteellseks vrheeks saadaa β = y x. Nyt etstää ss lukua y, joka suhteellset vrheet päätepstede a ja b suhtee o samat. x El y a = y b, josta ratkasemalla saadaa y = 2ab = Ha, b). a b a+b 5 Myös harmoselle keskarvolle o luoollsest olemassa paotettu keskarvo. Määrtelmä 2.2. Paotettu harmoe keskarvo postvslle lukuvulle a,..., a, jolle aak yks w > 0 ku =,...,, määrtellää yhtälöä H w a w,..., a w ) = w +... + w +... + w Huomautus 2.3. Seuraava yhteys o syytä huomata w a a. H w w a,..., w a ) = A w w a,..., w a ). Tästä johtue harmose keskarvo omasuuksa e usekaa estetä kov ykstyskohtasest, sllä e seuraavat vars helpost artmeettse keskarvo vastaavsta omasuukssta. Huomautus 2.4. Jatkossa merkät saattavat hema vahdella samapaose ja paotetu tlatee välllä, vahtelua vo lmetä myös se suhtee kuka moesta termstä kullok keskarvo otetaa. Nmttä lähes pokkeuksetta tlateesta selvää lma värkästykse vaaraa mtä tarkotetaa, vakke momutkastettuja merktöjä käytettäskää. Jatkossa vodaa ss käyttää : term artmeettselle keskarvolle merktää A, myös paotettussa tlateessa. Jos tlae vaat, : term paotetulle artmeettselle keskarvolle vodaa käyttää jopa merktää A w,. 3. Artmeetts-geometrs-harmoe keskarvoepäyhtälö ja se todstame Nyt ku kolmee yllä mattuu keskarvoo o tutustuttu, vodaa srtyä tämä työ varsase ahee par. Lause 3.. Nälle kolmelle keskarvolle pätee epäyhtälö H w w a,..., w a ) G w w a,..., w a ) A w w a,..., w a ), mssä a > 0 ja w > 0, jos a =... = a. =,...,. Yhtäsuuruus toteutuu epäyhtälössä jos ja va Lausetta 3. e todsteta velä tässä vaheessa, koska tämä koko kappale kolme o omstettu kysese lausee erlaslle todstukslle. Huomautus 3.2. Jatkossa epäyhtälö krjotetaa lyhyemm muodossa H G A

6 Tutustutaa aluks lausee 3. epäyhtälöö lttyvää geometrsee tulktaa. Olkoo 0 < a < b ja ABCD puolsuukas, jossa AB ja CD ovat yhdesuutaset svut. Lsäks AB = a, CD = b ja jaoje AC ja BD lekkauspste olkoo K. Katso kuva. Pste I puolttaa jaa AD ja pste J puolestaa puolttaa jaa BC. GH jakaa puolsuukkaa ABCD kahtee yhdemuotosee puolsuukkaasee. Tällö IJ = Aa, b), GH = Ga, b) ja EF = Ha, b). Kuva. Ha, b) Ga, b) Aa, b). Käydää yllä olevat tulokset esmerkomasest läp. Esmerkk 3.3. IJ = Aa, b): Olkoo puolsuukkaa ABCD korkeus h. Tällö puolsuukkaa pta-alaks saadaa A = a+b h. Koska pste I puolttaa jaa AD ja pste J jaa BC, yhdemuotosuude ojalla puolsuukkade ABJI ja IJCD korkeudet ovat h. Jos 2 2 lsäks IJ = y pta-aloks saadaa A = b+y h ja A 2 2 2 = y+a h. Ratkasemalla y 2 2 yhtälöstä A = A + A 2 saadaa y = a+b el IJ = Aa, b). 2 GH = Ga, b): Jaa GH jakaa puolsuukkaa kahdeks keskeää yhdemuotoseks puolsuukkaaks. Jos GH = x a x = x b, josta x = ab. Sspä GH = Ga, b). EF = Ha, b): Olkoo yhdemuotoste kolmode ABK ja CDK korkeudet h ja h 2 el h = h + h 2. Tällö yhdemuotosuude ojalla h 2 = ah b. Merktää EF = z. Nyt jaa EF jakaa puolsuukkaa kahdeks peemmäks puolsuukkaaks. Tällö A = b+z h 2 ja A 2 = a+z h 2 2 ja ratkasemalla z pta-alayhtälöstä A = A +A 2, saadaa z = 2ab el EF = Ha, b). a+b 3.. Todstuksa tapauksessa =2. Aluks käydää läp jotak todstuksa tässä helpomassa mahdollsessa tlateessa. Nä saadaa pehmeä lasku vaatvmmlle todstukslle ja tosaalta pystymme geometrsllä todstukslla havaollstamaa tätä perustavaa laatua oleva tulosta.

Lause 3.4. Olkoot a ja b postvsa reaallukuja. Tällö pätee kahde term geometrsartmeette keskarvoepäyhtälö a + b GA) ab 2, 7 mssä yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a = b. Huomautus 3.5. Kahde term tlateessa o syytä huomata melektoe yhteys Todstus. Tulos saadaa suoralla laskulla. Ga, b) = Aa, b)ha, b). Geometre keskarvo artmeettsesta ja harmosesta keskarvosta o ss geometre keskarvo. Lause 3.6. Jos kahde term tlateessa G A H G A. Todstus. Käyttämällä apua huomautusta 3.5 saadaa helpost G GH G H ja A AH A H. Seuraavaks äytetää muutama todstuksa epäyhtälölle Ga, b) Aa, b) ja yllä oleva ojalla kaks muuta epäyhtälöä seuraa välttömäst. Todstus. I) Tulos seuraa suoralla laskulla huomaamalla, että a b) 2 0. Todstus. II) Tulokse lmesyys selvää helpost yhtälöstä a + b) 2 = 4ab + a b) 2. Olettamalla 0 < a < b vodaa kyseselle yhtälölle esttää ykskertae geometre tulkta, mkä o estetty kuvassa 2. Kuva 2. GA): geometre tulkta kahde term tlateessa.

8 Todstus. III) Esmmäe varsae geometre todstus saadaa seuraavalla tavalla. Tlae o estetty kuvassa 3. Kuva 3. Geometre todstus. Valtaa O-keskse puolympyrä halkasjalta AB pste D, Olkoo AD = a ja DB = b. Valtaa pste C puolympyrä kaarelta ste että kulma ADC o suora, tällö CD = ab = G ja CO = a+b = A. Thalee lausee ojalla katso esm. 2 [6, s. 00]) ACB o suora. Koska psteestä C halkasjalle AB kohtsuora etäsyys o lyh, CD CO ja yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos D = O. Todstus. IV) Todstus vodaa suorttaa myös käyttämällä hyväks pta-alatulktaa. Katso kuva 4. Kuva 4. Pta-alatulkta. Olkoo ABCD elö, joka svu ptuus o b ja olkoo ABF E suorakulmo, joka svu ptuudet ovat a ja b. Merktää ABF E pta-alaa A, AGE alaa A 2, ABF G

alaa A 3 ja ABC alaa A 4. Tällö A = A 2 + A 3 A 2 + A 4. Ss ab a2 + b2, joka seveee helpost muotoo ab a+b. Epäyhtälössä yhtäsuuruus pätee ku pta-alat A 3 ja A 4 ovat yhtäsuuret, ja tämä toteutuu jos ja va jos 2 2 2 a = b. 3... Ylese pao tapaus, ku =2. Yllä epäyhtälö o todstettu samapaosessa tlateessa. Seuraavaks srrytää kahde term ylese muodo todstuks. Lause 3.7. Olkoo a, b, α ja β postvsa reaallukuja. Tällö pätee kahde term paotettu geometrs-artmeette keskarvoepäyhtälö GA) a α b β ) α+β ja yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a = b. αa + βb α + β, Huomautus 3.8. Ee todstuksa huomodaa seuraava yhteys. Ku λ > 0 vodaa lause 3.7 krjottaa seuraavalla tavalla. a λα b λβ ) λα+λβ = a α b β ) α+β αa + βb α + β λαa + λβb = λα + λβ. Tämä o hyödylle teto, sllä yt todstuksssa vodaa tarpee vaatessa skaalata paoja α ja β meettämättä kutekaa todstukse ylespätevyyttä. Sama kaltaslla ykskertaslla laskulla vodaa äyttää, että paoje lsäks lukuja, josta keskarvo otetaa vodaa myös skaalata. Todstus. I) Lausee 3.4 todstus IV) vodaa ylestää tähä tlateesee. Tässä todstuksessa oletetaa, että α + β = ja huomautukse 3.8 ojalla todstukse ylespätevyys e stä kärs. Sjotetaa pste A koordaatsto orgoo O ja jaat AB ja AD koordaattakselelle. AGC kulkee ptk käyrää y = x α/β, katso kuva 5. 9 Kuva 5. Pta-alatulkta.

0 Olkoo ABCD elö, joka svu ptuus o d ja olkoo ABF E suorakulmo, joka svu ptuudet ovat c ja d. Merktää ABF E pta-alaa A, AGE alaa A 2, ABF G alaa A 3 ja ABC alaa A 4. Tällö A = A 2 + A 3 A 2 + A 4. Tämä vodaa tegraallasketaa apua käyttäe esttää muodossa cd = αc /α + βd /β. Tekemällä yt muuttujavahdot c = a α, d = b β ja mustamalla että α + β =, havataa tulokse oleva lausee 3.7 edellyttämässä muodossa. Huomautus 3.9. Ku a, b R +, klassse Youg epäyhtälö mukaa ab ap p + bp p, mssä postvset luvut p ja p ovat s. kojugodut dekst, jolle pätee p + p =. Seuraus 3.0. Youg epäyhtälö o tetty erkostapaus lauseesta 3.7. Todstus. Tekemällä Youg epäyhtälöö es sjotukset w = p ja w 2 = p saadaa se muotoo ab w a w + w 2 b w 2. Tekemällä yt tähä uudet sjotukset a = x w ja b = y w 2 saadaa tämä puolestaa muotoo x w y w 2 w x + w 2 y. Alkuoletuste valltessa w +w 2 = p + p =, jote kyseessä o tsmallee lausee 3.7 edellyttämä muoto el paotettu geometrs-artmeette keskarvoepäyhtälö kahde term tapauksessa. Pääsmme ss pelkllä muuttujavahdolla Youg epäyhtälöstä lausee 3.7 tutumpaa muotoo. Huomautus 3.. Dfferetaallaskea laajeetu välarvolausee mukaa suljetulla välllä [c, d] jatkuvlle ja avomella välllä ]c, d[ dervotuvlle fuktolle f ja g o olemassa ξ ]c, d[ ste, että fd) fc) gd) gc) = f ξ) g ξ), kuha lsäks g x) 0 välllä ]c,d[. Katso [, s. 2]

Todstus. II) Kostruodaa fuktot fx) = x u ja gx) = x v, mssä u v, u, v > 0 ja x > 0. Käyttämällä huomautukse 3. laajeettua välarvolausetta kumpaak ästä fuktosta välllä [c, d], c > 0 saadaa Tästä puolestaa saadaa epäyhtälö d u c u d v c = uξu uξu = v vξv vξ. v d u c u d v c > ucu v vd, v josta rstkertome ja epäyhtälö muokkaus ataa uc u+v + vd u+v > u + v)c u d v. Ku velä lopuks tehdää sjotus a = c u+v, oleva lausee 3.7 edellyttämä muoto. b = d u+v, huomataa kyseessä 3.2. Ylee tapaus, termä. Seuraavaks srrytää kahde term keskarvoepäyhtälöstä yles termä ssältäv tapauks. Lause 3.2. Geometrs-artmeette keskarvoepäyhtälö) GA) G w w a,..., w a ) A w w a,..., w a ), mssä yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a =... = a. Seuraus 3.3. H w w a,..., w a ) G w w a,..., w a ) A w w a,..., w a ) Yhtäsuuruus toteutuu epäyhtälössä jos ja va jos a = = a. Todstus. Käyttämällä huomautukse 2.3 yhteyttä ja GA):ä joka ss todstetaa ylesessä tlateessa jäljempää), saadaa H w w a,..., w a ) = A w w a,..., w a G w w a,..., w a ) = G w w a,..., w a ). Huomautus 3.4. Seuraukse 3.3 todstuksesta johtue lausee 3. epäyhtälöstä todstetaa tyypllsest va lausee 3.2 osuus el GA). Huomautus 3.5. Ku x > 0 ja x, x < log x < x. x Todstus. Merktää fx) = x log x, tällö fukto f saavuttaa aoa) suurmma arvosa ku x = ja tällö f) = 0. Okeapuolee epäyhtälö seuraa suoraa tästä. Vasemmapuolee epäyhtälö puolestaa seuraa muuttujavahdolla x = okeapuolesesta epäyhtälöstä. y )

2 Lemma 3.6. Jos a =, a. Yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a =... = a. Todstus. Huomautukse 3.5 okeapuolese epäyhtälö ojalla log a a + 0, a + log a ) =. Myös yhtäsuuruus seuraa suoraa käytetystä epäyhtälöstä. Huomautus 3.7. Oletetaa lemma 3.6 oletukse sjaa, että w =. Tällö hema samatyyppsellä tavalla saadaa GA) todstettua kokoasuudessaa el ylese pao tlateessa. Todstus. Koska w > 0 =,...,, vodaa huomautukse 3.5 okeapuolese epäyhtälö ojalla krjottaa ) )) a a a w ) w w + log = w + log G w G w G w, =,...,. w Suorttamalla summaus puoltta, saadaa A w w + log G w Gw G w ) = ja yhtäsuuruus pätee selväst jos ja va jos a =... = a. Huomautus 3.8. Huomautukse 3.7 todstus o ylespätevä, sllä huomautuksessa 3.8 estetty skaalaus tapauksessa = 2, o ylestettävssä suoraa ylesee tlateesee. 3.2.. Samapaose tlatee todstukse rttävyys. Seuraavaks äytetää että lause 3.2 vodaa johtaa samapaosesta tlateesta. Lause 3.9. O rttävää todstaa lause 3.2 samapaosessa tlateessa. Todstus. Ku lause 3.2 o es todstettu samapaosessa tlateessa, edetää seuraavaks tlateesee mssä w N +,. Tämä o trvaalst muuettavssa samapaoseks tlateeks. Tämä jälkee äytetää, että ku w Q +,, tlae palautuu edellsee muotoo. Osotetaa tämä tlateessa = 2. Olkoo m,, r, s N + tällö ) a m a r ) m s + r s 2 = a m a r s ms+r s 2 msa + ra 2 ms + r = s m a + r s a 2) ms + r = a ms a r = m 2 ) ms+r a + r s a 2 m + r s Tämä todstus o ylestettävssä suoraa tlateesee mssä termejä o kpl. GA) ylesllä reaalslla paolla w saadaa seuraavast: Yllä todstus o suortettu ratoaalslle paolle. Jos paot w ovat rratoaalsa valtaa ratoaallukujoot.

q w. Nälle lukujoolle epäyhtälö vase ja okea puol suppeevat koht stä mtä ptääk ja asa o kuossa myös reaalslla paolla w. Saatetaa todstus loppuu äyttämällä, että lausee 3.2 epäyhtälö o ato kuha a,..., a evät ole kakk yhtäsuura. Oletetaa että kakk paot evät ole ratoaalsa. Krjotetaa w = u + v, mssä u 0 ja v Q + \ {0}, =,...,. Nyt GA): ojalla, G u a,..., a ) A u a,..., a ) ja edellee ku kakk a,..., a evät ole yhtäsuura pätee ratoaalslle paolle, G v a,..., a ) < A v a,..., a ). Saadaa ss G w a,..., a ) = G u +...+u w +...+w u G v +...+v w +...+w v u +...+u w < A +...+w u A v +...+v w +...+w v u +... + u w +... + w A u + v +... + v w +... + w A v = A w a,..., a ). Vmee epäyhtälövahe saadaa Youg epäyhtälö avulla. 3.2.2. Todstuksa samapaosessa tlateessa. Todstettaessa GA):ä e lausee 3.9 ojalla ss meetetä todstukse ylespätevyyttä, vakka todstus suortetaa tlateessa w =... = w. Tätä tetoa tullaa hyödytämää todstuksssa. Huomautus 3.20. Jos todstuksssa e muuta mata, kakk jäljempää tulevat todstukset käyttävät hyväks lausee 3.9 tetoa ja todstukset suortetaa samapaosessa tlateessa. 3.2.3. GA) ja duktotodstukset. Tämätyyppsssä todstuksssa ousee luoollsest eslle ajatus suorttaa todstus duktvsest, ja ovat akoje saatossa moet teheetk. Seuraavassa estellää muutama hema tosstaa pokkeava duktotodstus. Todstus. I) Tavalle dukto. Alotetaa todstus toteamalla että tapaus = o trvaal ja tapaus = 2 o kästelty jo aemm. 3 Medä o ss äytettävä, että a +... + a a a. Skaalataa lukuja a ste että a a =. Kute aemm o todettu, skaalaukse seurauksea e meetä todstukse ylespätevyyttä. Katso huomautukset 3.8 ja 3.8. Jos a =,, todstus o trvaal. Sks oletetaa, että aak yks luvusta a > ja aak yks a <. Valtaa esmerkks a > ja a 2 <. Idukto-oletukse ojalla a a 2 + a 3 +... + a a a 2 )a 3 a =,

4 jote saadaa a a 2 + a 3 +... + a. Nyt medä tuls äyttää, että a + a 2 + a 3 +... + a Tämä toteutuu, jos a + a 2 a a 2 + el a + a 2 a a 2 + ) 0. Tämä taas pätee selväst ehtoje a > 0 ja a 2 < 0 ojalla, sllä a + a 2 a a 2 + ) = a ) a 2 ) > 0. Yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a =,. Seuraavaks estellää hyv heostuut duktotodstus. Todstus. II) Cauchy käätee dukto. Jos kakk termt a =... = a, GA) toteutuu trvaalst, jote jatkossa kästellää tapausta, jossa kakk termt evät ole yhtä suura. Tapaus = 2 k : Tutktaa ss tlaetta, mssä = 2 k ja k N + \ {0}. Tapaus = 2 o kästelty jo aemm. Seuraavaks tehdää dukto-oletus ja oletetaa että epäyhtälö pätee ku = 2 k. Tämä jälkee pyrtää äyttämää, että tällö se pätee myös tapauksessa = 2 k. Krjotetaa seuraavast: a +... + a 2 k 2 k = k 2 a a 2 k + 2k a2 k + a 2 k 2 = 2k a a 2 k a +...+a 2 k + a 2 k + +...+a 2 k 2 k 2 k 2 2 k a a 2 k 2k a2 k + a 2 k

Tarkastelemalla esmmästä epäyhtälövahetta huomataa yhtäsuuruude toteutuva va jos sekä a =... = a 2 k että a 2 k + =... = a 2 k. Jälkmmäsestä epäyhtälöstä huomataa puolestaa että yhtäsuuruus toteutuu aoastaa jos 2 k a a 2 k = 2k a2 k + a 2 k. Jotta molemmsta epäyhtälöstä saatavat ehdot toteutusvat yhtäakaa ptäs olla a = = a 2 k mutta se o vasto alussa tehtyä oletusta, jote saadaa haluttu tulos a +... + a 2 k > k 2 2 a a k 2 k. Seuraavaks kästellää tapaukset ku e ole mkää kahde potess. Tapaus < 2 k : Oletetaa ss, että e ole kahde potess. Koska joo 2 k) e ole ylhäältä rajotettu, o joka tapauksessa vähemmä ku joku kahde luoolle potess. k= Olkoo < m = 2 k, jollak k N + \ {0}. Olkoo Aa,, a ) = µ ja määrtellää termt a + = = a m = µ. 5 Tällö saadaa: µ = a + + a = m a + + a ) m = a + + a + m a + + a ) m = a + + a + m )µ m = a + + a + a + + + a m m Nä olle jote > m a a a + a m = m a a µ m. µ m > a a µ m, µ > a a el µ > a a. O ss todstettu, ku < 2 k a + + a > a a, jote todstus o kokoasuudessaa suortettu. Seuraavaks esteltävä todstus o peräs Louvlleltä vuodelta 839 [7, s. 493-494]. Vakka todstus o yks esmmässtä, se löydett vasta 960-luvulla. Myös tämä o duktotodstus, mutta lähestymstapa o ava erlae ku kahdessa edellsessä. Todstus. III)

6 Tapaukset = ja = 2 o kästelty aemm. Tehdää dukto-oletus että GA) pätee term tapauksessa. Tarkastellaa e egatvste lukuje a,..., a, x keskarvoja ja tutktaa fuktota fx) = A a,..., a, x) G a,..., a, x). Dervomalla ja muokkaamalla saadaa ) f a +... + a + x x) = a a ) a + + a = + x a a. ) Vodaa ss krjottaa f x) = Aa,..., a ) + x ) G a,..., a ). Tästä ähdää, että f o kasvava ku x 0. Sllo fukto pe arvo saavutetaa dervaata aoassa ollakohdassa. Merktää kysestä ollakohtaa x = x. Ratkasemalla x yhtälöstä ) a + + a + x = a a ) saadaa x = x = a a ) a + + a. Fuktolla f o ss absoluutte mm psteessä x ja täks mmarvoks saadaa sjotukse ja muokkaukse jälkee ) fx a + + a ) = )a a ) a a ) el fx ) = ) G a,..., a ) Aa,..., a ) Ga,..., a )), jote dukto-oletukse ojalla fx ) 0. Koska fx) 0 todstus o suortettu lukuuottamatta yhtäsuuruutta. Jotta fx) = 0 vos toteutua, täytyy sekä x = x että fx ) = 0 olla yhtäakaa vomassa. Idukto-oletukse ojalla GA) toteutuu term tlateessa, ja koska fx ) = 0 Aa,..., a ) = Ga,..., a ) toteutuu jos ja va jos a = = a = z ja tällö myös x = x = z, todstus o loppuu suortettu. Näytetää velä vmeseä duktotodstuksea todstus ylese pao tlateessa.

7 Todstus. IV) Oletaa että GA) pätee peemmllä kokoaslukuarvolla ku, tällö G w = a w a w ) w w w = a w a w ) w ) w w w a w w a w ) w w + w a wa +... + w a w a + w w a = A w. w w Esmmäe epäyhtälö seuraa Youg epäyhtälöstä ja toe puolestaa duktooletuksesta. Epäyhtälössä yhtäsuuruus pätee jos ja va jos a =... = a. Tämä seuraa soveltamalla lausetta 3.7 ku α + β = ja dukto-oletusta. 3.2.4. Kovekst fuktot ja GA). Seuraavaks perehdytää hema kovekseh fuktoh. Tästä omasuudesta o suurta hyötyä GA): todstuksssa. Tässä kappaleessa estellää myös Jese epäyhtälö, joka GA): tavo o erttä merkttävässä asemassa epäyhtälöopssa. Määrtelmä 3.2. Olkoo väl I R. Fuktota f : I R saotaa koveksks välllä I, jos kakklla x, y I ja kaklla λ, 0 λ, fλx + λ)y) λfx) + λ)fy). Jos epäyhtälö o ato ku x y ja λ 0,, fuktota f saotaa adost koveksks välllä I. Huomautus 3.22. Koveksa fuktota o helppo havaollstaa geometrsest. Katso kuva 6. a) Koveks fukto kuvaaja graaf) sjatsee jätee alapuolella. b) Kakkalla mssä koveks fukto kuvaajalla o tagett, kuvaaja sjatsee taget yläpuolella. Kuva 6. Koveks fukto kuvaaja.

8 Lause 3.23. Jos f o olemassa avomella välllä ]a, b[, tällö f o koveks jos ja va jos f 0. Jos lsäks jokae osaväl ssältää pstee mssä f > 0 f o adost koveks. Todstus. Täydelle todstus löytyy mm. [9, s. 9-] Käydää todstukse deaa ptapuolsest läp ste, että lausee pakkasaptävyys o helppo ymmärtää aak tutvsest. Koska f o oletukse mukaa olemassa myös f o olemassa ja täte fukto kuvaajalla o kakkalla tagett. Nyt lausee pakkasaptävyyttä vodaa tarkastella huomautukse 3.2b) valossa. Koveks fukto f kuvaaja sjatsee ss kakkalla taget yläpuolella. Geometrsest o helppo hahmottaa, että kuvaaja pysyy taget yläpuolella kuha futo dervaatta o adost kasvava. Jos dervaatta o vako jolla välllä tällö tagett ja kuvaaja luoollsest yhtyvät.) Jos taas jossa psteessä ols f < 0 västämättä kysesee psteesee prretty tagett ols kuvaaja yläpuolella ja tällö f e vos olla koveks. Huomautus 3.24. Pääsäätösest lause 3.23 o rttävä, koska usemmte sovelluksssa kästellää C 2 fuktota. Lause 3.25. Jese epäyhtälö) Olkoo I R väl, jolla fukto f o koveks ja lsäks 2, {w } > 0 kaklla, ja {a } I kaklla,. Tällö ) f w w a w w fa ). Jos f o adost koveks myös Jese epäyhtälö o ato, elle a =... = a. Todstus. Aluks o syytä huomata että epäyhtälö vase puol o hyv määrtelty, koska fukto f argumett o A w a,..., a ). Se arvo o ss lukuje ma,..., a ) ja maxa,..., a ) välssä el ertysest se kuuluu väl I. Todstus perustuu duktoo. = 2 : f 2 w ) 2 w a = f w 2 2 w fa 2 ) + w ) 2 w f w a w w 2 2 w a 2 + w 2 w = 2 w ) w a w 2 w fa ). Epäyhtälö seuraa suoraa kovekssuude määrtelmästä 3.2.

Seuraavaks tehdää dukto-oletus ja oletetaa Jese epäyhtälö toteutuva kaklla k, 2 k ja äytetää, että tällö se pätee myös ku k =. ) ) w f w w a = f w w a + w w a w w w fa ) + w w fa ) + w w w w f w w ) w a w fa ) = w w fa ), mssä esmmäe epäyhtälö seuraa tapauksesta = 2 ja jälkmmäe duktooletuksesta. Huomautus 3.26. Käyttämällä Jese epäyhtälöä vodaa krjottaa: ) f A w a w,..., a w )) = f w w a w w fa ) = A w fa )w,..., fa )w ). Seuraavaks estellää kaks todstusta jossa käytetää hyväks Jese epäyhtälöä. Todstus. V) Samapaoe tapaus) Valtaa fx) = log x, ja koska f x) = x 2 > 0 o fukto koveks määrttelyjoukossaa x ]0, [. Käyttämällä fuktota f ja Jese epäyhtälöä vodaa krjottaa ) a + a 2 + + a log log x + log x 2 + + log x 9 = log a a 2 a ). Muokkaamalla yhtälöä ja käyttämällä ekspoettfuktota, joka adost kasvavaa sälyttää suuruusjärjestykse, yhtälö molemp puol saadaa el e log a +a 2 + +a ) e loga a 2 a ) a + a 2 + + a a a 2 a ). Tämä o ss GA). Koska todstuksessa käytetää luoollsta logartmfuktota rajataa a > 0, =,...,. Tämä e kutekaa aheuta ogelma, sllä jos a = 0 jollak, geometre keskarvo o 0 ja GA) toteutuu automaattsest. Yhtäsuuruus pätee selväst jos ja va jos a = = a.

20 Samoja keoja apua käyttäe vodaa todstaa GA) ylese pao tlateessa. Todstus. VI) Ylese pao tapaus) Vakka seuraava todstus käyttää hyväksee täys samoja kosteja ku edellek, estetää se kutek, koska loppuje lopuks aka harvassa todstuksessa kästellää myös paoja. Lsäks tämä todstus o sage selkeä. Tässä estetää aoastaa ydkohdat. Nyt ss luku a saa pao w, luku a 2 pao w 2 je ) a w + + a w log w w w log a + + w w log a w ). = log a w a w Soveltamalla ekspoettfuktota molemp puol saadaa epäyhtälö muotoo a w + + a w w a w a w w ), joka o ss GA) ylese pao tlateessa. Seuraavassa todstuksessa ogelmaa lähestytää kekselääst äärarvoprobleema kautta. Sä käytetää s. Lagrage kertoje meetelmää, joka o keskee meetelmä sdottuje äärarvopstede määrttämsessä. Tällä meetelmällä ratkotut ogelmat ovat tyypllsest muodoltaa sellasa, että jollek fuktolle f o määrtettävä äärarvopsteet ja äärarvot) jok tose fukto g atame sdosehtoje el rajottede valltessa. Huomautus 3.27. Lagrage kertoje meetelmä) Oletetaa että f : U R R ja g : U R R ovat aettuja reaalarvosa C -fuktota. Olkoo x 0 U ja gx 0 ) = c, ja olkoo S de pstede joukko jolla fukto g saa arvo c. Oletetaa lsäks, että gx 0 ) 0. Jos futolla f o lokaal maksm- ta mmpste joukossa S, tällö o olemassa reaalluku λ ste että 3.) fx 0 ) = λ gx 0 ) Tämä yhtälö toteuttavaa pstettä x 0 saotaa fukto f krttseks psteeks joukossa S. Katso todstus esm. [8, s. 226]. Todstus. VII) Pyrtää määrttämää fukto f : R R, a,..., a ) a a ) / äärarvot joukossa { S = a,..., a ) R : ga,..., a ) = a } + + a = c

Tässä fukto f kuvaa ss lukuje a,..., a geometrstä keskarvoa ja fukto g puolestaa artmeettsta keskarvoa, joka arvoks ktetää c. Etstää fuktolle f äärarvoa, de pstede joukosta jotka atavat artmeettseks keskarvoks luvu c. Tarkastellaa pelkästää postvsa lukuja a, sllä jos a = 0 jollak =,..., fukto f saa arvo olla. Koska g a,..., a ) =,..., ) 0, vodaa huomautuksessa 3.27 esteltyä Lagrage kertoje meetelmää käyttää. Yhtälö 3.) avulla saadaa yhtälöryhmä f a,..., a ) = λ g a,..., a ) a a f a 2 a,..., a ) = λ g a 2 a,..., a ) f a,..., a ) = λ g a,..., a ) a a g a,..., a ) = c Petä lasketoa harjottamalla saadaa yhtälöryhmä muokattua muotoo a a ) / = λa. 2 a a ) / = λa 2. a a ) / = λa a + a 2 + + a = c Jos λ = 0, ols myös a = 0 jollak =,...,. Koska alussa tarkastelu rajatt va a: postvs arvoh oletetaa jatkossa λ 0. Tarkastelemalla :ää esmmästä yhtälöä o selvää, että yhtälöryhmä toteutuu jos ja va jos a = a 2 =... = a. Vmesestä yhtälöstä arvot saadaa ratkastua el a = a 2 =... = a = c. Nä olle joukossa S fukto f aoa äärarvopste o a = a 2 =... = a = c ja kysee äärarvo o tällö f c,..., c) = c. Selvtetää velä oko kyseessä maksm- va mmpste. Valtaa a = c, a 2 2 = 3 c, a 2 3 = c,..., a = c, tällö f 2 c, 3 ) 3 c, c,..., c = 2 4 c < c,

22 jote kysessä o maksmpste ja GA) o todstettu. Huomautus 3.28. Ku x R e x + x. Todstus. Tämä epäyhtälö ols helppo todstaa esmerkks tutkmalla fukto f = e x x äärarvoja. Tosaalta epäyhtälö seuraa fukto e x adosta) kovekssuudesta, koska suora y = x + o se tagett psteessä x = 0 Huomautus 3.22 b). Yhtäsuuruus pätee va psteessä x = 0. Seuraavaks estettävä todstus o sage selkeä ja sä käytetää hyväks huomautukse 3.28 epäyhtälöä. Todstus. VIII) Artmeettse ja geometrse keskarvo määrtelme mukaa luvulle a,..., a pätee A = a + +a ja G = a a. Jos a =... = a A = G. Rttää ss ku todstetaa ato epäyhtälö A > G e-egatvslle luvulle a,..., a ku kakk luvut evät ole yhtäsuura. Sjottamalla a A huomautukse 3.27 epäyhtälöö ex + x saadaa e a A a A. Tässä o syytä huomata, että epäyhtälö o ato kuha a A. Koska epäyhtälö molemmat puolet ovat e-egatvsa, kertomalla kakk epäyhtälöt =,..., puoltta yhtee saadaa el e a A e a A > a A a A e a A > Tässä o ss kysessä ato epäyhtälö, koska rajasmme alussa pos vahtoehdo jossa a =... = a ja lsäks vase puol o ekspoettfuktoa aa postve. Muokkaamalla epäyhtälö vaseta puolta potess laskusäätöje mukaa, saadaa epäyhtälö muotoo a e A = a > Koska tosaalta A =, a = A ja tekemällä sjotus saadaa epäyhtälö vasemmasta puolesta e ) =. Muokkaamalla vastaavast epäyhtälö okeaa puolta, saadaa se muotoo a A. a A.

23 A a = G A. Nä olle epäyhtälö vodaa krjottaa muodossa el > G A A > G. Huomautus 3.29. Jos p q 0 ja x y 0 3.2) px + y + a) x + qy + a) p + ) x + a) q + ) y + a) ja yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos x = y. Todstus. Epäyhtälö 3.2) seuraa suoraa yhtälöstä px + y + a) x + qy + a) p + ) x + a) q + ) y + a) = px qy) x y). Helpost mttä ähdää että huomautukse 3.29 oletuste valltessa yhtälö okea puol 0. GA) vodaa todstaa epäyhtälö 3.2) avulla [2, s. 02], mutta samatyyylsest eteevä todstus vodaa tehdä huomautuksessa 3.30 esteltävää tsekeksmää epäyhtälöä 3.3) käyttämällä. Etua jälkmmäsessä epäyhtälössä o se ykskertasuus verrattua edellsee. Huomautus 3.30. Ku x y > 0 ja a 0, 3.3) xy x + a)y a). Todstus. Auk kertomalla saadaa mstä epäyhtälö seuraa suoraa. x + a)y a) = xy a x y) a 2, }{{} 0 Todstus. IX) Artmeettse ja geometrse keskarvo symmetrsyydestä johtue terme a, a 2..., a järjestystä vodaa muuttaa tarvttaessa. Järjestetää luvut ste, että a a 2 a ja arvodaa seuraavalasta yhtälöä A ) = tekjää {}}{ a + + a ) a + + a ).

24 Alotetaa arvot käyttämällä epäyhtälöä 3.3) sllä peraatteella, että aluks x:ää vastaa tulo esmmäe tekjä ja y:tä toe tekjä. Esmmäsee tulo tekjää lsätää term a a 2 ) ja vastaavast tosesta se väheetää. Tällö saadaa seu- }{{} raavaa 0 A ) = tekjää {}}{ a + + a ) a + + a ) -2 tekjää {}}{ 2a + a 3 + a ) 2a 2 + a 3 + a ) a + + a ) a + + a ) Lsäämällä ä saadu, alaspä arvodu, tulo esmmäsee tekjää e-egatve term a a 3 ja vähetämällä vastaava term tulo kolmaesta tekjästä ja jatkamalla samalla tavalla kues o käyty läp kakk tulo tekjät paretta esmmäse tekjä kassa saadaa 3a + a 4 + + a )2a 2 + a 3 + + a )a 2 + 2a 3 + + a ) a 2a 2 + a 3 + + a ) a 2 + 2a 3 + + a ) a 2 + + a + 2a ) Nyt käydää samalla tavalla es loput tulo tekjät paretta läp term 2a 2 + a 3 + + a ) kassa ja saatetaa se epäyhtälö alaspä arvoella muotoo a 2. Nä jatketaa kues päädytää muotoo josta väte seuraa. A ) tekjää {}}{ a ) a ) = G ), Päättelyketjusta havataa helpost yhtäsuuruude toteutuva epäyhtälössä jos ja va jos a = a. Huomautus 3.3. Jos kompleksse matrs A = a j ),j omasarvot ovat λ,, tällö λ 2,j= a j 2. Yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos A A = AA. Todstus. Todstus löytyy artkkelsta [0, s. 377-402] Seuraavassa todstuksessa ogelmaa lähestytää jällee ava uudella tavalla matrslaskea kautta, käyttämällä hyväks huomautusta 3.3. Todstus. X)

25 Olkoo matrs A = 0 a 0 0 0 0 a 2 0....... 0 0 0 a a 0 0 0 Ratkastaessa katso [3, s. 386]) matrs A omasarvoja yhtälöstä saadaa yhtälö muotoo p λ) = det A λi) = 0, λ = a a. Nä olle matrs A omasarvolle λ,..., λ pätee λ = a...a = G kaklle =,...,. Nyt huomautukse 3.3 ojalla saadaa a 2 G a 2,..., a) 2, joka o yhtäptävää GA): kassa. Koska tegraallasketa lasketameetelmää o merkttävä, osotetaa GA) myös stä hyväks käyttäe. Seuraava todstus suortetaa ylese pao tlateessa. Todstus. XI) Oletetaa että w = ja a a. Tällö o olemassa k {,..., } ste että a k G a k+. Krjottamalla seuraavalase lausekkee huomaamme helpohkost molempe summe ssältävä aoastaa e egatvsa termejä el k G w t ) dt + G a =k+ w a G ) dt 0. G t Itegraaleja auk laskemalla suoravvaslla laskulla saadaa = w log G w w log a + w a G = log G log G + A G = A G, mkä o yhtäptävää GA): kassa. Yhtäsuuruus toteutuu epäyhtälössä jos ja va jos a = G =,..., el jos ja va jos a = = a.

26 Seuraavassa todstuksessa käytetää apua termodyamka esmmästä ja tosta laka. Jok verra krtkkä o kohdstettu tämä tyyppsee tapaa todstaa matemaattsa teorota kokeellste luoolake pohjalta, mutta tämä kaltaset todstukset ovat omaa lsäämää ymmärrystä luoo laalasuukssta. Koska GA) o mahdollsta todstaa lukuslla matemaattsest korrektella tavolla, vos jopa ajatella käätesest tällase todstukse lsäävä luoolakek uskottavuutta, aak matemaatko slmssä! Todstus. XII) Otetaa tarkasteluu dettstä lämpösälötä, jode absoluuttset lämpötlat ovat a, ja kuk lämpökapastett o C. Latetaa lämpösälöt lämpökotakt tostesa kassa ja aetaa de lämpötloje tasaatua loppulämpötlaa T l. Nyt termodyamka esmmäse el eerga sälymsla mukaa [2, s. 730] mssä C a T l ) = 0, T l = a = A. Vastaavast termodyamka tose la mukaa [2, s. 730] etropa kasvaa prosess edetessä. Systeemlle jossa o lämpösälötä, vodaa tämä etropa muutos S 0 laskea seuraavast, S = C = C log Tl a dt T = C log T l a ) / Nä olle logartm laskusäätöje ojalla ) A G. Tl a = C log ) = C log A G ) T l a ) 0 Yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a = a 2 = = a. Tämä havataa helpost, sllä tällö määrätyssä tegraalssa a = T l, =,...,. 4. Epäyhtälö H G A sovelluksa Tässä kappaleessa estellää lukusa tlateta, jossa epäyhtälöä H G A vodaa hyödytää. Esmmäseä estellää melektoe geometre sovellus.

4.. Sovelluksa samapaosessa tlateessa. Esmerkk 4.. Tlateessa = 3 GA): avulla vodaa osottaa, että tuettaessa kolmo pr tasasvusella kolmolla o kakke suur pta-ala. Olkoo kolmo svuje ptuudet a, b, c el kolmo pr puolkas o tällö p = a+b+c. Tuetu Hero kaava [, s. 28] mukaa se pta-ala o 2 A = pp a)p b)p c). Ykskertaslla laskutomtukslla saadaa tasasvuse kolmo alaks A 0 = p2 3. Nyt GA): avulla samapaosessa tlateessa ku = 3 3 saadaa, A = ) ) 3/2 3/2 3 p a)p b)p c) p p a)p b)p c) p = p2 3 3 3 = A 0. Helpost havataa yhtäsuuruude toteutuva yllä olevassa epäyhtälössä jos ja va jos p a = p b = p c el a = b = c. Hyv kaua o tuettu artmeettse ja harmose keskarvo soveltame määrtettäessä elöjuura s. Hero meetelmällä. Esmerkk 4.2. Pyrttäessä selvttämää elöjuure arvo luvulle x > 0, vodaa käteväst käyttää hyväks epäyhtälöä H A tlateessa = 2. Valtaa melvaltaset luvut a, b ste, että b > a > 0 ja ab = x. Asetetaa a 0 = a, b 0 = b ja määrtellää rekursvsest 27 a = H a, b ) = 2 a + b = 2a b a + b, b = A a, b ) = a + b, 2 mssä N + \ {0}. Tarkstetaa seuraavaks, että a b = x ku N. Suortetaa asa toteame duktvsest. Ku = asa o selvä, sllä ) ) 2ab a + b a b = = ab. a + b 2 Oletetaa seuraavaks, että yhtälö toteutuu kakklla luoollslla luvulla 0,..., ja pyrtää tämä ojalla äyttämää, että se toteutuu myös arvolla. Tehdää ss dukto-oletus, että a b = 2a 2 b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 2 ja tämä jälkee suortetaa lasku = a 2 b 2 = ab a b = H a, b ) A a, b ) = = a 2 b 2.

28 Idukto-oletukse ojalla a b = x, N + \ {0}. Keskarvoje omasuukse perusteella o selvää, että a < a + < b + < b ja suoralla laskulla ähdää, että Nä olle ss b a < b a 2 < < b a 2, N. lm a = lm b = x. El kahde luvu artmeettse ja harmose keskarvo teraato suppeee de yhdstettyy keskarvoo, geometrsee keskarvoo. Vrt. Huomautus 3.5. Huomautus 4.3. Kysee meetelmä o vars tehokas tapa laskea elöjuura. Valtsemalla a 0 = 2 ja b 0 = jo kolmas teraato ataa tulokse oke vde desmaal tarkkuudella el 2, 442. Vodaa tseasassa osottaa että Hero meetelmä m + ):s approksmaato o sama mkä saavutetaa ketjumurtolukukehtelmllä 2 m :ellä kerralla. Tällä o merktystä jopa tetokoelle laskemsessa, koska ketjumurtoluvusta tulevat approksmaatot ovat tetyssä melessä parhata approksmaatota kyseslle luvulle. Huomautus 4.4. Keskarvoje teraatota, yhdstettyjä keskarvoja ja Hero meetelmä laajeusta korkeamp juur o kästelty mm. [2, s. 43 -] GA): avulla vodaa ratkasta vars käteväst moa mutak raja-arvoo lttyvä ogelma. Näytetää esmerkkä että lm = =. Esmerkk 4.5. Oletetaa että 3, tällö vodaa arvoda ylöspä seuraavast terma 2 terma < /2 = /2) / 2 = /2 2 ) {}}{{ }} { + + + + + < = 2 + 2 = + < + ja tässä epäyhtälö saadaa ss GA):ä käyttämällä. Nä olle tämä perusteella vodaa krjottaa jote < / = /2) 2 < + ) 2 < + 3, lm = =. Yks tärkemmstä elle jopa tärke GA): sovelluskohde o mude epäyhtälöde todstame. 2

Esmerkk 4.6. Todstetaa, että epäyhtälö 3 5 2 ) < pätee >. Ratkasu. Käyttämällä GA):ä samapaosessa tlateessa lukuh, 3, 5,... 2 saadaa ) ) + 3 + 5 + 2 ) 2 3 5 2 ) < = =. Helpohkost vodaa äyttää, että osottajassa oleva artmeette sarja S = + 3 + 5 + 2 ) = 2. Krjotetaa summa S kahtee kertaa ste että toe krjotetaa vastakkasessa järjestyksessä ja summaamalla termt allekka saadaa el S = + 3 + + 2 3) + 2 ) S = 2 ) + 2 3) + + 3 + 2S = 2 + 2 + + 2 + 2 }{{} termä 2S = 2 = S = 2. Esmerkk 4.7. Tehtäväämme o vertalla lukuje 2)! ja 2 suuruuksa. Ratkasu. Helpost havataa kummassak luvussa oleva 2 tulo tekjää ja ku = ta = 2 o 2)! > 2. Ku taas = 3 720 = 2)! < 2 = 729. Pyrtää yt äyttämää, että epäyhtälö pätee ä pä aa ku 3. Tutktaa aluks vertaltave lukuje osamäärää, joka vodaa krjottaa seuraavast tuloa, joka tekjöä o 2 ) murtolukua 2 ) ) ) ) 2)! = 2 ) 2 2 2. 2 Trvaalst havataa, että murtolukuu = ) ast kakk tulotekjät ovat suurempa ku yks ja taas se jälkee peempä ku yks. Muodostetaa seuraavaks lukupareja yhdstämällä esmmäe murtoluku vmese kassa, toe toseks vmese kassa ja edellee el ) ja 2 2), ) 2 ja ) 2 2,..., ja 2 ) ja ä olle keskmmäe murtoluku jää lma para. Sovelletaa seuraavaks GA):ä termeh k ja 2 k, mssä 2 k. Tästä saadaa ) 2 k + 2 k k2 k) < = 2, 2 ) 29

30 mkä o helpost muokattavssa muotoo k 2 k) >. Esmmästä para lukuuottamatta o ss kakke murtolukupare tulo suuremp ku. Selvtetää seuraavaks mllä : arvolla esmmäse lukupar tulo Ratkasemalla epäyhtälö saadaa, 3 22 ). 2 + 2 3, 4. Nä olle ss jokase par tulo o suuremp ku ku 4 ja tällö 2)! < 2. Aemm todett tapaukset =, 2 ja 3 el kaklla kokoasluvulla 3 pätee 2)! < 2. 4.2. Sovelluksa paotetussa tlateessa ja muta ylestyksä. Kakk tähäastset esmerkt ovat hyödytäeet GA):ä samapaosessa tlateessa, seuraavssa esmerkessä hyödyetää paotettua versota. Seuraavassa esmerkssä estellää geometraa svuava sovellus GA):stä Esmerkk 4.8. Jos a, b ja c ovat kolmo svuje ptuudet, äytetää että tällö pätee + b c a ) a + c a b Ratkasu. Alotetaa muuttujavahdolla w = a a + b + c, w 2 = ) b + a b ) c. c b a + b + c, w 3 = c a + b + c ja jatketaa postvslla luvulla postvsuus seuraa stä, että a, b ja c ovat kolmo svuje ptuudet) a = + b c a, a 2 = + c a, a 3 = + a b. b c Nyt vodaa krjottaa w + w 2 + w 3 = ) a w a w 2 2 a w 3 3 w a + w 2 a 2 + w 3 a 3 = a + b c + b + c a + c + a b a + b + c = el + b c ) a a+b+c + c a ) b a+b+c + a b ) c a+b+c. a b c

3 Korottamalla epäyhtälö molemmat puolet potess a + b + c saadaa haluttu epäyhtälö. Seurauksessa 3.0 äht, että Youg epäyhtälö o tseasassa hema modfotu verso kahde term paotetusta GA):stä. Todstetaa tämä avulla kuulusa Hölder epäyhtälö, mkä o erttä keskee potesskeskarvoje tutkmuksessa. Potesskeskarvosta lsää kappaleessa 5. Esmerkk 4.9. Olkoot p ja p kojugodut dekst kute seurauksessa 3.0. Huomodaa myös, että p, p >.) Tällö melvaltaslle a, a 2,..., a, b, b 2,... b R + pätee s. Hölder epäyhtälö a b a p ) /p b p ) /p Ratkasu. Jakamalla Hölder epäyhtälö puoltta okea puole termellä, saadaa se ykskertasella muokkaamsella muotoo ) /p a p b p j= ap j j= bp j ) /p.. Nyt suoraa GA):stä saadu Youg epäyhtälö ojalla vodaa vaseta puolta arvoda seuraavast ) /p a p b p j= ap j j= bp j ) /p p a p j= ap j ) + b p p = j= bp p + = p j ja ä ss Hölder epäyhtälö o todstettu. Huomautus 4.0. Ku p = 2 p = 2 palautuu Hölder epäyhtälö muotoo a b a 2 ) /2 ) /2 b 2. Tämä, Hölder epäyhtälö lalla, sage kuulusa epäyhtälö o meltää Cauchy epäyhtälö. Muta tuettuja mä tälle epäyhtälölle o Cauchy-Schwarz-epäyhtälö ta Cauchy-Schwarz-Bujakovsk-epäyhtälö. Luoollsest yllä oleva Hölder epäyhtälö todstus todstaa myös Cauchy epäyhtälö. Harvemm kuulee puhuttava harmos-artmeettsesta keskarvoepäyhtälöstä HA). Tämä johtuu osaltaa stä, että se o äeäsest hekomp epäyhtälö ku GA), mutta varsasest stä että GA): todstame todstaa myös HA):. Vrt. seuraus 3.3) Seuraavassa esmerkssä HA) osotetaa kutek suoraa, sllä todstus o vars lyhyt ja ykskertae, ku käytetää huomautuksessa 4.0 esteltyä Cauchy epäyhtälöä.

32 Esmerkk 4.. Alotetaa krjottamalla w a ) w a ) ) ) /2 2 ) 2 w a ) /2 w = w, a mssä epäyhtälövahe seuraa Cauchy epäyhtälöstä. Ykskertasella muokkauksella saadaa epäyhtälö muotoo el w a w w w a A w H w. Jotta ähtäs että moet erttä käyttökelposet epäyhtälöt ovat tavalla ta tosella sdoksssa GA):öö todstetaa Hölder epäyhtälö avulla Mkowsk epäyhtälö. Esmerkk 4.2. Olkoo p >, tällö melvaltaslle a, a 2,..., a, b, b 2,..., b R + pätee s. Mkowsk epäyhtälö ) /p ) /p ) /p a + b ) p a p + b p. Ratkasu. Tarkastellaa epäyhtälö vaseta puolta: a p a + b ) p = a a + b ) p + ) /p ) p )/p a + b ) p + b p b a + b ) p ) /p ) p )/p a + b ) p, mssä epäyhtälövahe seuraa Hölder epäyhtälöstä. Ottamalla yt okealla puolella yhtee tekjä, seveee epäyhtälö muotoo ) /p a + b ) p a p + b p ) /p ) p )/p a + b ) p. Jakamalla epäyhtälö puoltta tekjällä a + b ) p ) p )/p saadaa se lopulta muotoo ) /p ) /p ) /p a + b ) p a p + b p, mkä o ss Mkowsk epäyhtälö.

Huomautus 4.3. Mkowsk epäyhtälö o tseasassa kolmoepäyhtälö l p -jooavaruudessa. 33 Esmerkk 4.4. Todstetaa Beroull epäyhtälö: Jos x R, p, p R +, x > ja 4.) + x) p + px p > ), ja vastaavast 4.2) + x) p + px 0 < p < ). Molemmssa epäyhtälössä yhtäsuuruus pätee jos ja va jos x = 0. Ratkasu: Todstetaa jälkmmäe epäyhtälö es. Olkoo 0 < p < ), w = p, w 2 = p, a = + x > 0 ja a 2 =. Kahde term paotetulla GA):llä saadaa el p + x) + p) + x) p p + x) p + px. GA): ojalla yhtäsuuruus pätee jos ja va jos a = a 2 x = 0. Olkoo yt p >. Ku + px 0 esmmäe ato) epäyhtälö pätee trvaalst. Ku taas + px > 0 saadaa jo todstetu jälkmmäse epäyhtälö ojalla + px) /p + p px = + x ja korottamalla tämä puoltta potess p saadaa + x) p + px. Tämä kappalee vmesessä esmerkssä äytetää mm. mte Neper luvu e määrttelevä joo suppeemse tarkkuutta vodaa arvoda. Esmerkk 4.5. Olkoo a + + a = X > ja halutaa selvttää mllo tulo a a o suurmmllaa. Nyt GA): ojalla tedetää, että epäyhtälössä ) a + + a a a yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a = = a. Nä olle ogelma vodaa

34 palauttaa muotoo, jossa etstää kokoaslukua, jolla X ) saa suurmma arvosa. Yrtettäessä maksmoda ) X, vodaa ava yhtä hyv maksmoda log X ) el kostruodaa fukto ft) = t log ) X t. Koska f t) = log ) X t, o fuktolla absoluutte maksm psteessä t = X. Olkoo m se kokoasluku, jolla X m e m) saa suurmma arvosa kokoaslukuje joukossa. Nä olle el ) m+ X m + ) m X m 4.3) X m + ) + ) m m ja tosaalta el ) m X m ) m X m 4.4) X m + ) m. m el Soveltamalla GA):ä lukuh a = = a = + ja a = saadaa + ) ) / < ) + ) + 4.5) + ) < +. ) Tässä o kyseessä ato epäyhtälö, koska GA):ssä yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a = = a, ja yt +, = 2, 3,... Nyt vodaa epäyhtälö 4.5 ojalla krjottaa 4.6) + ) < + ) +. ) Epäyhtälöstä 4.3, 4.4, 4.5 ja 4.6 ähdää että kaklle X > o olemassa N ste, että

35 4.7) + ) < X < + ) +. ) Epäyhtälö 4.7 vodaa puolestaa muokata muotoo 4.8) + ) < X < + ) + Ylesest ottae fukto f maksmpste t = X e ole kokoasluku, mutta erkostapauksessa ku X = N o ykskästtee ratkasu ja se o yhtäptävää epäyhtälö e e 4.7 kassa el vodaa krjottaa + ) < e < + ) +. ) Ja koska tämä pätee = 2, 3,... vodaa raja-arvotarkastelua varte krjottaa 4.9) e + < + ) < e. Tästä ähdää että lm + ) = e. Suortetussa laskussa o muutama huomoarvosa sekkoja. Alussa lähdett lkkeelle määrtelmästä log e = ja päädytt Neper luvu tuttuu raja-arvoestyksee. Toe ehkäpä velä merkttävämp, sekka o suoraa GA):stä saatu epäyhtälö 4.5. Stä mttä ähdää automaattsest joo + ) oleva kasvava : suhtee. Lsäks epäyhtälö 4.9 vasemmapuolesesta epäyhtälöstä saadaa myös vrhearvo joo :elle termlle. 5. Potesskeskarvot Lopuks luodaa katsaus artmeettse, geometrse ja harmose keskarvo klasssee ylestyksee s. potesskeskarvoo. Osotetaa myös, että H G A o ylestettävssä potesskeskarvoje avulla el pätee saottu potesskeskarvoepäyhtälö. Määrtelmä 5.. Ku r R määrtellää paotettu r:s potesskeskarvo luvulle a,..., a ja paolle w,..., w,

36 M r w = w ) /r w a r, ku r R \ {0}, G w, ku r = 0, max{a,..., a }, ku r =, m{a,..., a }, ku r =. Huomautus 5.2. Samapaosessa tlateessa potesskeskarvo saa luoollse muodo M r = ) /r a r. Koska M w, = A w,, M 0 w, = G w,, M w, = H w, muodostavat potesskeskarvot luoollse laajeukse älle perustavaa laatua olevlle keskarvolle. Tapaukset r = ja r = ovat lähes trvaaleja ja seuraavat suoralla laskulla määrtelmästä. Tapaus r = 0 o puolestaa hema momutkasemp ja sks se o syytä todstaa. Ee todstusta palautetaa mel sä käytettävä l Hôptal säätö. Huomautus 5.3. l Hôptal sääö mukaa pätee avomella välllä ]a, b[ c määrtellylle ja dervotuvlle fuktolle f ja g, fx) lm x c gx) = lm f x) x c g x) kuha lsäks g c) 0 ja joko lm x c fx) = lm x c gx) = 0 ta lm x c gx) =. Raja-arvo vo olla joko äärelle ta ääretö. Katso todstus esm. [4, s. 598-600]. Todstus. Heketämättä mllää lalla todstukse ylespätevyyttä skaalataa paot, kute o moest aemmk tehty, ste että w =. Käyttämällä todstuksessa apua logartm omasuuksa saadaa, lm r 0 log M r w = lm r 0 log w a r ) r ja koska yt o kyseessä 0 0) muotoa oleva raja-arvo vodaa l Hôptal säätöä soveltaa. Peellä laskemsella saadaa yhtälö muotoo = = lm r 0 w a r log a ) w a r = w log a ) = log a w a w ) = log G w. el lm r 0 M r w = G w.

37 Osotetaa velä raja-arvot lm r M r w = max{a,..., a }, lm r M r w = m{a,..., a }. Todstus. Osotetaa es että lm r M r w = max{a,..., a }. Oletetaa että r R + \ {0} ja lukuje oleva järjestetty ste että max{a,..., a } = a. Tällö potesskeskarvo määrtelmä ojalla pätee Tästä ähdää suoraa, että w w ) /r a M r w a. lm r M r w = a = max{a,..., a }. Seuraavaks osotetaa että lm r M r w = m{a,..., a }. Nyt lukuje suuruusjärjestyksestä puolestaa oletetaa, että m{a,..., a } = a. Olkoo b = a, ä olle max{b,..., b } = a. Nyt ylläoleva todstuskse perusteella tedetää, että lm r M r wb) = a ja ä olle vodaa krjottaa M r wb) = w ) /r w b r = w w a r Tekemällä yt muuttujavahdo s = r saadaa puolestaa Nä olle ss M s wa)) = w ) / s w a s, a lm s M s wa) = a = m{a,..., a } = a. ) /r a, ku r. ku s. 5.. Potesskeskarvoepäyhtälö. Kute aemm todett, saadaa artmeette keskarvo potesskeskarvosta potess arvolla r =, geometre keskarvo r = 0 ja harmoe keskarvo potess arvolla r =. Nyt ku tedetää äde kolme keskarvo välllä valltsevasta epäyhtälöstä, herää luoolle ajatus ylesemmästä epäyhtälöstä potesskeskarvolle. Lause 5.4. Ku r, s R {, } ja r < s, luvulle a,..., a ja paolle w,..., w pätee M r w M s w ja yhtäsuuruus pätee jos ja va jos a = = a.

38 Todstus suortetaa ylese pao tlateessa. Todstus. Meettämättä todstukse ylespätevyyttä oletetaa että w =. Jaetaa todstus kolmee osaa: 0 < r < s, r < 0 < s ja r < s < 0, josta todstetaa es tapaus r < 0 < s. Selkeyde vuoks tämä todstus o syytä jakaa velä kahtee osaa. r = 0 < s : G = a w ) /s w a s = M s, ja korottamalla yt epäyhtälö puoltta potess s saadaa a w s w a s. Kyseessä o ss paotettu GA) luvulle a s,..., a s. r < 0 = s: ) /r M r = w a r a w = G, ja samo ku edellsessä tapauksessa epäyhtälö korotetaa potess r. Nyt kutek r < 0 el epäyhtälö suuruusjärjestys vahtuu, jote saadaa a w r w a r el paotettu GA): luvulle a r,..., a r. Lause o yt todstettu ku r < 0 < s. Todstetaa seuraavaks tlae 0 < r < s: Olkoo t = s r ja b = a r b t = a s =,..., ja määrtellää avomessa joukossa ]0, [ fukto fx) = x t. Koska yt t > ) o f x) = t )t x t 2 > 0, x > 0 el f o adost koveks Katso lause 3.23), vodaa Jese epäyhtälö Lause 3.25) ojalla krjottaa ) t ) w b = f w b w fb ) = w b t. Yhtäsuuruus pätee jos ja va jos b = = b. Tekemällä edellä saatuu epäyhtälöö takassjotukset t = s ja b r = a r saadaa ) s/r w a r w a s

39 ja yhtäsuuruus pätee jos ja va jos a = = a. Korottamalla molemmat puolet potess /s > 0 saadaa puolestaa epäyhtälö ) /r ) /s M r = w a r w a s = M s Yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a = = a. Nä olle todstus o valms myös tapauksessa 0 < r < s. Velä o jäljellä todstus tlateessa r < s < 0: Todstus eteee lähes dettsest yllä oleve tapauste kassa, jote käydää läp va ydkohta eroavasuukssta. Peet erot seuraavat stä että yt 0 < t = s r <, joka johdosta koveksks fuktoks valtaa fx) = x t el f x) = t t) x t 2 > 0. Musmerkk aheuttaa Jese epäyhtälövaheessa merk käätymse ja lopussa korotettaessa epäyhtälö puoltta potess /s < 0 käätyy merkk tose kerra, samaa tyyl ku r < 0 = s. Nä olle myös tlateessa r < s < 0 saadaa epäyhtälö lopulta muotoo ) /r ) /s M r = w a r w a s = M s. 5.2. Potesskeskarvoepäyhtälö sovelluksa. Kahdessa esmäsessä esmerkssä käytetää huomautukse 5.2 samapaose tlatee potesskeskarvoepäyhtälöä. Ee esmerkkä estellää sä hyödyettävä apulause. Lemma 5.5. Ku a,... a > 0 ja k, o vomassa epäyhtälö ) k/ ) k a a mssä yhtäsuuruus toteutuu jos ja va jos a = = a. a k, Todstus. Osotetaa es vasemmapuolee epäyhtälö, joka saadaa lausee 5.4 ojalla: ) ) k/ ) k M 0 k = a a = M ) k. Seuraavaks osotetaa okeapuolee epäyhtälö, joka puolestaa saadaa ä: M ) k = ) k a ak = M k) k. Ku mustetaa että k, lemma 5.5 o todstettu.