Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän keskipiste on (4,1). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 49 eli r = ± 49 = ± 7. Koska säde on positiivinen, niin r = 7. b) ( x+ 5) + ( y 8) = 5 x+ 5 = x ( 5) ( x ( 5)) + ( y 8) = 5 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 5 ja y 0 = 8, joten ympyrän keskipiste on ( 5,8). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. c) x + y = 16 x = x 0 ja y = y 0 ( x 0) + ( y 0) = 16 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 0 ja y 0 = 0, joten ympyrän keskipiste on (0,0). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 16 eli r = ± 16 = ± 4. Koska säde on positiivinen, niin r = 4.

2 d) ( x 1) + y = 1 ( x 1) + ( y 0) = 1 y = y 0 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 1 ja y 0 = 0, joten ympyrän keskipiste on (1, 0). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 1 eli r = ± 1 = ± 1. Koska säde on positiivinen, niin r = 1. x + y = 1 : x + y = 1 1 x + y = 1 x = x 0 ja y = 4 ( x 0) + ( y 0) = 1 4 e) y 0 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 0 ja y 0 = 0, joten ympyrän keskipiste on (0,0). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 1 eli 4 r = ± = ± 4 =±. Koska säde on positiivinen, niin r = 1.

3 Vastaus a) keskipiste (4,1) ja säde 7 b) keskipiste ( 5,8) ja säde 5 c) keskipiste (0,0) ja säde 4 d) keskipiste (1, 0) ja säde 1 e) keskipiste (0,0) ja säde 1

4 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 ( x ) + y = ( x ) + ( y 0) = y = y 0 Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 5 eli 4 r =± =± 4 =±. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. a) Käytetään pinta-alan kaavaa. A= πr = π 5 4 = 5 π 4 5 b) Käytetään piirin kaavaa. p = pr r = = p 5 = 5p Vastaus a) 5 4 π b) 5π 5 r = 4

5 Tekijä Pitkä matematiikka Määritetään kuvasta ympyrän keskipiste ja säde. a) Ympyrän keskipiste on (0,0) ja säde r = 4. Sijoitetaan ne ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 0) + ( y 0) = 4 x + y = 16 Sijoitetaan x = 0, y 0 0 = 0, r = 4 b) Ympyrän keskipiste on (1, ) ja säde r =. Sijoitetaan ne ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 1) + ( y ) = ( x 1) + ( y ) = 4 Sijoitetaan x = 1, y =, r = 0 0 Vastaus a) x + y = 16 b) ( x 1) + ( y ) = 4

6 Tekijä Pitkä matematiikka a) Ympyrän keskipiste on (0,0) ja säde r = 3. Sijoitetaan ne ympyrän yhtälön kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 0) + ( y 0) = 3 x + y = 9 Sijoitetaan x = 0, y = 0, r = b) Ympyrän keskipiste on (,5) ja säde r = 1. 0 ( 0) ( x x ) + y y = r Sijoitetaan x =, y = 5, r = 1 ( x ) + ( y 5) = 1 ( x ) + ( y 5) = c) Ympyrän keskipiste on (3, 4) ja säde r = ( x x ) + ( y y ) = r 5 ( ) ( x 3) + ( y ( 4)) = ( x 3) + ( y + 4) = 5 4 Sijoitetaan x 5 0 = 3, y0 = 4, r = 1 =

7 Vastaus a) x + y = 9 b) ( x ) + ( y 5) = 1 c) ( x 3) + ( y+ 4) = 5 4

8 Tekijä Pitkä matematiikka a) Sijoitetaan ympyrän keskipiste ( 1, ) ja säde r = 10 ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x ( 1)) + ( y ) = 10 ( x+ 1) + ( y ) = 10 Sijoitetaan x = 1, y =, r = b) Lasketaan pisteen A( 3,5) etäisyys ympyrän keskipisteestä ( 1, ). d = ( 1 ( 3)) + ( 5) A = ( 1 + 3) + ( 5) = + ( 3) = 4+ 9 = 13 Koska d A = 13 on suurempi kuin säde r = 10 ympyrän ulkopuolella., piste A on

9 Lasketaan pisteen B(, 1) etäisyys ympyrän keskipisteestä ( 1, ). d = ( 1 ( )) + ( ( 1)) B = ( 1 + ) + ( + 1) = = = Koska d B = 10 on yhtä suuri kuin säde r = 10 ympyrällä., piste B on Lasketaan pisteen C (,) etäisyys ympyrän keskipisteestä ( 1, ). d = ( 1 ) + ( ) C = ( 3) + (0) = 9 = 3 Koska d C = 9 = 3 on pienempi kuin säde r = 10 ympyrän sisäpuolella., piste C

10 Vastaus a) ( x+ 1) + ( y ) = 10 b) Piste A on ympyrän ulkopuolella, piste B ympyrällä ja piste C ympyrän sisäpuolella.

11 Tekijä Pitkä matematiikka Sijoitetaan ympyrän keskipiste (10, 15) ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 10) + ( y ( 15)) = r ( x 10) + ( y + 15) = r Sijoitetaan x = 10, y = a) Ympyrä kulkee pisteen (100,30), joten ympyrän säde on r = (100 10) + ( 15 30) = Tällöin säteen neliö on r = 1015 ja ympyrän yhtälö on ( x 10) + ( y+ 15) = b) Ympyrä kulkee pisteen (95, 10) kautta, joten ympyrän säde on r = (95 10) + ( 15 ( 10)) = 750. Tällöin säteen neliö on r = 750 ja ympyrän yhtälö on ( x 10) + ( y+ 15) = 750. Vastaus a) ( x 10) + ( y+ 15) = 1015 b) ( x 10) + ( y+ 15) = 750

12 37 Tekijä Pitkä matematiikka Jos halkaisijan päätepisteet ovat A (,10) ja B( 3,1), niin ympyrän keskipiste on janan AB keskipiste. Piirretään jana AB ja merkitään sen keskipiste C. Ympyrän keskipiste on ( 1, 11). Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on C ja joka kulkee pisteiden A ja B kautta. Saadaan ympyrän yhtälöksi ( x+ 1 ) + ( y 11) = 53. Vastaus ( x+ 1 ) + ( y 11) = 53

13 Tekijä Pitkä matematiikka Tavoitteena on löytää yhtälö, jonka janan keskipisteet toteuttavat. Merkitään keskipisteen koordinaatteja kirjaimilla x ja y, eli keskipiste on ( xy., ) Toinen päätepiste on x-akselilla, joten se on muotoa ( a,0). Toinen päätepiste on y-akselilla, joten se on vastaavasti muotoa (0, b ). Koska kepin keskipiste ( xy, ) = ( a+ 0, 0+ b) = ( a, b), niin päätepisteiden koordinaatit a ja b voidaan ilmaista keskipisteen avulla. x = a a = x y = b b= y Päätepisteiden ( a,0) = ( x,0) ja (0, b) = (0, y) välinen etäisyys on 4. Muodostetaan yhtälö. (0 x) + ( y 0) = 4 ( x) + ( y) = 4 4x + 4y = 4 a = b, kun b 0 ja a = b 4x + 4y = 4 :4 x + y = 4 ( x 0) + ( y 0) = 4

14 Ratkaistaan säde r. r = 4 r = ± r > 0, hylätään negatiivinen tulos r = Siis kepin keskipiste piirtää ympyrän ( x 0) + ( y 0) = 4, jonka keskipiste on (0,0) ja säde. Vastaus Ympyrän, jonka keskipiste on (0,0) ja säde.

15 Tekijä Pitkä matematiikka Ympyrän yhtälöstä ( x+ 5) + ( y 7) = 64 nähdään, että sen keskipiste on P( 5,7) ja säde r = 64 = 8. Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. a) Lasketaan etäisyys ympyrän keskipisteestä P( 5,7) pisteeseen A (3,13). PA = (3 ( 5)) + (13 7) = 100 = 10 Huomataan, että etäisyys PA on suurempi kuin säde. Siis piste A (3,13) on ympyrän ulkopuolella ja sen lyhin etäisyys ympyrästä on AC = PA r = 10 8 =.

16 b) Lasketaan etäisyys ympyrän keskipisteestä P( 5,7) pisteeseen B( 1, 4). PB = ( 1 ( 5)) + (4 7) = 5 = 5 Huomataan, että etäisyys PB on pienempi kuin säde. Siis piste B( 1, 4) on ympyrän sisäpuolella ja sen lyhin etäisyys ympyrästä on BD = r PB = 8 5= 3. Vastaus a) b) 3

17 Tekijä Pitkä matematiikka Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella a. Ympyrän yhtälöstä x + y = 3 eli ( x 0) + ( y 0) = 3 nähdään, että keskipiste on A (0,0). Lasketaan keskipisteen A (0,0) etäisyys suorasta x+ y 10 = AC = = 10 = 5

18 Ratkaistaan ympyrän säde. r = 3 r = ± 3 r = 4 r > 0 Kysytty pituus a on suoran etäisyys keskipisteestä AC vähennettynä ympyrän säteellä r. a = AC r Sijoitetaan AC = 5 ja r = 4 = 5 4 = Koordinaatiston yksikkönä on 100 metriä, joten lyhimmän polun pituus tieltä järven rantaan on 100 m = 141,41... m 140 m. Vastaus 140 metriä

19 Tekijä Pitkä matematiikka a) Muutetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. y = 1,5x 8,5 1,5x+ y+ 8,5= 0 3 x+ y+ 17 = 0 3x+ y+ 17 = 0 Jos ympyrä sivuaa suoraa 3x+ y+ 17 = 0, suora on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä ( 8, 3). Lasketaan säde. r = = = 3 ( 8) + ( 3) Lavennetaan neliöjuuri nimittäjäst ä Sijoitetaan ympyrän keskipiste ( 8, 3) ja säde ympyrän yhtälöön. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x ( 8)) + ( y ( 3)) = 13 ( x+ 8) + ( y+ 3) = 13 Sijoitetaan x = 8, y = 3, r =

20 b) Muutetaan suoran yhtälö yleiseen muotoon, jotta voidaan käyttää etäisyyden kaavaa. x = 3,5 x + 3,5 = 0 x + 7 = 0 x + 7= 0 Jos ympyrä sivuaa suoraa x + 7= 0, suora on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä ( 8, 3). Lasketaan säde. ( 8) + 0 ( 3) + 7 r = + 0 = 9 Sijoitetaan ympyrän keskipiste ( 8, 3) ja säde ympyrän yhtälöön. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r 9 ( ) ( x ( 8)) + ( y ( 3)) = ( x+ 8) + ( y+ 3) = 81 4 Sijoitetaan x = 8, y = 3, r = Vastaus a) ( x+ 8) + ( y+ 3) = 13 b) ( x+ 8) + ( y+ 3) = 81 4

21 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 ( x+ 1 ) + ( y ) = 8 ( x ( 1 )) + ( y ) = 8 a) x+ 1 = x ( 1) Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 1 0 = ja y 0 =, joten ympyrän keskipiste on ( 1,). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 8 eli r = ± 8 = ±. Koska säde on positiivinen, niin r =. b) ( x 1) + ( y+ 5) = 16 y+ 5 = y ( 5) ( x 1) + ( y ( 5)) = 16 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 1 ja y 0 = 5, joten ympyrän keskipiste on (1, 5). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 16 eli r = ± 16 = ± 4. Koska säde on positiivinen, niin r = 4.

22 c) x + ( y + 3) = ( x 0) + ( y ( 3)) = x = x 0 ja y+ 3 = y ( 3) Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 0 ja y 0 = 3, joten ympyrän keskipiste on (0, 3). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 1 eli 4 r = ± = ± 4 =±. Koska säde on positiivinen, niin r = 1. d) 4x + 4 y = 144 : 4 x + y = 36 ( x 0) + ( y 0) = 36 y = y 0 ja x = x 0 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 0 ja y 0 = 0, joten ympyrän keskipiste on (0,0). Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r = 36 eli r = ± 36 = ± 6. Koska säde on positiivinen, niin r = 6.

23 Vastaus a) keskipiste ( 1,) ja säde b) keskipiste (1, 5) ja säde 4 c) keskipiste (0, 3) ja säde 1 d) keskipiste (0,0) ja säde 6

24 Tekijä Pitkä matematiikka a) Ympyrän keskipiste on (0,1) ja säde r = 4. Sijoitetaan ne ympyrän yhtälön kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 0) + ( y 1) = 4 x + ( y 1) = 16 Sijoitetaan x = 0, y = 1, r = b) Ympyrän keskipiste on ( 1,3) ja säde r = 3 5. ( x x 0) + ( y y0) = r Sijoitetaan x0 = 1, y0 = 3, r = 3 5 ( x ( 1 )) + ( y 3) = (3 5) 1 ( x+ ) + ( y 3) = 3 5 ( x+ 1 ) + ( y 3) = 9 5 ( x + 1 ) + ( y 3) = 45

25 c) Ympyrän säde r on keskipisteen (, 4) ja ympyrän pisteen (1, ) välinen etäisyys. Muodostetaan yhtälö. r = (1 ( )) + ( ( 4)) = (1 + ) + ( + 4) = 3 + = 9+ 4 = 13 Siis ympyrän keskipiste on (, 4) ja säde r = ( x x ) + ( y y ) = r ( x ( )) + ( y ( 4)) = 13 ( x+ ) + ( y+ 4) = 13 Sijoitetaan x =, y = 4, r = Vastaus a) x + ( y 1) = 16 b) ( x+ 1 ) + ( y 3) = 45 c) ( x+ ) + ( y+ 4) = 13

26 Tekijä Pitkä matematiikka a) Lasketaan pisteen ( 4, 1) etäisyys ympyrän keskipisteestä (0,1). d = (0 ( 4)) + (1 ( 1)) = 4 + (1 + 1) = 4 + = = 0 Ei tarvitse sieventää enempää Koska d = 0 on suurempi kuin säde r = 4 = 16, piste ( 4, 1) on ympyrän ulkopuolella.

27 b) Lasketaan pisteen ( 4, 1) etäisyys ympyrän keskipisteestä ( 1,3). d = ( 1 ( 4)) + (3 ( 1)) = ( 1 + 4) + (3 + 1) ( ) = = = 7 = = = Ei tarvitse sieventää enempää Koska d = 8 1 on pienempi kuin säde 4 r = 3 5 = 9 5 = 45, piste ( 4, 1) on ympyrän sisäpuolella.

28 c) Ympyrän säde r on keskipisteen (, 4) ja ympyrän pisteen (1, ) välinen etäisyys. Muodostetaan yhtälö. r = (1 ( )) + ( ( 4)) = (1 + ) + ( + 4) = 3 + = 9+ 4 = 13 Siis ympyrän keskipiste on (, 4) ja säde r = 13. Lasketaan pisteen ( 4, 1) etäisyys ympyrän keskipisteestä (, 4). d = ( ( 4)) + ( 4 ( 1)) = ( + 4) + ( 4+ 1) = + ( 3) = = Koska d = 13 on yhtä suuri kuin säde r = 13, piste ( 4, 1) on ympyrällä.

29 Vastaus a) ulkopuolella b) sisäpuolella c) ympyrällä

30 Tekijä Pitkä matematiikka Ympyrän yhtälöstä ( x 1) + ( y 5) = 16 nähdään, että sen keskipiste on P (1,5) ja säde r = 16 = 4. a) Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Lasketaan etäisyys ympyrän keskipisteestä P (1,5) pisteeseen A(13, 4). d = PA = (13 1) + ( 4 5) = 5 = 15 Huomataan, että etäisyys d on suurempi kuin säde r = 4. Siis piste (13, 4) on ympyrän ulkopuolella ja sen lyhin etäisyys ympyrästä on AB = AP BP = d r = 15 4 = 11.

31 b) Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Ympyrän yhtälöstä ( x 13) + ( y+ 4) = 36 nähdään, että sen keskipiste on (13, 4) ja säde r = 36 = 6. Ympyröiden keskipisteiden (1,5) ja (13, 4) välinen etäisyys PA = 15 laskettiin a-kohdassa. Koska tämä etäisyys on suurempi kuin ympyröiden säteiden r = r 1 = 4 ja r = 6 summa r1+ r = 10, ympyrät eivät leikkaa toisiaan eivätkä ne ole sisäkkäin. Nyt kysytty ympyröiden välinen lyhin etäisyys BC on ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys vähennettynä kummankin ympyrän säteellä. BC = PA r1 r = = 5

32 Vastaus a) 11 b) 5

33 Tekijä Pitkä matematiikka Ympyrän yhtälön ( x+ 1) + ( y 50) = k + 1 oikea puoli on säteen neliö r = k + 1. a) Ympyrän säde on 7. r = k = k + 1 k = 48 k = 4 Sijoitetaan säde r = 7 b) Jos ympyrän yhtälön keskipistemuodossa säde r = 0, esittää yhtälö pistettä. r = k = k + 1 k = 1 k = 1 Sijoitetaan säde r = 0 Ympyrän yhtälöstä ( x+ 1) + ( y 50) = k + 1 nähdään, että sen keskipiste on ( 1,50). Kun r = 0, yhtälö kuvaa tätä pistettä.

34 Vastaus a) k = 4 b) k = 1, ( 1,50)

35 Tekijä Pitkä matematiikka a) Muotoa ( x x 0) + ( y y0) = a oleva yhtälö esittää ympyrää, kun oikean puolen arvo on positiivinen. Yhtälö ( x 3) + ( y+ 3) = p + p esittää siis ympyrää, jos sen oikea puoli p + p > 0. Ratkaistaan laskimella polynomin nollakohdat. p + p = 0 p = 1 tai p = Polynomin. asteen termin kerroin on positiivinen, joten paraabeli aukeaa ylöspäin. Kuvaajan perusteella epäyhtälö p + p > 0 toteutuu, kun p < tai p > 1. Yhtälö siis esittää ympyrää, kun p < tai p > 1.

36 b) Kun ympyrä kulkee origon kautta, toteuttavat origon koordinaatit ympyrän yhtälön. Sijoitetaan origon koordinaatit x = 0 ja y = 0 yhtälöön. (0 3) + (0 + 3) = p + p 18 = p + p p + p 0= 0 Ratkaistaan yhtälö laskimella. p = 4 tai p = 5 Huomioidaan vielä a-kohdassa määritetty ehto sille, että yhtälö esittää ympyrää: p < tai p > 1. Ratkaisut kelpaavat, koska 4> 1 ja 5<. Siis yhtälö esittää origon kautta kulkevaa ympyrää, kun p = 4 tai p = 5. Vastaus a) p < tai p > 1 b) p = 4 tai p = 5

37 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään kuvio. Jana AB on ympyrän jänne. Kun jänne AB liikkuu pituuden muuttumatta huomataan, että jänteen keskipiste C pysyy aina vakioetäisyydellä ympyrän keskipisteestä P(1, ). Toisin sanoen janan keskipiste piirtää ympyrän, jonka keskipiste on P(1, ) ja säde PC.

38 Tiedetään, että janan AB pituus on 4, ja piste C on janan AB keskipiste. Tällöin etäisyys AC = 1 4 =. Ympyrän ( x 1) + ( y+ ) = 9 säteen neliö PA = 9. Käytetään suorakulmaiseen kolmioon PAC Pythagoraan lausetta ja ratkaistaan etäisyys PC. PA = PC + AC Sijoitetaan PA = 9 ja AC = PC 9= PC + = 5 PC = ± 5 PC = 5 PC > 0 Sijoitetaan ympyrän keskipiste P(1, ) ja säde r = PC = 5 ympyrän kaavaan. 0 0 ( x x ) + ( y y ) = r ( x 1) + ( y ( )) = 5 ( x 1) + ( y+ ) = 5 Siis janan AB keskipiste piirtää ympyrän ( x 1) + ( y+ ) = 5, jonka keskipiste on (1, ) ja säde 5.

39 Vastaus Ympyrän, jonka keskipiste on (1, ) ja säde 5. Yhtälö on ( x 1) + ( y+ ) = 5.

40 Tekijä Pitkä matematiikka Tavoitteena on löytää yhtälö, jonka janan keskipisteet toteuttavat. Merkitään keskipisteen koordinaatteja kirjaimilla x ja y, eli keskipiste on ( xy., ) Toinen päätepiste on x-akselilla, joten se on muotoa ( b,0). Toinen päätepiste on y-akselilla, joten se on vastaavasti muotoa (0, c ). Koska janan keskipiste ( xy, ) = ( b+ 0, 0+ c) = ( b, c), niin päätepisteiden koordinaatit b ja c voidaan ilmaista keskipisteen avulla. x = b b= x y = c c = y Päätepisteiden ( b,0) = ( x,0) ja (0, c) = (0, y) välinen etäisyys on a. Muodostetaan yhtälö. (0 x) + ( y 0) = a ( x) + ( y) = a ( x 0) 4x + 4y = a 4x + 4 y = a : 4 x + y = a 4 + ( y 0) = a 4 a = b, kun b 0 j a a = b

41 Yhtälö on muodoltaan ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö. Ratkaistaan säde r. r = a 4 r = ± a 4 a r = ± a r = r = a r > 0, hylätään negatiivinen tulos a on pituus, jolloin a > 0 Siis janan keskipiste piirtää ympyrän ( x 0) + ( y 0) = a, 4 jonka keskipiste on (0,0) ja säde a. Vastaus Ympyrän, jonka keskipiste on (0,0) ja säde a.

42 Tekijä Pitkä matematiikka Ympyrän keskipiste ( x0, y 0) on suoralla y = 3x+, eli keskipisteen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. y = 3x Koska pisteet (1, 4) ja (3, 3) ovat ympyrällä, ovat ne yhtä kaukana ympyrän keskipisteestä (x 0, y 0 ) = (x 0, -3x 0 + ). Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x = ( x 1) (( 3x ) 4) ( x 3) (( 3x ) 3) () = ( x 1) ( 3x ) ( x 3) ( 3x 1) Laskin: x 0 = 1 Tällöin y = 3x0 + = 3 + =. Ympyrän säde on keskipisteen etäisyys (mistä hyvänsä) ympyrän pisteestä. r = ( 1 3) + ( 1 3) = 5, josta r = 5. Ympyrän yhtälöksi saadaan ( x 1) + ( y 1) = 5. Vastaus ( x 1) + ( y 1) = 5

43 Tekijä Pitkä matematiikka a) Piirretään pisteet A = (1, 7) ja B = (5, 1). Merkitään jana AB ja sen keskipiste C = (3,3). Piirretään C:n kautta janan AB keskinormaali. Ympyröiden, jotka kulkevat pisteiden A ja B kautta, keskipisteet ovat tällä keskinormaalilla. Piirretään kolme ympyrää, joiden keskipiste on janan AB keskinormaalilla ja jotka kulkevat pisteen A kautta. Tällöin ne kulkevat myös pisteen B kautta.

44 b) Ympyrän keskipiste on janan AB keskinormaalilla kohdassa x = 5. Tällöin keskipiste on G = (5, 4) eli keskipisteen y-koordinaatti on 4. c) Ympyrän keskipisteet ovat keskinormaalilla, jonka yhtälö on x+ y = 3. Ratkaistaan keskinormaalin yhtälöstä y. x+ y = 3 y = x+ 3 y = 1 x+ 3 Siis ympyrän keskipisteen y-koordinaatti x-koordinaatin avulla lausuttuna on y = 1 x+ 3.

45 Vastaus a) b) y = 4 c) y = 1 x+ 3

46 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään epäyhtälöryhmän epäyhtälöt ( x 1) + ( y 1) 5 sekä y 1 x+ 5. Kuvioon muodostuva suurempi ympyräsegmentti toteuttaa molemmat epäyhtälöryhmän epäyhtälöt, koska sen kohdalla alueet menevät päällekkäin. Epäyhtälömerkkien yhtäsuuruudesta johtuen myös segmentin ääriviivat toteuttavat epäyhtälöryhmän.

47 Vastaus Suurempi ympyräsegmentti ääriviivoineen.

48 Tekijä Pitkä matematiikka a) Piste (x, y) on origokeskisellä, 5-säteisellä taksinkuljettajan ympyrällä, kun sen taksinkuljettajan etäisyys origoon (0, 0) on 5. x 0 + y 0 = 5 x + y = 5 b) Ratkaistaan yhtälöstä y. x + y = 5 y = 5 x Koska yhtälön vasen puoli on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, myös oikean puolen on oltava epänegatiivinen. 5 x 0 x 5 x 5 ja x 5 5 x 5

49 Jatketaan sieventämistä. y = 5 x y = 5 x tai y = (5 x) y = 5 + x Kun x 0 (ja edellisen mukaan x 5), on x = x, ja yhtälöt sievenevät muotoihin y = 5 x, missä 0 x 5 ja y = 5 + x, missä 0 x 5 Kun x < 0 (ja edellisen mukaan x 5), on x = x, ja yhtälöt sievenevät muotoihin y = 5 + x, missä 5 x< 0 ja y = 5 x, missä 5 x< 0 Piirretään siis suorat y = 5 x ja y = 5 + x välillä 0 x 5 ja suorat y = 5 + x ja y = 5 x välillä 5 x < 0.

50 Vastaus a) x + y = 5 b)

51 Tekijä Pitkä matematiikka Merkitään pisteiden (x 1, y 1 ) ja (x, y ) välistä maksimietäisyyttä, eli suurempaa arvoista x x 1 ja y y 1 lyhyemmin max( x x 1, y y 1 ). Piste (x, y) on origokeskisellä, 5-säteisellä maksimietäisyysympyrällä, jos sen maksimietäisyys origosta (0, 0) on 5. Saadaan seuraava yhtälö. max( x 0, y 0 ) = 5 max( x, y ) = 5 Yhtälö voi toteutua kahdella tavalla: Tapaus 1: x = 5 ja y 5 x = 5 tai x = 5 ja 5 y 5 Tapaus : y = 5 ja x 5 y = 5 tai y = 5 ja 5 x 5 Ympyrä koostuu siis vaakasuorista suorista y = ±5 välillä 5 x 5 ja pystysuorista suorista x = ±5 välillä 5 y 5. Piirretään kuva.

52 Tekijä Pitkä matematiikka a) ( x 6) + ( y 1) = 1 x + x y + y 1+ 1 = 1 x 1x y y+ 1 = 1 x + y 1x y+ 5= 0 Korotetaan neliöön Järjestellään termt i b) ( x 1 ) + ( y+ 5) = 5 x + x 1 + ( 1) + y + y 5+ 5 = 5 x x+ 1 + y + 10y+ 5 = 5 4 x + y x+ 10y+ 1 = 0 4 Korotetaan neliöön Järjestellään termit Vastaus a) x + y 1x y+ 5 = 0 b) x + y x+ 10y+ 1 = 0 4

53 Tekijä Pitkä matematiikka Muistetaan binomin neliön kaava ( a + b) = a + ab + b. a) ( x+ ) = x + 6 x+ ( x+ 3) = x + 6x + 3 ( x + 3) = x + 6x + 9 6x = x 3= ab b) ( x ) = x = ( 4) = b ( x 4) = x + x ( 4) + 16 ( x 4) = x 8x+ 16 ab = x ( 4) ( y ) = y 3 y+ 3y = y ( 3 ) = ab c) ( y 3) = y 3 y+ ( 3) 3 9 ( y ) = y 3y + 4 d) ( y ) = y + ky + ( y + k) = y + ky + ( k) ( y + k) = y + ky + k 4 ky = y k = ab

54 Vastaus a) ( x+ 3) = x + 6x+ 9 b) ( x 4) = x 8x+ 16 ( y 3) = y 3y+ 9 4 ( y + k) = y + ky + k 4 c) d)

55 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälöt muotoon ( x x 0) + ( y y0) = r. Tätä kutsutaan neliöön täydentämiseksi. a) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y + 4x 6y 3= 0 x + 4x+ y 6y = 3 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x + y + y ( 3) = 3 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoja ( x+ ) = x + x + ja ( y 3) = y + y ( 3) + ( 3). x + x + + y + y ( 3) + ( 3) = ( 3) ( x+ ) + ( y 3) = 16 Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (,3) ja säde r = 16 = 4.

56 b) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y 10x+ 4 y+ 9 = 0 x 10x+ y + 4 y = 9 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 5) + y + y = 9 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoja ( x 5) = x + x ( 5) + ( 5) ja ( y+ ) = y + y +. x + x ( 5) + ( 5) + y + y + = 9 + ( 5) + ( x 5) + ( y+ ) = 0 Säteen neliöksi tuli 0, joten yhtälö esittää pistettä (5, ).

57 c) Jaetaan. asteen termien kertoimella. Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y 1 y+ 4 = 0 : x + y 6y+ = 0 x + y 6y = Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. Muuttujalla x ei ole ensimmäisen asteen termiä, joten voidaan suoraan sijoittaa x = x 0. x + y 6y = ( x 0) + y + y ( 3) = Lisätään sopiva termi yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( y 3) = y + y ( 3) + ( 3). ( x 0) + y + y ( 3) + ( 3) = + ( 3) ( x 0) + ( y 3) = 7 Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (0,3) ja säde r = 7.

58 Vastaus a) Ympyrää, jonka keskipiste on (,3) ja säde 4. b) pistettä (5, ) c) Ympyrää, jonka keskipiste on (0,3) ja säde 7.

59 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälöt muotoon ( x x 0) + ( y y0) = r. Tätä kutsutaan neliöön täydentämiseksi. a) Jaetaan. asteen termien kertoimella ja ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. 9x + 9 y 1x 6y 76 = 0 : 9 x + y 4 x y 76 = x 4 x+ y y = Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( ) + y + y ( 1) = Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille hyödyntäen havaintoa ( x ) = x + x ( ) + ( ) ja ( y 1) = y + y ( 1) + ( 1)

60 ( ) ( ) x + x ( ) + ( ) + y + y ( 1) + ( 1) = ( x ) + ( y 1) = ( x ) + ( y 1) = ( x ) + ( y 1) = Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (, 1) ja säde r = 9 =

61 b) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y 18x+ 40y+ 481 = 0 x 18x+ y + 40y = 481 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 9) + y + y 0 = 481 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x 9) = x + x ( 9) + 9 ja ( y+ 0) = y + y x + x ( 9) y + y = ( 9) + 0 ( x 9) + ( y+ 0) = ( x 9) + ( y+ 0) = 0 Säteen neliöksi tuli 0, joten yhtälö esittää pistettä (9, 0).

62 c) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y + x 6y+ 15 = 0 x + x+ y 6y = 15 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termiet tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x 1+ y + y ( 3) = 15 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x+ 1) = x + x ja ( y 3) = y + y ( 3) + ( 3). x + x y + y ( 3) + ( 3) = ( 3) ( x+ 1) + ( y 3) = 5 Koska yhtälön vasen puoli on negatiivinen, yhtälö ei esitä mitään pistejoukkoa.

63 Vastaus a) Ympyrää, jonka keskipiste on (, 1) 3 3 b) pistettä (9, 0) c) ei mitään pistejoukkoa ja säde 3.

64 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälö muotoon ( x x ) + ( y y ) = r. x + y + 50x y+ 606 = x + 50x+ y y = 606 x + 5x+ y 1y = 606 x + 5x+ 5 + y 1y+ 1 = ( x+ 5) + ( y 1) = 0 Nähdään, että ympyrän säde on r = 0 = 5. a) p = p r = p 5 = 4 5p b) A= π r =π ( 5) = 0π Vastaus a) 4 5π b) 0π

65 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon siirtämällä vakiot oikealle puolelle ja täydentämällä yhtälön vasen puoli neliöiksi. x + y 4x+ 6y+ 179 m = 0 x 4x+ y + 6y = m 179 x 1x+ 1 + y + 3y+ 3 = m ( x 1) + ( y+ 3) = m 6 a) Yhtälö esittää ympyrää, kun oikealla puolella oleva luku on positiivinen. Tällöin tämä luku on säteen neliö. m 6 > 0 m > 6 Siis yhtälö esittää ympyrää, kun m > 6. b) Kun oikealla puolella oleva luku on nolla, esittää yhtälö pistettä. m 6 = 0 m = 6 Vastaus a) m > 6 b) m = 6

66 Tekijä Pitkä matematiikka Haettu ympyrä kulkee pisteiden (0, 3), (10, 7) ja (8, 9) kautta. Ympyrän yhtälön yleinen muoto on x + y + ax + by + c = 0. Tavoitteena on määrittää kertoimien a, b ja c arvot. Koska ympyrä kulkee pisteiden (0,3), (10, 7) ja (8, 9) kautta, nämä pisteet toteuttavat ympyrän yhtälön. Sijoittamalla pisteiden koordinaatit ympyrän yhtälön yleiseen muotoon saadaan kolme yhtälöä. + + a + b + c = ( 7) + a 10 + b ( 7) + c = 0 8 ( 9) + + a 8 + b ( 9) + c = b+ c = 0 Ratkaistaan yhtälöryhmä laskimella a 7b+ c = a 9b+ c = 0 Yhtälöryhmän ratkaisu on a = 8, b = 6 ja c = 7. Sijoitetaan kertoimet yhtälöön x + y + ax + by + c = 0. x + y 8x+ 6y 7 = 0 Vastaus x + y 8x+ 6y 7 = 0

67 Tekijä Pitkä matematiikka Tavoitteena on löytää yhtälö, jonka kuminauhan keskipisteen koordinaatit toteuttavat. Olkoon kuminauhan keskipiste ( xy, ) ja liikkuva päätepiste ( ab, ). Kiinteä päätepiste on (0,0). Koska janan keskipiste ( xy, ) = ( a+ 0, b+ 0) = ( a, b), niin pisteen ( ab, ) koordinaatit voidaan ilmaista keskipisteen koordinaattien avulla. x = a a = x y = b b= y Koska piste ( ab, ) on ympyrällä x + y 4x 8y+ 19= 0, sen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. a + b 4a 8b+ 19 = 0 ( x) + ( y) 4 x 8 y+ 19 = 0 4x + 4 y 8x 16y+ 19 = 0 : 4 x + y x 4 y+ 19 = 0 4 a = x, b= y Kuminauhan keskipiste ( xy, ) toteuttaa siis yhtälön 19 x + y x 4y+ = 0. 4

68 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon, jotta voidaan päätellä, esittääkö se ympyrää. x + y x 4y+ 19 = 0 4 ( x 1) + ( y ) = 1 4 Täydennetään neliöksi laskimella. Kyseessä on ympyrä, jonka keskipiste on (1, ) ja säde 1. Vastaus Ympyrän ( x 1) + ( y ) = 1, jonka keskipiste on 4 (1, ) ja säde 1.

69 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon, jotta voidaan päätellä sen säde. x + y y = 0 ( x 0) + ( y+ 7000) = Täydennetään neliöiksi laskimella. Säde on siis r = = Tällöin halkaisija on d = r = = 63, Koska saaren halkaisija on n. 630 m, saarella sijaitsevien kesämökkien etäisyys ei voi olla 700 m. Vastaus Ei voi, koska saaren halkaisija on n. 630 m.

70 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y + 16x+ 14 y+ 95 = 0 Täydennetään neliöiksi laskimella. ( x+ 8) + ( y+ 7) = 18 Siis ympyrän keskipiste on ( 8, 7) ja säde r = 18 = 3. a) Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Keskipisteen ( 8, 7) etäisyys pisteestä ( 3, ) on d = ( 3 ( 8)) + ( ( 7)) = 5. Koska pisteiden etäisyys on suurempi kuin säde, piste ( 3, ) on ympyrän ulkopuolella. Tällöin pisteen etäisyys ympyrältä on d r = 5 3 =.

71 b) Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Koordinaatiston pisteen etäisyys y-akselista on pisteen x- koordinaatin itseisarvo. Keskipisteen ( 8, 7) etäisyys y- akselista on d = 8 = 8. Koska y-akselin etäisyys ympyrästä on suurempi kuin säde r = 3 = 4,4..., y-akseli ei leikkaa ympyrää ja on siis ympyrän ulkopuolella. Tällöin y-akselin etäisyys ympyrältä on d r = 8 3 3,76.

72 Vastaus a) b) 8 3 3,76

73 Tekijä Pitkä matematiikka Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Kirjoitetaan ympyröiden yhtälöt keskipistemuotoon. x + y 4x 10y+ 19 = 0 ( x ) + ( y 5) = 10 Täydennetään neliöiksi laskimella. Siis ympyrän keskipiste on (,5) ja säde r 1 = 10. x + y 8x y+ 157 = 0 ( x 14) + ( y 1) = 40 Täydennetään neliöiksi laskimella.

74 Siis ympyrän keskipiste on (14,1) ja säde r = 40 = 10. Lasketaan ympyröiden keskipisteiden (,5) ja (14,1) välinen etäisyys. d = (14 ) + (1 5) = 160 = 4 10 Verrataan tätä ympyröiden säteiden summaan r1+ r = = Koska pisteiden välinen etäisyys on suurempi kuin säteiden summa 4 10 > 3 10, niin ympyrät ovat irrallaan toisistaan, eli ne eivät leikkaa toisiaan. Tällöin ympyröiden välinen etäisyys on d ( r1+ r) = = 10. Vastaus 10

75 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälöt muotoon ( x x 0) + ( y y0) = r. Tätä kutsutaan neliöön täydentämiseksi. a) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y 4x+ 6y+ 9= 0 x 4x+ y + 6y = 9 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( ) + y + y 3 = 9 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x ) = x + x ( ) + ( ) ja ( y+ 3) = y + y x + x ( ) + ( ) + y + y 3+ 3 = 9 + ( ) + 3 ( x ) + ( y+ 3) = 4 Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (, 3) ja säde r = 4 =.

76 b) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y x+ 16y+ 185 = 0 x x+ y + 16y = 185 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 11) + y + y 8 = 185 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x 11) = x + x ( 11) + ( 11) ja ( y+ 8) = y + y x + x ( 11) + ( 11) + y + y = ( 11) + 8 ( x 11) + ( y+ 8) = 0 Säteen neliöksi tuli 0, joten yhtälö esittää pistettä (11, 8).

77 c) Jaetaan. asteen termien kertoimella. Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. 4x + 4y + 4x 7= 0 :4 x + y + x 7 = 0 4 x + x+ y = 7 4 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. Muuttujalla y ei ole 1. asteen termiä, joten voidaan sijoittaa suoraan y = y 0. x + x 1 + ( y 0) = 4 7 Lisätään sopiva termi yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x+ 1) = x + x ( ). 7 ( ) ( ) x + x ( y 0) = ( x+ 1 ) + ( y 0) = Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on ( 1,0) ja säde r =.

78 Vastaus a) Ympyrää, jonka keskipiste on (, 3) ja säde. b) pistettä (11, 8) c) Ympyrää, jonka keskipiste on ( 1,0) ja säde.

79 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälöt muotoon ( x x 0) + ( y y0) = r. Tätä kutsutaan neliöön täydentämiseksi. a) Jaetaan. asteen termien kertoimella ja ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. 5x + 5y 45 = 0 : 5 x + y 9= 0 x + y = 9 Huomataan, että yhtälössä ei ole 1. asteen termejä.. asteen termit voidaan kirjoittaa suoraan binomin neliöinä sijoittamalla x = x 0 ja y = y 0. ( x 0) + ( y 0) = 9 Pistejoukon yhtälö esittää siis ympyrää, jonka keskipiste on (0,0) ja säde r = 9 = 3.

80 b) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y x+ 3y+ 5 = 0 x x+ y + 3y = 5 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 1 ) + y + y 3 = 5 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x 1) = x + x ( 1) + ( 1) ja ( y+ 3) = y + y ( ). x + x ( 1) + ( 1) + y + y 3 + ( 3) = 5 + ( 1) + ( 3) ( x 1) + ( y+ 3) = ( x 1 ) + ( y+ 3 ) = 0 Säteen neliöksi tuli 0, joten yhtälö esittää pistettä ( 1, 3).

81 c) Ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y + 10x 1 y+ 64 = 0 x + 10x+ y 1 y = 64 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x 5 + y + y ( 6) = 64 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x+ 5) = x + x ja ( y 6) = y + y ( 6) + ( 6). x + x y + y ( 6) + ( 6) = ( 6) ( x+ 5) + ( y 6) = 3 Koska yhtälön oikea puoli on negatiivinen, yhtälö ei esitä mitään pistejoukkoa.

82 d) Jaetaan. asteen termien kertoimella ja ryhmitellään termit muuttujan mukaan ja siirretään vakiotermi yhtälön oikealle puolelle. x + y x+ 4 y+ 5 a = 0, a > 0 x x+ y + 4y = a 5 Kirjoitetaan ensimmäisen asteen termit tulomuotoon, jossa tekijänä on. x + x ( 1) + y + y = a 5 Lisätään sopivat termit yhtälön molemmille puolille käyttäen havaintoa ( x 1) = x + x ( 1) + ( 1) ja ( y+ ) = y + y +. x + x ( 1) + ( 1) + y + y + = a 5 + ( 1) + ( x 1) + ( y+ ) = a Koska a > 0, pistejoukon yhtälö esittää ympyrää, jonka keskipiste on (1, ) ja säde r = a.

83 Vastaus a) Ympyrää, jonka keskipiste on (0,0) ja säde 3. b) pistettä ( 1, 3 ) c) ei mitään pistejoukkoa d) Ympyrää, jonka keskipiste on (1, ) ja säde a.

84 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään epäyhtälöryhmän epäyhtälöt x + y 4x 6y 3 0 sekä x. Kuvion oikeanpuoleinen, tumma ympyräsegmentti toteuttaa molemmat epäyhtälöt, koska siinä alueet menevät päällekkäin. Epäyhtälömerkin yhtäsuuruudesta johtuen myös tumman alueen ääriviivat toteuttavat epäyhtälöryhmän.

85 Vastaus Kuvion oikeanpuoleinen ympyräsegmentti ääriviivoineen

86 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 8x 46y+ 343 = 0 ( x 4) + ( y 3) = 0 Täydennetään neliöiksi laskimella. Siis ympyrän keskipiste on (4,3) ja säde r = 0 = 14,1.... Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Keskipisteen (4, 3) etäisyys pisteestä A (1,13) on d 1 = (1 4) + (13 3) = 41 = 1,

87 Koska pisteiden välinen etäisyys on pienempi kuin säde, piste A (1,13) on ympyrän sisäpuolella. Tällöin pisteen etäisyys ympyrältä on a = r d1 = 0 41 = 1, Keskipisteen (4, 3) etäisyys pisteestä B (16,14) on d = (16 4) + (14 3) = 15. Koska pisteiden välinen etäisyys on suurempi kuin säde, piste B (16,14) on ympyrän ulkopuolella. Tällöin pisteen etäisyys ympyrältä on b= d r = 15 0 = 0, Koska b= 0, < a = 1,406..., niin piste B on lähempänä ympyrää. Vastaus piste B

88 Tekijä Pitkä matematiikka Muokataan yhtälö ympyrän keskipistemuotoon. x + y + px 4py + 4p = 0 x + px + y py = 4p x + px + p + y py + ( p) = 4 p + p + ( p) ( x+ p) + ( y p) = p Yhtälö esittää ympyrää, kun sen oikea puoli on positiivinen. p > 0 p 0 p 0 Tällöin ympyrän keskipiste on ( p, p) ja säde r = p = p.

89 Annetaan p:lle arvoja ja piirretään joitakin ympyräparven ympyröitä. p ( x+ p) + ( y p) = p ( x+ ) + ( y 4) = ( x+ 1) + ( y ) = ( x+ ) + ( y 1) = 4 1 ( x 1) + ( y+ ) = 1 ( x ) + ( y+ 4) = 4

90 Vastaus p 0, keskipiste on ( p, p) ja säde p.

91 Tekijä Pitkä matematiikka Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon. x + y + kx + 4ky + y + 6k + 1= 0 x + kx + y + 4ky + y = 6k 1 x + kx + y + (k + 1) y = 6k 1 + k + (k + 1) x + kx + k + y + (k + 1) y + (k + 1) = 6k 1 + k + (k + 1) ( x+ k) + ( y+ k + 1) = 6k 1+ k + 4k + 4k + 1 ( x ( k)) + ( y ( k 1)) = 5k k Yhtälö esittää ympyrää, jos sen oikea puoli on positiivinen, eli 5k k > 0. Määritetään polynomin 5k k nollakohdat. 5k k = 0 k(5k ) = 0 Tulon nollasääntö k = 0 tai 5k = 0 k = 5 Kuvaajan perusteella 5k k > 0 kun k < 0 tai k >. Tällöin 5 yhtälö esittää ympyrää.

92 Ympyrän ( x ( k)) + ( y ( k 1)) = 5k k keskipiste on ( k, k 1). Merkitään keskipisteen x-koordinaattia x:llä. x = k, jolloin k = x k:n ehdoista seuraa ehdot muuttujalle x. k < 0 tai k > 5 x < 0 x > x > 0 5 x < 5 Sijoitetaan k y = k 1 = ( x) 1 = x 1 = x keskipisteen y-koordinaatin yhtälöön. Keskipisteiden joukko koostuu siis niistä suoran y = x 1 pisteistä, joissa x < tai x > 0. 5

93 Vastaus k < 0 tai k >. Keskipisteiden joukko muodostuu 5 suoran y = x 1 pisteistä, joissa x < tai x > 0. 5

94 7 a) Ympyrän yhtälön yleinen muoto on x + y + ax + by + c = 0. Sijoitetaan annetut pisteet tähän yhtälöön ja ratkaistaan kertoimet yhtälöryhmästä laskimella. + + a + b + c = a 1+ b 5+ c = a 1+ b 1+ c = 0 8b+ c = 64 a + 5b + c = 6 a + b + c = a = 0 b = 6 c = 16 Täydennetään syntyvä yhtälö laskimella neliöiksi. x + y + 0x 6y 16 = 0 ( x+ 10) + ( y 3) = 15 Pisteet kuuluvat ympyrälle ( x+ 10) + ( y 3) = 15.

95 b) Ympyrän yhtälön yleinen muoto on x + y + ax + by + c = 0. Sijoitetaan annetut pisteet tähän yhtälöön ja ratkaistaan kertoimet yhtälöryhmästä laskimella. + + a + b + c = a 1+ b 1+ c = 0 ( 6) + + a + b ( 6) + c = 0 8b+ c = 64 a + b + c = a 6b+ c = 40 Ei ratkaisua Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua, joten pisteet eivät sijaitse samalla ympyrällä. Kuva paljastaa, että pisteet sijaitsevat samalla suoralla. Vastaus a) x + y + 0x 6y 16 = 0 b) Ei mahdollista, sillä pisteet ovat samalla suoralla.

96 73 Ympyrän yhtälön yleinen muoto on x + y + ax + by + c = 0. Sijoitetaan annetut pisteet tähän yhtälöön ja ratkaistaan kertoimet yhtälöryhmästä laskimella. + + a + b + c = a 70 + b 11 + c = a 16 + b 84 + c = 0 8a+ 98b+ c = a+ 11b+ c = a+ 84b+ c = 93 a = 140 b = 84 c = 1764 Täydennetään syntyvä yhtälö laskimella neliöiksi. x + y 140x 84 y = 0 ( x 70) + ( y 4) = 4900 Ympyrän säde on r = 4900 = 70. Yksikkö kartalla vastaa 5 metriä luonnossa, joten ympyrän säde on 70 5 m = 1750 m Vastaus 1750 m

97 74 Tavoitteena on löytää yhtälö, jonka janan keskipisteen koordinaatit toteuttavat. Olkoon janan keskipiste ( xy, ) ja liikkuva päätepiste ( ab, ). Kiinteä päätepiste on (,1). Koska janan keskipiste ( xy, ) = ( a, b+ 1), niin pisteen ( ab, ) koordinaatit voidaan ilmaista keskipisteen koordinaattien avulla. x = a a = x a = x+ y = b + 1 b+ 1= y b= y 1 Koska piste ( ab, ) on ympyrällä x + y x 15 = 0, sen koordinaatit toteuttavat ympyrän yhtälön. a + b a 15 = 0 a = x+, b= y 1 (x+ ) + ( y 1) (x+ ) 15 = 0 Sievennetään laskimella. x + x+ y y 7 = 0 ( x+ 1) + ( y 1) = 4 Janan keskipiste ( xy, ) toteuttaa siis yhtälön ( x+ 1) + ( y 1) = 4. janan keskipiste piirtää siis ympyrän, jonka keskipiste on ( 1, 1) ja säde.

98 Vastaus Ympyrän ( x+ 1) + ( y 1) = 4, jonka keskipiste on ( 1, 1) ja säde.

99 75 Merkitään P= ( xy, ). Pisteen P etäisyys d A pisteestä A (6,0) on kaksi kertaa niin suuri kuin pisteen P etäisyys d B pisteestä B (0,3). Muodostetaan yhtälö. d A B = d ( x 6) + ( y 0) = ( x 0) + ( y 3) x ( x 6) + y = x + ( y 3) ( x 6) + y = 4( x + ( y 3) ) + y + 4x 8y = 0 ( x+ ) + ( y 4) = 0 a = b a = b Sievennetään laskimella. Täydennetään neliöiksi laskimella. Siis piste P piirtää ympyrän ( x+ ) + ( y 4) = 0 eli x + y + 4x 8y = 0.

100 Vastaus Ympyrä ( x+ ) + ( y 4) = 0 eli x + y + 4x 8y = 0.

101 76 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla.

102 Muokataan ympyröiden yhtälöt keskipistemuotoon. x + y 18x+ y 78 = 0 ( x 9) + ( y+ 1) = 160 x + y 4y 6= 0 ( x 0) + ( y ) = 10 Täydennetään neliöiksi laskimella. Täydennetään neliöiksi laskimella. Toisen ympyrän keskipiste on siis P(9, 1) ja säde R = 160 = 4 10 ja toisen keskipiste Q (0,) ja säde r = 10. Lasketaan ympyröiden keskipisteiden välinen etäisyys. d = PQ = (9 0) + ( 1 ) = 90 = 3 10 Koska keskipisteiden välinen etäisyys on pienempi kuin isomman ympyrän säde, pienempi ympyrä on suuremman ympyrän sisällä. Koska r+ d = = 4 10 = R, ympyrät sivuavat toisiaan sisäpuolisesti.

103 77 a) Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y ax ay + a 1 = 0 16 x ax + y ay = 1 a 16 x ax + a + y a y + ( a ) = 1 a + a + ( a ) 16 ( x a) + ( y a) = a4+ 1a Koska a4 0, 1a 0 ja 1 > 0, yhtälön oikea puoli on aina 16 positiivinen. Siis yhtälö esittää ympyrä, jonka keskipiste on ( aa, ) ja säde r = a4 + 1 a = ( a) + 1a = ( a + 1 ) 4 = a ( ) a + ab + b = ( a+ b)

104 b) Annetaan vakiolla a arvoja ja piirretään niitä vastaavat ympyrän yhtälöt. a ( x a) + ( y a) = a4+ 1a+ 1 Keskipiste 16 x 1 + y = (0,0) 16 5 ( x 1) + ( y 1) = (1,1) 16 5 ( x+ 1) + ( y 1) = 16 ( 1,1) ( x ) + ( y 4) = (,4) ( x+ ) + ( y 4) = (,4) ( x 3) + ( y 9) = (3,9) ( x+ 3) + ( y 9) = ( 3,9) Keskipisteet näyttäisivät muodostavan paraabelin. c) Merkitään keskipistettä ( xy., ) Toisaalta ympyrän keskipiste on ( aa, ). Muodostetaan yhtälöt.

105 x = a y = a y = x Sijoitetaan a = x Siis keskipisteet muodostavat paraabelin y = x. Vastaus a) keskipiste ( aa, ) ja säde a b) Keskipisteet näyttäisivät muodostavan paraabelin. c) Paraabelin y = x

106 78 Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 4x y 3= 0 ( x ) + ( y 1) = 8 Täydennetään neliöiksi laskimella. Siis ympyrän keskipiste on (,1) ja säde r = 8 = =, a) Lasketaan pisteen (,1) etäisyys suorasta 3x+ 4 y 6 = 0. d = = 16 = 3, Koska etäisyys on suurempi kuin säde d = 3, >,88... = r, ympyrä ja suora eivät leikkaa.

107 b) Lasketaan pisteen (,1) etäisyys suorasta x y+ 5= 0. d = = 5 = 5 =, ( ) 5 ja Koska etäisyys on pienempi kuin säde d =,36... <,88... = r, suora lävistää ympyrän, eli suoralla ympyrällä on kaksi leikkauspistettä.

108 c) Lasketaan pisteen (,1) etäisyys suorasta x+ y+ 5= 0. d = = 4 = ( 1) + 1 Koska etäisyys on yhtä suuri kuin säde d = = r, suora sivuaa ympyrää, eli ympyrällä ja suoralla on yksi leikkauspiste. Vastaus a) 16 = 3,, eivät leikkaa 5 b) 5, kaksi leikkauspistettä c), yksi leikkauspiste

109 79 Suoran ja ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöistä muodostettu yhtälöpari. x y = 5x + y = 104 Sijoitetaan muuttujan y lauseke alempaan yhtälöön. x + y = 104 x + 5x = 104 6x = 104 x = x = 4 x = ± 4 x = ± Sijoitetaan y = 5x Lasketaan leikkauspisteiden y-koordinaatit sijoittamalla saadut x- koordinaatit yhtälöön y = 5x. Kun x =, niin y = 5 ( ) = 10 Kun x =, niin y = 5 = 10. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet ovat siis (, 10) ja (,10). Vastaus (, 10) ja (,10)

110 80 Suoran ja ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöistä muodostettu yhtälöpari. x 3y+ 5= 0 x y + 6x+ 8y 5 = 0 Ratkaistaan suoran yhtälöstä toinen muuttujista, esimerkiksi x. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke x = 3y 5 ympyrän yhtälöön. x + y 6x+ 8y 5 = 0 (3y 5) + y 6 (3y 5) + 8y 5 = 0 9 y 30y+ 5 + y 18y y 5 = 0 10y 40y+ 30 = 0 :10 y Sijoitetaan x = 3y 5 4 y+ 3= 0. asteen yhtälön ratkaisukaava ( 4) ± ( 4) y = 1 y = 4 ± 16 1 y = 4± 4 y = 4± y = 4+ = 6 = 3 tai y = 4 = = 1

111 Lasketaan leikkauspisteiden x-koordinaatit sijoittamalla saadut y- koordinaatit yhtälöön x = 3y 5. Kun y = 3, niin x = 33 5= 9 5= 4 Kun y = 1, niin x = 31 5= 3 5=. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet ovat siis (4,3) ja (,1). Vastaus (4,3) ja (,1)

112 81 Suoran ja ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöistä muodostettu yhtälöpari. x y = 0 x y + + 4x 6y 5= 0 Ratkaistaan suoran yhtälöstä toinen muuttujista, esimerkiksi x. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke x = y+ ympyrän yhtälöön. x + y + 4x 6y 5= 0 (y+ ) + y + 4 (y+ ) 6y 5= 0 4y + 8y+ 4+ y + 8y+ 8 6y 5= 0 Sijoitetaan x = y+ 5y + 10y+ 7 = 0. asteen yhtälön ratkaisukaava y = y = y = 10 ± ± ± ei ole määritelty. Siis y:llä ei ole ratkaisuja. Tällöin suoralla ja ympyrällä ei ole leikkauspisteitä. Vastaus ei leikkauspisteitä

113 8 Koska y-akselilla x = 0, ympyrän ja y-akselin leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat yhtälöparin x = 0 x y + 6x 16 = 0. Sijoitetaan x:n arvo ympyrän yhtälöön. x + y 6x 16 = y = 0 y = 16 y = ± 16 y = ± 4 Sijoitetaan x = 0 Ympyrän ja y-akselin leikkauspisteet ovat (0,4) ja (0, 4). Koska x-akselilla y = 0, ympyrän ja x-akselin leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat yhtälöparin y = 0. x y + 6x 16 = 0

114 Sijoitetaan y:n arvo ympyrän yhtälöön. x x + y 6x 16 = x 16 = 0 x 6x 16 = 0 Sijoitetaan y = 0. asteen yhtälön ratkaisukaava ( 6) ± ( 6) 4 1 ( 16) x = 1 x = 6 ± x = 6 ± 100 x = 6 ± 10 x = = 16 = 8 tai x = 6 10 = 4 = Ympyrän ja x-akselin leikkauspisteet ovat (8,0) ja (,0). Vastaus (0, 4), (0,4), (,0) ja (8,0)

115 83 a) Ympyrän ( x 1) + ( y+ 4) = 5 keskipiste on (1, 4) ja säde 5. Lasketaan suoran x+ 4y 5= 0 etäisyys ympyrän keskipisteestä. d ( 4) 5 = = 0 = 4, Koska etäisyys on pienempi kuin säde, suora leikkaa ympyrän. b) Ympyrän ( x+ 1) + ( y ) = 16 keskipiste on ( 1, ) ja säde 4. Lasketaan suoran 3x y 8= 0 etäisyys ympyrän keskipisteestä. d 3 ( 1) 8 = = 15 = 4, ( ) 13 Koska etäisyys on suurempi kuin säde, suora ei leikkaa ympyrää. Vastaus a) 0 17, leikkaa b) 15 13, ei leikkaa

116 84 Tapa 1. Mikäli suora sivuaa ympyrää, on suoralla ja ympyrällä täsmälleen yksi leikkauspiste. Ratkaistaan suoran ja ympyrän leikkauspisteet muodostamalla yhtälöpari. x y+ 3= 0 x y + 8x y 1= 0 Ratkaistaan muuttuja x suoran yhtälöstä ja sijoitetaan saatu lauseke x = y 3 ympyrän yhtälöön ja ratkaistaan y. ( y 3) + y 8( y 3) y 1 = 0 y 6y+ 9 + y 8y+ 4 y 1 = 0 y 16y+ 3 = 0 : y y 8y+ 16 = 0 4y+ 4 = 0 ( y 4) = 0 y 4= 0 y = 4 a ab + b = ( a b) Nollan tulosääntö Lasketaan leikkauspisteen x-koordinaatti sijoittamalla saatu y- koordinaatti yhtälöön x = y 3. x = 4 3= 1 Siis löytyi täsmälleen yksi leikkauspiste (1, 4), eli suora sivuaa ympyrää.

117 Tapa. Suora sivuaa ympyrää täsmälleen silloin, kun ympyrän keskipisteen etäisyys suorasta on yhtä suuri kuin säde. Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 8x y 1= 0 x 4 x+ y 1 y = 1 x 4 x+ 4 + y 1 y+ 1 = ( x 4) + ( y 1) = 18 Ympyrän ( x 4) + ( y 1) = 18 keskipiste on (4,1) ja säde r = 18 = 9 = 9 = 3. Lasketaan suoran x y+ 3= 0 etäisyys ympyrän keskipisteestä. d = = = 6 = 6 = 6 = ( 1) 1+ 1 Koska etäisyys on yhtä suuri kuin säde, suora sivuaa ympyrää.

118 85 Kahden ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien ympyröiden yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöstä muodostettu epälineaarinen yhtälöpari. Muodostetaan yhtälöpari ja eliminoidaan yhtälöparista toisen asteen termit x ja y. x + y + y = x + y 10x y + 17 = 0 ( 1) x + y + y = x y + 10x + y 17 = 0 10x + 10y 30 = 0 x+ y 3= 0 Eliminoimalla toisen asteen termit saatiin suoran yhtälö. Mikäli ympyröillä on leikkauspisteitä, toteuttavat leikkauspisteiden koordinaatit myös saadun suoran yhtälön. Koska mahdolliset leikkauspisteet sijaitsevat tällä suoralla, niin voidaan jatkaa selvittämällä suoran ja jommankumman ympyrän leikkauspisteet.

119 Ratkaistaan suoran yhtälöstä x+ y 3= 0 toinen muuttujista, esimerkiksi y. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke y = 3 x esimerkiksi ympyrän x + y + 8y 13 = 0 yhtälöön ja ratkaistaan x. x + (3 x) + 8 (3 x) 13 = 0 x + 9 6x+ x + 4 8x 13 = 0 x 14x+ 0 = 0 : x 7x+ 10 = 0 ( 7) ± ( 7) x = 1 x = 7 ± x = 7± 9 x = 7± 3 x = 7+ 3 = 5 tai x = 7 3 = Saadaan siis kaksi leikkauspistettä, joiden y-koordinaatit voidaan ratkaista yhtälöstä y = 3 x. Kun x = 5, niin y = 3 5=. Leikkauspiste on (5, ). Kun x =, niin y = 3 = 1. Leikkauspiste on (,1). Vastaus (,1) ja (5, )

120 86 Kahden ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien ympyröiden yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöstä muodostettu epälineaarinen yhtälöpari. Muodostetaan yhtälöpari ja eliminoidaan yhtälöparista toisen asteen termit x ja y. x + y x y + = x + y + 8x 1 y + 7 = 0 ( 1) x + y x y + = x y 8x + 1 y 7 = 0 16x + 8y + 8 = 0 : ( 8) x y 1= 0 Eliminoimalla toisen asteen termit saatiin suoran yhtälö. Mikäli ympyröillä on leikkauspisteitä, toteuttavat leikkauspisteiden koordinaatit myös saadun suoran yhtälön. Koska mahdolliset leikkauspisteet sijaitsevat tällä suoralla, niin voidaan jatkaa selvittämällä suoran ja jommankumman ympyrän leikkauspisteet.

121 Ratkaistaan suoran yhtälöstä x y 1= 0 toinen muuttujista, esimerkiksi y. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke y = x 1 esimerkiksi ympyrän x + y 8x 4 y+ 15 = 0 yhtälöön ja ratkaistaan x. x + (x 1) 8x 4 (x 1) + 15 = 0 x + 4x 4x+ 1 8x 8x = 0 5x 0x+ 0 = 0 : 5 x 4x+ 4= 0 ( 4) ± ( 4) x = 1 x = 4 ± x = 4± 0 x = Saadaan siis yksi leikkauspiste, jonka y-koordinaatti voidaan ratkaista yhtälöstä y = x 1. y = 1= 4 1= 3. Leikkauspiste on (,3). Vastaus (,3)

122 87 Toisen ympyrän keskipiste on (0,8) ja säde 10 ja toisen ympyrän (1, 6) ja 85. Muodostetaan ympyröiden yhtälöt. ( x 0) + ( y 8) = 10 x + ( y 8) = 100 ( x 1) + ( y 6) = 85 ( x 1) + ( y 6) = 85 Ympyröiden leikkauspisteet saadaan muodostamalla yhtälöpari. x + y = ( 8) 100 ( x 1) ( y 6) + = 85 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. x = 6 y = 0 tai x = 10 y = 8 Siis ympyröiden leikkauspisteet ovat ( 6,0) ja (10,8). Vastaus ( 6,0) ja (10,8).

123 88 Piirretään ympyrä x + y 9 = 0 ja piste A(3, 7 1 ), sekä ympyrän keskipiste B (0,0) koordinaatistoon. Piirretään suora pisteiden A(3, 7 1 ) ja B (0,0) kautta ja merkitään suoran ja ympyrän leikkauspiste C(, 5). Tämä ympyrän piste on lähimpänä pistettä A. Vastaus (, 5)

124 89 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Ympyrän keskipiste on (16,0) ja säde 5. Muodostetaan ympyrän yhtälö. ( x 16) + ( y 0) = 5 ( x 16) + y = 65 Määritetään ympyrän ja suoran 9x 13y 19 = 0 leikkauspisteet muodostamalla yhtälöpari. x + y = ( 16) 65 9x 13y 19 = 0

125 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. x = 8 y = 7 tai x = 31 y = 0 Siis ympyröiden leikkauspisteet ovat ( 8, 7) ja (31,0). Radioasema kuuluu maantiellä leikkauspisteiden välisellä janalla. Lasketaan leikkauspisteiden välisen janan pituus. d = ( 8 31) + ( 7 0) = = 47, Koordinaatiston yksikkönä on kilometri. Siis radioasema kuuluu autossa 47 km matkalla. Vastaus 47 km

126 90 Suoran ja ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöistä muodostettu yhtälöpari. x 3y+ 8= 0 x y + x+ 4 y 40 = 0 Ratkaistaan suoran yhtälöstä toinen muuttujista, esimerkiksi x. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke x = 3y 8 ympyrän yhtälöön. x + y x+ 4 y 40 = 0 (3y 8) + y (3y 8) + 4 y 40 = 0 9 y 48y y 6y y 40 = 0 ( 5) ± ( 5) y = 1 10y 50y+ 40 = 0 :10 y Sijoitetaan x = 3y 8 5y+ 4= 0. asteen yhtälön ratkaisukaava y = 5 ± 5 16 y = 5± 9 y = 5± 3 y = 5+ 3 = 8 = 4 tai y = 5 3 = = 1

127 Lasketaan leikkauspisteiden x-koordinaatit sijoittamalla saadut y- koordinaatit yhtälöön x = 3y 8. Kun y = 4, niin x = 3 4 8= 1 8= 4 Kun y = 1, niin y = 31 8= 3 8= 5. Suoran ja ympyrän leikkauspisteet ovat siis (4,4) ja ( 5,1). Vastaus (4, 4) ja ( 5,1)

128 91 Pisteet, jotka ovat etäisyydellä 4 origosta, muodostavat origokeskisen, 4-säteisen ympyrän. Tämän yhtälö on (x 0) + (y 0) = 4 x + y = 16 Haetut pisteet ovat tämän ympyrän ja suoran x 3y +1 = 0. Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista. x 3y+ 1 = 0 x y + = 16 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. 1 x 0 x = = 5 tai y = 4 y = 16 5 Siis suoran pisteet (0,4) ja ( 1, 16 ) ovat etäisyydellä origosta. Vastaus (0, 4) ja ( 1, 16 ) 5 5

129 9 Suora on ympyrän tangentti jos ja vain jos suoralla ja ympyrällä on täsmälleen yksi leikkauspiste. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan suoran ja ympyrän leikkauspisteet. x+ y = 0 x y + + 4x+ 8y = 0 Ratkaistaan suoran yhtälöstä toinen muuttujista, esimerkiksi y. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke y = x ympyrän yhtälöön. x + y + 4x+ 8y = 0 x + ( x) + 4x+ 8( x) = 0 x + 4 8x+ 4x + 4x x = 0 5x 0x+ 0 = 0 x 4y + 4 = 0 Sijoitetaan y = x : 5. asteen yhtälön ratkaisukaava ( 4) ± ( 4) x = 1 x = 4 ± x = 4± 0 = 4 =

130 Voidaan ratkaista vielä leikkauspisteen y-koordinaatti sijoittamalla saatu x-koordinaatti yhtälöön y = x y = = 4= Siis suoralla x+ y = 0 ja ympyrällä x + y + 4x+ 8y = 0 on yksi leikkauspiste (, ), joten suora on ympyrän tangentti. Vastaus on tangentti (ainoa leikkauspiste (, ) )

131 93 Kahden ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien ympyröiden yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöstä muodostettu epälineaarinen yhtälöpari. Muodostetaan yhtälöpari ja eliminoidaan yhtälöparista toisen asteen termit x ja y. x + y x y = x + y 17x 4 y 43 = 0 ( 1) x + y x y = x y + 17x + 4 y + 43 = 0 4x + y + 10 = 0 Eliminoimalla toisen asteen termit saatiin suoran yhtälö. Mikäli ympyröillä on leikkauspisteitä, toteuttavat leikkauspisteiden koordinaatit myös saadun suoran yhtälön. Koska mahdolliset leikkauspisteet sijaitsevat tällä suoralla, niin voidaan jatkaa selvittämällä suoran ja jommankumman ympyrän leikkauspisteet. Ratkaistaan suoran yhtälöstä 4x+ y+ 10 = 0 toinen muuttujista, esimerkiksi y. 4x+ y+ 10 = 0 y = 4x 10 : y = x 5 Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke y = x 5 esimerkiksi ympyrän x + y 13x y 33 = 0 yhtälöön ja ratkaistaan x.

132 x + ( x 5) 13x ( x 5) 33 = 0 x + ( x) + ( x)( 5) + ( 5) 13x+ 4x = 0 x + 4x + 0x+ 5 13x+ 4x 3 = 0 5x + 11x+ = 0 x = 11± x = 11± x = 11± x = 11± 9 10 x = = = 1 tai x = 11 9 = 0 = Saadaan siis kaksi leikkauspistettä, joiden y-koordinaatit voidaan ratkaista yhtälöstä y = x 5. Kun x = 1, niin y = ( 1) 5= 5= Leikkauspiste on ( 1, 43). 5 5 Kun x =, niin y = ( ) 5 = 4 5 = 1. Leikkauspiste on (, 1). Vastaus (, 1) ja ( 1, 43) 5 5

133 94 Kahden ympyrän leikkauspisteiden koordinaatit toteuttavat molempien ympyröiden yhtälöt. Leikkauspisteet saadaan siis ratkaisemalla yhtälöstä muodostettu epälineaarinen yhtälöpari. Muodostetaan yhtälöpari ja eliminoidaan yhtälöparista toisen asteen termit x ja y. x + y x y + = 3 0 x + y 4x + 7y + 5 = 0 ( 1) x + y x y + = x y + 4x 7y 5 = 0 x 9y 3 = 0 Eliminoimalla toisen asteen termit saatiin suoran yhtälö. Mikäli ympyröillä on leikkauspisteitä, toteuttavat leikkauspisteiden koordinaatit myös saadun suoran yhtälön. Koska mahdolliset leikkauspisteet sijaitsevat tällä suoralla, niin voidaan jatkaa selvittämällä suoran ja jommankumman ympyrän leikkauspisteet. Ratkaistaan suoran yhtälöstä x 9y 3= 0 toinen muuttujista, esimerkiksi x. Sijoitetaan muuttujalle saatu lauseke x = 9y+ 3 esimerkiksi ympyrän x + y 3x y+ = 0 yhtälöön ja ratkaistaan y. (9 y+ 3) + y 3(9 y+ 3) y+ = 0 81y + 54 y+ 9 + y 7 y 9 y+ = 0 8 y + 5y+ = 0

134 x = x = x = 5 ± ± ± ei ole määritelty. Siis yhtälöparilla ei ole ratkaisuja eli ympyröillä ei ole leikkauspisteitä. Vastaus Ei leikkauspisteitä

135 95 Selvitetään ensin ympyröiden keskipisteet ja säteet. Ympyrän ( x+ 3) + ( y 1) = 0 keskipiste on ( 3,1) ja säde r 1 = 0 = 5. Ympyrän ( x 3) + ( y+ ) = 1 keskipiste on (3, ) ja säde r = 1 = 1. Lasketaan keskipisteiden välinen etäisyys. d = (3 ( 3)) + ( 1) = (3 + 3) + ( 1) = 6 + ( 3) = = = = 9 5 = 3 5 Verrataan säteiden summaa etäisyyteen. r1+ r = 5 + 1< = 3 5 = d. Keskipisteiden välinen etäisyys on suurempi kuin säteiden summa. Tällöin ympyrät eivät leikkaa. Vastaus Eivät leikkaa. Keskipisteiden etäisyys 3 5 on suurempi kuin säteiden summa

136 96 Ympyröiden keskipisteet ovat (0,0) ja (3, 4). Merkitään ympyröiden säteitä r 1 ja r. Koska ympyrät leikkaavat pisteessä (1, 3), pisteen koordinaatit toteuttavat yhtälön. Muodostetaan ympyröiden yhtälöt ja ratkaistaan säteiden neliöt sijoittamalla leikkauspisteen koordinaatit yhtälöihin. 1 x y r 1 r 1 = r 1 = 10 ( x 0) + ( y 0) = r + = Sijoitetaan x = 1 ja y = 3 = r = (1 3) + (3 4) r = 5 ( x 3) + ( y 4) r Sijoitetaan x = 1 ja y = 3 Siis ympyröiden yhtälöt ovat x + y = 10 ja ( x 3) + ( y 4) = 5. Ympyröiden leikkauspisteet voidaan ratkaista yhtälöparista. x + y = 10 ( x 3) + ( y 4) = 5 13 x 1 x = = 5 tai y = 3 y = 9 5 Siis ympyröiden toinen leikkauspiste on ( 13, 9 ) 5 5 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella.

137 Vastaus 13 9 (, ) 5 5

138 97 Antamalla vakiolle k kaksi arvoa saadaan kaksi parven x + y + kx ky 1 = 0 ympyrää. Kun k = 0, ympyrän yhtälö on x + y 1= 0. Kun k = 1, ympyrän yhtälö on x + y + x y 1= 0. Määritetään näiden kahden ympyrän leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöpari. + = x y 1 0 x y + + x y 1= 0 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. x = 1 x = 1 tai y = 1 y = 1 Näillä kahdella ympyrällä on siis kaksi leikkauspistettä: ( 1, 1 ) ja ( 1, 1 ).

139 Osoitetaan, että kaikki parven ympyrät kulkevat näiden pisteiden kautta. Sijoitetaan pisteen ( 1, 1 ) koordinaatit parven yhtälöön ( ) + ( ) + k( ) k( ) 1= k( ) 1= 0 0= 0 Piste ( 1, 1 ) toteuttaa kaikki parven yhtälöt, eli piste kuuluu jokaiselle ympyrälle. Sijoitetaan pisteen ( 1, 1 ) koordinaatit parven yhtälöön ( ) + ( ) + k k 1= k( 1 1 ) 1= 0 0= 0 Piste ( 1, 1 ) toteuttaa kaikki parven yhtälö, eli piste kuuluu jokaiselle ympyrälle Siis osoitettiin, että tason pisteet ( 1, 1 ) ja ( 1, 1 ) ovat yhteisiä kaikkien eri k:n arvoja vastaaville ympyräviivoille x + y + kx ky 1 = 0.

140 Lavennetaan vielä neliöjuuret koordinaattien nimittäjästä. ( 1, 1 ) = (, ) ( 1, 1 ) (, ) = Vastaus Pisteet ovat ( 1, 1 ) ja ( 1, 1 ), eli (, ) ja (, ).

141 98 Antamalla vakioille a ja b kaksi arvoparia saadaan kaksi parven x + y ax by + a + b 5 = 0 ympyrää. Kun a = 0 ja b = 0, ympyrän yhtälö on x + y 5= 0. Kun a = 0 ja b = 1, ympyrän yhtälö on x + y y 4= 0. Määritetään näiden kahden ympyrän leikkauspiste ratkaisemalla yhtälöpari. x + y = 5 0 x y + y 4= 0 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella. x = x = tai y = 1 y = 1 Näillä kahdella ympyrällä on siis kaksi leikkauspistettä: (,1) ja (,1).

142 Osoitetaan, että toinen näistä pisteistä on yhteinen kaikille parven ympyröille sijoittamalla pisteiden koordinaatit ympyräparven yhtälöön. x + y ax by + a + b 5= 0 ( ) + 1 a ( ) b 1+ a+ b 5 = 0 a = 0 Sijoitetaan x = ja y = 1 Piste (,1) on yhteinen vain niille ympyräparven ympyröille, joilla a = 0. Siis se ei ole yhteinen kaikille ympyräparven ympyröille. x + y ax by + a + b 5= a b 1+ a+ b 5= 0 0= 0 Sijoitetaan x = ja y = 1 Siis osoitettiin, että piste (,1) toteuttaa kaikkia a:n ja b:n eri arvopareja vastaavat ympyrät.

143 99 Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 8x 4 y+ 15 = 0 ( x 4) + ( y ) = 5 Siis ympyrän keskipiste on (4,) ja säde r = 5. Halkaisija on osa pisteiden (4, ) ja (0, 0) kautta kulkevaa suoraa. Muodostetaan suoran yhtälö. Kulmakerroin k = 0 = 1. Koska suora kulkee origon kautta, on 4 0 sen yhtälö y = 1 x. Pisteet A ja B ovat tämän suoran ja ympyrän leikkauspisteet. Ratkaistaan leikkauspisteet yhtälöparista laskimella. x + y 8x 4 y+ 15 = 0 y = 1 x x = x = 6 tai y = 1 y = 3 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Vastaus (,1) ja (6,3)

144 300 Merkitään rannan pistettä ( x0, y 0). Tämä piste on yhtä kaukana Lucan mökistä (35,16) ja Maaretin mökistä (45,40). Muodostetaan yhtälö. d = d L M = ( x 35) ( y 16) ( x 45) ( y 40) Ratkaistaan laskimella y = x0 1 1 Piste ( x0, y ) = ( x0, x0) on saaren rannalla, eli se 1 1 toteuttaa ympyrän yhtälön x + y 56x 60y = 0. Sijoitetaan koordinaatit ja ratkaistaan x 0 laskimella. x 0 + ( x ) 56x0 60 ( x0) = x = 5 tai x = Ratkaistaan vastaavat y 0. y = = 3 tai y = = Siis yhtä kaukana mökeistä ovat ympyrän pisteet (5,3) ja ( 1036, 7117 ) Lasketaan vielä, kumpi pisteistä on lähempänä mökkejä.

145 Pisteen (, ) etäisyys Lucan mökiltä (35,16). ( ) + ( ) = 38, Pisteen (5,3) etäisyys Lucan mökiltä (35,16). (5 35) + (3 16) = 18, Piste (5,3) on siis lähempänä Lucan ja Maaretin mökkejä kuin piste ( 1036, 7117 ) Siis piste (5,3) on mahdollisimman lähellä ja yhtä kaukana molempien mökeiltä. Luca ja Maaret tapaavat tässä pisteessä. Vastaus (5,3)

146 Tekijä Pitkä matematiikka Piirretään ympyrä x + y + x y 3 = 0 ja suora 4x+ 3y 49 = 0. Merkitään ympyrän keskipiste A = ( 1,1). Piirretään se suoran normaali, joka kulkee pisteen A kautta. Merkitään normaalin ja ympyrän suoraa 4x+ 3y 49 = 0 lähinnä oleva leikkauspiste B. Pisteen koordinaatit ovat (3, 4). Vastaus (3, 4)

147 30 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Maakaapelin päätepisteet B ja C löytyvät suoran 3x y 76 = 0 normaalilta, joka kulkee ympyrän keskipisteen kautta. Muokataan ympyrän x + y 1x 8y+ 180 = 0 yhtälö keskipistemuotoon. x + y 1x 8y+ 180 = 0 ( x 6) + ( y 14) = 5 Käytetään laskinta Ympyrän keskipiste on siis A = (6,14).

148 Muokataan suoran 3x y 76 = 0 yhtälö ratkaistuun muotoon. 3x y 76 = 0 y = 3 x 138 Suoran kulmakerroin on siis 3. Tällöin suoran normaalin kulmakerroin on tämän käänteisluvun vastaluku eli. 3 Normaali kulkee ympyrän keskipisteen (6,14) kautta. Muodostetaan normaalin yhtälö sijoittamalla pisteen koordinaatit ja kulmakerroin suoran yhtälön kaavaan y y0 = k( x x0). y 14 = ( x 6) 3 y = x Piste C on suoran 3x y 76 = 0 ja normaalin y = x leikkauspiste. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan pisteen koordinaatit. 3x y 76 = 0 y = x Ratkaistaan yhtälöpari laskimella x = 7 y = 30 Siis C = (7, 30).

149 Piste B on normaalin y = x+ 18 ja ympyrän 3 x + y 1x 8y+ 180 = 0 se leikkauspiste, joka on lähempänä suoraa. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan leikkauspisteiden koordinaatit. y = x + 18 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella 3 x y + 1x 8y+ 180 = 0 x = 0 x = 1 tai y = 18 y = 10 Lasketaan pisteiden (0,18) ja (1,10) etäisyydet pisteestä C = (7, 30). d d 1 = (0 7) + (18 ( 30)) = 4 13 = 86, = (1 7) + (10 ( 30)) = 0 13 = 7, Koska d on pienempi, maakaapeli sijaitsee pisteiden B = (1,10) ja C = (7, 30) välissä ja d on maakaapelin pituus. Siis maakaapeli liittyy taloon pisteessä B = (1,10), maakaapeli lähtee sähkölinjan pisteestä C = (7, 30) ja maakaapelin pituus on 7, m 7 m. Vastaus Päätepisteet: talo (1,10), sähkölinja (7, 30), maakaapelin pituus 7 m.

150 303 a) Ympyrät x + y + x + y 100 = 0 ja x + y 0x = 0 leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä. Kun yhtälöt vähennetään puolittain toisistaan, saadaan yhtälö (x + y +x + y 100) (x + y 0x) = 0 0 x + y 100 = 0. Piirretään samaan kuvaan ympyrät ja tämä suora. Huomataan, että muodostunut suora kulkee ympyröiden leikkauspisteiden kautta. Huomataan myös, että suoralta ympyröille piirretyt tangenttijanat ovat yhtä pitkät.

151 b) Ympyrän yhtälöstä tiedetään, että x + y + ax + by + c = ( x x ) + ( y y ) r, missä 0 0 ( x0, y 0) on ympyrän keskipiste ja r on säde. Lauseke ( x x 0) + ( y y0) on pisteiden ( xy, ) ja ( x0, y 0) välisen etäisyyden neliö. Sovelletaan Pythagoraan lausetta kuvan kolmioon ABC. AB = AC + BC AC = AB BC = ( 0) + ( 0) AC x x y y r AC = ( x x 0) + ( y y0) r = ( 0) + ( 0) ja = r AB x x y y BC

152 Siis ( x x 0) + ( y y0) r ilmaisee pisteestä ( xy, ) ympyrälle piirretyn tangenttijanan AC pituuden neliön. Merkitään nyt kahta ympyrää ( x x ) + ( y y ) = r ja ( x x ) + ( y y ) = r. Vähennetään yhtälöt toisistaan. ( x x 1) + ( y y1) (( x x) + ( y y) ) = r1 r ( x x ) + ( y y ) r (( x x ) + ( y y ) r ) = 0 Nyt lauseke ( x x 1) + ( y y1) r1 on pisteestä ( xy, ) toiselle ympyrälle piirretyn tangenttijanan pituus ja lause ( x x ) + ( y y) r samasta pisteestä toiselle ympyrälle piirretyn tangenttijanan pituus. Näiden erotus on nolla täsmälleen silloin kun pituudet ovat yhtä suuret. Siis vähentämällä ympyröiden yhtälöt toisistaan saatiin yhtälö, joka kuvaa niiden pisteiden joukkoa, joista piirretyt tangenttijanat ovat yhtä pitkät. c) Sama todistus pätee myös ympyröille, jotka eivät leikkaa. Vastaus a) Suoralta ympyröille piirretyt tangenttijanat ovat yhtä pitkät. b) Perusteltiin havainto laskemalla. c) Havainto pätee myös tilanteessa, jossa ympyrät eivät leikkaa.

153 304 Piirretään ympyrä ( x 1) + ( y 5) = 34 sekä pisteet A = ( 1, 0), B = (6,) ja C = (5,10). Piirretään ympyrän tangentit kunkin pisteen kautta. a) Pisteen A = ( 1, 0) kautta ei voida piirtää yhtään tangenttia ympyrälle, koska piste sijaitsee ympyrän sisäpuolella. b) Piste B = (6,) sijaitsee ympyrällä, joten sen kautta voidaan piirtää yksi tangentti b. c) Piste C = (5,10) sijaitsee ympyrän ulkopuolella, joten sen kautta voidaan piirtää kaksi tangenttia c 1 ja c. Vastaus a) ei yhtään b) yksi c) kaksi

154 305 Tutkitaan, onko piste ( 8,6) ympyrällä ( x+ 6) + ( y ) = 0. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 8 ja y = 6. ( x+ 6) + ( y ) = 0 ( 8 + 6) + (6 ) = 0 0 = 0 tosi Koska piste ( 8,6) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle yksi tangentti.

155 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Ympyrän keskipiste on ( 6,), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä ( 8,6). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Säteen kulmakerroin on 6 = 8 ( 6) Lasketaan tangentin kulmakerroin. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten sen kulmakerroin on säteen kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku 1. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k( x x ) 0 y 6 = 1 ( x ( 8)) y = 1 x + 10 x y+ 10 = 0 Sijoitetaan x = 8, y = 6 ja k = 1 Vastaus y = 1 x+ 10 eli x y+ 10 = 0

156 306 Tutkitaan, onko piste (4,7) ympyrällä x + y x 6y 15 = 0. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 4 ja y = 7. x + y x 6y 15 = = 0 0= 0 tosi Koska piste (4,7) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle yksi tangentti. Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y x 6y 15 = 0 ( x 1) + ( y 3) = 5 Siis ympyrän keskipiste on (1, 3).

157 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Ympyrän keskipiste on siis (1, 3), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä (4,7). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Säteen kulmakerroin on 7 3 = Lasketaan tangentin kulmakerroin. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten sen kulmakerroin on säteen kulmakertoimen 4 3 käänteisluvun vastaluku 3. 4 Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k( x x ) 0 y 7 = 3 ( x 4) 4 y = 3 x x + 4 y 40 = 0 Sijoitetaan x = 4, y 3 0 = 7 ja k = Vastaus y = 3 x+ 10 eli 3x+ 4 y 40 = 0 4

158 307 Tutkitaan, onko piste (4, 1) ympyrällä ( x 1) + ( y+ ) = 5. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 4 ja y = 1. ( x 1) + ( y+ ) = 5 (4 1) + (1 + ) = 5 18 = 5 Epätosi Koska 18 > 5, piste (4, 1) on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan pisteen (4, 1) koordinaatit y ( 1) = k( x 4) y + 1= kx 4k Muokataan yleiseen muotoon kx y 4k 1= 0 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen (1, ) etäisyydelle tangentista kx y 4k 1= 0. d = = = ax0 + by0 + c a = k, b= 1, c = 4k 1, x0 = 1, y0 = a + b k 1 1 ( ) 4k 1 1 3k k k ( 1)

159 Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde k = 5 k + 1 ( 0) k k = 5 k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( 1 3 k) = ( 5 k + 1) (1 3 k) = 5( k + 1) Ratkaistaan laskimella k = 1 tai k = Sijoitetaan saadut kulmakertoimet tangentin yhtälöön kx y 4k 1= 0. Kun k = 1, tangentin yhtälö on 1 x y 4 ( 1) 1= 0 1 x y+ 1 = 0 ( ) x+ y = 0. Kun k =, tangentin yhtälö on x y 4 1= 0 x y 9 = 0. Vastaus x+ y = 0 tai x y 9= 0

160 308 Tutkitaan, onko piste ( 5, 4) ympyrällä ( x 1) + ( y 1) = 9. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 5 ja y = 4. ( x 1) + ( y 1) = 9 ( 5 1) + (4 1) = 9 45 = 9 Epätosi Koska 45 > 9, piste ( 5, 4) on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan pisteen ( 5,4) koordinaatit y 4 = k( x ( 5)) y 4= kx + 5k Muokataan yleiseen muotoon kx y + 5k + 4= 0 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen (1,1) etäisyydelle tangentista kx y + 5k + 4= 0. d = = ax + by + c 0 0 a + b k k + 4 k + ( 1) a = k, b= 1, c = 5k + 4, x = 1, y = = 6k + 3 k + 1

161 Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde 3. 6k + 3 = 3 k + 1 ( 0) k + 1 6k + 3 = 3 k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( 6k + 3) = (3 k + 1) (6k + 3) = 9( k + 1) Ratkaistaan laskimella k = 4 tai k = 0 3 Sijoitetaan saadut kulmakertoimet tangentin yhtälöön kx y + 5k + 4= 0. Kun k = 4, tangentin yhtälö on 3 4 x y+ 5( 4) + 4= x y 8 = ( 3) 4x+ 3y+ 8 = 0. Kun k = 0, tangentin yhtälö on 0 x y = 0 y = 4. Vastaus 4x+ 3y+ 8= 0 tai y = 4

162 309 Piirretään mallikuva. Tutkitaan, onko piste (1, 1) ympyrällä ( x+ 1) + ( y 3) = 4. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 1 ja y = 1. ( x+ 1) + ( y 3) = 4 (1 + 1) + ( 1 3) = 4 0 = 4 Epätosi Koska 0 > 4, piste (1, 1) on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia.

163 Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k( x x ) 0 0 y ( 1) = k( x 1) y + 1 = kx k kx y k 1= 0 Sijoitetaan pisteen (1, 1) koordinaatit Muokataan yleiseen muotoon Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen ( 1, 3) etäisyydelle tangentista kx y k 1= 0. d = = = ax0 + by0 + c a = k, b= 1, c = k 1, x0 = 1, y0 = 3 a + b k ( 1) 1 3 k 1 k k 4 k ( 1) Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde. k 4 k + 1 = k + 1 ( 0) k 4 = k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( k 4) = ( k + 1) ( k 4) = 4( k + 1) k = 3 4 Ratkaistaan laskimella

164 Sijoitetaan saatu kulmakerroin tangentin yhtälöön kx y k 1= 0. 3 x y ( 3) 1= x y 1 = ( 4) 3x+ 4y+ 1= 0. Saatiin vain yksi kulmakerroin, vaikka piste (1, 1) on ympyrän ulkopuolella, jolloin tangentteja on täsmälleen kaksi. Koska toisella tangenteista ei ole kulmakerrointa, sen on oltava pystysuora. Sama voidaan havaita mallikuvasta. Pystysuora tangentti kulkee pisteen (1, 1), joten sen yhtälö on x = 1. Siis tangentit ovat 3x+ 4y+ 1= 0 ja x = 1. Vastaus 3x+ 4y+ 1= 0 ja x = 1

165 310 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentti on suora, joten sen yhtälö on muotoa y = kx + s. Sijoitetaan yhtälöön tangentin kulmakerroin k = 3. y = 3x+ s Ratkaistaan vakiotermin s arvo. Suoralla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste, kun yhtälöparilla y = 3x+ s x y + 4x 6= 0 on täsmälleen yksi ratkaisu.

166 x + y 4x 6= 0 y = 3x+ s Sijoitetaan y:n lauseke ympyrän yhtälöön. x + ( 3 x+ s) 4x 6= 0 x + 9 x 6sx + s 4x 6= 0 Otetaan x yhteiseksi tekijäksi. 10 x + ( 6s 4) x+ s 6 = 0 Yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu, kun saadun toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla. Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = 0 4ac = 0 ( 6s 4) 4 10 ( s 6) = 0 b 4s + 48s + 56 = 0 a = 10, b = 6s 4, c = s 6 Ratkaistaan laskimella s = 4 tai s = 16 Sijoitetaan saadut vakiotermin s arvot tangentin yhtälöön y = 3x+ s. Kun s = 4, tangentin yhtälö on y = 3x 4 Kun s = 16, tangentin yhtälö on y = 3x+ 16 Vastaus y = 3x 4 tai y = 3x+ 16

167 311 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentti on suora, joten sen yhtälö on muotoa y = kx + s. Koska tangentti on suoran y = 3x 5 suuntainen, niin tangentin kulmakerroin on 3. Tangenttisuoran yhtälö on siis muotoa y = 3x+ s Ratkaistaan vakiotermin s arvo. Suoralla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste, kun yhtälöparilla y = 3x+ s x y + 4x+ 4y = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu.

168 y = 3x+ s x y + 4x+ 4y = 0 Sijoitetaan y:n lauseke ympyrän yhtälöön. x + (3 x+ s) 4x+ 4 (3 x+ s) = 0 x + 9x + 6sx + s 4x + 1x + 4s = 0 Otetaan x yhteiseksi tekijäksi. 10 x + (6s+ 8) x+ s + 4s = 0 Yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu, kun saadun toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla. Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = 0 4ac = 0 (6s+ 8) 4 10 ( s + 4s ) = 0 b a = 10, b= 6s+ 8, c = s + 4s 4s 64s+ 144 = 0 Ratkaistaan laskimella s = 18 tai s = Sijoitetaan saadut vakiotermin s arvot tangentin yhtälöön y = 3x+ s. Kun s = 18, tangentin yhtälö on y = 3x 18 Kun s =, tangentin yhtälö on y = 3x+ Vastaus y = 3x 18 tai y = 3x+

169 31 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Määritetään ympyröiden ( x 8) + ( y+ ) = ja ( x 4) + ( y ) = 18 sivuamispiste A yhtälöparilla. x + y+ = ( 8) ( ) ( x 4) ( y ) + = 18 Ratkaistaan yhtälöpari laskimella x = 7 y = 1 Siis sivuamispiste on A = (7, 1).

170 Sivuamispisteeseen piirretty tangentti on ympyröiden keskipisteiden (4, ) ja (8, ) välisen janan normaali. Keskipisteiden välisen janan kulmakerroin on = Tangentin kulmakerroin on tämän käänteisluvun vastaluku, eli 1. Muodostetaan tangentin yhtälö sijoittamalla suoran yhtälöön y y0 = k( x x0) sivuamispisteen A = (7, 1) koordinaatit y = ja x 0 = 7 sekä kulmakerroin k = y ( 1) = 1( x 7) y = x 8 x y 8= 0 Vastaus y = x 8 eli x y 8= 0

171 313 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Merkitään ympyrän pisteitä A = (5,14) ja B = (7,0). Ympyrän ( x+ 1) + ( y 6) = 100 keskipiste on P = ( 1, 6). Lasketaan janojen PA ja PB kulmakertoimet. kpa = 14 6 = 4 5 ( 1) 3 kpb = 0 6 = 3 7 ( 1) 4 Pisteen A kautta piirretty tangentti on kohtisuorassa janaa PA vastaan. Siis tangentin kulmakerroin on janan PA kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku, eli 3. 4

172 Sijoitetaan pisteen A koordinaatit x 0 = 5 ja y 0 = 14 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 14 = 3 ( x 5) 4 y = 3 x Pisteen B kautta piirretty tangentti on kohtisuorassa janaa PB vastaan. Siis tangentin kulmakerroin on janan PB kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku, eli 4 3. Sijoitetaan pisteen B koordinaatit x 0 = 7 ja y 0 = 0 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y 0 = 4 ( x 7) 3 y = 4 x 8 3 3

173 Siis tangenttien yhtälöt ovat y = 3 x+ 71 ja y = 4 x Ratkaistaan niiden leikkauspiste yhtälöparista. y = 3 x y = 4 x Ratkaistaan yhtälöpari laskimella x = 13 y = 8 Siis tangenttien leikkauspiste on (13,8). Vastaus (13,8)

174 314 Tutkitaan, onko piste (5,1) ympyrällä ( x+ 1) + ( y 4) = 45. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 5 ja y = 1. ( x+ 1) + ( y 4) = 45 (5 + 1) + (1 4) = = 45 tosi Koska piste (5,1) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen yksi tangentti.

175 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Ympyrän keskipiste on ( 1, 4), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä (5,1). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Säteen kulmakerroin on 1 4 = 1 5 ( 1) Lasketaan tangentin kulmakerroin. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten sen kulmakerroin on säteen kulmakertoimen 1 käänteisluvun vastaluku. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k x x 0 ( 0) Sijoitetaan x0 = 5, y0 = 1 y 1 = ( x 5) y = x 9 x y 9= 0 ja k = Vastaus y = x 9 eli x y 9= 0

176 315 Tutkitaan, onko piste ( 17,) ympyrällä x + ( y 1) = 18. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 17 ja y =. x + ( y 1) = ( 1) = = 18 tosi Koska piste ( 17,) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle yksi tangentti.

177 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Ympyrän keskipiste on (0,1), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä ( 17,). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Säteen kulmakerroin on 1 = Lasketaan tangentin kulmakerroin. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan, joten sen kulmakerroin on säteen kulmakertoimen 1 17 Muodostetaan tangentin yhtälö. käänteisluvun vastaluku 17. y y = k x x 0 ( 0) Sijoitetaan x0 17, 0 ja y = 17 ( x 17 ) y = 17 x x + y 19 = 0 = y = k = 17 Vastaus y = 17 x+ 19 eli 17x+ y 19 = 0

178 316 Tutkitaan, onko piste (3, 5 ) ympyrällä x + y 6x+ 4= 0. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 3 ja y = 5. x + y 6x+ 4= = 0 0= 0 tosi Koska piste (3, 5 ) toteuttaa ympyrän yhtälön, piste on ympyrällä ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen yksi tangentti.

179 Lasketaan sivuamispisteeseen B piirretyn säteen r kulmakerroin. Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 6x+ 4= 0 ( x 3) + y = 5 Ympyrän keskipiste on siis (3,0), ja tangentti sivuaa ympyrää kehäpisteessä (3, 5 ). Säde on näiden pisteiden välinen jana. Määritetään säteen kulmakerroin. 5 0 = Kulmakerrointa ei ole määritelty. Siis säde on pystysuora. Koska tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan, tangentti on vaakasuora. Tangentti kulkee pisteen (3, 5 ) kautta, joten sen yhtälö on y = 5. Vastaus y = 5

180 317 Tutkitaan, onko piste (0,0) ympyrällä ( x 4) + ( y ) =. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 0 ja y = 0. ( x 4) + ( y ) = (0 4) + (0 ) = 0 = Epätosi Koska 0 >, origo on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia. Muodostetaan tangentin yhtälö. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan pisteen (0,0) koordinaatit y 0 = k( x 0) y = kx Muokataan yleiseen muotoon kx y = 0 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen (4,) etäisyydelle tangentista kx y = 0. d = = ax + by + c 0 0 a + b k 4 1 k + ( 1) a = k, b= 1, c = 0, x = 4, y = 0 0 = 4k k + 1

181 Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde. 4k = k + 1 ( 0) k + 1 4k = k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( 4k ) = ( k + 1) (4k ) = ( k + 1) Ratkaistaan laskimella k = 1 tai k = 1 7 Sijoitetaan saadut kulmakertoimet tangentin yhtälöön kx y = 0. Kun k = 1, tangentin yhtälö on 7 1 x y = x 7y = 0. Kun k = 1, tangentin yhtälö on x y = 0. Vastaus x 7y = 0 tai x y = 0

182 318 Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y 5x+ 4y 3 = 0 4 ( x 5 ) + ( y+ ) = 16 Siis ympyrän keskipiste on ( 5, ) ja säde 4. Tutkitaan, onko piste ( 13, 4) ympyrällä ( x 5 ) + ( y+ ) = 16. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön x = 13 ja y = 4. ( x 5 ) + ( y+ ) = 16 ( 13 5 ) + ( 4 + ) = 16 0 = 16 Epätosi Koska 0 > 16, piste ( 13, 4) on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia.

183 Mallikuva: Muodostetaan tangentin yhtälö. y y = k( x x ) 0 0 y ( 4) = k( x 13) y + 4 = kx 13k kx y 13k 4= 0 Sijoitetaan pisteen ( 13, 4) koordinaatit Muokataan yleiseen muotoon

184 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen ( 5, ) etäisyydelle tangentista kx y 13k 4= 0. d = = = ax0 + by0 + c a = k, b= 1, c = 13k 4, x 5 0 =, y0 = a + b k 5 1 ( ) 13k 4 k 4k k ( 1) Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde 4. 4k k + 1 = 4 k + 1 ( 0) 4k = 4 k + 1 a = b, kun b 0 ja a = b ( 4k ) = (4 k + 1) ( 4k ) = 16( k + 1) Ratkaistaan laskimella k = 3 4

185 Sijoitetaan saatu kulmakerroin tangentin yhtälöön kx y 13k 4= 0. 3 x y = x y 71 = x 8y 71 = 0 Saatiin vain yksi kulmakerroin, vaikka piste ( 13, 4) on ympyrän ulkopuolella, jolloin tangentteja on täsmälleen kaksi. Koska toisella tangenteista ei ole kulmakerrointa, sen on oltava pystysuora. Pystysuora tangentti kulkee pisteen ( 13, 4), joten sen yhtälö on x = 13. Siis tangentit ovat 6x 8y 71 = 0 ja x = 13. Vastaus 6x 8y 71 = 0 ja x = 13

186 319 Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x y 15 = 0 y = x 15 Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentti on suoran y = x 15 suuntainen, joten sen yhtälö on muotoa y = kx + s, missä kulmakerroin on. Ratkaistaan vakiotermin s arvo. Suora on ympyrän tangentti, kun suoralla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste eli kun yhtälöparilla y = x+ s x y + + 4x 1 = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu. y = x+ s x y + + 4x 1 = 0 Sijoitetaan y:n lauseke ympyrän yhtälöön x + ( x+ s) + 4x 1 = 0 x + 4x + 4sx + s + 4x 1 = 0 Otetaan x yhteiseksi tekijäksi 5 x + (4s+ 4) x + s 1 = 0

187 Yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu, kun saadun toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla. Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = 0 (4s+ 4) 4 5 ( s 1) = 0 b 4ac = 0 a = 5, b= 4s+ 4, c = s 1 4s + 3s+ 56 = 0 Ratkaistaan laskimella s = tai s = Sijoitetaan saadut vakiotermin s arvot tangentin yhtälöön y = x+ s. Kun s = 4 4 5, tangentin yhtälö on x y = 0. y = x Kun s = , tangentin yhtälö on x y = 0. y = x

188 Vastaus x y = 0 tai x y = 0 Kuva:

189 30 Muokataan suoran yhtälö ratkaistuun muotoon. x+ 5y 15 = 0 y = 1 x+ 3 5 Muodostetaan tangentin yhtälö. Tangentin yhtälö on muotoa y = kx + s. Koska tangentti on kohtisuorassa suoraa y = 1 x+ 3 5 vastaan, niin tangentin kulmakerroin on suoran kulmakertoimen 1 5 käänteisluvun vastaluku eli 5. Tangenttisuoran yhtälö on siis muotoa y = 5x+ s Ratkaistaan vakiotermin s arvo. Suoralla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste, kun yhtälöparilla y = 5x+ s x + y 6x+ y+ 7 = 0 on täsmälleen yksi ratkaisu.

190 y = 5x+ s Sijoitetaan y:n lauseke ympyrän yhtälöön. x + y 6x+ y+ 7 = 0 x + (5 x+ s) 6x+ (5 x+ s) + 7 = 0 x + 5x + 10sx + s 6x + 10x + s + 7 = 0 Otetaan x yhteiseksi tekijäksi. 6 x + (10s+ 4) x+ s + s+ 7 = 0 Yhtälöparilla on täsmälleen yksi ratkaisu, kun saadun toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla. Muodostetaan diskriminantin lauseke. D = 0 b 4ac = 0 a = 6, b= 10s+ 4, c = s + s + 7 (10s+ 4) 4 6 ( s + s+ 7 ) = 0 4s 18s 348 = 0 Ratkaistaan laskimella s = 9 tai s = 3 Sijoitetaan saadut vakiotermin s arvot tangentin yhtälöön y = 5x+ s. Kun s = 9, tangentin yhtälö on y = 5x 9 Kun s = 3, tangentin yhtälö on y = 5x 3

191 Vastaus y = 5x 9 tai y = 5x 3 Kuva:

192 31 Ympyrän (x + 1,) + (y,) = 9 keskipiste on ( 1,;,) ja säde on r = 9 = 3. Mallikuva: Ympyrän vaakasuorat tangentit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta piirretyn pystysuoran suoran ja ympyrän leikkauspisteiden kautta. Nämä pisteet ovat säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä suoraan keskipisteen päällä tai alla. Leikkauspisteet ovat siis ( 1,;, + 3) = ( 1,; 5,) ja ( 1,;, 3) = ( 1,; 0.8). Näiden kautta kulkevat vaakasuorat tangentit ovat y = 5, ja y = 0,8. Ympyrän pystysuorat tangentit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta piirretyn vaakasuoran suoran ja ympyrän leikkauspisteiden kautta. Nämä pisteet ovat säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä suoraan keskipisteen vasemmalla tai oikealla puolella. Leikkauspisteet ovat siis ( 1, 3;,) = ( 4,;,) ja ( 1, + 3;,) = (1,8;,). Näiden kautta kulkevat pystysuorat tangentit ovat x = 4, ja x = 1,8. Vastaus x = 1,8, x = 4,, y = 5, ja y = 0,8

193 3 Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla. Merkitään ympyrän pisteitä A = (1, 10) ja B = (8, 9). Muokataan ympyrän x + y 8x+ 1 y+ 7 = 0 yhtälö keskipistemuotoon. x + y 8x+ 1 y+ 7 = 0 ( x 4) + ( y+ 6) = 5 Ympyrän keskipiste on siis P = (4, 6) ja säde r = 5.

194 Lasketaan janojen PA ja PB kulmakertoimet. k PA k PB 10 ( 6) = = ( 6) = = Pisteen A kautta piirretty tangentti on kohtisuorassa janaa PA vastaan. Siis tangentin kulmakerroin on janan PA kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku, eli k 3 A =. 4 Sijoitetaan pisteen A koordinaatit x 0 = 1 ja y 0 = 10 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y ( 10) = 3 ( x 1) 4 y = 3 x Pisteen B kautta piirretty tangentti on kohtisuorassa janaa PB vastaan. Siis tangentin kulmakerroin on janan PB kulmakertoimen käänteisluvun vastaluku, eli k 4 B =. 3 Sijoitetaan pisteen B koordinaatit x 0 = 8 ja y 0 = 9 sekä kulmakerroin suoran yhtälöön y y0 = k( x x0). y ( 9) = 4 ( x 8) 3 y = 4 x Siis tangenttien yhtälöt ovat y = 3 x 37 ja y = 4 x

195 Ratkaistaan niiden leikkauspiste yhtälöparista. y = 3 x y = 4 x Ratkaistaan yhtälöpari laskimella x = 5 y = 13 Tangenttien leikkauspisteen C = (5, 13) etäisyys ympyrästä on pisteen C etäisyys ympyrän keskipisteestä P = (4, 6) vähennettynä ympyrän säteellä. d r = (5 4) + ( 13 ( 6)) 5= 5 5 Vastaus 5 5

196 33 Saaren halkaisija on 50 m. Kun koordinaatiston yksikkönä on 5 m, niin halkaisija on koordinaatistossa d = 50 m = 10 yksikköä ja 5 m tällöin säde r = d = 10 = 5. Ympyrän keskipiste on origo. Piirretään ympyrä sijoittamalla keskipisteen koordinaatit x 0 = 0 ja y 0 = 0 sekä säde ympyrän yhtälöön. ( x 0) + ( y 0) = 5 x + y = 5 Piirretään ympyrä x + y = 5 sekä piste A = (5,5) koordinaatistoon. Lyhyin matka kulkee ympyrän pisteen A kautta kulkevia tangentteja pitkin. Piirretään ympyrälle nämä tangentit. Merkitään tangenttien ja ympyrän leikkauspisteet. Koordinaateiksi saadaan B = ( 3, 4) ja C = (4, 3). Ellenin pitää suunnata jompaankumpaan pisteeseen, jotta soutumatka olisi mahdollisimman lyhyt.

197 Vastaus pisteeseen ( 3, 4) tai (4, 3).

198 34 Joonas näkee Ympyrätalon ympyrän x + y + 300x 400y = 0 pisteen (0,0) kautta kulkevien tangenttien välisessä terävässä kulmassa.

199 Ratkaistaan ensin tangenttien kulmakertoimet ja suuntakulmat, ja sitten tangenttien välinen kulma. Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon. x + y + 300x 400y = 0 ( x+ 150) + ( y 00) = 1600 Ympyrän keskipiste on siis ( 150,00) ja säde 1600 = 40. Tutkitaan, onko origo ympyrällä sijoittamalla x = 0 ja y = 0 ympyrän yhtälöön. ( x+ 150) + ( y 00) = 1600 ( ) + (0 00) = = 1600 Epätosi Koska 6500 > 1600, origo on ympyrän ulkopuolella ja sen kautta voidaan piirtää ympyrälle täsmälleen kaksi tangenttia. Origo toteuttaa tangenttisuoran yhtälön. y y0 = k( x x0) Sijoitetaan pisteen (0,0) koordinaatit y 0 = k( x 0) y = kx Muokataan yleiseen muotoon kx y = 0

200 Muodostetaan lauseke ympyrän keskipisteen ( 150,00) etäisyydelle tangentista kx y = 0. d = = = ax0 + by0 + c a = k, b= 1, c = 0, x0 = 150, y0 = 00 a + b k ( 150) 1 00 k + ( 1) 150k 00 k + 1 Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista tangenttien kulmakertoimet. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista on yhtä suuri kuin ympyrän säde k 00 k + 1 = 40 k + 1 ( 0) 150k 00 = 40 k + 1 ( 150k 00) = (40 k + 1) ( 150k 00) = 1600( k + 1) Ratkaistaan laskimella a = b, kun b 0 ja a = b k 1 = tai k =

201 Ratkaistaan kulmakertoimia vastaavat suuntakulmat yhtälöstä k = tan a tan k tan a = = = 6, tan k tan a = = + = 43, Tangenttien välinen kulma on suuntakulmien erotus. 43,93... ( 6, ) = 18, Siis Joonas näkee Ympyrätalon 18 kulmassa. Vastaus 18

202 35 Muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon ja annetaan vakiolle a joitakin arvoja. x + y ax + ay = 8a + 8 ( x a) + ( y+ a) = a + 8a+ 8 a = 0 : x + y = 8 a = 1 : ( x 1) + ( y+ 1) = 18 a = 1: ( x+ 1) + ( y 1) = Ratkaisua voidaan havainnollistaa kuvan avulla.