Äärellisten ryhmien hajotelmat suoriksi tuloiksi
|
|
- Niina Pakarinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkelma Vel-Matt Nemnen Äärellsten ryhmen hajotelmat suorks tuloks Informaatoteteden ykskkö Matematkka Kesäkuu 2016
2 Tampereen ylopsto Informaatoteteden ykskkö NIEMINEN, VELI-MATTI: Äärellsten ryhmen hajotelmat suorks tuloks Pro gradu -tutkelma, 29 s. Matematkka Kesäkuu 2016 Tvstelmä Tämän tutkelman päälauseessa todstetaan Krulln, Remakn ja Schmdtn lauseen ertystapaus. Tapauksessa rajotutaan tarkastelemaan äärellsä ryhmä, joden keskus on trvaal. Tulos esttää, että epätrvaallle äärellselle ryhmälle, jonka keskus on trvaal, on olemassa tekjöden järjestystä valle ykskästtenen hajotelma epätrvaalen hajoamattomen normaalen alryhmensä suoraks tuloks. Luvussa kaks estetään kertausluontosest ja tvst ryhmäteoraa ja estellään Oomega-ryhmät, jotka helpottavat luvun vs kästtelyä. Luvussa kolme perehdytään ryhmen suorn tulohn ja estellään tutkelmassa oleellsest käytettävä samastus ssäsen ja ulkosen suoran tulon välllä. Luvussa neljä kesktytään keskuksen kästteeseen. Vmesen luvun aluks estetään tarvttava määrtelmä ja aputuloksa, jota tarvtaan luvun päättävän päälauseen todstuksessa. Tutkelman päälähteenä on käytetty John S. Rosen teosta A Course on Group Theory. 2
3 Ssältö 1 Johdanto 4 2 Ryhmäteoran peruskästtetä ja -tuloksa Ryhmäteoran kertausta Ω-ryhmät Ryhmen suorat tulot 10 4 Keskus 14 5 Krulln, Remakn ja Schmdtn lause 18 Lähteet 29 3
4 1 Johdanto Tässä tutkelmassa kästellään äärellsten ryhmen hajotelma suorks tuloks. Ryhmen suora tuloja on kahdenlasa, ulkosa ja ssäsä. Ulkosen suoran tulon avulla vodaan kahdesta ta useammasta ryhmästä konstruoda uus ryhmä. Melenkntosemp tapaus on ssänen suora tulo, joka mahdollstaa jodenkn ryhmen jakamsen tekjöhn normaalen alryhmensä avulla. Ssänen ja ulkonen suora tulo ovat keskenään somorfset. Ryhmän estystä epätrvaalen normaalen alryhmensä ssäsenä suorana tulona kutsutaan ryhmän hajotelmaks. Krulln, Remakn ja Schmdtn ryhmä koskeva lause esttää, että jos ryhmälle on olemassa kaks hajotelmaa hajoamattomen epätrvaalen normaalen alryhmensä ssäsenä suorana tulona, nn suoran tulon tekjöden lukumäärä on sama molemmssa estyksssä ja kullekn tekjälle löytyy somorfnen vastne. Lsäks lauseen nojalla yksttäsä suoran tulon tekjötä vodaan vahtaa estysten välllä. Tämän tutkelman päälauseena todstetaan lauseen ertystapaus, joka rajottuu tarkastelemaan epätrvaaleja äärellsä ryhmä, joden keskus on trvaal. Tässä ertystapauksessa ryhmälle saatavat kaks estystä ovat tekjöden järjestystä valle ykskästteset. Krulln, Remakn ja Schmdtn lausetta e ole nmetty lauseen ensmmäsen esttäjän mukaan. Lauseen estt J.M.H. Wedderbun vuonna 1909, mutta estetty todstus ol vrheellnen. R. Remak estt vuonna 1911 ensmmäsenä pätevän todstuksen äärellsten ryhmen tapaukselle ja O.J. Schmdt yksnkertastetumman todstuksen vuonna W. Krull laajens tuloksen kattamaan modult vuonna 1925 ja O.J. Schmdt Ω-ryhmät vuonna [5, s. 144] Lukjan oletetaan tuntevan algebran perusteet. Luvun kaks ensmmäsessä alaluvussa kutenkn kerrataan tälle tutkelmalle oleellsmmat algebran peruskästteet ja tulokset. Kertausluontosuuden vuoks kästtelyyn e käytetä paljoa akaa. Luvun kaks jälkmmäsessä alaluvussa tutustutaan pääluvun kästtelyä oleellsest yksnkertastavan Ω-ryhmän kästteeseen. Luku kolme keskttyy ryhmen suorn tulohn, jotka ovat tämän tutkelman oleellsta anta. Ulkosen ja ssäsen suoran tulon määrttelyn jälkeen estetään loppututkelman kästtelyä helpottava samastus ssäsen ja ulkosen suoran tulon välllä, jota havannollstetaan esmerken. Luku neljä keskttyy ertysest keskuksen kästteeseen, sllä keskusta koskeva oletus oleellnen päälausetta ajatellen. Lukujen kolme ja neljä vmesmpnä tuloksna estetään päälauseen todstuksessa tarvttava apulauseta. Luvun vs alussa estetään tarvttava kästtetä ja tuloksa, jota hyödynnetään luvun päättävän päälauseen todstuksessa. Suurn osa estetystä havannollstavsta esmerkestä ovat joko tutkelman tekjän tse kehttämä ta lähdeteosten harjotustehtävä. Myös osa estetystä apulausesta on lähdeteosten harjotustehtävä. Tutkelman päälähteenä on käytetty John S. Rosen teosta A Course on Group Theory [4]. 4
5 2 Ryhmäteoran peruskästtetä ja -tuloksa Tässä luvussa estellään tutkelmassa myöhemmn tarvttava ryhmäteoran peruskästtetä ja -tuloksa. Alaluvussa 2.1 estellään kertauksenomasest ryhmn, kuvauksn ja homomorfsmehn lttyvä määrtelmä ja tuloksa, joden oletetaan olevan lukjalla ennalta tuttuja. Nän ollen kästtelyyn e käytetä paljoa akaa, ekä tulosten yhteydessä estetä juurkaan esmerkkejä. Lähtenä alaluvussa 2.1 on käytetty Bhattacharyan, Jann ja Nagpauln teosta Basc Abstract Algebra [1], Een ja Changn teosta A Course on Abstract Algebra [2], Rosen teosta A Course on Group Theory [4] sekä Scottn teosta Group Theory [6]. Alaluvussa 2.2 estellään Ω-ryhmen käste ja nhn lttyvä perustuloksa, joden e oleteta olevan lukjalle ennalta tuttuja. Ω-ryhmät tulevat olemaan merkttävässä roolssä päälauseen todstuksessa. Tämän alaluvun lähtenä on käytetty Rosen teoksen A Course on Group Theory [4] svuja 22 ja sekä Rotmann teoksen An Introducton to the Theory of Groups [5] svua Ryhmäteoran kertausta Alotetaan kertaamalla ryhmäteoran perustkästtetä, kuten ryhmä, alryhmä ja normaal alryhmä. Määrtelmä 2.1. Puolryhmä on epätyhjä joukko varustettuna ltännäsellä laskutomtuksella. Ryhmä on puolryhmä, jolla on neutraalalko, ja jonka jokasella alkolla on kääntesalko. Van neutraalalkon ssältävää ryhmää kutsutaan trvaalks ryhmäks. Jos ryhmä e ole trvaal, stä kutsutaan epätrvaalks. Jatkossa merktään ryhmän neutraalalkota symbollla 1 ja ryhmän alkon g kääntesalkota symbollla g 1. Määrtelmä 2.2. Ryhmä G on äärellnen, jos se ssältää äärellsen määrän alkota. Ryhmän G ssältämen alkoden lukumäärää kutsutaan ryhmän G kertaluvuks ja tätä merktään G. Määrtelmä 2.3. Ryhmän G alryhmä on joukon G epätyhjä osajoukko, joka varustettuna alkuperäsen ryhmän G laskutomtuksella, rajotettuna joukkoon H, muodostaa ryhmän. Jos H on ryhmän G alryhmä, nn merktään H G. Ryhmän G alryhmä H on ato alryhmä, jos H G. Lause 2.4. Epätyhjä ryhmän G osajoukko H on ryhmän G alryhmä, jos ja van jos h 1 h 1 2 H pätee, kun h 1, h 2 H. Apulause 2.5. Olkoot H ja K ryhmän G alryhmä. Tällön myös H K on ryhmän G alryhmä. Määrtelmä 2.6. Olkoon H ryhmän G alryhmä. Tällön H on ryhmän G normaal alryhmä, merktään H G, jos ja van jos g 1 hg H pätee, kun h H ja g G. 5
6 Esmerkk 2.7. Olkoon G ryhmä. Trvaal ryhmä {1} on ryhmän G alryhmä, sllä neutraalalkon kääntesalko on neutraalalko ja kahden neutraalalkon tulo on neutraalalko. Lsäks {1} on normaal, sllä g 1 1g = 1 {1} pätee, kun g G. Seuraava esmerkk osottaa, että Abeln ryhmän alryhmä on ana normaal. Esmerkk 2.8. Olkoon H Abeln ryhmän G alryhmä. Tällön, koska G on Abeln ryhmä, nn g 1 hg = g 1 gh = h H pätee, kun g G ja h H. Täten H G. Määrtelmä 2.9. Olkoon G ryhmä. Tällön G on yksnkertanen, jos sen anoat normaalt alryhmät ovat G ja trvaal alryhmä {1}. Apulause Olkoon K ryhmän G normaal alryhmä ja K H G. Tällön K on ryhmän H normaal alryhmä. Apulause Olkoon H ryhmän G alryhmä ja K ryhmän G normaal alryhmä. Tällön H K on ryhmän G alryhmä. Apulause Olkoot H ja K ryhmän G alryhmä. Tällön HK on ryhmän G alryhmä, jos ja van jos H K = K H. Apulause Olkoot H ja K ryhmän G normaaleja alryhmä. Tällön, jos H K ssältää van ryhmän G neutraalalkon 1, nn jokanen ryhmän H alko kommuto jokasen ryhmän K alkon kanssa. Määrtelmä Olkoon H ryhmän G alryhmä ja olkoon g G. Tällön joukko gh = {gh h H} on alkon g määräämä alryhmän H vasen svuluokka. Määrtelmä Olkoon K ryhmän G normaal alryhmä. Tällön kakken ryhmän G alryhmän K vasempen svuluokken joukko, merktään G/K, varustettuna laskutomtuksella (g 1 K)(g 2 K) = g 1 g 2 K, kun g 1, g 2 G, muodostaa ryhmän G tekjäryhmän. Lause Olkoon K ryhmän G normaal alryhmä. Tällön tekjäryhmä G/K on ryhmä. Estellään tämän alaluvun lopuks oleellsmpa kuvauksn ja homomorfsmehn lttyvä kästtetä ja tuloksa, jota tullaan tarvtsemaan jatkossa. Määrtelmä Epätyhjän joukon X Identtnen kuvaus, merktään I X, on kuvaus, joka kuvaa kakk joukon X alkot tselleen. Jos joukko X on asayhteydestä selvä, merktään joukon X denttstä kuvausta symbollla I. Määrtelmä Olkoon φ: X Y ja olkoon joukko S joukon X osajoukko. Tällön kuvausta ψ : S Y, jolle pätee ehto s φ(s), kutsutaan kuvauksen φ rajottumaks joukon X osajoukkoon S. Tätä rajottumaa ψ merktään yleensä φ S. 6
7 Määrtelmä Olkoon epätyhjä joukko S joukon X osajoukko. Tällön joukon X denttsen kuvauksen rajottuma joukkoon S el rajottuma I X S : S X on joukon S nkluuso joukolle X. Esmerkk Ratonaallukujen joukon nkluuso kokonaslukujen joukolle on kuvaus I Q Z: Z Q. Määrtelmä Olkoot G ja H ryhmä. Kuvaus φ: G H on homomorfsm, jos φ(ab) = φ(a)φ(b) pätee, kun a, b G. Homomorfsm, joka kuvaa kakk alkot neutraalalkolle, on trvaal homomorfsm, homomorfsm ryhmältä G tselleen on ryhmän G endomorfsm ja bjektvnen endomorfsm on automorfsm. Ryhmän G automorfsma merktään Aut G. Esmerkk Kakk kuvauksen φ rajottumat ovat selväst homomorfsmeja, jos φ on homomorfsm. Apulause Olkoot kuvaukset φ: K H ja ψ : G K homomorfsmeja. Tällön yhdstetty kuvaus φψ : G H on myös homomorfsm. Todstus. Olkoot a, b G. Tällön φψ(ab) = φ ( ψ(a)ψ(b) ), sllä ψ on homomorfsm ryhmältä G ryhmälle K. Edelleen, koska φ on homomorfsm ryhmältä K ryhmälle G, Nän ollen on osotettu, että pätee, kun a, b G. φ ( ψ(a)ψ(b) ) = φψ(a)φψ(b). φψ(ab) = φψ(a)φψ(b) Määrtelmä Olkoon kuvaus φ: G H homomorfsm. Tällön kuvauksen φ ne alkot, jotka kuvautuvat maalryhmän neutraalalkolle muodostavat kuvauksen φ ytmen. Kuvauksen φ ydntä merktään Ker φ. Kuvauksen φ ne maaljoukon alkot, jotka kuvaus vo saada arvonaan muodostavat kuvauksen φ kuvajoukon. Kuvauksen φ kuvajoukkoa merktään Im φ. Apulause Olkoon φ: G H homomorfsm. Homomorfsmn ydn on ryhmän G normaal alryhmä ja homomorfsmn kuvajoukko on ryhmän H alryhmä. Estellään velä lopuks homomorfalause ja tonen somorfalause, jota kumpaakn tarvtaan pääluvun 5 tuloksen todstamsessa. Lause 2.26 (Homomorfalause). Olkoon φ: G H homomorfsm. Tällön Im φ G/ Ker φ. Lause 2.27 (Tonen somorfalause). Olkoon H ryhmän G alryhmä ja K ryhmän G normaal alryhmä. Tällön H K on ryhmän H normaal alryhmä ja H/(H K) HK/K. 7
8 2.2 Ω-ryhmät Seuraavaks kästellään tämän tutkelman luvussa 5 paljon käytettyjen Ω-ryhmän ja Ω-homomorfsmn kästteet, jotka helpottavat päälauseen todstusta oleellsest. Alotetaan kutenkn ensn kertaamalla konjugaatn ja konjugaaton kästteet, jota tarvtaan esmerkssä Lause Olkoon G ryhmä. Jokaseen g G vodaan lttää ryhmän G automorfsm τ g, joka on määrtelty seuraavast: kun x G. τ g : x g 1 xg, Määrtelmä Alkota τ g (x) = g 1 xg kutsutaan alkon g määräämäks alkon x konjugaatks. Ryhmän G automorfsma τ g kutsutaan alkon g määräämäks ryhmän G konjugaatoks. Määrtelmä Olkoon Ω joukko ja G ryhmä. Tällön Ω on ryhmän G operaattoralue ja G on Ω-ryhmä, jos on olemassa kuvaus Ω G G, merktään (ω, g) g ω, jolle pätee (g 1 g 2 ) ω = g ω 1 gω 2, kun ω Ω ja g 1, g 2 G. Selväst Ω-ryhmän ja endomorfsmn määrtelmstä seuraa, että mkä tahansa ryhmän G endomorfsmen joukko kelpaa ryhmän G operaattoralueeks. Määrtelmä Olkoon G Ω-ryhmä ja H ryhmän G alryhmä. Tällön sanotaan, että H on Ω-alryhmä, jos h ω H pätee, kun h H ja ω Ω. Huomattakoon, että jos H on ryhmän G Ω-alryhmä, nn Ω on myös ryhmän H operaattoralue. Esmerkk Olkoon G ryhmä. Kuvaus G G G ehdolla (ω, g) g ω, mssä g ω = ω 1 gω, täyttää määrtelmän 2.30 ehdot, sllä konjugaatot ovat endomorfsmeja. Tosn sanoen G on G-ryhmä. Tämän G-ryhmän G-alryhmät ovat ryhmän G normaaleja alryhmä, sllä kun H on G-alryhmä, nn määrtelmän 2.31 nojalla g 1 hg = h g H pätee, kun g G ja h H. Ylläoleva esmerkk on jatkokästtelyä varten hyvn oleellsessa roolssa, sllä pääluvussa kästeltävät ryhmän G Ω-ryhmät ovat lähes pokkeuksetta edellsen esmerkn mukasa G-ryhmä. Määrtelmä Olkoot G ja H ryhmä, jolla on sama operaattoralue Ω. Tällön homomorfsma φ ryhmältä G ryhmälle H kutsutaan Ω-homomorfsmks, jos φ(g ω ) = ( φ(g) ) ω pätee, kun g G ja ω Ω. Vastaavan ehdon toteuttavaa endomorfsma kutsutaan Ω-endomorfsmks. 8
9 Apulause Olkoon φ ryhmän G Ω-homomorfsm. Tällön Im φ on Ω-alryhmä. Todstus. Apulauseen 2.25 nojalla Im φ G ja ( φ(g) ) ω = φ(g ω ) Im φ. pätee, kun φ(g) Im φ ja ω Ω. Nän ollen väte on todstettu. Esmerkk Trvaalst melvaltasen ryhmän G operaattoralueena vodaan ajatella olevan Ω =, jollon G on Ω-ryhmä. Tällön kakk ryhmän G alryhmät ovat myös Ω-alryhmä. Apulause Olkoot kuvaukset φ: K H ja ψ : G K Ω-homomorfsmeja. Tällön myös yhdstetty kuvaus φψ : G H on Ω-homomorfsm. Todstus. Määrtelmän 2.33 nojalla kuvaukset φ ja ψ ovat homomorfsmeja. Täten apulauseen 2.23 nojalla myös yhdstetty kuvaus φψ on homomorfsm. Nyt φψ(g ω ) = φ ( (ψ(g ω ) ) = φ ( ( (ψ(g) ) ω ) = ( φψ(g) ) ω pätee, kun g G ja ω Ω, sllä ψ on Ω-homomorfsm ryhmältä G ryhmälle H ja φ on Ω-homomorfsm ryhmältä K ryhmälle H. Apulause Jos φ on ryhmän G Ω-endomorfsm, nn kaklla postvslla kokonasluvulla k myös φ k on Ω-endomorfsm. Todstus. Väte seuraa apulauseesta Esmerkk 2.32 osottaa, että ryhmä G on ana myös G-ryhmä. Jatkossa vtataan lähnnä esmerkn mukasn G-ryhmn, joten on luontevaa sopa, että merknnällä g ω tarkotetaan tsätä eteenpän yksnomaan alkon ω määräämää alkon g konjugaatta el g ω = ω 1 gω. Jatkossa puhuttaessa G-endomorfsmsta, vtataan ana ryhmän G G- endomorfsmn. Jos kyseessä e ole ryhmän G G-endomorfsm, nn asa mantaan erkseen. 9
10 3 Ryhmen suorat tulot Tässä luvussa estellään määrtelmät ryhmen ulkoselle ja ssäselle suoralle tulolle, sekä estellään muutama suora tuloja koskeva tulos. Lukjan oletetaan tuntevan suora tuloja koskevat perustulokset, joten näden todstukset ohtetaan. Lähteenä on käytetty tämän tutkelman tekjän omaa kanddaatntutkelmaa Ryhmen suorat tulot [3], elle tosn manta. Määrtelmä 3.1. Olkoot G 1, G 2,..., G n ryhmä, mssä n on postvnen kokonasluku. Tällön ryhmen G 1, G 2,..., G n ulkonen suora tulo, merktään G 1 G 2 G n, on joukko { (g 1, g 2,..., g n ) g G, {1, 2,..., n} } varustettuna laskutomtuksella (g 1, g 2,..., g n )(g 1, g 2,..., g n) = (g 1 g 1, g 2g 2,..., g ng n). Lause 3.2. Ryhmen G 1, G 2,..., G n, mssä n on postvnen kokonasluku, ulkonen suora tulo G 1 G 2 G n on ryhmä. Apulause 3.3. Olkoon G ryhmä. Tällön pätee, kun g 1, g 2,..., g n G. (g 1 g 2 g n ) 1 = g 1 n g 1 n 1 g 1 1 Määrtelmä 3.4. Olkoot G 1, G 2,..., G n, mssä n on postvnen kokonasluku, ryhmän G normaaleja alryhmä. Tällön G on ryhmen G 1, G 2,..., G n ssänen suora tulo, jos jokaselle alkolle g G on olemassa ykskästtenen estys mssä g G, kun {1, 2,..., n}. g = g 1 g 2 g n, Lause 3.5. Olkoot G 1, G 2,..., G n ryhmän G normaaleja alryhmä, mssä n on postvnen kokonasluku. Tällön G on ryhmen G 1, G 2,..., G n ssänen suora tulo, jos ja van jos G = G 1 G 2 G n ja kun {1, 2,..., n}. G (G 1 G 1 G +1 G n ) = {1}, Esmerkk 3.6 (ks. [1, s. 140, harj. 1]). Osotetaan, että yhteenlaskuryhmä Z 10 on normaalen alryhmensä H = {0, 5} ja K = {0, 2, 4, 6, 8} ssänen suora tulo. Ratkasu. Ensnnäkn H ja K ovat selväst ryhmän Z 10 normaaleja alryhmä, joden lekkaus H K ssältää van ryhmän Z 10 neutraalalkon 0. Lsäks HK = {0 + 0, 0 + 2, 0 + 4, 0 + 6, 0 + 8, 5 + 0, 5 + 2, 5 + 4, 5 + 6, 5 + 8} = {0, 2, 4, 6, 8, 5, 7, 9, 11, 13} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = Z
11 Nän ollen lauseen 3.5 nojalla väte on tos. Seuraava lause osottaa, että ssänen suora tulo on somorfnen ulkosen suoran tulon kanssa. Lause 3.7. Olkoot G 1, G 2,..., G n ryhmän G normaaleja alryhmä, mssä n postvnen kokonasluku. Tällön, jos G on normaalen alryhmensä G 1, G 2,..., G n ssänen suora tulo, nn G on somorfnen ryhmen G 1, G 2,..., G n muodostaman ulkosen suoran tulon kanssa, el G G 1 G 2 G n. Tehdään seuraavaks edellsen lauseen mahdollstama merknnällnen sopmus, jolla yksnkertastetaan jatkokästtelyä. Edellsen lauseen nojalla jos G on normaalen alryhmensä G 1, G 2,..., G n, mssä n on postvnen kokonasluku, muodostama ssänen suora tulo, nn se on somorfnen ullkosen suoran tulon G 1 G 2 G n kanssa. Nän ollen sovtaan, että jatkossa merknnällä G = G 1 G 2 G n tarkotetaan ryhmän G olevan normaalen alryhmensä G 1, G 2,..., G n muodostama ssänen suora tulo, elle tosn manta. Jatkossa puhuttaessa suorasta tulosta vtataan ssäseen suoraan tuloon. Esmerkk 3.8. Olkoon G ryhmä. Koska {1} G, G G ja g = g1 pätee, kun g G, nn määrtelmän 3.4 nojalla G = G {1}. Apulause 3.9. Olkoon G = G 1 G 2 G n. Tällön ryhmen G ja G j alkot kommutovat keskenään, kun, j {1, 2,..., n} ja j. Todstus. Lauseesta 3.5 seuraa, että G G j = {1} pätee, kun, j {1, 2,..., n} ja j. Lsäks, koska G = G 1 G 2 G n, nn G ja G j ovat molemmat ryhmän G normaaleja alryhmä. Nän ollen väte seuraa apulauseesta Apulause Olkoon G = H K. Tällön H K = K H. Todstus. Määrtelmän 3.4 nojalla ryhmät H ja K ovat ryhmän G normaaleja alryhmä ja jokaselle alkolle g G on olemassa ykskästtenen estys g = hk, mssä h H ja k K. Apulauseen 3.9 nojalla hk = kh pätee, kun h H ja k K. Täten jokaselle alkolle g G on olemassa ykskästtenen estys g = k h, mssä h H ja k K. Nän ollen G = K H. Apulauseesta 3.10 seuraa, että suora tulo G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku, on rppumaton tekjödensä järjestyksestä. Määrtellään seuraavaks hajoava ryhmä ja estellään tästä muutama havannollstava esmerkk. Määrtelmä 3.11 (ks. [6, s. 67]). Olkoon G ryhmä. Ryhmä G on hajoava, jos ryhmällä G on olemassa epätrvaalt normaalt alryhmät H ja K, jolle G = H K. Hajoavan ryhmän G estystä normaalen alryhmensä suorana tulona kutsutaan ryhmän G hajotelmaks. Jos ryhmä G e ole hajoava, nn se on hajoamaton. 11
12 Esmerkk Jos ryhmä G on yksnkertanen, nn yksnkertasen ryhmän määrtelmän 2.9 nojalla sen anoat normaalt alryhmät ovat G ja trvaal ryhmä {1}. Nän ollen kakk yksnkertaset ryhmät ovat hajoamattoma. Esmerkk Esmerkn 3.6 nojalla yhteenlaskuryhmä Z 10 on hajoava ryhmä. Esmerkk Osotetaan, että kokonaslukujen yhteenlaskuryhmä Z on hajoamaton. Ratkasu. Kokonaslukujen yhteenlaskuryhmä on syklnen, joten myös jokanen tämän ryhmän alryhmä on syklnen. Täten kokonaslukujen yhteenlaskuryhmän epätrvaalt alryhmät ovat muotoa dz = {dz z Z}, mssä d on postvnen kokonasluku. Olkoot nyt mz ja nz kokonaslukujen yhteenlaskuryhmän epätrvaaleja normaaleja alryhmä. Jos m = 1 ta n = 1, nn selväst mz nz {1}. Oletetaan nyt, että m 1 ja n 1. Tällön tulo mn > 1 on postvnen kokonasluku. Koska mn mz, nm nz ja mn = nm, nn mn mz nz. Täten mz nz {1}. Nän ollen lauseen 3.5 nojalla Z mz nz. Täten Z on hajoamaton. Apulausetta 3.16 tullaan tarvtsemaan päälauseen todstuksen apuna. Ennen tämän lauseen todstusta estetään velä todstuksen apuna käytettävä Dedekndn sääntö. Apulause 3.15 (Dedekndn sääntö, ks. [4, s. 122]). Olkoot J, H, K ryhmän G alryhmä jolle H J. Tällön J (HK) = H(J K). Todstus. Selväst H(J K) J (HK), sllä H on ryhmän J alryhmä. Olkoon j J (HK). Tällön jollakn h H ja k K pätee j = hk. Tällön, koska H on ryhmän J alryhmä, nn h 1 j = k J K. Täten j H(J K). Sspä J (HK) H(J K). Nän ollen on osotettu, että J (HK) = H(J K). Apulause 3.16 (ks. [4, s. 167, harj. 402]). Olkoon ryhmä G normaalen alryhmensä H ja K hajotelma el G = H K, mssä H ja K ovat ryhmän G epätrvaaleja normaaleja alryhmä. Tällön, jos H J G, nn Todstus. Ensnnäkn J = H (J K). H (J K) = {1}, sllä trvaalst 1 J K ja oletuksen nojalla H K = {1}. Tosekseen, koska G = HK, nn Dedekndn säännön nojalla saadaan J = J G = J (HK) = H(J K). 12
13 Osotetaan seuraavaks, että H ja J K ovat ryhmän J normaaleja alryhmä. Koska H G ja H J G, nn apulauseen 2.10 nojalla H J. J K on ryhmän J epätyhjä osajoukko. Ryhmnä J ja K ovat molemmat laskutomtuksensa suhteen suljettuja ja nän ollen myös joukko J K on saman laskutomtuksen suhteen suljettu. Nän ollen J K J. Osotetaan velä, että J K on ryhmän J normaal alryhmä. Apulauseen 3.9 nojalla kakk ryhmen H ja K alkot kommutovat keskenään. Olkoon j J ja k J K. Koska J = H(J K), nn j = h jollakn h H ja J K. Nän ollen saadaan Täten j 1 k j = (h) 1 kh = 1 h 1 kh = 1 h 1 hk = 1 k J K. J K J. On ss osotettu, että H ja J K ovat ryhmän J sellasa normaaleja alryhmä, että J = H(J K) ja H (J K) = {1}. Nän ollen lauseen 3.5 nojalla J = H (J K). 13
14 4 Keskus Tässä luvussa estellään keskuksen ja keskttäjän määrtelmät ja ntä koskeva perustuloksa. Tutkelman päälause rajottuu tarkastelemaan tapausta, jossa ryhmän keskus on trvaal, joten keskusta koskeva oletus on keskesessä roolssa päälauseen todstuksessa. Määrtelmä 4.1 (ks. [1, s. 73]). Olkoon G ryhmä. Tällön ryhmän G keskus, merktään Z(G), on nden ryhmän G alkoden joukko, jotka kommutovat kakken ryhmän G alkoden kanssa el Z(G) = {g G gx = xg, kun x G}. Lause 4.2. Olkoon G ryhmä. Tällön ryhmän G keskus Z(G) on ryhmän G normaal alryhmä. Todstus (vrt. [1, s. 73]). Ryhmän G neutraalalkolle 1 pätee ana 1g = g = g1, kun g G. Täten 1 Z(G) ja nän ollen Z(G) on ryhmän G epätyhjä osajoukko. Olkoot a, b Z(G). Tällön ab 1 g = ab 1 g1 = ab 1 gbb 1 = ab 1 bgb 1 = a1gb 1 = agb 1 = gab 1 pätee, kun g G. Sspä ab 1 Z(G). Nän ollen Z(G) on lauseen 2.4 nojalla ryhmän G alryhmä. Lsäks g 1 hg = g 1 gh = 1h = h Z(G) pätee, kun g G ja h Z(G), joten Z(G) on ryhmän G normaal alryhmä. Estetään velä esmerkk, joka havannollstaa keskuksen ja Abeln ryhmän välstä yhteyttä. Lause 4.3 (vrt. [2, s. 48, harj. 6]). Olkoon G ryhmä. Tällön: 1. G on Abeln ryhmä, jos ja van jos Z(G) = G. 2. Z(G) on Abeln ryhmä. Todstus. Todstetaan kumpkn kohta erkseen. 1. Oletetaan, että Z(G) = G. Tällön kaklla x, g G pätee keskuksen määrtelmän nojalla Nän ollen G on Abeln ryhmä. gx = xg. 14
15 Oletetaan nyt, että G on Abeln ryhmä ja x G. Täten gx = xg pätee, kun g G. Sspä x Z(G) ja nän ollen G Z(G). Lsäks trvaalst keskuksen määrtelmän nojalla Z(G) G. Nän ollen on oltava Z(G) = G. 2. Todstetaan seuraavaks esmerkn tonen kohta. Olkoon Z(G) jonkn melvaltasen ryhmän G keskus. Lauseen 4.2 nojalla Z(G) on ryhmän G alryhmänä tsessään ryhmä. Olkoot x, g Z(G). Keskuksen määrtelmän nojalla ertysest g G, joten gx = xg pätee. Alkot x ja g olvat melvaltasest valttuja, joten Z(G) on Abeln ryhmä. Määrtelmä 4.4 (vrt. [4, s. 48, harj. 122]). Olkoon H ryhmän G alryhmä. Tällön alryhmän H keskttäjä ryhmässä G, merktään C G (H), on nden ryhmän G alkoden joukko, jotka kommutovat kakken alryhmän H alkoden kanssa el C G (H) = {g G gh = hg, kun h H}. Huomattakoon, että edellä olevan määrtelmän nojalla C G (G) = Z(G). Lause 4.5 (vrt. [4, s. 48, harj. 122]). Olkoon H ryhmän G alryhmä. Tällön alryhmän H keskttäjä ryhmässä G on ryhmän G alryhmä. Todstus. Koska neutraalalko 1 G ja H G, nn 1h = h = h1 pätee, kun h H. Täten 1 C G (H). Olkoot a, b C G (H). Tällön ab 1 h = ab 1 h1 = ab 1 hbb 1 = ab 1 bhb 1 = a1hb 1 = ahb 1 = hab 1 pätee, kun h H. Sspä ab 1 C G (H). Nän ollen C G (H) on ryhmän G alryhmä. Alryhmä C G (H) e kutenkaan välttämättä ole ryhmän G normaal alryhmä. Esmerkk 4.6. Tarkastellaan symmetrstä ryhmää Σ 3 = {1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} ja sen alryhmä K = {1, (1 2 3), (1 3 2)} ja H = {1, (1 2)}. Nyt (1 2) (1 3) = (1 3 2) (1 2 3) = (1 3) (1 2), (1 2) (2 3) = (1 2 3) (1 3 2) = (2 3) (1 2), (1 2) (1 2 3) = (2 3) (1 3) = (1 2 3) (1 2), (1 2) (1 3 2) = (1 3) (2 3) = (1 3 2) (1 2), (1 3) (1 2 3) = (1 2) (2 3) = (1 2 3) (1 3), 15
16 ja (2 3) (1 3 2) = (1 2) (1 3) = (1 3 2) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) = 1 = (1 3 2) (1 2 3). Lsäks 1σ = σ = σ1, kun σ Σ 3. Nän ollen C Σ3 (K) = {1, (1 2 3), (1 3 2)} = K, ja C Σ3 (H) = {1, (1 2)} = H Z(Σ 3 ) = {1}. C Σ3 (K) on ryhmän Σ 3 normaal alryhmä, mutta C Σ3 (H) e ole ryhmän Σ 3 normaal alryhmä. Estetään velä luvun loppuun kaks apulausetta, jota käytetään päälauseen todstamsen yhteydessä. Apulause 4.7. Olkoon H ryhmän G alryhmä. Tällön Todstus. H C G (H) = Z(H). Z(H) = {g H gh = hg, kun h H} = {g G g H ja gh = hg, kun h H} = {g G g H} {g G gh = hg, kun h H} = H C G (H). Apulause 4.8 (vrt. [4, s. 167, harj. 406]). Olkoon G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku. Tällön Z(G) = Z(G 1 ) Z(G 2 ) Z(G n ). Todstus. Ensnnäkn Z(G ) on ryhmän Z(G) normaal alryhmä, kun {1, 2,..., n}, sllä Z(G) on Abeln ryhmä. Oletuksen nojalla G (G 1 G 1 G +1 G n ) = {1} ja täten myös Z(G ) ( Z(G 1 ) Z(G 1 )Z(G +1 ) Z(G n ) ) = {1}, kun {1, 2,..., n}. Väte seuraa lauseesta 3.5, kunhan ensn todstetaan, että Z(G) = Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ). Oletetaan koko todstuksen ajan, että g = g 1 g 2 g n G, mssä g G, kun {1, 2,..., n}. Oletetaan ensn, että z Z(G ), kun {1, 2,..., n}. Täten z 1 z 2 z n Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ). Ensnnäkn kakk ryhmen G ja G j alkot kommutovat, kun, j {1, 2,..., n} ja j. Lsäks oletuksen nojalla kaklla {1, 2,..., n} pätee z g = g z. Täten saadaan (z 1 z 2 z n )(g 1 g 2 g n ) = z 1 g 1 z 2 g 2 z n g n = g 1 z 1 g 2 z 2 g n z n = (g 1 g 2 g n )(z 1 z 2 z n ). 16
17 Sspä z 1 z 2 z n Z(G). Täten on osotettu, että Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ) Z(G). Oletetaan nyt, että z Z(G). Ertysest z G ja nän ollen jollakn z G, mssä {1, 2,..., n}, pätee z = z 1 z 2 z n. Koska z Z(G), nn zg = g z el (z 1 z 2 z n )(g ) = (g )(z 1 z 2 z n ) pätee, kun g G G, mssä {1, 2,..., n}. Koska suoran tulon er tekjöden alkot kommutovat keskenään, nn edellsestä yhtälöstä seuraa Edelleen tästä seuraa (z g )z 1 z 2 z 1 z +1 z n = (g z )z 1 z 2 z 1 z +1 z n. z g = g z. Täten kaklla {1, 2,..., n} pätee z Z(G ) ja nän ollen z = z 1 z 2 z n Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ). Nän on osotettu, että Z(G) Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ). Täten on osotettu, että Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ) = Z(G). Esmerkk 4.9. Tarkastellaan symmetrstä ryhmää Σ 3 = {1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} ja sen alryhmä K = {1, (1 2 3), 1 3 2)} ja H = {1, (1 2)}. Määrtetään ryhmen Σ 3, K ja H välsen suoran ulkosen tulon keskus Z(Σ 3 K H). Esmerkn 4.6 nojalla Z(Σ 3 ) = {1}. Ryhmät K ja H ovat molemmat Abeln ryhmä, joten lauseen 4.3 nojalla Z(K) = K ja Z(H) = H. Nän ollen apulauseen 4.8 nojalla Z(Σ 3 K H) = Z(Σ 3 ) Z(K) Z(H) = {1} K H = {1} {1, (1 2 3), 1 3 2)} {1, (1 2)}. 17
18 5 Krulln, Remakn ja Schmdtn lause Lähtenä tässä luvussa on käytetty päälähdeteoksen el Rosen teoksen A Course on Group Theory [4] svuja ja Rotmann teoksen An Introducton to the Theory of Groups [5] svua 144. Krulln, Remakn ja Schmdtn ylenen tapaus pätee kaklle äärellslle ryhmlle ja tetyt ehdot täyttävlle äärettömlle ryhmlle. Ylenen tapaus todstaa, että jos ryhmälle G on olemassa estykset G = H 1 H 2 H n = K 1 K 2 K m, mssä H 1, H 2,... H n, K 1, K 2,... K m ovat epätrvaaleja ja hajoamattoma ryhmä, nn tällön m = n ja tarvttaessa uudelleen luettelomalla, H K, kun {1, 2,..., n}. Tässä tutkelmassa rajotutaan tarkastelemaan tapausta, jossa G on epätrvaal ja äärellnen ryhmä, jonka keskus on trvaal. Tällön ryhmälle G estettävät hajotelmat epätrvaalehn ja hajoamattomn ryhmän G normaalehn alryhmn ovat keskenään tekjöden järjestystä valle ykskästteset. Alotetaan käymällä läp päälauseen todstukseen tarvttava estuloksa. Apulause 5.1. Olkoon G äärellnen ryhmä ja φ ryhmän G G-endomorfsm. Tällön 1. On olemassa sellanen postvnen kokonasluku k, että G = Ker φ k Im φ k. 2. Jos G on hajoamaton, nn tällön joko φ on ryhmän G automorfsm, ta φ k on ryhmän G trvaal endomorfsm jollakn postvsella kokonasluvulla k. Todstus. Todstetaan ensn ensmmänen väte. Merktään K j = Ker φ j, mssä j on postvnen kokonasluku. Olkoon n postvnen kokonasluku ja m {1, 2,..., n}. Oletetaan, että x K m. Tällön φ m+1 (x) = φ ( φ m (x) ) = φ(1) = 1. Täten x K m+1. Nän ollen K m K m+1. Lsäks apulauseen 2.25 nojalla K m, K m+1 G, joten nän ollen K m K m+1. Sspä K 1 K 2 K 3 G. Nän ollen, koska G on äärellnen, nn on olemassa sellanen k {1, 2,..., n}, että K k = K k+1. Osotetaan nduktolla, että K k = K k+p pätee, kun p {1, 2,..., n}. Trvaalst tämä pätee, kun p = 1. Oletetaan seuraavaks, että p > 1. Tehdään ndukto-oletus olettamalla, että K k = K k+p 1 pätee. Olkoon g K k+p. Tällön φ k+1( φ p 1 (g) ) = φ (k+1)+(p 1) (g) = φ k+p (g) = 1. 18
19 Sspä φ p 1 (g) K k+1 = K k. Nän ollen φ k+p 1 (g) = φ k ( φ p 1 (g) ) = φ k (1) = 1, joten g K k+p 1. Täten ndukto-oletuksen nojalla g K k. On ss osotettu, että K k+p K k. Tosaalta myös akasemmn todetun nojalla K k K k+p. Sspä oltava K k = K k+p, kun p {1, 2,..., n}. Olkoon nyt K = K k ja L = Im φ k. K on lauseen 2.25 nojalla ryhmän G normaal alryhmä. Kuvaus φ on oletuksen nojalla G-endomorfsm, joten apulauseen 2.37 nojalla myös φ k on G-endomorfsm. Täten L on ryhmän G G-alryhmä apulauseen 2.34 nojalla ja edelleen esmerkn 2.32 nojalla ryhmän G normaal alryhmä. Sspä apulauseen 2.11 nojalla K L on ryhmän G alryhmä. Olkoon x K L. Tällön φ k (x) = 1 ja jollakn y G. Täten x = φ k (y) φ 2k (y) = φ k (φ k ( y) ) = φ k (x) = 1 ja nän ollen y K 2k. Koska akasemmn osotetun nojalla K 2k = K k, nn y K k. Sspä x = φ k (y) = 1. Nän ollen K L = {1}. Täten tosen somorfalauseen 2.27 nojalla L K L/K. Tosaalta homomorfalauseen 2.26 nojalla myös L G/K. Nän ollen, koska K L on ryhmän G alryhmä ja G on äärellnen, Täten lauseen 3.5 nojalla G = K L. G = K L = Ker φ k Im φ k, ja nän ollen ensmmänen väte on todstettu. 19
20 Todstetaan seuraavaks lauseen tonen väte. Oletetaan, että äärellnen ryhmä G on hajoamaton. Tällön joko ta K = G ja L = {1} K = {1} ja L = G. Akasemmassa tapauksessa Im φ k = L = {1}, joten φ k on ryhmän G trvaal endomorfsm. Jälkmmäsessä tapauksessa Im φ k = L = G. Jos endomorfsm φ e ols automorfsm, nn tällön Im φ G, jollon ols myös Im φ k G. Nän ollen endomorfsmn φ on oltava ryhmän G automorfsm. Määrtellään seuraavaa apulauseen 5.1 tulosta laajentavaa apulausetta 5.5 varten homomorfsmen summa. Määrtelmä 5.2. Olkoot φ ja ψ ryhmän G homomorfsmeja ryhmälle H. Tällön homomorfsmen φ ja ψ summa on kuvaus, jolle pätee φ + ψ : G H φ + ψ : g φ(g)ψ(g), kun g G. Yleensä φ + ψ e ole tsessään homomorfsm, ekä yleensä päde φ + ψ = ψ + φ. Määrtelmä laajenee luonnollsella tavalla myös useamman homomorfsmn summalle. Olkoon n postvnen kokonasluku ja olkoot φ 1, φ 2,..., φ n homomorfsmeja ryhmältä G ryhmälle H. Tällön on kuvaus, jolle pätee kun g G. n φ : G H, n φ : g φ 1 (g)φ 2 (g) φ n (g), Merknnällä kφ, mssä k on postvnen kokonasluku, tarkotetaan homomorfsmen φ summaa φ + φ + + φ, jossa summattaven homomorfsmen lukumäärä on k. Esmerkk 5.3. Olkoot φ ja ψ ryhmän G homomorfsmeja ryhmälle H. Osota, että jos φ + ψ on homomorfsm, nn tällön φ + ψ = ψ + φ. 20
21 Ratkasu Olkoon x G. Tällön, koska φ ja ψ ovat homomorfsmeja, (ψ + φ)(x)(φ + ψ)(x 1 ) = ψ(x)φ(x)φ(x 1 )ψ(x 1 ) = ψ(x)φ(xx 1 )ψ(x 1 ) = ψ(x)1ψ(x 1 ) = ψ(xx 1 ) = 1. Nän ollen ( (ψ + φ)(x) ) 1 = (φ + ψ)(x 1 ). Täten, koska φ + ψ on homomorfsm, (φ + ψ)(x)((ψ + φ)(x)) 1 = (φ + ψ)(x)(φ + ψ)(x 1 ) = (φ + ψ)(xx 1 ) = 1. Tämä on yhtäptäväst (φ + ψ)(x) = (ψ + φ)(x). Nän ollen φ + ψ = ψ + φ. Seuraava todstus on aputulos apulauseen 5.5 todstusta varten. Apulause 5.4. Olkoot φ ja ψ keskenään kommutova ryhmän G endomorfsmeja ja olkoon n postvnen kokonasluku. Tällön mssä φ 0 1 = φ0 2 = I. (φ + ψ) n = n =0 ( ) n φ n ψ, Todstus. Todstetaan väte nduktolla luvun n suhteen. Jos n = 1, nn ( ) ( ) 1 1 (φ + ψ) 1 = φi + Iψ = φ 1 ψ 0 + φ 0 ψ Oletetaan nyt, että väte pätee postvsella kokonasluvulla n > 2. Tällön =0 (φ + ψ) n+1 = (φ + ψ)(φ + ψ) n = (φ + ψ) ( n = φ =0 ( ) ( n n )φ n ψ + ψ =0 ( ) n )φ n ψ. n =0 ( ) n φ n ψ Koska φ ja ψ ovat endomorfsmeja ja φψ = ψφ, nn edellnen lauseke saadaan muotoon n ( ) n n ( ) n n ( ) n n ( ) n φφ n ψ + ψφ n ψ = φ n+1 ψ + φ n ψ +1 ( ) n = φ n+1 0 ψ = φ n+1 + n n =0 ( n ) φ n+1 ψ + =0 n 1 =0 ( n ) φ n ψ +1 + ( ) n n 1 ( ) n φ n+1 ψ + φ n ψ +1 + ψ n+1. =0 ( n n =0 ) φ n n ψ n+1 21
22 Muutetaan edellsen lausekkeen jälkmmäsen summan muuttuja seuraavast: n 1 =0 ( ) n φ n ψ +1 = n ( ) n φ n+1 ψ. 1 Nän ollen φ n+1 + = φ n+1 + = φ n+1 + n ( n n ( n n (( n ) φ n+1 ψ + ) φ n+1 ψ + ) + ( n 1 n 1 ( ) n φ n ψ +1 + ψ n+1 =0 n ( ) n φ n+1 ψ + ψ n+1 1 )) φ n+1 ψ + ψ n+1. Pascaln säännön nojalla ( ) ( n + n ) ( 1 = n+1 ), joten edellnen lauseke saadaan muotoon n ( ) n + 1 φ n+1 + φ n+1 ψ + ψ n+1 ( ) n + 1 n ( ) ( ) n + 1 n + 1 = φ n+1 0 ψ 0 + φ n+1 ψ + φ n+1 (n+1) ψ n+1 0 n + 1 n+1 ( ) n + 1 = φ n+1 ψ. Nän ollen on osotettu, että (φ + ψ) n+1 = n+1 ( n + 1 ) φ n+1 ψ. Täten väte seuraa nduktoperaatteesta. Apulause 5.5. Olkoon G äärellnen ryhmä, joka on epätrvaal ja hajoamaton. Oletetaan, että φ 1, φ 2,..., φ n, mssä n on postvnen kokonasluku, ovat sellasa G- endomorfsmeja, että j φ on G-endomorfsm, kun j = 1,..., n, ja n φ on ryhmän G denttnen automorfsm. Tällön anakn yks G-endomorfsmesta φ 1, φ 2,..., φ n on ryhmän G automorfsm. Todstus. Todstetaan väte nduktolla luvun n suhteen. Jos n = 1, nn väte ptää oletusten nojalla trvaalst pakkansa. Oletetaan nyt, että n = 2. Olkoon x G. Täten, koska φ 1 on endomorfsm ja φ 1 + φ 2 on denttnen automorfsm, φ 1 (x) = φ 1 ( (φ1 + φ 2 )(x) ) = φ 1 ( φ1 (x)φ 2 (x) ) = φ 2 1 (x)φ 1φ 2 (x). 22
23 Tosaalta myös φ 1 (x) = (φ 1 + φ 2 ) ( φ 1 (x) ) ( = φ 1 φ1 (x) ) ( φ 2 φ1 (x) ) = φ 2 1 (x)φ 2φ 1 (x). Täten φ 2 1 (x)φ 1φ 2 (x) = φ 2 1 (x)φ 2φ 1 (x). Koska G on ryhmä, nn tämä on yhtäptävä yhtälön φ 1 φ 2 (x) = φ 2 φ 1 (x) kanssa. Nän ollen φ 1 φ 2 = φ 2 φ 1. Olkoon ζ ryhmän G trvaal endomorfsm. Jos kumpkaan endomorfsmesta φ 1 ta φ 2 e ole ryhmän G automorfsm, nn tällön apulauseen 5.1 nojalla on olemassa sellaset postvset kokonasluvut k 1 ja k 2, että Tällön apulauseen 5.4 nojalla saadaan (φ 1 + φ 2 ) k 1+k 2 = φ k 1 1 = φk 2 2 = ζ. k 1 +k 2 =0 ( k1 + k 2 ) φ k 1+k 2 1 φ 2, mssä φ 0 1 = φ0 2 = I. Lsäks, koska φ 1 + φ 2 = I, nn myös (φ 1 + φ 2 ) k 1+k 2 = I. Kun 0 k 2, nn k 2 0. Tällön φ k 1+k 2 1 = ζ, sllä φ k 1 ollen φ k 1+k 2 1 φ 2 = ζ. Kun k 2 < k 1 + k 2, nn φ 2 = ζ, sllä φk = ζ. Nän = ζ. Nän ollen φ k 1+k 2 1 φ 2 = ζ, sllä φk 1+k 2 1 on ryhmän G endomorfsm. On ss osotettu, että kun k 1 + k 2. Täten I = (φ 1 + φ 2 ) k 1+k 2 = φ 2 φk 1+k 2 1 = ζ, k 1 +k 2 =0 ( k1 + k 2 ) φ k 1+k 2 1 φ 2 = ζ. Ehdosta I = ζ seuraa, että G ols trvaal ryhmä. Tämä on kutenkn rstrta, sllä oletuksen nojalla G on epätrvaal ryhmä. Nän ollen vähntään tosen endomorfsmesta φ 1 ta φ 2 on oltava ryhmän G automorfsm. Oletetaan lopuks, että n > 2. Olkoon n 1 ψ = φ. Tällön oletuksen nojalla ψ ja φ n ovat ryhmän G G-endomorfsmeja ja ψ + φ n = I. Täten edellä todstetun nojalla, joko ψ ta φ n on ryhmän G automorfsm. 23
24 Jos φ n Aut G, nn väte on todstettu. Oletetaan nyt, että ψ Aut G. Tällön myös ψ 1 Aut G. Nän ollen n 1 n 1 I = ψ 1 ψ = ψ 1 φ = ψ 1 φ. Olkoot g, ω G. Koska ψ on G-endomorfsm, nn ψ(ψ 1 (g ω )) = g ω = (ψ(ψ 1 (g))) ω = ψ((ψ 1 (g)) ω ). Täten ψ 1 (g ω ) = (ψ 1 (g)) ω, koska ψ on automorfsm. Nän ollen ψ 1 on G- endomorfsm. Apulauseen 2.36 nojalla ψ 1 φ 1, ψ 1 φ 2,..., ψ 1 φ n ja n 1 ψ 1 φ = ψ 1 ψ ovat kakk kahden G-endomorfsmn yhdstettynä kuvauksna G-endomorfsmeja. Tällön ndukto-oletuksen nojalla ψ 1 φ Aut G, jollakn {1, 2,..., n 1}. Täten, koska ψ, ψ 1 φ Aut G, nn φ = ψ(ψ 1 φ ) Aut G, jollakn {1, 2,..., n 1}. Nän ollen nduktoperaatteesta seuraa väte. Apulause 5.6. Olkoon φ ryhmän G endomorfsm. Tällön φ on G-endomorfsm, jos kun g G. φ(g)g 1 C G (Im φ), Todstus. Olkoot g, ω G. Oletuksen nojalla φ(ω)ω 1 kommuto kakken ryhmän G kuvajoukon alkoden kanssa. Nän ollen φ(g ω ) = φ(ω 1 gω) = φ(ω 1 )φ(g)φ(ω) = φ(ω 1 )φ(g)φ(ω)ω 1 ω = φ(ω 1 )φ(ω)ω 1 φ(g)ω = φ(ω 1 ω)ω 1 φ(g)ω = ω 1 φ(g)ω = ( φ(g) )ω. Täten φ on G-endomorfsm. Huomattakoon, että vastaavan ehdon täyttävä homomorfsm φ joltakn ryhmältä G alryhmälleen H ols G-homomorfsm ryhmältä G ryhmälle H. Määrtelmä 5.7. Olkoon G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku. Tällön ryhmän G projekto ryhmälle G on kuvaus jolle kun g n G n ja {1, 2,..., n}. π : G G, π : g 1 g 2 g n g, 24
25 Apulause 5.8. Olkoot ryhmällä G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku, projektot π : G G, mssä {1, 2,..., n}. Tällön projektot π ovat G-homomorfsmeja ryhmältä G ryhmälle G. Todstus. Olkoon g = g 1 g 2 g n, mssä g j G j, kun j {1, 2,..., n}. Suoren tulojen er tekjöden alkot kommutovat keskenään, joten π on selväst homomorfsm ryhmältä G alryhmälleen G ja π (g)g 1 = g (g 1 g 2 g n ) 1 = g gn 1 gn 1 1 g 1 1 = g g 1 gn 1 gn 1 1 g 1 +1 g 1 1 g 1 1 = g 1 n g 1 n 1 g 1 +1 g 1 1 g 1 1 C G ( Im π ). Nän ollen väte seuraa apulauseesta 5.6. Apulause 5.9. Olkoon ryhmällä G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku, projektot π : G G ja nkluusot φ : G G. Tällön kuvaus j φ π on G-endomorfsm, kun j {1, 2,..., n} ja kuvaus n φ π on ryhmän G denttnen automorfsm. Todstus. Apulauseen 5.8 nojalla kuvaus φ π on G-endomorfsm, kun {1, 2,..., n}. Täten j φ π on määrtelty, kun j {1, 2,..., n}. Olkoot g = g 1 g 2 g n ja h = h 1 h 2 h n ryhmän G alkota, mssä h, g G, kun {1, 2,..., n}. Ensnnäkn j φ π (g) = φ 1 π 1 (g)φ 2 π 2 (g) φ j π j (g) = g 1 g 2 g j, kun j {1, 2,..., n}. Nän ollen n φ π (g) = g, joten n φ π = I. Merktään selvyyden vuoks γ = j φ π. Nyt γ(gh) = γ(g 1 g 2 g n h 1 h 2 h n ) = γ(g 1 h 1 g 2 h 2 g n h n ) = g 1 h 1 g 2 h 2 g j h j = g 1 g 2 g j h 1 h 2 h j = γ(g)γ(h). Nän ollen γ on endomorfsm. Lsäks γ on apulauseen 5.6 nojalla G-endomorfsm, sllä Im γ = G 1 G 2 G j G ja γ(g)g 1 = g 1 j+1 g 1 j+2 g 1 n C G (Im γ). Ennen päälausetta osotetaan velä, että epätrvaallle äärellselle ryhmälle ylpäätään on olemassa hajotelma epätrvaalen hajoamattomen normaalen alryhmen suorana tulona. 25
26 Lause Olkoon G jokn epätrvaal äärellnen ryhmä. Tällön on olemassa sellaset epätrvaalt hajoamattomat ryhmän G normaalt alryhmät G 1, G 2,..., G n, että G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku. Todstus. Todstamme vätteen nduktolla ryhmän G alkoden lukumäärän suhteen. Jos G on hajoamaton, nn asetetaan n = 1 ja G 1 = G. Tällön väte on todstettu. Oletetaan nyt, että G on hajoava. Tällön on olemassa ryhmän G epätrvaalt normaalt alryhmät H ja K sten, että G = H K. Tästä seuraa myös, että ryhmät H ja K ovat atoja alryhmä, joten kummankn ryhmän alkoden lukumäärä on penemp kun ryhmän G alkoden lukumäärä. Täten ndukto-oletuksen nojalla on olemassa epätrvaalt ja hajoamattomat ryhmän H normaalt alryhmät G 1, G 2,..., G m ja epätrvaalt ja hajoamattomat ryhmän K normaalt alryhmät G m+1, G m+2,..., G n jolle H = G 1 G 2 G m ja K = G m+1 G m+2 G n. Täten ryhmät G 1, G 2,..., G n ovat epätrvaaleja ja hajoamattoma ryhmän G normaaleja alryhmä ja G = (G 1 G 2 G m ) (G m+1 G m+2 G n ) = G 1 G 2 G n. Nän ollen nduktoperaatteesta seuraa väte. Päälause 5.11 (Krulln, Remakn ja Schmdtn lause). Olkoon G epätrvaal ja äärellnen ryhmä, jonka keskus on trvaal el Z(G) = 1. Oletetaan, että ryhmällä G on hajotelmat G = H 1 H 2 H m = K 1 K 2 K n, mssä luvut m ja n ovat postvsa kokonaslukuja ja ryhmät H 1, H 2,... H m, K 1, K 2,..., K n ovat ryhmän G epätrvaaleja ja hajoamattoma normaaleja alryhmä. Tällön m = n ja on olemassa sellanen uudelleenluettelont, että H = K, kun {1, 2,..., n}. Todstus. Todstetaan väte nduktolla luvun n suhteen. Jos n = 1, nn tällön m = 1 ja H 1 = K 1, sllä ryhmä K 1 on hajoamaton ja ryhmät H 1, H 2,..., H m ovat epätrvaaleja. Oletetaan nyt, että n > 1. Tällön, koska ryhmät K 1, K 2,..., K n ovat epätrvaaleja ja H 1 on hajoamaton, nn myös m > 1. Osotetaan seuraavaks, että jollakn {1, 2,..., n} ryhmen H 1 ja K vällle on löydettävssä njektvnen kuvaus. Olkoon π 1 projekto G H 1, ρ projekto G K ja κ nkluuso K G kaklla {1, 2,..., n}. Olkoon π = π 1 κ = π 1 K 1 : K H 1 26
27 ja ρ = ρ H 1 : H 1 K. Jokanen kuvaus π ρ on apulauseden 5.8 ja 2.36 nojalla ryhmän H 1 G-endomorfsm ja nän ollen myös ryhmän H 1 H 1 -endomorfsm. Apulauseen 5.9 nojalla j κ ρ on ryhmän G G-endomorfsm, kun j {1, 2,..., n}. Nän ollen, apulauseen 2.36 nojalla π 1 ( j κ ρ ) on G-homomorfsm ryhmältä G ryhmälle H 1. Lsäks, koska π 1 on G-homomorfsmna homomorfsm, j π 1 ( κ ρ ) = j π 1 κ ρ = j π ρ. Tämän kuvauksen rajottuma ryhmään H 1 on π ρ, joka on nän ollen ryhmän H 1 G-endomorfsm ja täten myös ryhmän H 1 H 1 -endomorfsm. Olkoon h H 1, tällön h = π 1 (h) = π 1 ((ρ 1 (h))(ρ 2 (h)) (ρ n (h)) = (π 1 ρ 1 (h))(π 1 ρ 2 (h)) (π 1 ρ n (h)) n = (π1 ρ 1 (h))(π 2 ρ 2 (h)) (π n ρ n(h)) = π ρ (h). Nän ollen n π ρ on ryhmän H 1 denttnen automorfsm. Lsäks H 1 on epätrvaal ja hajoamaton. Nän ollen apulauseen 5.5 ehdot täyttyvät ja täten j π ρ Aut H 1, jollakn {1, 2,..., n}. Vodaan olettaa, että luettelont on valttu sten, että π1 ρ 1 Aut H 1, koska suoran tulon tekjät ovat kommutatvsa. Tästä seuraa ertysest, että ρ 1 on njektvnen. Olkoot J = H 2 H m ja Tällön oletuksen nojalla L = K 2 K n. H 1 J = K 1 L. Koska ryhmän G keskus on trvaal, nn apulauseen 4.8 nojalla Z(H 1 ) = Z(J) = Z(K 1 ) = Z(L) = {1}. Koska H 1 ja J ovat ryhmän G normaaleja alryhmä ja J C G (H 1 ) G = H 1 J, 27
28 nn apulauseen 3.16 nojalla C G (H 1 ) = (H 1 C G (H 1 )) J. Apulauseen 4.7 nojalla H 1 C G (H 1 ) = Z(H 1 ) = {1}, joten saadaan edelleen C G (H 1 ) = Z(H 1 ) J = {1} J = J. Täysn samon perusten C G (J) = H 1, C G (K 1 ) = L ja C G (L) = K 1. Koska L = Ker ρ 1 ja ρ 1 on akasemmn osotetun nojalla njektvnen, nn {1} = Ker ρ 1 = H 1 Ker ρ 1 = H 1 L. Täten apulauseen 2.13 nojalla hl = lh, kun h H 1 ja l L. Sspä H 1 C G (L). Nän ollen H 1 K 1 G = H 1 J, ja täten apulauseen 3.16 nojalla K 1 = H 1 (K 1 J). Koska oletuksen nojalla K 1 on hajoamaton ja H 1 {1}, nn on oltava K 1 = H 1. Sspä J = C G (H 1 ) = C G (K 1 ) = L. Täten J = H 2 H m = K 2 K n. Koska Z(J) = {1}, nn ndukto-oletuksen nojalla m = n ja, okealla luettelonnlla, H = K, kun {2,..., m}. Nän ollen nduktoperaatteesta seuraa väte. 28
29 Lähteet [1] Bhattacharya, P. B. & Jan, S. K. & Nagpaul, S. R., Basc Abstract Algebra. 2. panos, Cambrdge Unversty Press, [2] Ee, Mnkng & Chang Shou-Te, A Course on Abstract Algebra. 1. panos, World Scentfc, [3] Nemnen, Vel-Matt, Ryhmen suorat tulot. Tampereen ylopsto, Informaatoteteden ykskkö, Kanddaatn tutkelma, [4] Rose, John S., A Course on Group Theory. 1. panos, Dover, [5] Rotman, Joseph J., An Introducton to the Theory of Groups. 4. panos, Sprnger Verlag, [6] Scott, W.E., Group Theory. 1. panos, Dover,
1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)
Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotPro gradu -tutkielma. Whitneyn upotuslause. Teemu Saksala
Pro gradu -tutkelma Whtneyn upotuslause Teemu Saksala Helsngn ylopsto Matematkan ja tlastoteteen latos 5. maalskuuta 2013 0.1 Johdanto Topologset monstot ovat melenkntosa, koska ne ovat määrtelmänsä nojalla
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotT p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.
Olkoot A R n n ja T R n n sten, että on olemassa ndeks p N jolle T p = Tällästä matrsa kutsutaa nlpotentks Näytä, että () () () Olkoot Määrtä matrs B n (λi + A) n = (λi + T ) n = B = n mn n,p ( ) n λ n
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
LisätiedotTodennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 3.9.2007 Luento Johdanto (krja.-.4) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Hstoraa Lneaarnen optmonttehtävä
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotGalerkin in menetelmä
hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
LisätiedotEräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä
Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä
LisätiedotAB TEKNILLINEN KORKEAKOULU
B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat
LisätiedotTaustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon
Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon liittyvät laskentakaavat ja periaatteet
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 3..209 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon lttyvät laskentakaavat ja peraatteet Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedoton määritelty tarkemmin kohdassa 2.3 ja pi kohdassa 2.2.
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 7.8.08 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotUuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotKanoniset muunnokset
Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja
LisätiedotER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto
Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotSähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi
Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussmulont ja herkkyysanalyys Pekka Nettaanmäk Osmo Schroderus Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 2010 1 2 Tvstelmä Raportn tarkotuksena on esttää pelkstetyn matemaattsen
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotTietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotFDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA
FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotIlmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa
Y m ä r s t ö m n s t e r ö n m o n s t e 122 Ilmanvahdon lämmöntalteenotto lämöhävöden tasauslaskennassa HELINKI 2003 Ymärstömnsterön monste 122 Ymärstömnsterö Asunto- ja rakennusosasto Tatto: Lela Haavasoja
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2009
MOL-Pstetysohjeet Fyskka kevät 9 Tyypllsten vrheden aheuttama pstemenetyksä (6 psteen skaalassa): - pen laskuvrhe -/3 p - laskuvrhe, epämelekäs tulos, vähntään - - vastauksessa yks merktsevä numero lkaa
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot7. Keko. Tarkastellaan vielä yhtä tapaa toteuttaa sivulla 162 määritelty tietotyyppi joukko
7. Keko Tarkastellaan velä yhtä tapaa toteuttaa svulla 6 määrtelty tetotyypp joukko Tällä kertaa emme kutenkaan toteuta normaala operaatovalkomaa, vaan olemme knnostuneta anoastaan kolmesta operaatosta:
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotYrityksen teoria ja sopimukset
Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu
LisätiedotPainokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät
Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
LisätiedotKokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotEräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
Lisätiedot10.5 Jaksolliset suoritukset
4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
Lisätiedot