1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit
|
|
- Tuomo Pääkkönen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Tlastolle mall, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Yhtesjakauma.. Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat: Odotusarvot ja varasst Artmeette keskarvo, Havato, Havatoarvo, Keskvrhe, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otoskeskhajota, Otostuusluku, Otosvarass, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Stadardot, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.3. Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat: Otos ormaaljakaumasta Artmeette keskarvo, Havato, Havatoarvo, -jakauma, Momettemäfukto, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Otosvarass, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasmuuttuje muuokset, Satuasotos, Stadardot, t-jakauma, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.4. Artmeettse keskarvo otosjakauma: Suurte otoste tuloksa Approksmatve jakauma, Artmeette keskarvo, Asymptootte jakauma, Havato, Havatoarvo, Jakaumakovergess, Keskee raja-arvolause, Momettemäfukto, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Otosvarass, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasmuuttuje summa, Satuasotos, Stadardot, Stokaste kovergess, Suurte lukuje lak, Taylor sarja, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.5. Suhteellse frekvess otosjakauma Approksmatve jakauma, Artmeette keskarvo, Asymptootte jakauma, Beroulljakauma, Bomjakauma, Havato, Havatoarvo, Jakaumakovergess, Keskee raja-arvolause, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Stadardot, Stokaste kovergess, Suurte lukuje lak, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.6. Järjestystuusluvut Bomjakauma, Dskreett jakauma, Havato, Havatoarvo, Jatkuva jakauma, Järjestetty otos, Järjestystuusluku, Kertymäfukto, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Theysfukto, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.7. Delta-meetelmä Approksmatve jakauma, Asymptootte jakauma, Delta-meetelmä, Havato, Havatoarvo, Jakaumakovergess, Keskee raja-arvolause, Muuos, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Slutsky lause, Stokaste kovergess, Suurte lukuje lak, Taylor sarja, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Ilkka Mell (00) /36
2 Tlastolle päättely. Ilkka Mell (00) /36
3 Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Satuasotos Olkoot,,, rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o ss sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x) Tällö saomme, että satuasmuuttujat,,, muodostavat (ykskertase) satuasotokse jakaumasta f(x) ja kutsumme satuasmuuttuja,,, havaoks. Oletetaa, että satuasmuuttujat,,, saavat otaa tuloksea havatuks arvoksee havatoarvot x, x,, x Merktää tätä seuraavalla tavalla: Huomautuksa: () Jos satuasmuuttujat = x, = x,, = x,,, muodostavat satuasotokse jakaumasta f(x), de havatut arvot () () (v) x, x,, x o saatu tostamalla tosstaa rppumattoma arvotoja kertaa samo, jakaumasta f(x) saatav todeäkösyyks. Satuasmuuttuje,,, havatut arvot x, x,, x ovat ktetä el esatuasa, mutta e vahtelevat tosstaa rppumatta ja satuasest otoksesta tosee. Satuasuus otoksessa lttyy ss she, mte havatoarvot vahtelevat otoksesta tosee. Satuasuus e ss lty otaa tuloksea saatuh havatoarvoh (jotka ovat ktetä lukuja!), vaa otokse Ilkka Mell (00) 3/36
4 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Ykskertase satuasotokse tlastolle mall Olkoo,,, satuasotos satuasmuuttuja jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Tällö satuasmuuttuje,,, yhtesjakauma muodostaa tlastollse mall havatoarvoje satuaselle vahtelulle otoksesta tosee. Koska satuasmuuttujat,,, o tässä oletettu rppumattomks, satuasmuuttuje,,, yhtesjakauma saadaa satuasmuuttuje,,, reuajakaume tuloa: jossa f ( x, x,, x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ),,,, Otostuusluvut Olkoo,,, satuasotos satuasmuuttuja jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Tällö havaot,,, ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x): Olkoo,,, f ( x),,,, T = g(,,, ) jok satuasmuuttuje,,, (mtalle) fukto. Tällö satuasmuuttujaa T kutsutaa (otos-) tuusluvuks. Oletetaa, että satuasmuuttujat,,, saavat otaa tuloksea havatuks arvoksee havatoarvot x, x,, x : Tällö tuusluku = x, = x,, = x T = g(,,, ) saa havatuks arvoksee t fukto g arvo psteessä (x, x,, x ): t = g(x, x,, x ) Tuusluku T o satuasmuuttuje,,, fuktoa satuasmuuttuja. Tuusluvu T jakaumaa kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaks. Tuusluvu T otosjakauma muodostaa tlastollse mall tuusluvu T havattuje arvoje satuaselle vahtelulle otoksesta Ilkka Mell (00) 4/36
5 Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat: Odotusarvot ja varasst Satuasotos Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Tällö havaot,,, ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jode odotusarvo o ja varass o :,,, E( ),,,, Var( ),,,, Artmeette keskarvo Määrtellää havatoje,,, artmeette keskarvo kaavalla Artmeette keskarvo kuvaa havatoarvoje keskmäärästä arvoa. Artmeette keskarvo o satuasmuuttuje,,, fuktoa satuasmuuttuja, joka arvo vahtelee satuasest otoksesta tosee. Otosvarass Määrtellää havatoje,,, otosvarass kaavalla jossa s ( ) o havatoje,,, artmeette keskarvo. Otosvarass kuvaa havatoarvoje vahtelua de artmeettse keskarvo ympärllä. Otosvarass o satuasmuuttuje,,, fuktoa satuasmuuttuja, joka arvo vahtelee satuasest otoksesta tosee. Otosvarass kaava vodaa krjottaa myös muotoh Ilkka Mell (00) 5/36
6 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Perustelu: s ( ) ( ) Otoskeskhajota Määrtellää havatoje,,, (otos-) keskhajota kaavalla s ( ) Otoskeskhajota kuvaa havatoarvoje vahtelua de artmeettse keskarvo ympärllä. Otoskeskhajota o satuasmuuttuje,,, fuktoa satuasmuuttuja, joka arvo vahtelee satuasest otoksesta tosee. Huomaa, että havatoarvoje otoskeskhajota o mtattu samossa ykskössä ku de artmeette keskarvo tos ku havatoarvoje otosvarass, joka mttaykskköä o havatoarvoje mttaykskö elö. Artmeettse keskarvo odotusarvo ja varass Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Tällö havatoje,,, artmeettse keskarvo odotusarvo o ja varass o E( ) Var( ) D ( Ilkka Mell (00) 6/36
7 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Perustelu: Olkoot,,, rppumattoma satuasmuuttuja, jolle Tällö ja Huomautuksa: () () Yhtälö E( ),,,, Var( ),,,, E( ) E E( ) Var( ) Var Var( ) Havatoje rppumattomuus E( ) pätee, vakka havaot,,, evät ols rppumattoma, koska summa odotusarvo o aa summa tekjöde odotusarvoje summa. Se sjaa yhtälö Var( ) todstamsessa joudutaa vetoamaa she, että rppumattomlle satuasmuuttujlle pätee se, että summa varass o summa tekjöde varasse summa. Artmeettse keskarvo stadardpokkeamaa D( Ilkka Mell (00) 7/36
8 Tlastolle päättely. Otosjakaumat kutsutaa use keskarvo keskvrheeks ja se kuvaa artmeettse keskarvo otosvahtelua oma odotusarvosa ympärllä. Stadardodu artmeettse keskarvo odotusarvo ja varass Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o, jollo havatoje,,, artmeettse keskarvo odotusarvo o ja varass o E( ) Var( ) D ( ) Tällö stadardodu satuasmuuttuja Z odotusarvo ja varass ovat E( ) D( ) E( Z) 0 Var( Z) Otosvarass odotusarvo ja varass Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o, varass o ja 4. keskusmomett o 4. Tällö havatoje,,, otosvarass odotusarvo o ja varass o s ( ) E( s ) 3 4 Var( s ) 4 Suurlle pätee approksmatvsest 4 Var( s ) a ( 4 Ilkka Mell (00) 8/36
9 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Jos lsäks vodaa olettaa, että havaot,,, ovat ormaaljakautueta, 4 Var( s ) Perustelu: Todstamme tässä va otosvarass odotusarvoa koskeva tulokse. Olkoot,,, rppumattoma satuasmuuttuja, jolle Todetaa es, että E( ),,,, Var( ),,,, koska ja Ste ( ) [( ) ( )] s ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) s ( ) ( ) 0 E( s ) E ( ) E ( ) E ( ) ( ) E( ) E( ) ( Ilkka Mell (00) 9/36
10 Tlastolle päättely. Otosjakaumat koska ja E( ) Var( ),,,, E( ) Var( ).3. Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat: Otos ormaaljakaumasta Artmeettse keskarvo otosjakauma, ku otos o ormaaljakautuut Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö havatoje,,, artmeette keskarvo oudattaa ormaaljakaumaa N(, /): Perustelu: N, Olkoot,,, rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jolle E( ),,,, Var( ),,,, Edellä o todettu, että lma ormaalsuusoletustak pätee E( ) Var( ) D ( ) Lausee todstamseks ptää ss äyttää, että satuasmuuttuje,,, artmeettse keskarvo jakauma o ormaaljakauma. Käytämme todstamsessa hyväks ormaaljakauma momettemäfuktota. Jos N(, ) satuasmuuttuja momettemäfukto o m t e t t t ( ) E( ) exp( Ilkka Mell (00) 0/36
11 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Momettemäfukto ylesstä omasuukssta seuraa, että rppumattome ja samo jakautuede satuasmuuttuje,,, artmeettse keskarvo momettemäfukto o muotoa m ( t) [ m( t / )] jossa m(t) o satuasmuuttuje,,, momettemäfukto. Ste rppumattome samaa ormaaljakaumaa N(, ) oudattave satuasmuuttuje momettemäfuktoks saadaa m ( t) [ m( t / )] [exp( ( t / ) ( t / ) )] [exp( ( t / ( t / ) ))] [exp( t ( / ) t )] mkä o ormaaljakauma N(, /) momettemäfukto. Ste N, Stadardodu artmeettse keskarvo otosjakauma, ku otos o ormaaljakautuut Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ), jollo havatoje,,, artmeette keskarvo oudattaa ormaaljakaumaa N(, /): N, Tällö stadardotu satuasmuuttuja Z E( ) D( ) oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): Z N(0,) Otosvarass otosjakauma, ku otos o ormaaljakautuut Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö satuasmuuttuja Ilkka Mell (00) /36
12 Tlastolle päättely. Otosjakaumat oudattaa -jakaumaa vapausaste : Perustelu: Y ( ) Olkoot,,, rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jolle E( ),,,, Var( ),,,, Määrtellää satuasmuuttuja Y kaavalla Y Koska havaot,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(, ), stadardodut satuasmuuttujat Y,,,, ovat rppumattoma ja oudattavat stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): Y N(0,), 0,,,, Ste satuasmuuttuja Y o rppumattome, stadardotua ormaaljakaumaa N(0,) oudattave satuasmuuttuje Y, =,,, elösumma: Y Y Suoraa -jakauma määrtelmästä seuraa, että satuasmuuttuja Y oudattaa -jakaumaa vapausaste : Y ( ) Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö satuasmuuttuja V ( ) s oudattaa -jakaumaa vapausaste ( ): Perustelu: V ( ) Olkoot,,, rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jolle E( ),,,, Var( Ilkka Mell (00) /36
13 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Määrtellää satuasmuuttuja V kaavalla V Satuasmuuttujat ( ) s U,,,, evät ole rppumattoma, koska U 0 Vodaa kutek osottaa, että satuasmuuttuja V vodaa esttää rppumattome, stadardotua ormaaljakaumaa N(0,) oudattave satuasmuuttuje V, =,,, elösummaa (ks. alla estettyä perustelua ormaaljakautuee otokse artmeettse keskarvo ja otosvarass rppumattomuudelle): V V Suoraa -jakauma määrtelmästä seuraa, että satuasmuuttuja V oudattaa -jakaumaa vapausaste ( ): Huomautuksa: () Satuasmuuttuja Y ( ) () () Y oudattaa -jakaumaa, joka vapausastede lukumäärä o sama ku havatoje lukumäärä. Ku satuasmuuttujasta Y srrytää satuasmuuttujaa V meetetää yks vapausaste. ( ) s Yhde vapausastee meetys o seurausta stä, että ku rppumattomsta satuasmuuttujsta Y,,,, srrytää Ilkka Mell (00) 3/36
14 Tlastolle päättely. Otosjakaumat U,,,, korvaamalla odotusarvoparametr estmaattorllaa, sytyy yks (leaare) sde-ehto (v) U 0 Oletukset havatoje rppumattomuudesta ja samasta jakaumasta ovat välttämättömä otosvarass eksakta el tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. Artmeettse keskarvo ja otosvarass rppumattomuus Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ) ja olkoo havatoje,,, artmeette keskarvo ja otosvarass Tällö s ( ) N, V Lsäks ja s ovat rppumattoma ja Perustelu: t ( ) s t( ) s / ( ) Olkoot,,, rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jolle E( ),,,, Var( ),,,, Olkoot havatoje,,, artmeette keskarvo ja otosvarass s ( Ilkka Mell (00) 4/36
15 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Otokse,,, yhtesjakauma theysfukto vodaa krjottaa havatoje rppumattomuude ja ormaalsuude taka seuraavaa muotoo: f ( x, x,, x ) ( ) exp ( x ) Määrtellää leaarmuuos Y 3 Y Y Y ( ) ( ) ( ) 3 ( ) Muuos vodaa esttää matrse muodossa jossa ja -matrs Y B Y ( Y, Y,, Y ) (,,, ) B o ortogoaale: ( ) ( ) ( ) ( ) B B = BB = I Matrs B ähdää helpost ortogoaalseks seuraavalla päättelyllä: Määrtellää -matrs C ( ) 0 ( ) O helppo ähdä, että matrs C rvt ovat selväst kohtsuorassa tosaa vastaa. Matrs B saadaa matrssta C ormeeraamalla se rvt, että de ptuudeks Ilkka Mell (00) 5/36
16 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Koska muuos Y B o ortogoaale, muuosta vastaava Jacob determat tsesarvo =. Koska ja Koska Y ( ) Y Y Y YY BB ( ) ( ) ( ) Y Y s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y ( Y ) satuasmuuttuje Y, Y,, Y yhtesjakauma theysfuktoks saadaa f ( y, y,, y ) e ( ) Edellä estetystä seuraa, että satuasmuuttujat Y, Y,, Y ovat rppumattoma ja ormaaljakautueta: Lsäks Y, Y,, Y Y ( Y ) Y Y ( Y ) Y Y e e e N(, ) Y N(0, ),,, jossa Y ( Y ) s Y Ilkka Mell (00) 6/36
17 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Y N(0,),,, Ste olemme todstaeet, että s N, ( ) s Todstetaa velä, että t ( ) t( ) s / Edellä todstetusta artmeettsta keskarvoa koskevasta jakaumatuloksesta seuraa, että Lsäks ja N(0,) / ( ) s s ( ) Suoraa Studet t-jakauma määrtelmästä seuraa, että t / t( ) s / ( ) s.4. Artmeettse keskarvo otosjakauma: Suurte otoste tuloksa Suurte lukuje lak Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Määrtellää havatoje,,, artmeette keskarvo kaavalla Heko suurte lukuje la mukaa satuasmuuttuje,,, artmeettste keskarvoje muodostama joo kovergo havatoje lukumäärä kasvaessa rajatta stokastsest koht satuasmuuttuje yhtestä odotusarvoa Ilkka Mell (00) 7/36
18 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Perustelu: P Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo ja varass o : Olkoo,,, 3 E( ),,,3, Var( ),,,3, satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo. Tshebyshev epäyhtälö mukaa Pr Koska epäyhtälö okea puol 0, ku, Huomautuksa: () () () P Hekko suurte lukuje lak vodaa lmasta sao seuraavast: Samo jakautuede satuasmuuttuje artmeette keskarvo lähestyy muuttuje lukumäärä kasvaessa muuttuje yhtestä odotusarvoa sellasella tavalla, että (suurte) pokkeame todeäkösyys satuasmuuttuje yhtesestä odotusarvosta tulee yhä peemmäks el (suuret) pokkeamat tulevat yhä harvasemmks. Suurte lukuje lakeja vodaa ptää matemaattsea formulota emprse todeäkösyyde kästteesee lttyvälle tlastollse stablteet kästteelle. Suurte lukuje laesta o olemassa ylesempä muotoja, jossa vodaa levetää samojakautuesuus- ja rppumattomuusoletuksa. Keskee raja-arvolause Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Olkoo Y havatoje,,, summa. Summa Y odotusarvo ja varass ovat E( Y ) D ( Y Ilkka Mell (00) 8/36
19 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Stadardodaa summa Y : Z Y E( Y ) Y D( Y ) Aetaa havatoje lukumäärä kasvaa rajatta. Tällö satuasmuuttuja Z jakauma kovergo (jakaumakovergess melessä) koht stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): Y lm Pr z ( z) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0,) kertymäfukto. Merktsemme tätä Z Y a N(0,) ja saomme: Stadardotu satuasmuuttuja Z oudattaa asymptoottsest stadardotua ormaaljakaumaa N(0,). Perustelu: Olkoo,, 3, joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvo o ja varass o :,,, 3 E( ),,,3, Var( ),,,3, Oletetaa, että satuasmuuttuje, =,, 3, momettemäfukto t m( t) E( e ),,,3, o olemassa jossak orgo ympärstössä. Olkoo Y satuasmuuttuje, =,,, summa. Summamuuttuja Y odotusarvo ja varass ovat E( Y ) D ( Y ) Stadardodaa summa Y : Z Y E( Y ) Y D( Y ) Stadardodu satuasmuuttuja Z odotusarvo ja varass ovat E( Z ) 0 Var( Z Ilkka Mell (00) 9/36
20 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Srrytää tarkastelemaa keskstettyjä satuasmuuttuja T,,,3 Satuasmuuttuje T odotusarvo ja varass ovat E( T ) 0,,,3, D ( T ),,,3, Keskstettyje muuttuje T avulla stadardotu muuttuja Z vodaa krjottaa muotoo Y Z ( T T T ) Koska satuasmuuttuje, =,, 3, momettemäfukto o olemassa jossak orgo ympärstössä myös kesktettyje muuttuje T,,,3 momettemäfukto o olemassa jossak orgo ympärstössä. Olkoo m( t) E( e tt ) satuasmuuttuje T, =,, 3, momettemäfukto. Koska rppumattome satuasmuuttuje summa momettemäfukto o summa tekjöde momettemäfuktode tulo, satuasmuuttuja Y Z ( T T T ) momettemäfukto m (t) vodaa esttää muodossa t m ( t) m jossa m(t) o satuasmuuttuje T, =,, 3, momettemäfukto. Satuasmuuttuje T, =,, 3, momettemäfukto m(t) vodaa kehttää jossak pstee t = 0 ympärstössä Taylor sarjaks jossa m t t t t t ( ) ( ) k E( T ), k,,3, k o satuasmuuttuje T, =,, 3, k. orgomomett ja (t) 0, ku t Ilkka Mell (00) 0/36
21 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Koska E( T ) 0,,,3, E( T ) D ( T ),,,3, m t t t t t t t t ( ) ( ) ( ) Sjotetaa satuasmuuttuje T, =,, 3, momettemäfukto m(t) sarjakehtelmä m t t t t ( ) ( ) satuasmuuttuja Y Z ( T T T ) momettemäfukto lausekkeesee t m ( t) m Saamme sjotukse tuloksea lausekkee t t t m ( t) t t t jossa t lm 0 jokaselle kteälle t. Ekspoettfukto omasuukse perusteella Koska t t t m ( t) e t / t / e o stadardodu ormaaljakauma N(0,) momettemäfukto, äemme, että satuasmuuttuje Y Ilkka Mell (00) /36
22 Tlastolle päättely. Otosjakaumat muodostama joo kovergo jakaumaltaa el hekost koht stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): Z Z L N(0,) Huomautuksa: () () () Keskese raja-arvolausee mukaa usea samo jakautuee satuasmuuttuja summa o (tety ehdo) approksmatvsest ormaale (lähes) rppumatta yhteelaskettave jakaumasta. Yhteelaskettave e tarvtse olla edes jatkuva, vaa e vovat olla jopa dskreettejä. Approksmaato hyvyys rppuu yhteelaskettave satuasmuuttuje lukumäärästä, de jakaumasta ja ertysest de jakauma voudesta: Approksmaato hyvyys paraee, ku yhteelaskettave satuasmuuttuje lukumäärä kasvaa. Jos yhteelaskettave satuasmuuttuje jakauma o symmetre (ta lähellä symmetrstä) approksmaato o suhteellse hyvä jo melko pellä yhteelaskettave lukumäärllä. Jos yhteelaskettave satuasmuuttuje jakauma o epäsymmetre, hyvä approksmaato vaat selväst eemmä yhteelaskettava. Keskesestä raja-arvolauseesta o olemassa ylesempä muotoja, jossa vodaa levetää samojakautuesuus- ja rppumattomuusoletuksa. Stadardodu artmeettse keskarvo asymptootte jakauma Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Olkoo Y havatoje,,, summa, jollo havatoje,,, artmeette keskarvo saadaa kaavalla Y Stadardodaa satuasmuuttuja Koska Z Z : E( ) D( ) / Y / keskese raja-arvolausee tulos lmastaa use seuraavassa muodossa: Stadardodu artmeettse keskarvo jakauma kovergo havatoje lukumäärä kasvaessa rajatta koht stadardotua ormaaljakaumaa Ilkka Mell (00) /36
23 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Artmeettse keskarvo approksmatve jakauma Keskese raja-arvolauseesta seuraa, että rppumattome, samo jakautuede satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo o suurlle (mutta äärellslle) havatoje lukumäärlle approksmatvsest ormaale parametre ja /: a N, Huomaa, että tarkast ottae emme sas saoa (kute use tehdää), että artmeette keskarvo o asymptoottsest ormaale parametre ja /, koska artmeettse keskarvo otosjakauma N, lähestyy havatoje lukumäärä kasvaessa rajatta yhde pstee jakaumaa Pr( ).5. Suhteellse frekvess otosjakauma Frekvess ja suhteelle frekvess Olkoo P jok otosavaruude S alkode omasuus. Jos otosavaruude S alkolla x o omasuus P, merktää Olkoo P(x) A x S P( x) de otosavaruude S alkode osajoukko, jolla o omasuus P. Oletetaa, että tapahtuma A todeäkösyys o Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo f de havatoyksköde frekvess, jolla o omasuus P. Tällö f pˆ o vastaava suhteelle frekvess. Frekvess f kuvaa A-tyyppste alkode lukumäärää otoksessa ja vastaava suhteelle frekvess pˆ f / kuvaa A-tyyppste alkode suhteellsta osuutta otoksessa. Sekä frekvess f että vastaava suhteelle frekvess pˆ f / ovat satuasmuuttuja, jode saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta Ilkka Mell (00) 3/36
24 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Frekvess jakauma Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma: ja olkoo A S Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo f A-tyyppste alkode lukumäärä el frekvess otoksessa. Tällö tapahtuma A frekvess f oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: f B(, p) Bomjakauma omasuukse perusteella satuasmuuttuja f odotusarvo ja varass ovat jossa q = p. Perustelu: E( f ) p Var( ) D ( ) f f pq Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma A c (tapahtuma A e satu) todeäkösyys o Pr(A c ) = Pr(A) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttuja :, jos tapahtuma A sattuu 0, jos tapahtuma A e satu Tällö satuasmuuttuja jakauma o Pr( ) p Pr( 0) p q Määrtelmä mukaa satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametraa p: Beroull( p) O helppo ähdä, että E( ) p Var( ) D ( ) pq Tostetaa samaa Beroull-koetta kertaa, jossa o kteä, etukätee päätetty luku. Oletetaa, että koetostot ovat rppumattoma ja tarkkallaa tapahtuma A sattumsta koetostoje Ilkka Mell (00) 4/36
25 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Oletetaa, että Pr(A) = p Pr(A c ) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttujat, =,,, : Tällö, jos tapahtuma A sattuu kokeessa 0, jos tapahtuma A e satu kokeessa Beroull( p),,,, Lsäks satuasmuuttujat, =,,, ovat rppumattoma:,,, Määrtellää dskreett satuasmuuttuja f : f = Tapahtuma A frekvess -kertasessa Beroull-kokeessa Suoraa bomjakauma määrtelmä mukaa frekvess f oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: Selväst f B(, p) f koska luku estyy summassa f = täsmällee yhtä mota kertaa ku tapahtuma A sattuu koetostoje akaa. Tämä merktsee stä, että bomjakautuut satuasmuuttuja vodaa aa esttää rppumattome Beroull-jakautuede satuasmuuttuje summaa. Koska satuasmuuttuje summa odotusarvo o aa satuasmuuttuje odotusarvoje summa, frekvess f = odotusarvo o E( f ) E E( ) p p Koska rppumattome satuasmuuttuje summa varass o satuasmuuttuje varasse summa, frekvess f = varass o pq pq D ( ) D D ( ) Suhteellse frekvess odotusarvo ja varass Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma: A Ilkka Mell (00) 5/36
26 Tlastolle päättely. Otosjakaumat ja olkoo Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo f A-tyyppste alkode lukumäärä el frekvess otoksessa. Tällö tapahtuma A suhteellse frekvess pˆ f / odotusarvo ja varass ovat jossa q = p. Perustelu: E( pˆ ) p ˆ Var( p) D ( p) ˆ pq Suhteellse frekvess pˆ f / odotusarvo ja varass saadaa suoraa frekvess f odotusarvoa ja varassa koskevsta tulokssta satuasmuuttuja odotusarvo ja varass yleste omasuukse perusteella: Suhteellse frekvess pˆ f / f E( pˆ ) E E( f ) p p f pq Var( pˆ ) Var Var( f ) pq D( pˆ ) pq stadardpokkeamaa kutsutaa tavallsest suhteellse frekvess keskvrheeks ja se kuvaa suhteellse frekvess otosvahtelua oma odotusarvosa p ympärllä. Koska suhteellse frekvess pˆ f / ja varass o E( pˆ ) p pq Var( pˆ ) odotusarvo suhteellse frekvess otosjakauma keskttyy yhä vomakkaamm tapahtuma A todeäkösyyde p ympärlle, ku otoskoko kasvaa. Suhteelle frekvess ja suurte lukuje lak Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma: ja olkoo A Ilkka Mell (00) 6/36
27 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo pˆ f / A-tyyppste alkode suhteelle lukumäärä el suhteelle frekvess otoksessa. Heko suurte lukuje la mukaa suhteellste frekvesse pˆ f / muodostama joo kovergo havatoje lukumäärä kasvaessa rajatta stokastsest koht tapahtuma A todeäkösyyttä p: Perustelu: pˆ p P Suhteellse frekvess asymptoottsta raja-arvoa koskeva tulos seuraa artmeettse keskarvo asymptoottsta käyttäytymstä koskevasta hekosta suurte lukuje lasta, ku huomataa, että jossa jollo pˆ f,,, Beroull( p) E( ) p,,,, Var( ) D ( ),,,, pq Suhteellse frekvess asymptootte jakauma Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma: ja olkoo A S Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo pˆ f / A-tyyppste alkode suhteelle lukumäärä el suhteelle frekvess otoksessa. Suhteelle frekvess pˆ f / oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: f pq pˆ ~ a N Ilkka Mell (00) 7/36
28 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Ste stadardotu satuasmuuttuja Z ˆp p pq oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Perustelu: Z ~ a N(0,) Suhteellse frekvess otosjakaumaa koskeva asymptootte tulos seuraa keskesestä rajaarvolauseesta, ku huomataa, että jossa jollo f pˆ,,, Beroull( p) E( ) p,,,,.6. Järjestystuusluvut Var( ) D ( ),,,, pq Järjestystuusluvut: määrtelmä Olkoo,,, satuasotos. Tällö havaot,,, ovat rppumattoma, samaa jakaumaa oudattava satuasmuuttuja. Jos satuasmuuttuje,,, havatut arvot järjestetää suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa, saamme järjestystuusluvut ja saomme, että (), (),, () (j), j =,,, o j. järjetystuusluku. Järjestystuusluvut (), (),, () toteuttavat ehdot Ertysest () () () () = mm () = Ilkka Mell (00) 8/36
29 Tlastolle päättely. Otosjakaumat ( (), () ) = vahteluväl () () = vahteluväl ptuus Järjestystuuslukuje jakaumat: Otos dskreetstä jakaumasta Olkoo,,, satuasotos dskreetstä jakaumasta, joka pstetodeäkösyysfukto o f ( x ) p jossa x x x 3 ovat satuasmuuttuja mahdollset arvot kasvavassa järjestyksessä. Olkoot P 0 = 0 P = p P = p + p Olkoot P = p + p + + p (), (),, () otosta,,, vastaavat järjestystuusluvut. Tällö k Pr( ( j) x ) P ( P ) k j k ja k k k k Pr( ( j) x ) P ( P ) P ( P ) k j k Perustelu: Ktetää ja määrtellää satuasmuuttuja Y seuraavalla tavalla: Y = de havatoje,,, lukumäärä, jotka ovat peempä ku x Kutsutaa jokaselle,,, tapahtumaa { j x }, j =,,, ostumseks ja tapahtumaa { j > x } = { j x } c, j =,,, Ilkka Mell (00) 9/36
30 Tlastolle päättely. Otosjakaumat epäostumseks. Ste satuasmuuttuja Y kuvaa ostumste lukumäärää otoksessa,,,. Ostumse todeäkösyys P = Pr( j x ) o sama kaklle j, koska satuasmuuttujat,,, ovat samo jakautueta. Lsäks ostumset (ja epäostumset) ovat tapahtuma rppumattoma jokaselle j, koska satuasmuuttujat,,, ovat rppumattoma. Ste jollo Tapahtumat ja Y B(, P ) Pr( Y j) P ( P ) j { (j) x } {Y j} j j ovat ekvvaletteja, koska tällö aak j havaosta,,, o peempä ta yhtä suura ku x. Ste satuasmuuttuja (j) kertymäfukto o muotoa k Pr( ( j) x ) Pr( Y j) P ( P ) k j k ja satuasmuuttuja (j) pstetodeäkösyysfukto o muotoa k Pr( x ) Pr( x ) Pr( x ) ( j) ( j) ( j) k k k k P ( P ) P ( P ) k j k mkä pätee myös, ku =, koska P 0 = 0. Järjestystuuslukuje jakaumat: Otos jatkuvasta jakaumasta Olkoo,,, satuasotos jatkuvasta jakaumasta, joka kertymäfukto o F (x) ja theysfukto o f Ilkka Mell (00) 30/36
31 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tällö j. järjestystuusluvu (j) theysfukto o Perustelu:! f ( x) [ F ( x)] f ( x)[ F ( x)] ( j )!( j)! j j ( j ) Olkoo x. Määrtellää satuasmuuttuja Y seuraavalla tavalla: Y = de havatoje,,, lukumäärä, jotka ovat peempä ku x Kutsutaa jokaselle,,, tapahtumaa { j x}, j =,,, ostumseks ja tapahtumaa { j > x} = { j x} c, j =,,, epäostumseks. Ste satuasmuuttuja Y kuvaa ostumste lukumäärää otoksessa,,,. Ostumse todeäkösyys Pr( j x) = F (x) o sama kaklle j, koska satuasmuuttujat,,, ovat samo jakautueta. Lsäks ostumset (ja epäostumset) ovat tapahtuma rppumattoma jokaselle j, koska satuasmuuttujat,,, ovat rppumattoma. Ste jollo Tapahtumat ja Y B(, F ( x)) Pr( Y j) [ F ( x)] [ F ( x)] j { (j) x} {Y j} j j ovat ekvvaletteja, koska tällö aak j havaosta,,, o peempä ta yhtä suura ku x. Ste satuasmuuttuja (j) kertymäfukto o muotoa k F ( x) Pr( ( ) ( ) ) Pr( ) [ ( )] [ ( )] j j x Y j F x F x k j k Ilkka Mell (00) 3/36
32 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Satuasmuuttuja (j) theysfuktoks saadaa d f ( x) F ( ) ( j ) x ( j ) dx k F k j k x f x F x k k [ ( )] ( )[ ( )] k ( k)[ F ( x)] f ( x)][ F ( x)] k j [ F j j ( x )] f ( x )[ F ( x )] j k k k [ F ( x )] f ( x )[ F ( x )] k j k k ( k )[ F ( x )] f ( x)][ F ( x)] k j k! j j [ F ( x)] f ( x)[ F ( x)] ( j )!( j)! k k ( k )[ F ( x)] f ( x)[ F ( x)] k j k k ( k )[ F ( x )] f ( x )][ F ( x )] k j k! j [ F ( x)] f ( x)[ ( )] F j x ( j )!( j)! k k Vmee yhtälö perustuu she, että! ( k ) ( k) k k!( k )! k.7. Delta-meetelmä Taylor sarjakehtelmä Oletetaa, että fuktolla g(x) o r. dervaatta r ( r d g ) ( x) g( x) r dx psteessä x = a. Tällö r ( ) g ( a) Tr ( x) ( x a), a! 0 o fukto g(x) Taylor polyom astetta Ilkka Mell (00) 3/36
33 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Lauseketta g( x) T ( x) R ( x) r r saotaa Taylor polyom jääöstermks. Vodaa osottaa, että jääöstermllä R r (x) o seuraava omasuus: Jos x lähestyy rajatta pstettä a, jääösterm R r (x) lähestyy rajatta ollaa opeamm ku Taylor polyom korkemma astee term: g( x) Tr ( x) lm 0 xa r ( x a) Jos fukto g(x) (r+). dervaatta g (r+) (x) o olemassa psteessä a, jääösterm o muotoa ( r g ) ( x) r Rr ( x) g( x) Tr ( x) ( x t) dt r! Ste saamme fukto g(x) Taylor sarjakehtelmäks pstee a ympärstössä jossa R 0, ku x a. r ( ) g ( a) g( x) ( x a) R! 0 Tarvtsemme jatkossa lähä va. ta. astee Taylor polyomeja. Tuusluvu fukto odotusarvo ja varass Olkoot T, =,,, k satuasmuuttuja, jode odotusarvot ovat Määrtellää vektort ja E(T ) =, =,,, k T = (T, T,, T k ) = (,,, k ) x a Olkoo g(t) satuasmuuttuja T dervotuva fukto. Haluamme määrätä approksmatvse varass satuasmuuttujalle g(t). Olkoo g ( θ) g( t) t t,, tk k fukto g(t). dervaatta muuttuja t suhtee psteessä t =,, t k = k. Fukto g Taylor sarjakehtelmä pstee ympärstössä o muotoa k g( t) g( θ) g( θ)( t ) R jossa R 0, ku t,, t k Ilkka Mell (00) 33/36
34 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Ste (approksmatvsest) g( t) g( θ) g( θ)( t ) k Ottamalla tästä odotusarvo saadaa k E( g( T)) E( g( θ)) g( θ) E( T ) g( θ) koska E(T ) =, =,,, k Vomme ste approksmoda fukto g(t) varassa lausekkeella Var( g( T)) E [ g( T) g( θ)] k E g ( θ)( T ) k [ g ( θ)] Var( T ) g ( θ) gj ( θ)cov( T, Tj ) j Ertysest, jos satuasmuuttujat T, =,,, k ovat korrelomattoma, k Var( g( T)) [ g ( θ)] Var( T ) Delta-meetelmä Käyttämällä edellä johdettuja approksmaatota fukto g(t) odotusarvolla ja varasslle, saamme seuraava ylestykse keskeselle raja-arvolauseelle: Olkoo Y, Y, Y 3, satuasmuuttuje joo, jolle Y ( ) N(0, ) jakaumakovergess melessä. Olkoo g fukto, jolle g () 0 jokaselle kteälle. Tällö jakaumakovergess melessä. Perustelu: g Y g g ( ( ) ( )) N(0, [ ( )] ) Fukto g(y ) Taylor sarjakehtelmä pstee Y = ympärstössä o muotoa g( Y ) g( ) g( )( Y ) Ilkka Mell (00) 34/36
35 Tlastolle päättely. Otosjakaumat jossa jääösterm R 0, ku Y. Vodaa osottaa, että Y stokastsest, koska Y jakaumakovergess melessä. Ste R 0 stokastsest. Soveltamalla s. Slutsky lausetta (ks. alla) todetaa, että g Y g g Y g ( ( ) ( )) ( ) ( ) N(0, [ ( )] ) Tose kertaluvu delta-meetelmä Jos delta-meetelmässä g () = 0 ottamalla fukto g Taylor sarjakehtelmää mukaa myös. astee term, saadaa kehtelmä g( ) g( Y ) g( ) g ( )( Y ) ( Y ) R jossa jääösterm R 0, ku Y. Ste koska oletukse mukaa g () = 0. g( ) g( Y ) g( ) ( Y ) R Koska stadardotua ormaaljakaumaa N(0,) oudattava satuasmuuttuja elö oudattaa ()-jakaumaa -jakauma määrtelmä mukaa, ( Y ) jakaumakovergess melessä. () Soveltamalla s. Slutsky lausetta (ks. alla) saadaa tästä seuraava tulos: Olkoo Y, Y, Y 3, satuasmuuttuje joo, jolle Y ( ) N(0, ) jakaumakovergess melessä. Olkoo g fukto, jolle mutta g () = 0 g () 0 jokaselle kteälle. Tällö g Y jakaumakovergess melessä. g ( ) ( ( ) g( )) Ilkka Mell (00) 35/36
36 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Slutsky lause Oletetaa, että jakaumakovergess melessä ja Y a stokastsest. Tällö () Y a () Y + a + jakaumakovergess Ilkka Mell (00) 36/36
1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotKonvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4
MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot TKK @ Ilkka Mell (006)
LisätiedotIlkka Mellin (2006) 1/1
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,
LisätiedotJakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan kertausta
Todeäkösyyslaskea kertausta Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Joukko-opp Alko, Erotus, Joukko, Komplemett, Lekkaus, Perusjoukko, Psteveraus, Tyhjä joukko, Uo, Yhdste. Todeäkösyys ja se määrtteleme Alkestapahtuma,
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotMoniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot
Momuuttujameetelmät: Ilkka Mell. Moulotteset jakaumat.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. Yhtesjakaumat.3. Reuajakaumat ja satuasmuuttuje rumattomuus.4. Ehdollset jakaumat.5. Yhtesjakaume tuusluvut.6.
LisätiedotKokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
Lisätiedot7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä
Mat.36 Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora 7.. Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä Akasarja,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio
Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
Lisätiedoton tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,
LisätiedotMuuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
LisätiedotTodennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotGeneroidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)
Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees,
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket B 8. hrjotukset / Rtksut Aheet: Otos j otosjkumt Avst: Artmeette keskrvo, Beroull-jkum, Beroull-koe, χ -jkum, Frekvess,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotVarianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto
TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.204 Tlastollsen analyysn perusteet, kevät 2007 5. luento: Tlastollnen rppuvuus ja korrelaato Ka Vrtanen Muuttujen välsten rppuvuuksen analysont Tlastollsssa analyysessä tutktaan usen muuttujen välsä
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotSuoran sovittaminen pistejoukkoon
Suora sovttame pstejoukkoo Ku halutaa tutka kahde tlastollse muuttuja rppuvuutta tosstaa, käytetää use leaarsta regressota el suora sovttamsta havatojoukkoo. Sä o aettu joukko havatopareja (x, y ), ja
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaals Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaals 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaals 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare mall
LisätiedotBaltian Tie 2001 ratkaisuja
Balta Te 001 ratkasuja 1. Olkoot tehtävät T, = 1,,..., 8. Eräs mahdollsuus jakaa tehtävät kahdeksalle opskeljalle O j, j =1,,..., 8 o ohesessa taulukossa T 1 T T T 4 T T 6 T 7 T 8 O 1 O O O 4 O O 6 O 7
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
Lisätiedot1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI
Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Estmaatt, Estmaattor, Estmot, Jääöselösumma, Jääösterm, Jääösvarass,
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotTestaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
LisätiedotBernoullijakauma. Binomijakauma
Beroulljaauma Beroull oe o ahde mahdollse ulostulo oe, jossa taahtumsta äytetää mtysä ostume ja eäostume. Esmerejä: rahahetto (ruua ta laava), lase sytymä (tyttö ta oa), helö verryhmä ( ta c ), oselja
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae Johdatus tlastoteteesee Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Lisätiedot7. Menetysjärjestelmät
lueto7.ppt S-38.45 Leeteora perusteet Kevät 25 Ssältö Kertausta: ysertae leeteoreette mall Posso-mall asaata, palvelota Sovellus vrtaava dataletee malltamsee vuotasolla Erlag-mall asaata, palvelota < Sovellus
Lisätiedot