1 Eksponenttifunktion määritelmä

Transkriptio

1 Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella exp x). Sarja suppeee kaikilla x R, koska se peräkkäiste termie suhteelle o voimassa + /k + )! k / x k k + 0 <. Määritelmä ojalla voidaa heti todeta seuraavat omiaisuudet: exp 0). Fuktio exp o jatkuva ja derivoituva joukossa R ja exp exp. Syy: Potessisarjaa saa suppeemisvälillä derivoida termeittäi; derivoituva futio o jatkuva. Jos x > 0, ii exp x) > xk kaikilla k N. x exp x)/x kaikilla N, ts. x x /exp x) 0 kaikilla N. Ryhdymme seuraavaksi tutkimaa ekspoettifuktio omiaisuuksia. Parissa kohdassa käytämme äärelliste summalausekkeide arvioiissa s. karkeaa arviota: summa itseisarvo o korkeitaa se termie lukumäärä kertaa termie maksimiarvo. Tyypillie esimerkki voisi olla seuraava, jossa imittäjät jätetää kokoaa pois: k k x k { x, jos x, x, jos x. Lause.2 Kaikilla x, y R o voimassa exp x + y) exp x) exp y). Todistus: Biomikaava avulla saadaa 2 x + y) k 2 k ) k x u y k u u u0 2 k u0 x u u! y k u k u)!. Summassa esiityvät ideksit u ja v k u käyvät läpi kaikki e arvot, joissa u 0, v 0 ja u+v k 2. Tällaiset ideksiparit u, v) muodostavat tasossa kolmio, joka kärjet ovat origossa ja pisteissä 0, 2) sekä 2, 0). Tämä kolmio sisältää kaikki hilapisteet u, v) eliössä 0 u, v, ja eliö ulkopuolelle jää korkeitaa summassa esiityvää ideksiparia.

2 v 2 2 u Jaetaa summa tämä perusteella kahtee osaa, jolloi saadaa tulokseksi u0 v0 x u y v u! v! + x u y v u! v! x u u! u> tai v>, u0 0 u+v 2 v0 y v v! + R x, y), missä termi R x, y) koostuu eliö ulkopuolisia summausideksejä vastaavista termeistä. Osoitetaa, että R x, y) 0 kaikilla x, y. Summa R x, y) kussaki termissä o joko u > tai v >, jolloi /u! v!) < /! ja karkealla arviolla saamme ylärajoiksi eri tapauksissa! x 2 y 2, jos x >, y >, R x, y)! x 2, jos x >, y,! y 2, jos x, y >,, jos x, y.! Kaikissa tapauksissa raja-arvoksi tulee olla, ja väite seuraa rajalla yhtälöstä 2 x + y) k x u y v v! + R x, y). u0 Edellise lausee perusteella voidaa todeta uusia ekspoettifuktio omiaisuuksia: v0 Kaikilla x R o voimassa exp x) exp x). exp x) > 0 kaikilla x R. x exp x) 0. Fuktio exp : R R + o aidosti kasvava bijektio. Positiivisuus ja aito kasvavuus ovat sarjakehitelmä perusteella voimassa arvoilla x 0 ja tapauksessa x < 0 e palautuvat positiivisii muuttuja arvoihi yhtälö exp x) exp x) 2

3 perusteella. Tämä yhtälö avulla perustellaa myös raja-arvoa koskeva omiaisuus, ja viimeie väite seuraa yhdistelemällä äitä. Seuraavaksi johdamme ekspoettifuktiolle esitykse raja-arvoa. Lause.3 Kaikilla x R o voimassa exp x) + x ). Todistus: Etukätee ei ole selvää, että oikea puole raja-arvo o olemassa, mutta tämä sisältyy todistuksee. Oletetaa aluksi, että x 0, ja lasketaa. potessi auki käyttämällä biomikaavaa: + x ) Tämä perusteella ) x ) k k! k k)! k xk ) 2)... k + ) + + k k k ) 2 + x ) )... k exp x) ) x k. ) kaikilla. Tulos osoittaa, että vasemma puole luvuista muodostettu joo o ylhäältä rajoitettu. Koska kaikki summa termit ovat positiivisia ja koska j/ + ) > j/ arvoilla j k, ii yhtälö ) perusteella tämä joo myös ouseva. Kyseie joo o siis suppeeva, ja saamme epäyhtälö + x ) exp x). Arvio vastakkaisee suutaa saadaa myös yhtälöstä ) seuraavalla tavalla. Valitaa aluksi kiiteä luku m ja katkaistaa oikea puoleie summa kohdasta k m, jolloi saadaa + x ) + m k Aetaa, jolloi saadaa epäyhtälö ) 2 )... k ) x k. + x ) m. Tämä o voimassa kaikilla m, jote atamalla lopuksi m saadaa vaadittu vastakkaie epäyhtälö. 3

4 Väite o siis todistettu tapauksessa x 0. Tapauksessa x < 0 toimitaa seuraavalla tavalla. Sijoittamalla x x 2 / yhtälöö ) saadaa ) x2 ku > x 2. Tästä seuraa, että k x 2k k ) x 2 k x2 / x 2 /, k ) x2 kaikilla x R. Koska + x ) x ) ) x2, ii arvoilla x < 0 saadaa + x ) x ) exp x) todistukse alkuosa ja aikaisempie tuloste ojalla. Väite o yt kokoaa todistettu. Määritelmä.4 Neperi luku o e exp ) +. ) exp x) Ekspoettifuktio likiarvoja voidaa laskea sarjakehitelmä avulla, mutta sitä varte o tuettava arvio sarja suppeemise opeudelle. Jos t, ii + t)! + ) + )... + )! + ) t!, jote tapauksessa x > 0 saadaa geometrise sarja avulla arvio 0 < exp x) k+ x! x + + x)!. t x t + ) x x/ + ) t! x + Tapauksessa x virhetermi o korkeitaa /!), joka arvolla 9 o alle /0 6. Vastaava likiarvo o e 2,7828. Negatiivisilla muuttuja x arvoilla likiarvoja o parasta laskea kaava exp x) /exp x) avulla. Lause.5 Kaikilla ratioaaliluvuilla r Q ja kaikilla x R o voimassa exp x)) r exp rx). 4

5 Todistus: Käytämme hyväksi ekspoettifuktio esitystä raja-arvoa. Olkoo aluksi r p/q > 0. Tällöi + x ) ) p/q + px/q ) p/q. p/q Tässä vasemma puole raja-arvo o exp x)) p/q fuktio t t p/q jatkuvuude perusteella. Oikealla puolella aetaa muodossa mq, jolloi myös m. Koska osajoo raja-arvo o sama kui alkuperäise joo, ii oikealta puolelta saadaa raja-arvoksi m + px/q pm ) pm exp px/q). Väite o siis todistettu positiivisille ekspoeteille r Q. Tapaus r 0 o selvä, ja tapaus r < 0 palautuu jällee positiivisee ekspoettii yhtälö perusteella. exp x)) r exp x) r exp rx) exp rx) 2 Logaritmi Koska exp : R 0, ) o aidosti kasvava bijektio, iis sillä o kääteisfuktio. Kääteisfuktiolle käytettää imitystä luoollie logaritmi, ja sitä merkitää l: 0, ) R, lx) exp x). Ekspoettifuktio omiaisuuksista seuraa lyhyillä laskuilla seuraavat logaritmifuktio omiaisuudet: l lexp 0)) 0 ja l e lexp )). D lx) /x, ku x > 0. Yleisemmi D l x /x, ku x 0. lxy) l x + l y, ku x > 0 ja y > 0. l/x) l x, ku x > 0. la r ) r l a kaikilla a > 0 ja r Q. x l x, x 0+ l x. x x l x 0 eli x x / l x, jos N. x 0+ x l x 0, jos N. 5

6 Tässä vaiheessa o syytä huomauttaa siitä, että ekspoettilauseke a b o aikaisemmi määritelty aioastaa positiivisille reaaliluvuille a ja ratioaalisille ekspoeteille b. Esimerkiksi tapauksessa b π 3,4 voimme tietysti valita ratioaalisia approksimaatioita b luvulle π ja todeta laskime avulla, että luvut a b äyttävät lähestyvä yksikäsitteistä reaalilukua, ku b π. Tämä perustuu kuiteki vai kokeilu atamaa tuloksee, eikä se kelpaa ekspoettilausekkee a b määritelmäksi. Se vuoksi määrittelemme lausekkee a b yleisessä tapauksessa ekspoettifuktio avulla. Määritelmä 2. Olkoot a > 0 ja b R reaalilukuja. Tällöi määritellää a b exp b l a). Jos r Q, ii a r o määritelty jo alkeellisillaki meetelmillä, mutta molemmat tavat atavat sama tulokse yhtälö exp r l a) exp la r )) a r ojalla. Logaritmifuktio kohdalla määritelmä johtaa kaavaa la b ) b l a, joka o yt voimassa kaikilla a > 0 ja b R. Lause 2.2 Kaikilla x R o voimassa exp x) e x. Todistus: Määritelmä mukaa e x exp x l e) exp x). Määritelmä ja ekspoettifuktio omiaisuuksie avulla saadaa lopulta yleiset potessilausekkeide laskusääöt ku a > 0 ja b, c R. a b ) c a bc, a b a c a b+c, a b a b 6