Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Transkriptio

1 Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008

2 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus Aritmeettis-geometrise epäyhtälö todistus Hölderi epäyhtälö Hölderi epäyhtälö diskreetti muoto Lopuksi 8 Kirjallisuutta 9

3 1 Johdato Tuetui ja ehkä eite matematiikassa käytetty epäyhtälö o Cauchy- Schwarzi epäyhtälö. Epäyhtälöllä o moia sovellutuksia, mutta se avulla o pystytty todistamaa myös moia perustavalaatuisia tuloksia. Tällaie o esimerkiksi aritmeettis-geometrie epäyhtälö. Cauchy-Schwarzi epäyhtälö o erikoistapaus yleisemmästä Hölderi epäyhtälöstä: Cauchy-Schwarzi epäyhtälössä termie potessit ovat molemmat suuruudeltaa 1, ku taas Hölderi epäyhtälössä voivat esiityä murtoluvut 1 p ja 1 q, ku = 1, joissa p, q > 0. Aieessa käsitellää kuiteki 2 p q Cauchy-Schwarzi epäyhtälö esi, sillä Hölderi epäyhtälö todistuksessa o käytetty apua aritmeettis-geometrista epäyhtälöä, joka todistuksee viitettä ataa Cauchy-Schwarzi epäyhtälö. Tämä aiee esimmäie luku käsittelee siis Cauchy-Schwarzi epäyhtälöä. Kyseie epäyhtälö o muotoiltu lauseeksi, joka todistetaa reaaliluvuille. Esimerkissä kolme käytetää lausee tulosta sisätuloavaruudessa määritellylle tavalliselle ormille. Lisäksi lausee todistuksessa sivuutettu yhtäsuuruude toteamie o käsitelty tässä esimerkissä. Lopuksi todistetaa aritmeettis-geometrie epäyhtälö omassa alaluvussaa. Tämä epäyhtälö todistamiseksi esitetää Jesei epäyhtälö, joka todistetaa lemmaa. Tämä jälkee sovelletaa Jesei epäyhtälöä sopivaa fuktioo ja saadaa aritmeettis-geometrie epäyhtälö todistetuksi. Viimeisessä luvussa tarkastellaa Hölderi epäyhtälöä. Hölderi epäyhtälö diskreetille muodolle esitetää todistus. Itegraalimuoto esitellää, mutta sille ei aeta todistusta (se olisi oleellisesti samakaltaie diskreeti versio kassa). 1

4 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö Cauchy-Schwarzi epäyhtälö soveltuu moii eri tilateisii. Yksi yleisi käyttöalue o reaalilukuje joukko, jossa epäyhtälöä käytetää muu muassa sarjoje arvioiissa ja suppeemistarkasteluissa. Myös itegraaleille o oma epäyhtälösä, joka o samamuotoie diskreeti muodo kassa. Lisäksi ormiavaruuksissa tämä epäyhtälö pätee, ja tavallisella ormilla se palautuuki reaalilukuje vastaavaa epäyhtälöö. 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus Lause 2.1. Cauchy-Schwarzi epäyhtälö a i b i a 2 i b 2 i Todistus. Todistetaa epäyhtälö iduktiolla. Selvästi arvolla = 1 epäyhtälö pätee. Tarkastellaa seuraavaksi epäyhtälöä arvolla = 2. Vasemmalta puolelta saadaa eliöö korotettua (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 = a 2 1b a 1 b 1 a 2 b 2 + a 2 2b 2 2. Tämä jälkee huomataa, että (a 1 b 2 a 2 b 1 ) 2 = a 2 1b 2 2 2a 1 a 2 b 1 b 2 + a 2 2b jote 2a 1 a 2 b 1 b 2 a 2 1b a 2 2b 2 1 Näi olle saadaa edellee a 2 1b a 1 b 1 a 2 b 2 + a 2 2b 2 2 a 2 1b a 2 1b a 2 2b a 2 2b 2 2 = (a a 2 2)(b b 2 2), jote : arvolla = 2 epäyhtälö toteutuu. Oletetaa yt, että > 2 ja tehdää iduktio-oletus, jossa epäyhtälö o voimassa arvolla = k, eli k a i b i k k b 2 i. a 2 i 2

5 Todistetaa iduktioväite k+1 a i b i k+1 b 2 i. a 2 k+1 i Kirjoitetaa vasemma puole summa esi muotoo k+1 a i b i = k a i b i + a k+1 b k+1, josta iduktio-oletusta käyttämällä saadaa k a i b i + a k+1 b k+1 k k b 2 i + a k+1b k+1. a 2 i Edellee käyttämällä epäyhtälöä (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 2 (a a 2 2)(b b 2 2) voidaa kirjoittaa k a 2 k i b 2 i +a k+1b k+1 k a 2 i + k a2 k+1 b 2 i + b2 k+1 = k+1 b 2 i, a 2 k+1 i mikä todistaa iduktioväittee. Näi olle epäyhtälö o todistettu oikeaksi. Seuraavaksi esitetää todistuksetta muutamia Cauchy-Schwarzi epäyhtälö sovelluksia sekä esitetää vastaava epäyhtälö itegraaleille. Esimerkki 1. Cauchy-Schwarzi epäyhtälö avulla voidaa todistaa, että jos sarjat a2 i ja b2 i suppeevat, ii myös sarja a ib i suppeee. Esimerkki 2. Itegraaleille Cauchy-Schwarzi epäyhtälö o muotoa [ b 2 b b f(x)g(x)dx] f(x) 2 dx g(x) 2 dx. a Tämä epäyhtälö o voimassa fuktioavaruudessa C[a,b], missä ormi o määritelty itegraalia f = b a f(x)2 dx a a 3

6 Esimerkki 3. Määritellää tavallie ormi seuraavasti x = x 2 i, missä x o vektori (x 1, x 2,..., x ) R. Lisäksi määritellää sisätulo vektoreille x ja y seuraavalla tavalla (x y) = x i y i Nyt voidaa kirjoittaa Cauchy-Schwarzi epäyhtälöä apua käyttäe (x y) = x i y i = (x x) (y y) = x y. x 2 i yi 2 Epäyhtälössä yhtäsuuruus o voimassa, ku vektorit riippuvat lieaarisesti toisistaa. 2.2 Aritmeettis-geometrise epäyhtälö todistus Cauchy epäyhtälö todistuksessa käytettii seuraavaa epäyhtälöä tapauksessa i = 2 2a 1 a 2 b 1 b 2 a 2 1b a 2 2b 2 1, josta jakamalla kahdella ja merkitsemällä x = a 1 b 2 ja y = a 2 b 1 saadaa epäyhtälö xy x2 2 + y2 2. Jos yt kirjoitetaa x x ja y y, saadaa xy x + y 2 kaikilla x, y R, joka o arimeettis-geometrie epäyhtälö : arvolla kaksi. Tätä epäyhtälöä käyttämällä saadaa edellee (x 1 x 2 x 3 x 4 ) 1 x1 x 2 x3 x x 1 + x 2 + x 3 + x Näi olle kaikki aritmeettis-geometrie epäyhtälö o voimassa arvoille 2 k ja saadaa meettelemällä edellä kuvatulla tavalla k kertaa peräkkäi. Nyt o vielä todistettava epäyhtälö muille kui kahde potesseille. 4 (1)

7 Epäyhtälö o todistettavissa helpommi, ku käytetää seuraavaksi esitettävää Jesei epäyhtälöä tietylle reaaliarvoiselle fuktiolle. Sitä varte esitetää Jesei epäyhtälö ja se todistus. Tätä varte määritellää esi koveksi fuktio. Määritelmä 2.2. Koveksi fuktio Reaaliarvoie fuktio f : C R o koveksi, jos jokaisella x,y, jotka kuuluvat määrittelyalueeseesa C, ja t [0, 1] pätee f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) Fuktio o kokaavi, jos fuktio -f o koveksi. Lemma 2.3. Jesei epäyhtälö (koveksille fuktiolle) Olkoo f koveksi reaaliarvoie fuktio, luvut x i fuktio määrittelyalueella ja luvut α i positiivisia. Silloi ( f α ) ix i α i α if(x i ) α i Olettamalla lisäksi, että α i = 1 saadaa seuraavalaie epäyhtälö ( ) f α i x i α i f(x i ). Todistus. Todistetaa Jesei epäyhtälö olettae, että α i = 1. Tarkastellaa esi : arvoa = 2. Silloi väite o muotoa f(αx + βy) αf(x) + βf(y). Väite seuraa suoraa fuktio f koveksisuudesta, sillä yt α + β = 1, jolloi voidaa valita t = α, 1 t = 1 α = β. Todistetaa yleie väite iduktiolla. Oletetaa, että väite pätee : arvolla = k ja todistetaa, että se o voimassa myös, ku = k + 1. Kirjoitetaa aluksi summa muotoo f ( k+1 ) k α i x i = f( α i x i + α k+1 x k+1 ) Jotta voitaisii käyttää fuktio f koveksisuutta, summalausekkee etee o saatava termi 1 α k+1, jote laveetaa summa kyseisellä termillä 1. 1 Vastaava imittäjä voidaa viedä summa sisälle, sillä summaukse ideksi ei vaikuta tähä vakiotermii. 5

8 Tämä jälkee käytetää f: koveksisuutta ja iduktio-oletusta, jolloi saadaa seuraava epäyhtälöketju ( k+1 ) ( f α i x i = f α k+1 x k+1 + (1 α k+1 ) α k+1 f(x k+1 ) + (1 α k+1 )f α k+1 f(x k+1 ) + (1 α k+1 ) = α k+1 f(x k+1 ) + ( k k k ( ) ) 1 α i x i 1 α k+1 ) 1 α i x i 1 α k α k+1 α i f(x i ) k k+1 α i f(x i ) = α i f(x i ). Tämä todistaa Jesei epäyhtälö. Lause 2.4. Aritmeettis-geometrie epäyhtälö x1 x 2 x x i Todistus. Käytetää hyväksi Jesei epäyhtälöä, ja sovelletaa sitä koveksii 2 fuktioo f(x) = l(x) ja valitsemalla jokaie α i = 1. Nyt saadaa ( ) x i l l(x i), joka o ekvivaletti epäyhtälö ( ) x i l l(x i) = 1 l(x 1x 2 x ) = l(x 1 x 2 x ) 1/ kassa. Koska luoollie logaritmi o aidosti kasvava, ii epäyhtälö suuta säilyy, ja tulokseksi saadaa aritmeettis-geometrie epäyhtälö x1 x 2 x x i. 2 Tämä voidaa helposti osoittaa muotoilemalla koveksisuusehto muotoo f( x+y 2 ) f(x)+f(y) 2 ja käyttämällä logaritmi laskusäätöjä. 6

9 Samalaisella todistuksella saadaa yleisempiki tulos, jos ei oleteta α i = 1. Merkitää α = α i, jolloi epäyhtälö saadaa muotoo α 1 x 1 + α 2 x α x α > x α 1 1 x α 2 2 x α 3 Hölderi epäyhtälö Esimmäise kerra Hölderi epäyhtälö esitti L.C. Rogers vuoa Vuotta myöhemmi sama tulokse esitti Otto Hölder atae tuloksellee erilaise todistukse kui Rogers. Varsiaisesti epäyhtälö tärkeyde osoitti Frigyes Riesz, joka myös muotoili se moderii muotoosa. 3.1 Hölderi epäyhtälö diskreetti muoto Lause 3.1. Hölderi epäyhtälö { a k b k a p k } 1 p { kaikille ei-egatiivisille luvuille a k, b k ja luvuille p, q > 1, 1 p + 1 q = 1. Todistus. Sovelletaa edellä maiittua aritmeettis-geometrise epäyhtälö b q k } 1 q yleistä muotoa : arvolla = 2. Tällöi saadaa epäyhtälö x α y β α α + β xα+β + β α + β yα+β. Ku yt sijoitetaa u = x α,v = y β,p = α+β α kirjoitettua muotoo 1 p u 1 1 p + q v 1 q ja q = α+β, saadaa epäyhtälö β olettae, että x, y 0 ja α, β > 0. Edellee voidaa kirjoittaa a k b k 1 p a p k + 1 q b q k 7

10 Otetaa käyttöö apumuuttujat â k = { ja ˆb ap p k} 1 k = {. Nämä bq k} 1 q ovat hyvi määriteltyjä, koska voidaa olettaa yleisyyttä meettämättä, että imittäjie summalausekkeet ovat ollasta eroavat. Ku yt sijoitetaa edellä määritellyt apumuuttujat epäyhtälöö saadaa 1 p â k ˆbk = a p k ap k a k a k b k { ap k } 1 p { bq k } 1 q + 1 q b q k bq k = 1 p + 1 q = 1 Ku kerrotaa imittäjä vielä toiselle puolelle, saadaa Hölderi epäyhtälö todistetuksi. Hölderi epäyhtälö itegraalimuoto o sama kui diskreetillä muodolla (sama huomattii Cauchy-Schwarzi epäyhtälö tarkastelussaki). Hölderi epäyhtälö itegraaleille o imittäi seuraavalaie ( f(x)g(x) dx ) 1 ( ) 1 f(x) p p dx g(x) q q dx. b k 4 Lopuksi Aiee käsittely aloitettii Cauchy-Schwarzi epäyhtälöllä, joka o yksi tuetuimmista epäyhtälöistä. Tämä epäyhtälö atoi hiema apukeioja aritmeettis-geometrise epäyhtälö todistuksee, mutta varsiaie todistus ojautuu voimakkaampaa työkaluu, Jesei epäyhtälöö. Aritmeettisgeometrista epäyhtälöä, tai se yleistettyä versiota, käytetää Hölderi epäyhtälö todistuksessa. Vaikka ämä epäyhtälöt äyttävät kytkeytyvä tiiviisti toisiisa, e muodostavat yksiääki jo merkittävä perusta aalyysille. 8

11 Kirjallisuutta [1] Steele J. Michael: The Cauchy-Schwarz Master Class - A Itroductio to the Art of Mathematical Iequalities. Cambridge Uiversity Press, the Uited States of America,