k S P[ X µ kσ] 1 k 2.

Transkriptio

1 HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan kannata huolestua, jos niiden kanssa on tekemistä ja jos ne eivät heti avaudu. Nämä syventävät paljon Todennäköisyyslaskenta IIa -kurssin ajatuksia ja ensi viikolla palaamme taas helpompiin asioihin. Eli älä huolestu vaan vinkkejä kannattaa kysyä lisää.. Ajatellaan, että meillä on 9 kokonaislukua, joiden keskiarvo on 5 ja neliöiden keskiarvo on 26. Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka ptnf f X määräytyy näiden lukujen avulla seuraavasti: jos luku k esiintyy n k kertaa, niin f X (k) n k /9. Laske EX ja var X sekä laske Tšebyševin epäyhtälön avulla yläraja-arvio todennäköisyydelle P(X 8). Kuinka paljon lukuja 3, 4, 5, 6 ja 7 on vähintään? Ratkaisu: X on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka äärellinen arvojoukko on niiden kokonaislukujen joukko, jotka esiintyvät näiden 9 luvun joukossa vähintään kerran, sillä muilla kokonaisluvuilla n k ja siten f X (k) P(X k). Merkitään tätä arvojoukkoa S :llä. Tehtävänannosta saadaan, että näiden 9 luvun keskiarvo on 5. Siispä jos luku k S esiintyy n k kertaa, niin kn k 5. 9 Koska X on diskreetti satunnaismuuttuja äärellisellä arvojoukolla, sen odotusarvo on EX kf X (k) k n k 9 kn k 5. 9 Lisäksi tehtävänannosta saadaan, että näiden 9 luvun neliöiden keskiarvo on 26, eli k 2 n k Satunnaismuuttujan X varianssin laskemiseksi on laskettava toinen momentti EX 2. Diskreetille satunnaismuuttujalle tämä saadaan EX 2 k 2 f X (k) k 2 n k 9 k 2 n k Satunnaismuuttujan X varianssiksi saadaan siten var X EX 2 (EX) Arvioidaan todennäköisyyttä P[X 8]. Merkitään µ EX ja σ 2 var X. Nyt µ 5 ja σ 2. Tšebyševin epäyhtälö sanoo, että kaikilla k > pätee P[ X µ kσ] k 2. Arvioidaan kysyttyä todennäköisyyttä ensin siten, että se saadaan muotoon, jossa voidaan hyödyntää Tšebyševin epäyhtälöä. Saadaan P[X 8] P[X 8] + P[X 2] P[ X 5 3],

2 jolloin P[X 8] P[ X µ 3] P[ X µ 3 ] Tšebyšev 3 2 9, joka on nyt yläraja-arvio todennäköisyydelle P[X 8]. Koska tämä on yhtä lailla yläraja-arvio myös todennäköisyydelle P[ X 5 3], niin luvusta 5 vähintään kolmen verran poikkeavia arvoja (eli seiskaa suurempia tai kolmosta pienempiä lukuja) on korkeintaan 9 9. Tällöin kysyttyjä lukuja, eli tähän väliin jääviä lukuja on oltava vähintään Olkoon X > sellainen satunnaismuuttuja, että odotusarvot EX 4, E(/X 4 ) ja E 3 X ovat kaikki reaalilukuja. Mitä voit sanoa Jensenin epäyhtälön avulla a) lukujen /EX 4 ja E(/X 4 ) suuruusjärjestyksestä, ja b) lukujen 3 EX ja E( 3 X) suuruusjärjestyksestä? c) Laske edellä kerrotut neljä suuretta (tai niiden likiarvot), kun X :llä on välin (, 2) tasajakauma, ja tarkista tällä tavalla, että sait edellä järkeiltyä suuruusjärjestyksen oikein päin. Ratkaisu: Määritellään funktiot g(, ) R ja h(, ) R : g(x) x 3 x x 3. ja h(x) a) Nyt g (x) x 2 ja g (x) 2 x 3 > x >, joten lauseen 6.5 nojalla g on konveksi funktio. Merkitään Y X 4. Nyt koska g on konveksi ja EY EX 4 sekä Eg(Y ) E(/X 4 ) ovat olemassa, niin Jensenin epäyhtälön nojalla EX ( ) 4 EY g(ey ) Eg(Y ) E. X 4 b) Nyt h (x) 3 x 2/3 ja h (x) 2 9 x 5/3 > x >, joten lauseen 6.5 nojalla h on konveksi funktio. Koska EX 4 on olemassa, niin myös EX on olemassa. Lisäksi tehtävänannosta tiedetään, että E 3 X on olemassa. Koska h on konveksi funktio, niin Jensenin epäyhtälön nojalla 3 EX h(ex) Eh(X) E( 3 X) E 3 X, mistä seuraa, että 3 EX E 3 X. c) X noudattaa välin (,2) tasajakaumaa, jolloin f X (x) {<x<2}. Nyt jolloin Lisäksi EX 4 2 ( ) 2 E X 4 x dx 4 x 4 dx 2/ EX x5 3 5, 2/ 3 x ,

3 eli nähdään, että EX 4 < E ( X 4 ), kuten pitääkin. Lasketaan vielä jolloin Lasketaan vielä EX , 3 EX E ( 3 X ) 2 3 x dx 2/ 3x 3 x , joten 3 EX > E ( 3 X ), kuten pitääkin. 3. Näytä luentojen lauseesta 6.4. puolet, eli että jos g on konveksi välillä I, niin g(b) g(a) b a g(c) g(b) c b aina kun a < b < c ovat välin I alkioita. Toimi seuraavasti: etsi sellainen λ (, ), että b λa + ( λ)c. Sovella sitten konveksisuuden määritelmää kun x a, y c ja kun λ on äsken saamasi λ. Järjestele termit (mahdollisesti lisäämällä ja vähentämällä termejä) kunnes saat yllä olevan epäyhtälön. Piirrä myös kuva ja selitä erotusosamäärät geometrisesti. Ratkaisu: Olkoon g konveksi välillä I R ja a < b < c välin I alkioita. Noudatetaan tehtävänannon ohjetta ja huomataan, että b c b ( a + c b ) c. c a c a }{{}}{{} λ λ Nyt konveksisuuden määritelmän nojalla ( c b g(b) g c a a + b a ) c a c c b c a g(a) + b a c a g(c). Näin ollen saadaan (c a)g(b) (c b)g(a) + (b a)g(c) cg(b) ag(b) cg(a) bg(a) + bg(c) ag(c) cg(b) cg(a) + bg(a) ag(b) ag(c) + bg(c) cg(b) cg(a) + bg(a) bg(b) ag(b) ag(c) + bg(c) bg(b) (c b)[g(b) g(a)] (b a)[g(c) g(b)] g(b) g(a) b a g(c) g(b). c b Erotusosamäärää voi geometrisesti ajatella funktion kuvaajan kahden pisteen välille piirretyn sekantin kulmakertoimena. Alla olevassa kuvassa punaisen sekantin kulmakerroin olisi ja sinisen g(c) g(b). Jos g on konveksi ja a < b < c, niin si- g(b) g(a) b a c b nisen sekantin kulmakerroin on aina vähintään punaisen kulmakerroin, olipa pisteet a < b < c valittu miten tahansa.

4 4. Mitkä seuraavista funktioista on konvekseja koko R:ssä? Kerro myös millä seuraavista voit ja millä et voi perustella vastaustasi: käyttämällä Lausetta 6.4, Lausetta 6.5 a) ja/tai Lausetta 6.5 b)? a) f(x) 7x 8 28x b) f(x) x 7/3 + c) f(x) x 6 { x > } d) f(x) cos(2x) Ratkaisu: a) Funktio f : R R, f(x) 7x 8 28x on konveksi, sillä se on polynomifunktiona kahdesti derivoituva koko R:ssä ja f (x) 36x 7 28 ja f (x) 952x 6 > x R. Perusteluna siis lauseen 6.5 b-kohta. Luonnollisesti myös lauseen a-kohta kävisi perusteluksi, sillä f on jatkuvasti derivoituva koko R:ssä ja f :n derivaatta on kasvava koko R:ssä. Koska lause 6.4 pätee "molempiin suuntiin"ja f on konveksi, niin lauseen 6.4 epäyhtälön on oltava tosi f :lle kaikilla a < b < c R ja konveksisuuden voisi perustella myös sitä käyttäen. b) Funktio f : R R, f(x) x 7/3 + on konveksi. Se on derivoituva kaikilla avoimilla väleillä I R. Lisäksi derivaatta f (x) 7 3 x 3 x on jatkuva ja kasvava koko R:ssä. Siten lauseen 6.5 a-kohdan nojalla funktio on konveksi. Lauseen 6.5 b-kohtaa olisi myös voinut käyttää perusteluna, sillä funktio on kahdesti derivoituva ja toinen derivaatta on vähintään kaikilla x R. Myös lause 6.4 olisi käynyt kuten edellisessä kohdassa todettiin. c) Funktio f : R R, f(x) x 6 { x > } on konveksi lauseen 6.5 a-kohdan nojalla, sillä se on jatkuvasti derivoituva ja derivaatta f (x) 6x 5 { x > } on kasvava koko R:ssä. Koska funktio on konveksi, myös lause 6.4 olisi käynyt perusteluksi kuten edellisissä kohdissa. Myös lauseen 6.5 b-kohtaa olisi voinut

5 käyttää perusteluna, sillä funktio on kahdesti derivoituva ja toinen derivaatta on vähintään kaikilla x R. d) Funktio f : R R, f(x) cos(2x) ei ole konveksi, sillä valitsemalla a, b ja c saadaan f(b) f(a) b a cos() cos( 2) ( ) > cos(2) cos() f(c) f(b). c b cos() cos( 2) cos(2) cos() Lauseen 6.4 mukaan f olisi konveksi, jos ja vain jos epäyhtälö pätisi kaikilla a < b < c R. Nyt näin ei ole, joten f ei ole konveksi. Lauseella 6.5 ei voi perustella sitä, että funktio ei ole konveksi, sillä kyseinen lause on muotoa: "jos ehto, niin konveksi". Lause 6.5 ei näin ollen kerro konveksisuudesta tilanteessa, jossa lauseen ehto ei päde. 5. Osa Lauseen 6.9. todistuksesta. Oletetaan, että X :n momenttiemäfunktio on äärellinen t < h. a) Päättele Cauchyn Schwarzin epäyhtälön avulla, että kunhan t < h. (EXe tx ) 2 E(X 2 e tx )Ee tx b) Oletetaan, että tiedämme, että momenttiemäfunktiota voi derivoida odotusarvon sisällä (kuten Luvun 4 kalvoissa sivulla 47), kunhan t < h. Päättele a)-kohdan ja momenttiemäfunktiota derivoimalla, että kumulanttiemäfunktion toinen derivaatta K (t), kun t < h. c) Selitä b)-kohdan avulla, miksi kumulanttiemäfunktio K on konveksi välillä ( h, h). Ratkaisu: (a) Todetaan, että Xe tx Xe 2 tx e 2 tx, jolloin lauseen 4.4 ja Cauchyn-Schwarzin epäyhtälön avulla voidaan päätellä, että ( (EXe tx ) 2 EXe tx 2 L 4.4 (E Xe tx C-S ey. 2 ) E ( Xe tx) 2 2 E ( ) 2 e tx) 2 2 E ( Xe 2 tx) 2 E ( e 2 tx) 2 E(X 2 e tx )Ee tx (b) Momenttiemäfunktio M X (t) Ee tx. Nyt jos tiedämme, että momenttiemäfunktiota voi derivoida odotusarvon sisällä, kunhan t < h, niin M X(t) E t etx EXe tx ja M X(t) E t XetX E ( X 2 e tx).

6 Nyt kumulanttiemäfunktion ensimmäinen derivaatta K X(t) M X (t) M X (t), jolloin osamäärän derivoimissäännöllä saadaan toinen derivaatta K X(t) M X(t)M X (t) (M X (t)) 2 EX2 e tx Ee tx (EXe tx ) 2 (M X (t)) 2 (Ee tx ) 2 Koska a-kohdan perusteella tiedetään, että (EXe tx ) 2 E(X 2 e tx )Ee tx, eli E(X 2 e tx )Ee tx (EXe tx ) 2, niin nyt K X(t), kun t < h. (c) Koska K X(t), kun t < h, eli kun h < t < h, niin lauseen 6.5 nojalla K on konveksi tällä välillä. 6. Olkoon satunnaismuuttujilla X ja Y jatkuva yhteisjakauma tiheysfunktiolla Laske seuraavat todennäköisyydet: a) P(Y < X 2 ), b) P(Y 2 < X < Y ). Ratkaisu: 2x kun x, y, f(x, y) muutoin. (a) Määritelmän 7. ja lauseen 7. nojalla P(Y < X 2 ) {Y <X 2 } 2x 3 dx f X,Y (x, y) d(x, y) / 2 x4 2. ( x 2 2x dy ) / x 2 dx 2xy dx (b) P(Y 2 < X < Y ) {Y 2 <X<Y } y/ x 2 y 2 f X,Y (x, y) d(x, y) dy ( y y 2 y 4 dy ) 2x dx dy y 2 / 3 y3 5 y