Baltian Tie 2001 ratkaisuja

Transkriptio

1 Balta Te 001 ratkasuja 1. Olkoot tehtävät T, = 1,,..., 8. Eräs mahdollsuus jakaa tehtävät kahdeksalle opskeljalle O j, j =1,,..., 8 o ohesessa taulukossa T 1 T T T 4 T T 6 T 7 T 8 O 1 O O O 4 O O 6 O 7 O 8 Koska taulukossa e ole yhtää suorakadetta, joka joka kärjessä ols, ykskää opskelja e saa kahta samaa tehtävää jok tose kassa. Opskeljota vo ss olla aak kahdeksa. Oletetaa, etä joktehtävä ols aettu eljälle er opskeljalle. Tällö kuk hestä tarvtss kaks muuta tehtävää. Tehtävä ptäs ss olla aak yhdeksä. Mtää tehtävää e ss vo ataa useammalle ku kolmelle opskeljalle. Yksttä laske tehtävä e ss vo ataa ku 4 kappaletta. Mutta koska jokae opskelja saa kolme tehtävää, opskeljota e vo olla eempää ku kahdeksa.. Olkoo A 1 de postvste kokoaslukuje joukko, jode ollasta eroavat umerot ovat lopusta alkae pakossa 1, +1, +1, je., A de postvste kokoaslukuje joukko, jode ollasta eroavat umerot ovat lopusta alkae pakossa, +, +, je., ja vme A de postvste kokoaslukuje joukko, jode ollasta eroavat umerot ovat lopusta alkae pakossa,, je. Jokae postve kokoasluku vodaa lausua ykskästtesest : luvu summaa, joka jokae yhteelaskettava kuuluu er joukkoo A,1.. Koska A + B o kakke sarakesumme ja kakke rvsumme summa, A + B o kaks kertaa koko ruuduko lukuje summa. Jos ols A = B, ols ss 4 B = =0 4. Tästä seuras, että B o parto. Tosaalta B o parllste lukuje summa ja ss parlle. A = B e ss ole mahdollsta. 4. Tarkastetaa jaaa, joka päätepsteet ovat (0, 0) ja (q, p) ja koordaattaksele suutasta suorakadetta, joka lävstäjä tämä jaa o. Suora, jolla se o, yhtälö oy = p q x. Koska p:lläjaq:lla( e ole yhtesätekjötä jaalla e ole yhtää kokoaslukukoordaattsta pstettä. Pstee k, pk ) pk alapuolella o kokoaslukukoordaatsta suorakatee q q pstettä. Lävstäjä alapuolella o kakkaa tasa puolet suorakatee kokoaslukukoordaattsta pstestä, el 1 (p 1)(q 1) pstettä.

2 . Numerodaa psteet 1:stä 001:ee, että verekkäsllä pstellä o verekkäset umerot. Tarkastellaa umerota tarpee vaatessa mod 001. Saomme, että k pstettä muodostaa yksvärse k-joo, jos e ovat verekkä ja ovat samavärsä. Olkoo d(f )värtykse F suur k, jolla värtyksessä o yksväre k-joo. Koska 001 o parto, d(f ) kaklle värtykslle F. Jos d(f 1 ) = 001, psteet ovat samavärsä, ja F 1 = F =... Tällö 0 =1kelpaa 0 :ks. Oletetaa ss, että 1<d(F 1 ) < 001. Jos d(f ) = jollak, F +1 saadaa F :stä vahtamalla kakke pstede vär. Sllo F + = F ja F k+ = F (k) kaklla k. Olkoo yt d(f )=k jaolkoo ( +1,+,..., + k) yksväre k-joo. Sllo ( +,+,..., + k 1) o F +1 : yksväre k-joo. Ss d(f +1 ) d(f ). Tosaalta, jos k, ja (+1, +,..., +k) o F +1 : ps yksväre k-joo, (, +1,..., +k +1) o F : yksväre (k +)- joo. Ss d(f ) d(f +1. Kakkaa ss d(f +1 = d(f ), jos <d(f ) < 001. Er mahdollsuudet läpkäymällä toteaa helpost, että josd(f ) =, d(f +1 )=. Edellä saotusta seuraa, että d(f 1000 )=,jotef + = F kaklla Jos ertysest d(f 1 ) = 000 (va yks pste musta pokkeavast värtetty), d(f k ) >, ku k<1000 ja d(f 1000 ) =. Luku e ss kelpaa luvuks Yhdesuutaset suorat lekkaavat ympyrä, etä lekkauspstetä yhdstävät jäteet ovat yhtä ptkät. Ss BC = AE = CD. Koska EP o ympyrä c tagett, kehäkulmalausee ojalla CAD = PEC.Jäeelkulmo kulma ja vastase kulma veruskulma ovat yhtä suuret, Ss BCE = PAE. Mutta tästä seuraa, että kolmot BCQ ja EAP ovat yhteevä (ksk). Ss ertysest CQ = AP. Mutta yt elkulmossa CQPA o yhtä ptkä ja yhdesuutae svupar. Nelkulmo o ss suukas, ja AC PQ. 7. Todstus jäljttelee tavaomasta Ptolemaokse lausee todstusta. Valtaa AC: pste X, että ADX = AKN. Sllo kolmot AKN ja ADX ovat yhdemuotosa, jote AK AN = AD AX. (1) Koska ANK = AXD, DXC = KND = AMK (vmee yhtälö johtuu stä, että AMKN o jäeelkulmo.) Koska KAM = XCD, kolmot AMK ja CXD ovat yhdemuotosa. Ss AK AM = CD CX = AB CX. () Yhtälöstä (1)ja()seuraa AN AD + AM AB = AX AK + CX AK = AC AK.

3 8. Olkoo pstee B pelkuva suorassa AN ja F pstee C pelkuva suorassa DN. Sllo AX = AB, YD= CD ja XN = YN = 1 BC. Lsäks ANB+ CND =4,jote BNE + CNF =0 ja ss ENF =0. Mutta tästä seuraa, että EF = EN = 1 BC. Väte seuraa yt stä, että AD AE + EF + FD.. Osotetaa, että kysytty joukko o veoelö lävstäje pstede joukko. Olkoo P jok pste, jolle AP D + BPC = 180.Täydeetää kolmo PCD suukkaaks PQCD. Sllo myös ABQP o suukas ja BQC = AP D. Tehtävä ehdosta seuraa, että elkulmo PBQC o jäeelkulmo, el se ympär vodaa prtää ympyrä. Ss PBC = PQC = CDP. Kolmossa DPC ja BCP o kaks yhtäptkää svupara (DC ja BC sekäyhtee PC) ja sama tosta svua vastassa oleva kulma. Kolmot ovat joko yhteevät, jollo DPC = CPB ja P ste lävstäjällä AC, ta kolmossa o kaks kulmaa, jotka ovat tostesa veruskulma, el DPC + CPB = 180 ja P o lävstäjällä BD. Käätäe ähdää helpost, että kakk voelö lävstäje psteet P toteuttavat tehtävä ehdo. 10. Prretää kolmo ABC ympär ympyrä. Olkoo O se keskpste. Lekatkoo suora AD tämä ympyrä myös psteessä E. KoskaAE o kulma BAC puolttaja, E o kaare BC keskpste. Ss OE o jaa BC keskormaal. Suorakulmasessa kolmossa DEM o MDE = ADB = 4}as, jote myös DEM =4. Kolmo OAE o tasakylke, jote myös OAE =4 ja ss kulma EOA o suora ja AO BC. Koska AD = BD DC = AD DE (pstee D potess ympyrä suhtee), o AD = DE. Yhdemuotossta suorakulmassta kolmosta EOA ja EMD saadaa EM = MO. Kolmot BEM ja BOM ovat yhteevä (sks), jote BE = BO. Kolmo OBE o ss tasasvue, jote BOA = 60 ja BAE = 0. Ss BAC = 60. Kolmosta ABD saadaa yt ABC = ABD = 10. Vme BCA = Nähdää het, että fuktot f(x) =0jaf(x) = 1 toteuttavat tehtävä ehdo. Osotetaa, että f(001) = 0 ta f(001) = 1. Koska 001 = 667 ja s.y.t.(, 667) = 1, f(001) = f(1)(f() + f(667)). Ss f(1) 0. Koskas.y.t.(001, 001) = 001, f(001 )=f(001)(f(1) + f(1)) = f(1)f(001), (1)

4 jote f(001 ) 0. Nyt f(001 4 ) vodaa lausua kahdella er tavalla. Tosaalta s.y.t.(001, 001 ) = 001, jote f(001 4 )=f(001)(1 + f(001 )) = f(001)f(1)(1 + f(001)), tosaalta s.y.t.(001, 001 ) = 001 jote f(001 4 )=f(001 )(f(1)+f(1)) = 4f(1) f(001). Nästä ratkastaa 4f(1) = 1 + f(001) el f(001) = f(1) 1. Tasa sama päättely alotettua epäyhtälöstä f(001 ) 0johtaayhtälöö f(001 )=f(1) 1. Yhtälö (1) perusteella o ss f(1) 1 ( = f(1) f(1) 1 ). Koska f(1) 1 = f(001) 0, saadaa f(1) = 1. Ss f(001) = f(1) 1 = Hölder epäyhtälö ojalla = a = ( ) a k a k ( a (a k ) ) = ( a ). Ss ( a ) >. (Vmee epäyhtälö sks, että >,jote>.) Tehtävä väte tulee todstetuks, ku osotetaa, että ( ) a k a k. (1) Olkoo S = a k. Sllo a ( k S 1ja ak ) S a k S.Koska a k S =1, o ( ak ) S 1, mstä väte seuraa.

5 1. Tarkastellaa fuktota f, f(x) = f ( ) x 7 + ( ) 1 = 7+1 ( ) x 1.Selväst f(1) < 1, mutta O ss olemassa sellae t, 1 <t<1, että f(t) = 1. Osotetaa, että o olemassa vako M ste, että a M t (1) kaklla. Sllo a Mt 1 0, ku,jote a k k 1 kaklla rttävä 001! suurlla k: arvolla. Todstetaa (1) duktolla. Valtaa sellae M, etä a M t, 7 ku 1 8. Jos, 1 < <ja 1 <. Oletetaa, että k ja (1) o tos, ku <k. Sllo a k = a 7k + a k M 7k Iduktoaskel o otettu. t + M t k M > 1. ( (7k ) t + ( ) ) t k = Mk t f(t) =Mk t. 14. Olkoot kortessa olevat luvut x 1 x x 1 x. Olkoo s 1 kakke partodeksste lukuje summa ja s kakke parllsdeksste lukuje summa. Sllo s 1 s 1. Lsäks, koska 1 x 1 ja x, s 1 s =1 1+x + + x 1 x + x x 1 + x + + x +1 x + + x + 1 x + + x ( 1) + = +1. Jako partodekss ja parllsdekss toteuttaa tehtävä vaatmukse. 1. Olkoo. Sllo ja josta seuraa Ss x a ( +1)x a +1 a 1 )(1) ( 1)a 1 a 1 a, () a 1 a a 1 > +1. y a 1 > ( +1)y a a. ()

6 6 Ku yhtälöt (1) ja () kerrotaa puoltta ja supstetaa, saadaa ( 1)a a 1 ( +1)a +1 a. Lsätää tähä epäyhtälöö puoltta ( +1)a a 1 ja kerrota yhtälö xy:llä. Saadaa xya a 1 ( +1)xy(a +1 a + a a 1 ). (4) Ku yhtälöt (1), () ja (4) lasketaa puoltta yhtee, saadaa el väte. (xa + ya 1 ) > ( +1)(xa +1 + ya )(xa 1 + ya ), 16. Alkuluvulle ppo p: aoa alkutekjä, jote f(p) =f(1) f(p), f(p) = 1 f(1). Jos o kahde alkuluvu p ja q tulo, joko f() =f(p) f(q) taf() =f(q) f(p). Joka tapauksessa f() = 0. Jos( o) kolme alkuluvu tulo, jollek stä, esmerkks p:lle, o vomassa f() =f p f(p). Koska o kahde alkuluvu tulo, f() = p f(p) = 1 f(1). Koska 001 = ja f(001) = 1, f(1) =. Neljä ( ) alkuluvu tulolle pätee vastaavast f() =f p f(p) = 1 f(1) 1 f(1) = f(1). Koska 00 = , f(00) =. 17. Valtaa luvuks kakk parttomat luvut 1( 1 kappaletta) ja kakk kahde potesst ( kappaletta). Tarkastetaa mahdollset x: ja y: valat. Jos x ja y ovat molemmat parttoma, x + y o parlle ja xy o parto. x + y e vo olla xy: tekjä. Jos x = m ja y = k, m<k, x + y = m (1 + k m )jaxy = k+m. Luvulla x + y o parto tekjä, mutta xy: kakk tekjät ovat parllsa. x + y e vo olla xy: tekjä. Jos x = k ja y =a + 1, x + y o parto luku ja x + y>a + 1. Tosaalta luvu xy = k (a+1) suur parto tekjä oa+1. x+y e vo ytkää olla xy: tekjä. 18. Todetaa, että a + = a + =(a )(a = =(a )(a + ) (a +)(a ) +. Jos jolla m,, m<, parttomlla luvulla a + ja a m + m ols yhtee tekjä d>1, d ols parto ja luvu tekjä. Tämä e ole mahdollsta. 1. Jos luvu alkutekjähajotelma o = p a 1 1 pa pa k k, : tekjöde lukumäärä o (a 1 +1)(a +1) (a k + 1). Koska 60 =, sllä o(+1) ( + 1) (1 + 1) = 4 tekjää. Koska 4 =, pe parto luku, jolla o 4 tekjää o 7 11 = Olkoo muuos (a, b, c, d) (a,b,c,d ). Olkoo D = ad bc. Lasketaa D = a d b c er tapauksssa. Jos (a,b,c,d )=(c, d, a, b), D = D. Jos (a,b,c,d )=(b, a, d, c), D = D. Jos(a,b,c,d )=(a + c, b + d,c,d), D = D. Jos (a,b,c,d )=(a + b, b, c + d, d), D = D. Ss aa D = D. Mutta jos (a, b, c, d) =(1,,, 4), D = jajos(a,b,c,d )=(, 4,, 7), D =1. Tehtävässä estettyä muuosketjua e ss ole olemassa.