Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. Sijoitussalkun optimointi Black-Litterman -mallilla
|
|
- Markus Karvonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-2.8 Sovelletu matematka erkostyö Sjotussalku optmot Black-Ltterma -malllla Kar Vatae (4753V)
2 Ssällysluettelo Johdato Sjotussalku optmot Markowtz malllla Sjotussalku optmot Parametre estmot Black-Ltterma -mall Tasapaotuottoje käätee optmot Markkaäkemyste lsäys tasapaomall Johtopäätöksä...8 Lähdeluettelo...2
3 Johdato Sjotussalku optmot pyrk parhaa mahdollse tuoto ja rsk suhtee löytämsee strumette paotuksa muuttamalla. Optmaalsella sjotussalkulla o mahdollsmma korkea tuotto-odotus, joka pyrtää saavuttamaa mahdollsmma alhasella rskllä. Optmaalse sjotussalku valta pohjautuu moder portfoloteora peruskästtes, tuottooo ja rskä kuvaavaa tuottoje keskhajotaa el volatlteett. (Elto & Gruber 99.) Sjotussalku optmot tuoto ja rsk suhtee maksmota o teoreettsest tomva mall, mutta käytäössä se tuottaa use tutvsest epämelekkätä sjotussalkkuja. Sjotussalku optmot o hyv herkkä lähtöparametre estmolle. Ertysest epäluotettavat tuottoestmaatt johtavat helpost epämelekkäs sjotussalku jakaum. Tästä syystä hstorasta estmodut tuottoestmaatt evät aa luotettavaa tulosta optmaalselle sjotussalkulle. Tuotto-odotukse estmossa vodaa käyttää hstorallste tuottoje sjasta mm. CAP-malla. Sä tuotto-odotukset suhteutetaa de markkarsk, jollo sjotussalku optmot johtaa tehokkaamm hajautettuh sjotussalku jakaum. (Jaur 997.) Black-Ltterma -mallssa käytetää Bayeslasta lähetymstapaa yhdstämää markkode tasapaotuotot sjottaja om markkaäkemyks. Markkode tasapaotuotot estmodaa käätese optmo avulla, jollo tasapaotuotot johtavat markkadeks mukasee sjotussalku paojakaumaa. Ku tasapaotuottoh yhdstetää markkaäkemykset, sjotussalku optmot ataa tulokseks markkadeks kaltase paojakauma, joka pokkeaa aettuje markkaäkemyste osalta markkadeks paojakaumasta. Markkaäkemyste paoarvoo sjotussalkussa vakuttaa de luottamustaso, joka kuvastaa äkemyste epävarmuutta. (Black & Ltterma 992.) 2
4 2 Sjotussalku optmot Markowtz malllla Optmaalse sjotussalku valta perustuu moder portfoloteora kehtyksee 95-luvu alussa. Moder portfoloteora sa alkusa, ku tuleva taloustetee obelst Harry Markowtz (952) julkas mea-varace -teora, joka kuvaa sjotussalku tuoto ja rsk suhtee tehtävää optmota. Moder portfoloteora lähtökohta o oletus, että kakke sjotusstrumette logartmset tuotot ovat ormaaljakautueta. Ku sjotusstrumett tuotto r määrtellää suhteellseks hamuutokseks: dp P (2.) r = rt = l, P P vodaa moderssa portfoloteorassa olettaa jatkuva, logartme tuotto ormaaljakautueeks: P 2 (2.2) rt = l ~ N( µ, ) P, mssä todeäkösyysjakauma theysfukto o (2.3) [( x µ ) / ] / 2 f ( x) = e. 2 2π 2 Normaaljakaumaolettamukse perusteella yksttäse sjotusstrumet tuottojakauma vodaa kuvata yksselttesest odotusarvo µ ja varass 2 avulla. (Lueberger 998.) Moder portfoloteora olettaa sjotussalku jatkuva tuottojakauma oudattava multormaaljakaumaa, joka muodostuu leaarsesta yhdstelmästä ormaaljakautueta sjotusstrumetteja. Jakauma multormaalsuus tarkottaa jokase yksttäse satuasmuuttuja oleva ormaaljakautuut ja lsäks mkä tahasa jakauma kahde muuttuja välllä valltsee yhteys, joka korrelaato tyhjetäväst kuvaa (Jaur 997). Sjotussalku tuotolle r p pätee seuraava oletus: 3
5 (2.4) r ~ ( µ, Σ), joka todeäkösyysjakauma theysfukto o p N p (2.5) f ( x) = e p / 2 / 2 (2π ) Σ ( x µ)'σ, (x µ) / 2 mssä Σ o satuasmuuttuje X symmetre ja postvdeftt kovarassmatrs (Johso & Wcher 22). Sjotussalku tuottojakauma o ss multormaaljakaumaolettamukse ojalla kuvattavssa yksttäste strumette tuottoje odotusarvoje µ ja strumette akasarjosta estmodu kovarassmatrs Σ avulla. Sjotussalku tuoto odotusarvo saadaa sjotusstrumette suhteellsella osuudella paotettua summaa de tuottoje odotusarvosta: (2.6) E ( rp ) = w E ( r ) = w' µ. Vastaavast sjotussalku odotettuje tuottoje varass o laskettavssa sjotusstrumette suhteellste paoje w ja sjotusstrumette välste kovarasse j avulla: 2 (2.7) = w w = w ' Σw, p j j j mssä w o sjotussalku strumette paovektor ja Σ o symmetre postvdeftt kovarassmatrs. Sjotussalku varass o kovarassmatrs ohella määrteltävssä myös yksttäste strumette volatlteette ja strumette välste korrelaatode avulla. Koska korrelaatolle ρ j pätee: (2.8) j ρ j =, j sjotussalku varass vodaa lmasta käyttäe strumette välstä korrelaatota: 4
6 (2.9) 2 p = w w j j = w w j j ρ j j j el matrsmuodossa 2 ½ ½ p = w ' Σw = w ' V ρv w, mssä w o sjotussalku strumette paovektor, V ½ o strumette volatlteetesta koostuva dagoaalmatrs ja ρ o symmetre postvdeftt korrelaatomatrs. (Johso & Wcher 22.) 2. Sjotussalku optmot Markowtz mea-varace -teora mukaa o mahdollsta löytää varass mmova sjotussalkku strumette suhteellsa paotuksa optmomalla. Jos strumette korrelaatot ovat peempä ku yks, varass mmova sjotussalkku koostuu strumette yhdstelmästä, sllä hajauttame epätäydellsest korrelov strumetteh vähetää samaakasta tappo mahdollsuutta er strumetessa. Mmvarasssalku lsäks o mahdollsta optmoda kullek tuotto-odotukselle varass mmova salkku, jollo lopputuloksea o saatavssa tehokkade salkkuje joukko. Ratoaalse sjottaja tuls tämä teora mukaa sjottaa aoastaa äh optmaals sjotussalkkuh. Vastaava tehokkade sjotussalkkuje joukko saavutetaa myösk maksmomalla tuotto-odotusta kullek varass tasolle. (Lueberger 998.) Varass mmottehtävä kullek sjotussalku tuotto-odotukselle E(r p ) vodaa krjottaa seuraavassa muodossa: (2.) M ku 2 = =,j= w E( r ) = E( r w w j w =, j, p ) ja mssä w o sjotusstrumet suhteelle pao sjotussalkussa, j o sjotusstrumette väle kovarass ja E(r ) o sjotusstrumet tuotto-odotus. (Lueberger 998.) 5
7 Optmottehtävä ratkasu saadaa krjottamalla mmottehtävä Lagrage yhtälöks L ja ratkasemalla Lagrage kertomet λ ja µ dervomalla yhtälö. (2.) = L w w jj-λ w E( r ) E( rp ) -µ w 2,j= = = Ku Lagrage yhtälö dervodaa strumette suhteellste paoje ja Lagrage kertome λ ja µ suhtee, lopputulokseks saadaa + 2 yhtälöä. (2.2) j= = = w j j λe( r ) µ =, w E( r ) = E( r ) w = p ku =, 2,..., Nästä vodaa ratkasta tarvttavat + 2 tutematota muuttujaa el strumette suhteellset paot w ja Lagrage kertomet λ ja µ. (Lueberger 998.) Tavallsest sjotussalku optmot ltetää myös rsktö korko r f. Rsktö korko o tuotto, joka vo saada lma markkarskä, jote rskttömä koro volatlteett o olla. Mkäl sjotusstrumett ssältää rskä ts. se volatlteett pokkeaa ollasta, se tuotto-odotukse tuls olla rsktötä korkoa suuremp. Sjotusstrumet rskpreemo o rskttömä koro ylttävä tuottoodotus: E(r ) - r f. Rskpreemo ja volatlteet avulla vodaa määrtellä sjotusstrumet ta sjotussalku rskkorjattu tuotto. Moderssa portfoloteorassa rskkorjattuja tuottoja tarkastellaa tavaomasest Wllam F. Sharpe (966) kehttämä Sharpe luvu avulla. (2.3) Sharpe = r r f Optmaale sjotussalkku vodaa määrtellä suurmma rskkorjatu tuoto omaavaks sjotussalkuks. Tällö sjotussalku Sharpe luku el rskpreemo ja volatlteet suhde saa maksmarvosa. Optmottehtävä saa tällö muodo: 6
8 (2.4) Max ku = = w ( E( r w, j= =, p ) r w w j j f ), Ku optmottehtävästä 2.4 muodostetaa Lagrage yhtälö ja dervodaa se muuttuje suhtee, tehtävä ratkasuks saadaa: (2.5) ja v w k = = E( r v k = v k k ) r. f, ku k =, 2,..., Tällö optmottehtävä ataa ratkasuks yhde optmaalse sjotussalku, jolla o suur rskkorjattu tuotto. (Lueberger 998.) 2.2 Parametre estmot Lähtöparametreks sjotussalku optmot tarvtaa estmaatt sjotusstrumette tuottoodotukslle sekä strumette välslle kovarasselle. Tuotto-odotuste estmot hstoradatasta o tavallsest ogelmallsta. Se sjaa sjotussalku kovarassstruktuur ptkä tähtäme eusteet vodaa estmoda kohtuullse hyv rttävä ptkästä hstoradatasta. (Jaur 997.) Kovarassmatrs o symmetre postvdeftt matrs, joka dagoaallla o yksttäste strumette varasst ja dagoaal ylä- ja alapuolella strumette välset kovarasst: (2.6) Σ = M M 2 L L O L 2. M 7
9 Tavallsmm kovarassmatrs estmodaa sjotussalku hstorallssta tuotosta käyttäe harhatota OLS-estmaatta: (2.7) ˆ = j ( rt r )( rjt rj ) (Pdyck & Rubfeld 998). t= Kovarass- ja korrelaatomatrs oleas vaatmus o matrs postvdefttsyys. Postvdefttsyys takaa se, että matrs estmaatt evät ole keskeää rstrtasa ja että sjotussalku kokoasvarass e saa mssää tlateessa egatvsta arvoa. Postvse defttsyyde takaamseks tuls korrelaatomatrs lasketaa käyttää vähtää yhtä paljo havatoja ku sjotussalkussa o rskmuuttuja. Tämä syyttää ogelma dmesode määrästä, sllä suure kovarassmatrs käyttö vaats ptkät datasarjat, jote rskmuuttuje määrälle tulee jossak psteessä vastaa luoollset rajat. Käytäössä rttävä ehto matrs postvdefttsyydelle o se, että kakk se omasarvot ovat postvsa. (Jaur 997.) Mkäl tuotto-odotus estmodaa kovarassmatrs tavo hstoradataa perustue, she vakuttaa aoastaa akasarjoje alku- ja loppupsteet. Hstorallste tuottoje odotusarvo o tuottoje keskarvo. Ku logartmslle tuotolle estmodaa keskarvoa, äärpstede välssä olevat tuottopsteet summautuvat koko perod tuotoks. Tällö alkuperäste hta-akasarjoje äärpstede välssä oleve htapstede merktys katoaa: P P (2.8) ( ) l l E r = =. P P Hstoradataa perustuva tuotto-odotukse estmaatt vo saada hyv tosstaa pokkeava arvoja rppue estmotperod valasta. Tästä syystä hstoralle estmaatt e aa rttävä luotettavaa arvoa odotetulle tuotolle. (Jaur 997.) Tuotto-odotuksa vo estmoda hstorallste tuottoje sjasta pääomamarkkode tasapaomall el Captal Asset Prcg -mall avulla. Captal Asset Prcg -mall, lyheettyä CAP-mall, pyrk selttämää sjotusstrumet tuottoa markkatuoto avulla. Sjotusstrumet tuottoodotukse määrttää markkadeks tuoto odotusarvo ja strumet markkarskkerro β sekä vakoterm α. Istrumet tuotto-odotus E(r ) kuvataa leaarsella yhtälöllä: 8
10 (2.9) E ( r ) r f = α + β ( rm r f ) + ε, mssä r m o markkadeks tuotto-odotus, r f o rsktö korko ja vrheterm ε ~ N(, 2 ε ) o korrelomato satuasmuuttuja. Mall mukaa sjotusstrumet tuotto-odotus määräytyy kahde tekjä summaa. Vakoterm α o strumettkohtae rsktö yltuotto suhteessa markkaa ja kulmakerro β kuvaa strumet rskherkkyyttä markka tuottoje muutokslle. Mkäl α = ja β =, o strumet rsk yhtä suur ku markkadeks keskmäär ja tuotto-odotus myös samakaltae. Matala beeta kertoo alhasesta rskstä ja korkea beeta puolestaa markkota suuremmasta rskstä. (Elto & Gruber 99.) Yksttäse sjotusstrumet beeta el markkarskkerro vodaa estmoda käyttäe osakkee ja markkadeks välstä kovarassa,m ja markkadeks varassa 2 m : (2.2), m β = = ρ, m. 2 m m Yleesä estmotaessa sjotusstrumette tuotto-odotuksa CAP-malllla strumettkohtae rsktö yltuotto el α oletetaa ollaks. Tällö tuotto-odotuksee vakuttaa aoastaa strumettkohtae markkarskkerro, rsktö korko sekä markkadeks tuotto-odotus. Markkadeks tuotto-odotus tulee määrttää jollak muulla meetelmällä ee CAP-mall käyttöä. Ku tuotto-odotuksa estmodaa CAP-mall avulla, kakke strumette tuotto-odotukset o suhteutettu de markkarsk. Nä vodaa olettaa optmaalse sjotussalku hajauttava tehokkaamm rskä, sllä molemmat optmot vakuttavat parametrt, tuotto ja rsk, o suhteutettu tossa. Lsäks usede hstorallste tuottoestmaatte sjasta o rttävää estmoda aoastaa markkadeks ptkä akaväl tuotto-odotus sekä rsktö korko. CAP-malla vodaa estmoda sjotusstrumette tuotto-odotuksa melko hyv, mkäl sjotusstrumett korrelovat rttävä vomakkaast markka kassa. Beeta e pysty selttämää hekost markka kassa korrelova strumet käyttäytymstä, sllä hekko korrelaato peetää beetaa ja samalla myös koko CAP-mall seltysastetta. (Alexader 2.) 9
11 3 Black-Ltterma -mall Markowtz sjotussalku optmotmall o hyv herkkä lähtöparametre valalle. Ertysest vrheellsest estmodut hstorallset tuotto-odotukset vovat helpost johtaa tutvsest epämelekkäs sjotussalku allokaatoh. Tästä syystä Markowtz optmotmalla e ole kovkaa laajast käytetty salkuhodo apua. (Idzorek 22.) Fsher Black ja Robert Ltterma (99) julkasvat uude mall sjotussalku optmot. Black-Ltterma -mall käyttää Bayeslasta lähetymstapaa yhdstämää markkode tasapaotuotot sjottaja om markkaäkemyks. Mall lähtökohtaa o markkode tasapaotuottovektor, joka estmodaa käätesellä optmolla käyttäe markkadekse strumettpaoja sekä sjotusstrumette kovarassmatrsa. Tasapaotuottovektor vodaa lttää sjottaja oma äkemyksä tetyllä luottamustasolla kuvastava kompoett. Tällö tuotto-odotukset sytyvät tasapaotuottoje ja tasapaotuottoh vakuttave tety varmuustaso omaave markkaäkemyste paotetusta yhdstelmästä. (He & Ltterma 999.) 3. Tasapaotuottoje käätee optmot Black-Ltterma -mall lähtökohtaa ovat markkode tasapaotuotot. Markkode tasapaotuotot estmodaa käyttäe käätestä optmota. Käätesessä optmossa tuotto-odotukset ssältävä vektor Π lasketaa sjotusstrumetelle estmodu kovarassmatrs Σ ja markkapaoje w avulla: (3.) Π = δ Σ w, mssä δ o rskaversokerro, joka kuvastaa rahotusmarkkode keskmäärästä rsksetokykyä. Rskaversokerro o määrtelty rskttömä koro ylttävä tuoto ja varass suhteeks: r m r f (3.2) δ =. (Idzorek 22.) 2 m Käätee optmot tuottaa sjotusstrumetelle sellaset tasapaotuotot, että markkapaolla muodostettu salkku o optmaale sjotussalkku. Mkäl Markowtz sjotussalku optmo-
12 tmall asetetaa lähtöparametreks tasapaotuotot sekä tä vastaava kovarassmatrs, optmot ataa tulokseks markkapaoje mukase sjotussalku. (Idzorek 22.) Käätee optmot vaat CAP-mall tavo oletukse pääomamarkkode ylesestä ptkä akaväl tuotto-odotuksesta sekä rskttömästä korosta. Ertysest globaale osakemarkkode tuotto-odotukssta o tehty lukusa määrä akateemsa tutkmuksa, jotka atavat hyv erlasa estmaatteja osakkede ptkä akaväl odotetulle tuotolle. Ibbotso ja Che (23) ovat esttäeet osakemarkkode ptkä akaväl tuoto ylttävä 5,9 prosetlla rskttömä koro perustue osakkede fudametaaldataa sekä makrotaloudells tekjöh. Samassa tutkmuksessa estetää rskttömä koro ptkä akaväl keskarvo oleva 3,47 % ja osakemarkkode ptkä akaväl volatlteet oleva 9.67 %. Tässä erkostyössä o käytetty ätä oletuksa osakemarkkode rskaversokertome lasketaa, jollo kerro saa arvo δ =.525. Taulukkoo 3. o estmotu Dow Joes Stoxx -deks tomala odotettuja ptkä akaväl tuottoja er meetelmllä. Hstorallset tuotot ja kovarassmatrs o estmotu kuukausttasesta tuottodatasta akavälllä Black-Ltterma -mall käätesessä optmossa o käytetty Dow Joes Stoxx -deks tomaloje markkapaoja sekä edellä mattua rskaversokerrota. Markkadeksks CAP-mall o estmotu Dow Joes Stoxx - deks tuotto-odotus perustue se hstorallsee volatlteett ja edellä mattuu rskaversokertomee. Taulukko 3.: Tuotto-odotuste estmot Stoxx-deks tomalolle er meetelmllä Tomaloje markkapaot Black-Ltterma: käätee optmot CAP-mall Hstorallset tuotot Raaka-aeet 4.8% 8.5% 8.6% 6.7% Syklset tuotteet.8% 8.43% 8.42% 2.98% Epäsyklset tuotteet 9.9% 6.76% 6.6% 9.8% Eerga.6% 7.2% 6.86% 9.% Rahotuspalvelut 28.4% 8.5% 8.32% 5.42% Terveydehuolto.% 6.96% 6.73% 2.86% Perusteollsuus 8.% 8.4% 8.39% 4.66% Tekologa 4.2%.28%.38% 4.77% Telekommukaato 8.5% 8.3% 8.36% 8.4% Vede- ja sähköjakelu 4.7% 6.45% 6.4% 7.65% Käätee optmot ja CAP-mall tuottavat hyv samakaltaset tuotto-odotukset tomaladekselle. Molempe malle tomvuutee vakuttaa suhteellse vomakkaat korrelaatot tomala-
13 dekse välllä. Tomaladekst ovat tsessää hyv hajautettuja, sllä e koostuvat usesta osakkesta. Tämä johdosta e korrelovat vomakkaast koko markkadeks kassa. Hstorallset tuotot pokkeavat merkttävä paljo musta tuottoestmaatesta. Hstoralls tuottoh vakuttaa aoastaa kaks htapstettä el tomaladekse hat sekä Taulukossa 3.2 o estetty Dow Joes Stoxx tomaladeksestä koostuvat optmaalset sjotussalkut er tuottoestmaatella. Sjotussalkut o optmotu käyttäe tomaladekse kuukaustuotosta akavälltä estmotua kovarassmatrsa sekä taulukossa 3. estettyjä tuotto-odotuksa. Taulukko 3.2: Sjotussalku optmot er tuottoestmaatella Tomaloje markkapaot Optmot Black-Ltterma - mall tuotolla Optmot CAP-mall tuotolla Optmot hstorallslla tuotolla Paot Paoero Paot Paoero Paot Paoero Raaka-aeet 4.79% 4.79%.% 2.93% -.87% 74.47% 69.67% Syklset tuotteet.85%.85%.% 4.75% 3.9% -94.7% % Epäsyklset tuotteet 9.89% 9.89%.% 2.65% 2.76% 63.95% 54.6% Eerga.58%.58%.% 8.7% -2.4% 36.68% 26.% Rahotuspalvelut 28.36% 28.36%.% 2.% -7.26% -5.37% % Terveydehuolto.3%.3%.% 4.8% -5.22% 66.8% 56.78% Perusteollsuus 8.6% 8.6%.% 3.8% 5.74% -32.8% -4.25% Tekologa 4.24% 4.24%.% 6.75% 2.5% 33.32% 29.9% Telekommukaato 8.47% 8.47%.% 9.8%.6% 42.95% 34.48% Vede- ja sähköjakelu 4.73% 4.73%.% 5.97%.23% 6.8% 55.35% Black-Ltterma -mallssa käätesellä optmolla estmodut tasapaotuotot johtavat optmossa määrtelmäsä mukasest markkapaoh. CAP-malllla estmodut tuotto-odotukset pokkeavat va hema tasapaotuotosta, mutta sjotussalku optmot johtaa hyv erlasee paojakaumaa. Mkäl sjotussalku optmossa käytetää hstorallsa tuottoestmaatteja, tuloksea o markkapaoh verrattua täys erlae sjotussalkku. Optmot ataa tulokseks myös egatvsa paoja el short-postota. Sjotussalku optmot o hyv herkkä ertysest tuotto-odotuste estmaatelle. Tästä syystä hstorallste tuottoestmaatte käyttö johtaa helpost tutvsest epämelekkäs sjotussalkkuh. Mkäl sjotussalku optmot kutek käytetää hstorallsa tuotto-odotuksa, optmottehtävää asetetaa use rajotukseks vaatmus paoje postvsuudesta. Tällö vältytää epämellyttävltä egatvslta strumettpaolta, mutta optmo tulos e välttämättä ole se 2
14 melekkäämp. Myös CAP-malllla estmodut tuotto-odotukset vovat johtaa epämelekkäs tuloks sjotussalku optmossa, mkäl strumett evät korrelo rttäväst markkadeks kassa. Se sjaa käätesellä optmolla estmodut tasapaotuotot johtavat aa markkadeks mukasee paojakaumaa. (He & Ltterma 999.) 3.2 Markkaäkemyste lsäys tasapaomall Black-Ltterma -mall vahvuutea o se, että se mahdollstaa sjottaje markkaäkemyste lsäämse markkolle estmotuh tasapaotuottoh. Tasapaotuotot johtavat aa markkadeks mukasee paojakaumaa, jota o käytetty tasapaotuottoje estmossa. Tasapaotuottoh vodaa Black-Ltterma -mallssa lsätä tety varmuustaso omaava markkaäkemyksä ste, että sjotussalku optmot johtaa edellee tutvsest melekkäs sjotusstrumette paojakaum. (Black & Ltterma 992.) Black-Ltterma -mall kulmotuu kokoasuudessaa tuotto-odotuste a posteror estmaatt tuottavaa yhtälöö: (3.3) E(r) = [( Σ) + P'Ω P] [( τσ) Π + P'Ω Q] τ, mssä E(r) o sjotusstrumette uus a posteror tuottovektor ( ), τ o paokerro tasapaotuottoje ja markkaäkemyste välselle suhteelle, Σ o hstorallssta tuotosta estmotu kovarassmatrs ( ), P o markkaäkemykset okelle strumetelle kuvaava matrs (m ), Ω o markkaäkemyste luottamustasot ssältävä dagoaalmatrs (m m), Π o käätesellä optmolla estmodut tasapaotuotot ssältävä vektor ( ) ja Q o markkaäkemykset ssältävä vektor (m ). (Black & Ltterma 992.) Black-Ltterma -mall sall sekä absoluuttste että relatvste markkaäkemyste lsäämse tuotto-odotuks. Mall vo sjottaa m kappaletta markkaäkemyksä, jotka kohdstetaa okelle strumetelle matrs P avulla ja markkaäkemyste suuruus lmastaa vektorssa Q. 3
15 Esmerkktapaukseks o valttu kolme Dow Joes Stoxx tomaladekselle täys satuasest muodostettua markkaäkemystä, josta esmmäe o absoluutte ja keks seuraavaa ovat relatvsa markkaäkemyksä:. Eergatomala tuottaa 6,8 % vuodessa luottamustasolla 3 %. 2. Tekologa tuottaa 2,5 % eemmä ku telekommukaato luottamustasolla 7 %. 3. Terveydehuolto ja syklset tuotteet tuottavat yhdessä % eemmä ku raaka-aeet, perusteollsuus ja epäsyklset tuotteet luottamustasolla 5 %. Tällö (3.4) 6.8% Q = 2.5% % ja P = , ku tomalat o järjestetty seuraava matrs mukasee järjestyksee: Raaka-aeet Syklset tuotteet Epäsyklset tuotteet Eerga Rahotuspalvelut Terveydehuolto Perusteollsuus Tekologa Telekommukaato Vede- ja sähköjakelu Markkaäkemyste epävarmuus lmastaa dagoaalmatrsssa Ω. Matrs dagoaallla o jokase markkaäkemykse luottamustaso LT käätesluku skaalattua kalbrottekjällä k. (3.5) k k LT 3% = k Ω = k LT 2 7%. k k LT 3 5% Idzorek (22) o määrttäyt kalbrottekjä k markkaäkemysmatrs P varass avulla. Markkaäkemysmatrs varass lasketaa matrstuloa kovarassmatrs kassa: PΣP. Lsäks hä olettaa markkaäkemyste oudattava keskmäär ormaaljakaumaa, joka kes- 4
16 karvo o 5 % ja keskhajota 6,33 %. Tällö kalbrottekjä k o markkaäkemysmatrs ja keskmääräse markkaäkemykse tulo: (3.6) k =.5 PΣP. Paokerro τ määrttää yhdessä keskmääräste luottamustasoje kassa markkaäkemyste vakutukse suuruude Black-Ltterma -malllla estmotuh tuottoh. Mtä suuremp o markkaäkemyste luottamustaso, stä eemmä markkaäkemykset vakuttavat a posteror tuottoestmaatteh. Mkäl sjottaja markkaäkemykset ovat erttä epävarmoja, malllla estmodut tuotot ovat lähellä tasapaotuottoja. Paokerro τ vakuttaa käätesest tasapaotuottoje merktsevyytee. Mtä peemp o paokerro τ, stä eemmä markkadeks tasapaotuotot vakuttavat a posteror tuottoestmaatteh. (Idzorek 22.) Paokertome τ suuruudesta o estetty er tutkmuksssa moelasa äkemyksä. Idzorek (22) o määrttäyt paokertome luottamustasoje keskarvo ja markkaäkemysmatrs varass suhteea: (3.7) m k m = LT τ =. PΣP' Tällö paokerro τ o suoraa verraolle luottamustasoje kalbrottekjää k. Mkäl keskmääräe luottamustaso ols 5 prosetta, paokertome τ arvoks tuls tällä meetelmällä tasa yks. Idzorek (22) o johtaut kalbrottekjä k olettae paokertome arvoks τ =, jollo kalbrottekjä k saa keskmääräselle markkaäkemykse luottamustasolle (5 %) kaava 3.6 mukase arvo. Taulukoo 3.3 o estmotu tuotto-odotuksa Black-Ltterma -malllla edellä mattuje äkemyste mukasest. Black-Ltterma -malla vodaa kalbroda joko muuttamalla kalbrottekjää k ta paokerrota τ. Malla o kalbrotu atamalla paokertomelle τ er arvoja ja tarkastelemalla aettuje markkaäkemyste toteutumsta estmodussa tuotto-odotuksssa. 5
17 Taulukko 3.3: Black-Ltterma -malllla estmotuja tuottoestmaatteja Tasapaotuotot τ = τ =.5 τ = τ = 2 τ = 5 τ = Markkaäkemykse tavote Markkaäkemys 7.2% 6.97% 6.93% 6.88% 6.82% 6.8% 6.8% Markkaäkemys 2.97% 2.2% 2.3% 2.38% 2.45% 2.47% 2.5% Markkaäkemys 3.39%.46%.5%.59%.7%.%.% Raaka-aeet 8.5% 8.2% 8.2% 8.22% 8.24% 8.26% Syklset tuotteet 8.43% 8.53% 8.58% 8.65% 8.76% 8.86% Epäsyklset tuotteet 6.76% 6.78% 6.78% 6.8% 6.85% 6.9% Eerga 7.2% 6.97% 6.93% 6.88% 6.82% 6.8% Rahotuspalvelut 8.5% 8.58% 8.62% 8.66% 8.75% 8.82% Terveydehuolto 6.96% 7.2% 7.6% 7.2% 7.27% 7.39% Perusteollsuus 8.4% 8.48% 8.5% 8.55% 8.62% 8.69% Tekologa.28%.54%.67%.8%.%.7% Telekommukaato 8.3% 8.34% 8.37% 8.43% 8.57% 8.7% Vede- ja sähköjakelu 6.45% 6.47% 6.48% 6.5% 6.55% 6.6% Mkäl paokerro τ lähestyy ollaa, Black-Ltterma mall palauttaa tuottoestmaateks käätesellä optmolla ratkastut tasapaotuotot. Ku paokerrota kasvatetaa, markkaäkemys alkaa vakuttaa tuottoestmaatteh eemmä. Koska markkaäkemyks lttyy epävarmuutta, e saavuttavat tavotetasosa vasta, ku paokerro τ ostetaa huomattava suureks. Markkaäkemyste lsääme vakuttaa myös de tomaloje tuottoestmaatteh, jolle e ole muodostettu markkaäkemyksä. Taulukossa 3.4 o estetty optmodut sjotussalkut käyttäe Black-Ltterma -malla. Sjotussalku optmot o käytetty taulukossa 3.3 estettyjä tuottoestmaatteja paokertome τ er arvolla sekä aemm mattua hstoradatasta estmotua kovarassmatrsa. Taulukossa 3.4 o estetty myös optmotuje sjotussalkkuje rsklukua volatlteett sekä aktvrsk. Aktvrsk o estmotu käyttäe kovarassmatrsa ja sjotussalku paoeroja suhteessa markkapaoh. 6
18 Taulukko 3.4: Sjotussalku optmot Black-Ltterma -mall tuottoestmaatella Tomaloje markkapaot Optmot paokertomella τ =.5 Optmot paokertomella τ = Optmot paokertomella τ = 2 Optmot paokertomella τ = 5 Paot Paoero Paot Paoero Paot Paoero Paot Paoero Raaka-aeet 4.79% 3.4% -.65%.75% -3.4% -.4% -5.2% -4.22% -9.% Syklset tuotteet.85% 3.49% 2.64% 5.63% 4.78% 8.9% 8.5% 24.58% 3.73% Epäsyklset tuotteet 9.89% 8.3% -.59% 6.99% -2.9% 4.89% -5.%.93% -8.96% Eerga.58% 8.% -2.56% 6.9% -4.39% 3.8% -6.78%.52% -.6% Rahotuspalvelut 28.36% 28.64%.28% 28.82%.46% 28.95%.59% 28.67%.3% Terveydehuolto.3% 2.66% 2.63% 4.77% 4.74% 8.% 7.98% 23.76% 3.73% Perusteollsuus 8.6% 8.5%.8% 8.22%.6% 8.27%.2% 8.4%.8% Tekologa 4.24% 8.5% 3.92% 9.66% 5.42%.82% 6.58%.42% 7.9% Telekommukaato 8.47% 4.67% -3.8% 3.23% -5.24% 2.9% -6.38%.44% -7.3% Vede- ja sähköjakelu 4.73% 4.78%.5% 4.74%.% 4.69% -.4% 4.75%.2% Sjotussalku volatlteett & aktvrsk 7.3% 7.56%.99% 7.78%.5% 8.3% 2.% 8.33% 2.93% Markkaäkemyste lsääme tuottoestmaatteh vakuttaa odotetulla tavalla optmaals sjotussalkkuh. Postvset markkaäkemykset kasvattavat tomaloje paotusta ja egatvset vastaavast vähetävät tomaloje paotusta. Rahotuspalvelulle sekä vede- ja sähköjakelulle e estetty mtää markkaäkemyksä, jote de paot sälyvät suhteellse muuttumattoma. Paokertome τ kasvattame lsää odotetust paoeroja suhteessa markkapaoh. Samalla kasvaa myös sjotussalku aktvrsk, joka e kutekaa saa ertyse suura arvoja, vakka paokerro kasvatetaa suhteellse suureks. Sjotussalku optmot vo johtaa egatvs paoh, mkäl paokerrota kasvatetaa laks. Slt salku koostumus sälyy tutvsest melekkäää suhteellse suurllak paokertome arvolla. Paokertome τ valtaa vo vakuttaa tavotteea oleva aktvrsk taso. Paokertome kalbrot la korkealle tasolle e ole kutekaa melekästä, sllä aktvrsk ousee markkaäkemyste luottamustaso kasvaessa. Tällö epävarmat markkaäkemykset johtavat Black- Ltterma -mallssa automaattsest peempää aktvrsk ku luottamustasoltaa korkeat markkaäkemykset. Mkäl paokerro τ lasketaa Idzorek (22) esttämällä kaavalla 3.7, se saa esmerkktapauksea olevssa markkaäkemyksssä arvo,3. Tällö sjotussalku optmot tuottaa hyv samakaltase sjotussalku jakauma ku paokertome arvolla τ =. 7
19 4 Johtopäätöksä Harry Markowtz kehttämä sjotussalku optmotmall o teoreettsest tomva mall sjotussalku optmolle. Meetelmää e kutekaa ole käytäössä koettu tomvaks, sllä optmot johtaa helpost tutvsest epämelekkäs sjotussalku jakaum. Sjotussalku optmot o hyv herkkä lähtöparametre estmaatelle. Sjotusstrumette volatlteetesta ja korrelaatosta koostuva kovarassmatrs ptkä akaväl estmaatt vodaa suhteellse luotettavast estmoda rttävä ptkästä hstoradatasta. Se sjaa hstorallset tuottoestmaatt atavat erttä epäluotettava arvoja tuotto-odotukslle, sllä tuottoestmaatt muodostuvat va kahde pstee välsstä tuotosta. Melekkäämpä tuottoestmaatteja vodaa tuottaa mm. CAP-malllla. Sä sjotusstrumette tuotto-odotukset estmodaa suhteuttamalla e markkarskkertome el beeta avulla markkadeks tuotto-odotuksee. Koska CAP-mallssa tuotto-odotukset o suhteutettu de markkarsk, e johtavat sjotussalku optmossa tutvsest melekkäämpää sjotussalku paojakaumaa. Black-Ltterma -mallssa yhdstetää markkode tasapaotuotot ja sjottaja omat markaäkemykset. Tulokseks sytyy tuottoestmaatteja, jotka johtavat optmossa markkadeks kaltasee sjotussalku paojakaumaa, joho kutek vakuttaa markkaäkemykset aetulla luottamustasolla. Black-Ltterma -mall lähtökohtaa ovat markkode tasapaotuotot, jotka ratkastaa käätesellä optmolla. Markkode tasapaotuotot johtavat sjotussalku optmossa markkadeks mukasee paojakaumaa. Black-Ltterma -mall vahvuus o se, että se mahdollstaa er luottamustaso omaave markkaäkemyste lsäämse markkode tasapaotuottoh. Markkaäkemykset vakuttavat malllla luotuh a posteror tuottoestmaatteh de luottamustasosa mukasest. Varmemp markkaäkemys vakuttaa epävarmaa äkemystä eemmä tuottoestmaatteh. Black-Ltterma -mall kalbrolla vodaa vakuttaa markkode tasapaotuottoje ja markkaäkemyste välsee suhteesee a posteror tuottoestmaatessa. Mkäl tasapaotuotolle aetaa eemmä paoa, sjotussalku optmot johtaa lähelle markkadeks paojakaumaa. Ku markkaäkemyste paoa lsätää, optmaale sjotussalkku pokkeaa yhä eemmä markkadeksstä kasvattae sjotussalku aktvrskä. Mall kalbrot vakuttaa tavoteltava aktvrsk. Aktvrsk kutek ousee markkaäkemyste varmuustaso kasvaessa, jote 8
20 epävarmat markkaäkemykset johtavat automaattsest peempää aktvrsk el peemp pokkeam markkadeks paosta. 9
21 Lähdeluettelo Alexader, C., 2. Market models: a gude to facal data aalyss. Joh Wley & Sos Ltd. Black, F. ja R. Ltterma, 99. Asset Allocato: Combg Ivestor Vews Wth Market Equlbrum. Goldma, Sachs & Co. Black, F. ja R. Ltterma, 992. Global Portfolo Optmzato. Facal Aalysts Joural 48(5), Elto, E. J., ja M. Gruber, 99. Moder portfolo theory ad vestmet aalyss, 4 th edto. Joh Wley & Sos Ltd. He, G. ja R. Ltterma, 999. The Ituto Behd the Black-Ltterma Model Portfolos. Goldma Sachs & Co. Ibbotso, R. G. ja P. Che, 23. Log-Ru Stock Returs: Partcpatg the Real Ecoomy. Facal Aalysts Joural 59(), Idzorek, T., 22. A Step-by-Step Gude to the Black-Ltterma Model. Workg paper. Jaur, O., 997. Rskehallta uudesta äkökulmasta. Kauppakaar Oy, Helsk. Johso, R. A. ja D. W. Wcher, 22. Appled multvarate statstcal aalyss, 5 th edto. Pretce Hall, New York. Lueberger, D. G., 998. Ivestmet scece. Oxford Uversty Press, New York. Markowtz, H. M., 952. Portfolo Selecto. Joural of Face 7(), Pdyck, R. S. ja D. L. Rubfeld, 997. Ecoometrc models ad ecoomc forecasts, 4 th edto. McGraw-Hll, Sgapore. Sharpe, W.F., 966. Evaluatg Mutual Fud Performace. Joural of Busess 39,
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotUuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotModerni portfolioteoria
Modern portfoloteora Helsngn Ylopsto Kansantalousteteen Kanddaatntutkelma 4.12.2006 Juho Kostanen (013297143) juho.kostanen@helsnk.f 2 1. Johdanto... 3 2. Sjotusmarkknat... 4 2.1. Osakemarkknat... 4 2.2.
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotA250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15
A50A000 Fnanss-nvestonnt Hajotukset 4.03.5 ehtävä. akknapotolon keskhajonta on 9 %. Laske alla annettujen osakkeden ja makknapotolon kovaanssen peusteella osakkeden betat. Osake Kovaanss A 40 B 340 C 60
LisätiedotNäytteenoton virhelähteet, luotettavuuden estimointi ja näytteenottoketjun optimointi
FIAS S5/000 Opas äytteeoto tekste vaatmuste täyttämseks akkredtota varte 5 (9) Lte äytteeoto vrhelähteet, luotettavuude estmot ja äytteeottoketju optmot Pett Mkke äytteeoto vrhelähteet, luotettavuude estmot
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotAamukatsaus 13.02.2002
Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
Lisätiedot6. Capital Asset Pricing Model
6. Captal Asset cg odel Ivestotpäätökset edustavat use seuaava ogelmatyyppejä:. te sjotuspotolo kaattaa aketaa? vt. kassavtoje täsmääme ks. lueto 3. kä o sjotuskohtee okea hta? vt. abtaasvapaus jvk-hottelu
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta AIKA- IKÄ- JA KOHORTTIVAIKUTUKSET KOTITALOUKSIEN RAHOITUSVARALLISUUDEN RAKENTEISIIN SUOMESSA VUOSINA 1994 2004 Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Maalskuu
LisätiedotKuluttajahintojen muutokset
Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotTyössä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotPellervon taloudellisen tutkimuslaitoksen työpapereita Pellervo Economic Research Institute Working Papers
Pellervo taloudellse tutkmuslatokse työpapereta Pellervo Ecoomc Research Isttute Workg Papers N:o 84 (elokuu 2006) ELINTARVIKKEIDEN JA RAVINTOLAPALVELUIDEN KYSYNTÄ SUOMESSA Petr Sopp Pellervo taloudelle
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotHarjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12
Pallollse puolustae: Sokea ja ta käspallo/ Lppupallo Tavote: aalteo estäe sjottue puolustavalle puolelle, potku ta heto estäe, syöttäse estäe rstäe taklaus, pae tla vottase estäe sjottue puolustavalle
Lisätiedot10.5 Jaksolliset suoritukset
4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotKollektiivinen korvausvastuu
Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...
LisätiedotMuuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotKokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
LisätiedotIlmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen
Ilmar Juva 45727R Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Jalkaallo-ottelun loutuloksen stokastnen mallntamnen 1 Johdanto Jalkaallo-ottelun loutuloksen mallntamsesta tlastollsn ja todennäkösyyslaskun
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotBernoullijakauma. Binomijakauma
Beroulljaauma Beroull oe o ahde mahdollse ulostulo oe, jossa taahtumsta äytetää mtysä ostume ja eäostume. Esmerejä: rahahetto (ruua ta laava), lase sytymä (tyttö ta oa), helö verryhmä ( ta c ), oselja
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
LisätiedotMittalaitteet. M. Kuisma, T. Torttila, J. Tyster. Elektroniikan laboratoriotyöt 1 - Mittalaitteet 1
Elektroka laboratorotyöt - Mttalatteet Mttalatteet M. Kusma, T. Torttla, J. Tyster Tvstelmä Laboratorotyössä tutustutaa sovelletu elektroka laboratoroo, laboratorossa olev mttalattes sekä laboratoro työsketelytapoh.
Lisätiedot5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
LisätiedotTerveytemme Termisanasto ja tilastolliset menetelmät
Terveytemme Termsaasto a tlastollset meetelmät Termsaasto Tlastollset meetelmät Lädevtteet Termsaasto Elaaodote Estyvyys Ilmaatuvuus Iävaot Koortt Luottamusväl Mallvaot PYLL el potetaalsest meetetyt elvuodet
LisätiedotSuoran sovittaminen pistejoukkoon
Suora sovttame pstejoukkoo Ku halutaa tutka kahde tlastollse muuttuja rppuvuutta tosstaa, käytetää use leaarsta regressota el suora sovttamsta havatojoukkoo. Sä o aettu joukko havatopareja (x, y ), ja
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotKUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET
KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
LisätiedotJakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
LisätiedotMaanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta
Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut 0.8.2005 ja tarkstettuna.4.2006 Hyväksytty 30.6.2006 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
LisätiedotBL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka
BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen
LisätiedotHanna-Kaisa Hurme Teräksen tilastollinen rakenneanalyysi Diplomityö
Hanna-Kasa Hurme Teräksen tlastollnen rakenneanalyys Dplomtyö Tarkastajat: professor Kejo Ruohonen (TUT) ja dosentt Esko Turunen (TUT) Tarkastajat ja ahe hyväksytty Luonnonteteden ja ympärstöteknkan tedekuntaneuvoston
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman
LisätiedotTimo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto
Tmo Tarvanen PUROSEDMENTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSTKAN KENON Outokumpu Oy Atk-osasto PUROSEDMENTTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSSTKAN KENON 1. Johdanto Nn sanotulla SKALAn alueella (karttaleht
LisätiedotHallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28
Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ
Lisätiedot3. Monitavoitteinen arvoteoria
3. Motavottee arvoteora 3 Motavottee arvoteora Eglakelsä termejä Multattrbute Value Theory (MAVT) Value Tree Aalyss Arvopuuaalyys tarkottaa. tehtävä tavottede, krteere ja attrbuutte jäsetämstä herarkseks
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotKansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely
Kansanvälsen konsernn verosuunnttelu ja tuloksenjärjestely Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Talousteteden latos Tampereen ylopsto Toukokuu 2007 Pekka Kleemola TIIVISTELMÄ Tampereen ylopsto Talousteteden
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
LisätiedotVAIKKA LAINAN TAKAISIN MAKSETTAVA MÄÄRÄ ON SEN NIMELLISARVO, SIJOITTAJA VOI MENETTÄÄ OSAN MERKINTÄHINNASTA, JOS LAINA ON MERKITTY YLIKURSSIIN
DANSKE BANK A/S 2017: NOUSEVA KIINA Lanakohtaset ehdot A. Sopmusehdot Nämä lanakohtaset ehdot muodostavat yhdessä 28.6.2012 pävättyyn sekä 8.8.2012, 5.11.2013 ja 13.2.2013 täydennettyyn ohjelmaestteeseen
LisätiedotGibbsin vapaaenergia aineelle i voidaan esittää summana
Lueto 8: Epädeaalsuus ja aktvsuuskerro Torsta 1.11. klo 14-16 477401A - Terodyaaset tasapaot (Syksy 2012) http://www.oulu.f/pyoet/477401a/ eetu.hekke@oulu.f Kertausta: Gbbs eerga ja tasapaovako Gbbs vapaaeerga
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
Lisätiedot7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä
Mat.36 Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora 7.. Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä Akasarja,
LisätiedotIlmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa
Y m ä r s t ö m n s t e r ö n m o n s t e 122 Ilmanvahdon lämmöntalteenotto lämöhävöden tasauslaskennassa HELINKI 2003 Ymärstömnsterön monste 122 Ymärstömnsterö Asunto- ja rakennusosasto Tatto: Lela Haavasoja
LisätiedotLAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Kauppatieteiden tiedekunta Rahoitus VALUUTTAKURSSIRISKIN VAIKUTUS ARGENTIINAN OSAKEMARKKINOILLA
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Kauppateteden tedekunta Rahotus VALUUTTAKURSSIRISKIN VAIKUTUS ARGENTIINAN OSAKEMARKKINOILLA Kanddaatntutkelma Matt Jääskelänen 18.5.2007 SISÄLLYSLUETTELO 1 JOHDANTO...
LisätiedotTyöllistääkö aktivointi?
Jyväskylän ylopsto Matemaatts-luonnonteteellnen tedekunta Työllstääkö aktvont? Vakuttavuusanalyys havannovassa tutkmuksessa Elna Kokkonen tlastoteteen pro gradu tutkelma 31. elokuuta 2007 Tlastoteteen
Lisätiedot157 TYÖTTÖMYYS- VAKUUTUS- JÄRJESTELMÄN EMU- PUSKUROINTI
VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT-DISCUSSION PAPERS 157 TYÖTTÖMYYS- VAKUUTUS- JÄRJESTELMÄN EMU- PUSKUROINTI Pas Holm ja Mkko Mäknen Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research
LisätiedotJaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen
Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
LisätiedotSuurivaltaisin, Armollisin Keisari ja Suuriruhtinas!
1907. Edusk. Krj. Suomen Pankn vuosrahasääntö. Suomen Eduskunnan alamanen krjelmä uudesta Suomen Pankn vuosrahasäännöstä. Suurvaltasn, Armollsn Kesar ja Suurruhtnas! Suomen Eduskunnan pankkvaltuusmehet
LisätiedotYrityksen teoria. Lari Hämäläinen S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu
Yrtyksen teora Lar Hämälänen.1.003 Yrtys Organsaato, joka muuttaa tuotantopanokset tuotteks ja tom tehokkaammn kun sen osat erllään Yrtys tenaa rahaa myynthnnan sekä ostohnnan ja aheutuneden kustannuksen
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotTietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
Lisätiedot