Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Transkriptio

1 Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin sanoen, kaikki vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samat. Voidaan myös näyttää, että tämä ehto on ekvivalenttinen sen kanssa, että normaali aliryhmä on suljettu minkä tahansa Gn elementin konjugoinnin suhteen. Elementin x konjugointi elementillä g G voidaan esittää kuvauksella c g (x) = gxg 1. a) Tutkitaan dihedraaliryhmää G = D 4 = a, b = {e, a, b, a 2, a 3, ab, a 2 b, a 3 b}, jossa pätee a 4 = e, b 2 = e, ab = ba 3, ba = a 3 b. Tämä ryhmä on tunnetusti neliön symmetriaryhmä, jossa voidaan ajatella a:n olevan 90 asteen kierto ja b:n olevan peilaus. Valitaan H = b = {e, b}, jolloin eli H ei ole G:n normaali aliryhmä. ah = {a, ab} = {a, ba 3 } {a, ba} = Ha, b) Selvästi #G = 8 ja #H = 2. Kaikki erilaiset H:n sivuluokat ovat eh = {e, b}, ah = {a, ab}, a 2 H = {a 2, a 2 b}, and a 3 H = {a 3, a 3 b}, joten indeksi [G : H] on 4. Lagrangen lauseen mukaan mikä selvästi pitää paikkansa. #G = [G : H]#H, Muista. Olkoon (G, ) sekä (G, ) ryhmiä. Kuvausta f : G G kutsutaan homomorfismiksi jos f(a b) = f(a) f(b) kaikille a, b G). Jos on olemassa homomorfismi G:n ja G :n välillä, ne ovat silloin homomorfiset. Bijektiivistä homomorfismia kutsutaan isomorfismiksi. Olkoon A, B GL n (R) = {A R n n : det(a) 0}. Käyttämällä tunnettua determinanteille pätevää yhtälöä det(ab) = det(a) det(b) saadaan f(ab) = det(ab) = det(a) det(b) = f(a)f(b), 1of 6 1of 6 1of 6

2 joten f on homomorfismi. Lisäksi, koska kaikki determinantit ovat nollasta poikkeavia, homomorfismin kuva kuuluu joukkoon R = R \ {0}. Homomorfismin ydin määritellään maalijoukon neutraalin alkion alkukuvana, eli ker f = f 1 ({e}) = {g G : f(g) = e}. Joukon R neutraali alkio on 1 sillä tässä käytetään laskutoimituksena tavallista kertolaskua. Siis ker f = f 1 ({1}) = {A R n n : det A = 1} =: SL n (R). Tälle joukolle käytetään kirjallisuudessa merkintää SL n (R), ja siitä käytetään nimeä special linear group with real entries. 3. a) Olkoon H mielivaltainen, ryhmän (R, ) aliryhmä jolla on kertaluku 2. Aliryhmänä sen on pakko sisältää neutraalialkio 1 sekä jokin toinen alkio a. Tällöin H = {1, a}. Selvästi a:n on oltava itsensä vasta-alkio, koska muuten joukossa olisi kolmas alkio a 1. Tästä saadaan ehto a 2 = 1. Reaalisia ratkaisuja on vain kaksi, a = 1 and a = 1, mutta valittiin a 1, joten a = 1 on ainoa ratkaisu ja joukko on ainoa kertaluvun 2 aliryhmä. H = {1, 1} Kyllä, H on normaali aliryhmä sillä (R, ) aabelinen ryhmä, ja jokainen aabelisen ryhmän aliryhmä on normaali. Aliryhmän H sivuluokat koostuvat jostain elementistä sekä sen additiivisesta käänteisalkiosta, eli ah = Ha = {a, a}, a R. b) Eräs esimerkki voisi olla f = x 2 ja G = R + = {a R : a > 0}. Tämä on homomorfismi, sillä f(ab) = (ab) 2 = a 2 b 2 = f(a)f(b), a, b R, ja ydin on H koska x 2 = 1 x = ± of 6 2of 6 2of 6

3 Muista. Normaalin aliryhmän kriteeri: Olkoon H ryhmän G aliryhmä. Tällöin H G jos ja vain jos gxg 1 H kaikilla g G ja kaikilla x H. Käytetään todistuksessa normaalin aliryhmän kriteeriä. Valitaan mielivaltainen x H K ja g G. Koska x on H:n alkio ja H on normaali aliryhmä, tiedetään että gxg 1 H normaalin aliryhmän kriteerin perusteella. Toisaalta x on myös K:n alkio. K on myös normaali, joten vastaavasti gxg 1 K. Yhdistämällä nämä kaksi tulosta saadaan gxg 1 H K ja normaalin aliryhmän kriteerin perusteella H K on ryhmän G normaali aliryhmä. a) Osoitetaan hieman yleisempi väite; kahden aliryhmän unioni ei välttämättä ole aliryhmä. Olkoon G = D 4, H = a ja K = b, jolloin H K = {e, b, a, a 2, a 3 }, mutta ab ei kuulu unioniin. Joukko H K ei ole vakaa laskutoimituksen suhteen, joten se ei ole aliryhmä. Kysytty tulos seuraa, koska normaali aliryhmä on aliryhmä. 5. Ei seuraa. Olkoon G = D 4, K = a 2, b ja H = b. Yritetään ensin näyttää, että K G ja H K, ja käyttää tehtävän 1 tulosta, jossa todettiin H G. Käyttäen ensimmäisessä tehtävässä johdettuja lausekkeita huomataan, että a 2 b = a(ab) = (ab)a 3 = ba 6 = ba 2, joten a 2 kommutoi alkion b kanssa. Siis b a 2, b = a 2, b b. Sitten huomaamalla, että a 2 ba = a 5 b = ab saadaan a a 2, b = {a, a 3, ab, a 3 b} = {a, a 3, ba, a 2 ba} = a 2, b a. Kaikki muut tapaukset voidaan tutkia samalla tavalla, joten saadaan K G. Lauseke H K seuraa siitä, että a 2 kommutoi alkion b kanssa. Näytettiin siis, että H K ja K G, mutta tehtävästä 1 tiedetään, että H G. 6. Todistetaan ensin pari hyödyllistä lemmaa Lemma. Olkoon h, h S n. Alkiot h ja h ovat konjugaatteja jos ja vain jos niillä on sama syklirakenne. Proof. ( ) Olkoon alkiolla h syklirakenne (a 1 a 2...a n ) ja ghg 1 = h jollain g. Nimetään a i :n kuva g(a i ) = b i. Tällöin h b i = ghg 1 b i = gh(a i ) = g(a i+1 ) = b i+1, h b n =... = b 1, joten h :lla on samanpituinen sykli. Kun tehdään sama h:lle, saadan että syklit ovat samat. 3of 6 3of 6 3of 6

4 ( ) Oletetaan että h:lla ja h :lla on sama syklirakenne, eli, h = (a 1 a 2...a m )(b 1 b 2...b n )..., h = (c 1 c 2...c m )(d 1 d 2...d n ). Valitaan g S n siten että ga i = c i, gb i = d i jne., jolloin h = ghg 1. Tämä nähdään helposti valitsemalla x i ja y i täsmälleen samassa kohdassa h:ssa ja h :ssa vastaavasti, siten että gx i = y i, jolloin ghg 1 y i = ghx i = gx i+1 = y i+1 = h y. Lemma. Olkoon A n alternoiva ryhmä, eli ryhmä joka koostuu pelkästään ryhmän S n parillisista permutaatioista. Oletetaan C:n olevan konjugaattiluokka ryhmässä S n. Tällöin aliryhmässä A n on kaksi mahdollisuutta i. C on myös konjugaattiluokka ryhmässä A n, ii. C jakautuu kahteen ryhmän A n konjugaattiluokkaan. Jälkimmäinen tapahtuu jos ja vain jos C:n edustaja on tulo kahdesta parittomasta syklistä, joilla on eri pituudet. Huomaa että tässä lasketaan myös pisteet, jotka eivät muutu permutaatiossa. Nämä ovat 1-pituisia syklejä. Proof. Aloitetaan näyttämällä, että konjugaattiluokka C jakautuu aliryhmässä A n jos ja vain jos ei ole h S n \ A n joka kommutoi luokan C edustajan kanssa. Oletetaan ensiksi että konjugaattiluokalle C ja sen edustajalle c on olemassa h S n \ A n siten että ch = hc. Valitaan mielivaltainen g S n \ A n, jolloin gcg 1 = gchh 1 g 1 = (gh)c(gh) 1, jossa gh A 5 parittomien permutaatioiden tulona. Tämän jälkeen oletetaan, että C ei jakaudu, eli mitkä tahansa kaksi elementtiä c 1, c 2 C voidaan kirjoittaa muotoon c 1 = a 1 c 2 a. Mutta silloin voidaan valita c 1 ja c 2 siten että c 1 = gc 2 g 1, missä g S n \ A n. Tällöin mutta nyt ag S 5 \ A 5. a 1 c 2 a = gc 2 g 1 c 2 ag = agc 2, Tämä voidaan nyt yhdistää alkuperäiseen lemmaan. Oletetaan, että alkiolla c on sykliesityksessä parillisen kokoinen sykli. Jokainen sykliesityksen syklit sisältää erilliset alkiot, joten sykliesityksen eri syklit kommutoivat keskenään. Mutta huomaa, että tällaisen syklin kertaluku on pariton, siis c kommutoi jonkun h S 5 \ A n kanssa. 4of 6 4of 6 4of 6

5 Jos alkiolla c on kaksi, saman pituista ja parittoman kokoista sykliä olkoon nämä (a 1...a n ) ja (b 1...b n ) silloin permutaatio h = (a 1 b 1 )...(a n b n ) on paritonta kertalukua, ja hc = ch. Oletetaan nyt, että c = c 1...c r sisältää parittomat syklit c i, joissa jokaisella on eri pituus l i. Olkoon g S n mikä tahansa elementti, joka kommutoi alkion c kanssa. Tällöin g kiinnittää kaikki c i jolloin g = c α c αr r, joillekin α 1,..., α r Z. Siis g on parillista kertalukua, sillä se on parillisten syklien tulo. Tästä seuraa, että g A 5, eli ei ole alkiota joukossa S n \ A n joka kommutoisi alkion c kanssa. i. Käyttäen ensimmäistä lemma, saadaan seuraava lista ryhmän S 5 konjugaatioluokista, sekä niiden kertaluvuista. Huomaa, että kaikissa tapauksissa Konjugaattiluokka Edustaja Kertaluku C 1 (a) 1 C 2 (ab) 10 C 3 (abc) 20 C 4 (abcd) 30 C 5 (abcde) 24 C 6 (ab)(cd) 15 C 7 (abc)(de) 20 a b c d e. Esimerkkinä voidaan laskea luokan C 6 kertaluku. Kiinnitetty alkio voidaan valita 5 eri tavalla, minkä jälkeen voidaan valita (cd) yhteensä ( 4 2) = 6 eri vaihtoehdosta. Koska pistevieraat vaihdot kommutoivat, (esimerkiksi (12)(34) = (34)(12)), tässä laskettiinkin sama alkio kahteen kertaan kun (cd) = (12) ja (cd) = (34). Siispä on jaettava kahdella, ja lopuksi saadaan #C 6 = 15. ii. Normaalit aliryhmät ovat konjugaattiluokkien unioneita. Lagrangen lauseen mukaan, kaikki mahdolliset ryhmän S 5 aliryhmien kertaluvut ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. Yhdistämällä eri konjugaattiluokkien kertaluvut, nähdään että vain aliryhmät kokoa 1, 40, 60 ja 120 voivat olla konjugaattiluokkien unioneita. Toisin sanoen, jos H 1 on normaali aliryhmä ryhmässä G, sen kertaluku on yksi edellisistä. 5of 6 5of 6 5of 6

6 Jos #H 1 = 40, niin H 1 = C 1 C 5 C 6, mutta tämä joukko ei ole suljettu laskutoimituksen suhteen, sillä (12)(45)(12345) = (143) H 1. Jos valitaan #H 1 = 60, niin H 1 = C 1 C 5 C 6 C 7 tai H 1 = A 5 = C 1 C 3 C 5 C 6. Ensimmäinen ei onnistu, sillä sekään ei ole suljettu laskutoimituksen suhteen. Jälkimmäinen on aliryhmä, jota kutsutaan alternoivaksi ryhmäksi, ja se sisältää kaikki parillisen kertaluvun permutaatiot. Jos #H 1 = 1 tai #H 1 = 120, päädytään triviaaliin tapaukseen, jossa H 1 = {e} ja H 1 = S 5 vastaavasti. iii. Käyttäen toista lemmaa nähdään, että ainoa konjugaattiluokka, joka jakautuu ryhmässä A 5 on C 5. Tällöin saadaan seuraavan taulukon mukaiset konjugaattiluokat. Kuten osassa ii., tarkastetaan Lagrangen lauseen avulla mitä Konjugaattiluokka Edustaja Kertaluku C 1 (a) 1 C 2 (abc) 20 C 3 (ab)(cd) 15 C 4 (abcde) 12 C 5 (abcde) 12 kertalukuja kukin aliryhmä voi saada, ja mitä kertalukuja konjugaattiluokkien unionit voivat saada. Ainoa kelpaava aliryhmä on triviaali aliryhmä H 2 = {1}, joten A 5 on yksinkertainen. iv. Ainoat mahdolliset ketjut ovat H 2 G sekä H 2 H 1 G. Ensimmäinen ei kelpaa, koska G/H 2 G ei ole aabelinen. Toinenkaan ei kelpaa, sillä H 1 /H 2 H 1 ei myöskään ole aabelinen. Esimerkiksi Tämä päättää todistuksen. (123)(234) (234)(123). 6of 6 6of 6 6of 6