Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
|
|
|
- Hannele Väänänen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella: a a a a a a a a a a 0 a ) ) a) 0.. Osoita, että kaikilla x R o os 4 x si 4 x. Ratkaisu. os 4 x si 4 x = os x si x ) os x si x ) ) = os x. 4. Olkoot a,, ja d reaalilukuja. Osoita, että a d a d. Milloi tässä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus? Ratkaisu. Jos a d < 0, ii triviaalisti a d < a d. Oletetaa siis, että a d 0. Tällöi voidaa päätellä: a d a d a d) a ) d ) a d ad a a d d ad a d 0 ad ). Haluttu epäyhtälö o todistettu oikeaksi. Yhtäsuuruus pätee täsmällee silloi ku a d 0 ja ad =. 5. Olkoot a,, ja d reaalilukuja. Osoita, että piei luvuista o pieempi tai yhtä suuri kui 4. a,, d ja d a Ratkaisu. Tehdää se vastaoletus, että kyseiset luvut olisivat kaikki suurempia kui 4. Tällöi olisi a d d a > , eli 0 > a a d d 4 = a ) ) ) d ), mikä o ristiriita, sillä reaalilukuje eliöide summa ei koskaa voi olla egatiivie.
2 6. Etsi kaikki e reaalilukuviisikot x, y, u, v, w, joille y u v w = 4x, x u v w = 4y, x y v w = 4u, x y u w = 4v, x y u v = 4w. Ratkaisu. Laskemalla puolittai yhtee ämä yhtälöt ähdää, että halutulaiset reaalilukuviisikot toteuttavat yhtälö eli o oltava 4x 4y 4u 4v 4w = 4x4y4u4v4w, 4x 4x 4y 4y 4u 4u 4v 4v 4w 4w = 0, tai yhtäpitävästi x ) y ) u ) v ) w ) =0, eli x = y = u = v = w =. Tämä reaalilukuviisikko o siis aioa mahdollie ratkaisu. Toisaalta se selvästi o ratkaisu, sillä ) 4 = = Määritä yhtälö x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 4x 4x 5 = 0 reaaliste juurie lukumäärä. Ratkaisu. Ku x tai x 0, o varmasti x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 4x 4x > 0, eli mahdolliset ratkaisut löytyvät väliltä ]0, [. Olkoo x ]0, [. Tällöi varmasti x 6 x 4 x 4 < 0 ja 0 > x x 4, eli x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 4x 4x = x 6 x 4 x 4)x x) > 0 ) = 5 4, eli ratkaisuita ei löydy myöskää väliltä ]0, [. Siis tarkasteltavalla yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuita. Tehtäviä aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä 8. Olkoo a R. Osoita, että a a. Milloi tässä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus? Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a a = a a a a =, missä yhtäsuuruus pätee täsmällee silloi, ku a =, eli ku a =. a 9. Olkoot a ja ei-egatiivisia reaalilukuja. Osoita, että a 4 4 a. Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a 4 a 4 = 4 a. 0. Olkoot a, R. Osoita, että a ) a ) 4.
3 Ratkaisu. Käyttämällä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä kumpaaki multiplikadii eriksee, saadaa a ) a ) a a = 4.. Osoita, että jos α o terävä kulma, ii ta α ot α. Ratkaisu. Aritmeettis-geometrie epäyhtälö ataa suoraa ta α ot α = si α os α os α si α si α os α os α si α =.. Osoita, että jos a,, R, ii a ) ) a) 8a. Ratkaisu. Käyttämällä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä jokaisee todistettava epäyhtälö vasemma puole multiplikadii eriksee saadaa a ) ) a) a a = 8a.. Osoita, että jokaisella kokoaisluvulla > o 5... ) <. Ratkaisu. Suoraa aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla ) ) 5... ) 5... ) < = =. Tässä yhtäsuuruus ei voi päteä, sillä ei voi olla = = 5 =... =. 4. Olkoot x, y, z R. Osoita, että xyz x y. z Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla x y z x y z =. xyz Haluttu tulos saadaa korottamalla tässä epäyhtälö molemmat puolet potessii. 5. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a a a a = a. 6. Olkoot a, R ja Z. Osoita, että a a. Ratkaisu. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla a = a... a = a.
4 7. Olkoot a,, R. Osoita, että 9 a ) a a. Ratkaisu. Suoraa aritmeettis-harmoise epäyhtälö ojalla a a 9 a ) ) a) = 9 a ). 8. Pisteet M ja N sijaitsevat kolmio ABC sivulla BC site, että BAM = ĈAN. Osoita, että MB MC NB AB NC AC. Ratkaisu. Käytetää aluksi aritmeettis-geometrista ja sitte erilaisia geometrisia idetiteettejä: MB MC NB MB NC MC NB NC = AMB AMC ANB ANC ) = AM AB si BAM AN AB si BAM MAN ) AM AC si MAN ĈAN AN AC si ĈAN AB = AC = AB AC, missä XY Z tarkoittaa kolmio XY Z pita-alaa. 9. a) Etsi ratioaalilukukertoimie kolme muuttuja x, y ja z polyomi Qx, y, z), jolle x y z xyz = x y z)qx, y, z). ) Osoita, että jos a, ja ovat positiivisia reaalilukuja, ii a Milloi tässä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus? a. Ratkaisu. a) Polyomi Qx, y, z) = x y z xy yz zx = kelpaa: x y) y z) z x) ) xyz)x y z xy yz zx) = x xy xz x y xyz x zx yy yz xy y z xyzx zy zz xyz yz xz = x y z xyz. ) Koska a > 0, > 0 ja > 0, o a > 0, > 0 ja > 0. Siispä sijoittamalla a)-kohdassa saatuu yhtälöö x = a, y = ja z =, saadaa: a a = x y z xyz = xyz) x y) y z) z x) ) 0. Koska xyz > 0, esiityy yhtäsuuruus täsmällee silloi ku lukuje x y, y z ja z x eliöt häviävät, eli ku x = y = z. Siis a a, missä yhtäsuuruus esiityy vai ku a = =. 0. Olkoot a, R sellaisia, että a =. Osoita, että a a) ) 5.
5 Ratkaisu. Koska mielivaltaisille positiivisille reaaliluvuille x ja y o x y xy, o oltava myös x y ) x y xy = x y), eli x y x y). Sijoittamalla tähä x = a a ja y =, saadaa a a) ) a a ) = = a a ) a a ) a ) = 5.. a) Olkoot a,, R sellaisia, että a. Oko tällöi välttämättä a? ) Olkoot a,, R sellaisia, että a. Oko tällöi välttämättä a? Ratkaisu. a) Ei. Nimittäi jos vaikkapa a = = ja =, ii a = 4 kuiteki a = = 4 >. ) Kyllä o. Nimittäi aritmeettis-harmoisesta epäyhtälöstä seuraa, että a 9 a 9 =.. Olkoot a, ja reaalilukuja, joille a > > > 0. Osoita, että >, mutta a a 5. Ratkaisu. Pilkotaa todistettava epäyhtälö vasemma puole kaksi jälkimmäistä termiä osii ja käytetää sopivasti aritmeettis-geometrista epäyhtälöä: a a = a a = a a a a = = 5.. Olkoo kokoaisluku ja olkoot a, a,..., a ei-egatiivisia reaalilukuja. Osoita, että a a a... a ) ) a a... a. Ratkaisu. Koska aritmeettis-geometrise epäyhtälö ojalla jokaisella R o oltava a a ), o oltava myös ) ) ) a a... a a ) aa...a a a... a a =. 4. Olkoot x, y ja z sellaisia positiivisia reaalilukuja, että xyz =. Mikä tällöi o lausekkee x 4xy 4y z piei mahdollie arvo? Ratkaisu. Käyttämällä aritmeettis-geometrista epäyhtälöä saadaa alaraja x 4xy 4y z = x xy xy 4y z z 6 6 x xy xy 4y z z = 6 6 6xyz) 4 = = = 6 4 = 96. Tässä alaraja voidaa saavuttaa vai silloi ku x = xy = xy = 4y = z = z, eli ku x = y = z. Lisäehdo xyz = ojalla kyseie alaraja saavutetaa siis täsmällee silloi ku x = z = 4 ja y =.
6 Tehtäviä suuruusjärjestysepäyhtälöstä 5. Olkoot a,, R. Osoita, että: a) a a a. ) a a a a. ) a a a. Ratkaisu. a) Olkoot luvut a,, missä tahasa suuruusjärjestyksessä. Tällöi varmasti luvut a,, ovat myös samassa suuruusjärjestyksessä. Siispä suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla a a a a = a. ) Missä tahasa suuruusjärjestyksessä luvut a,, ikiä ovatkaa, ovat luvut a,, ja toisaalta luvut a,, samassa suuruusjärjestyksessä, ja luvut, a, a taas vastakkaisessa suuruusjärjestyksessä. Nyt voidaa käyttää suuruusjärjestysepäyhtälöä kahdesti, jolloi saadaa a a a a a a = a a ) Suoraa suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla a a 6. Olkoot a,, R. Osoita, että: a a = a = a a = a a a a = a. a a a a a. Ratkaisu. Suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla a a ja a a ovat aia eitää yhtä suuria kui a. Siispä a )a ) = a ) a a) a a ) a ) a ) a ) = a ). Haluttu tulos seuraa tästä jakamalla puolittai luvuilla a ja. Suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla a a a. Siispä a ) = a a a) a a). Haluttu tulos saadaa tästä ottamalla puolittai eliöjuuret ja jakamalla puolittai luvulla. 7. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a a. Ratkaisu. Luvut a,, ja, a, a ovat aia samassa suuruusjärjestyksessä. Toisaalta luvut a,, ja a,, ovat aia vastakkaisissa suuruusjärjestyksissä. Käyttämällä suuruusjärjestysepäyhtälöä kahdesti saadaa, että a a a a a a = a a 8. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. a a = a.
7 Ratkaisu. Koska luvut a 5, 5, 5 ja, a, a ovat aia samassa suuruusjärjestyksessä, ja koska luvut a,, ja a,, ovat aia vastakkaisissa suuruusjärjestyksissä, voidaa käyttää suuruusjärjestysepäyhtälöä kahdesti: a a = a 5 a 5 a =a a a a l= a 5 a a = a. 9. Olkoot a, a, a,... pareittai erisuuria positiivisia kokoaislukuja. Osoita, että jokaisella Z o a l l l. Ratkaisu. Olkoot,,..., luvut a, a,..., a järjestettyä kasvavaa järjestyksee, eli site, että < <... <. Koska luvut,,..., ovat positiivisia kokoaislukuja, o varmasti,,...,. Nyt suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla l= a l l = l= a l l l= l= l l l= l l = 0. Aritmeettis-geometrise epäyhtälö todistamie suuruusjärjestysepäyhtälöllä. l= l. a) Olkoot z, z,..., z R. Osoita, että ) Olkoot ϱ, x, x,..., x R. Osoita:.... ) Olkoot y, y,..., y R. Osoita, että y y y y y y... y. ϱx ϱ x x x ϱx ϱx... ϱx. d) Osoita lopuksi, että x x... x x x x. Ratkaisu. a) Ku luvut,,..., ovat jossaki suuruusjärjestyksessä, ovat luvut,,..., varmasti vastakkaisessa suuruusjärjestyksessä. Täte suuruusjärjestysepäyhtälö ojalla... =... ) Väite seuraa a)-kohda epäyhtälöstä sijoituksilla... = y, = y y, = y y y,..., = y y y. ) Väite seuraa )-kohda epäyhtälöstä sijoituksilla y = ϱx, y = ϱx,..., y = ϱx. =. d) Sijoittamalla )-kohda epäyhtälöö ϱ = x x x saadaa eli x x x x x x x x... x x... x x x x. x x x x,
8 Tehtäviä Cauhy Shwarzi epäyhtälöstä. Olkoot a, a,..., a R. a) Osoita, että ) a k k= a k k= ). ) Osoita, että a a... a a a... a. Ratkaisu. a) Käytetää Cauhy Shwarzi epäyhtälöä: ) ) ) a k ak = ) =. a k a k k= k= k= ) Käytetää jällee Cauhy Shwarzi epäyhtälöä: a a... a = a a... a... a a... a = a a... a.. Olkoot a, a,..., a R. Osoita, että jos a a... a =, ii a 4 a 4... a 4. Ratkaisu. Käyttämällä kahdesti Cauhy Shwarzi epäyhtälöä kute )-kohdassa saadaa, että a 4 a 4... a 4 a a... a ) k= ) aa...a ) = ) = =.. Olkoot a, a,..., a R. Osoita, että a a... a a a... a a 4 a 4... a 4. Ratkaisu. Riittää käyttää Cauhy Shwarzi epäyhtälöä vai kerra: a a... a = a a a a... a a a a... a a 4 a 4... a Olkoot a,, R. Osoita, että a a Ratkaisu. Cauhy Shwarzi epäyhtälö ojalla a a a a a a a ) = a ) = a. a a ) a) a ). ) a a 5. Polyomi P kertoimet ovat positiivisia reaalilukuja. Osoita, että kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla a ja pätee P a)p ) P a ). Ratkaisu. Tämä seuraa suoraa Cauhy Shwarzi epäyhtälöstä. Nimittäi, jos P x) = l=0 lx l, missä,,..., R, ii P a ) = l a) l ) l ) l = l a l l=0 l=0 l ) ) l l ) ) l a = l a l l l = P a) P ). l=0 l=0 l=0 l=0
9 6. Olkoot a, a,..., a,,,..., R, missä Z, ja oletetaa, että a a... a a a... a. Osoita, että tällöi a a... a a a... a. Ratkaisu. Käytetää Cauhy Shwarzi epäyhtälöä: a a... a a a... a ) a a... a a a... a ) a a... a = a a... a. 7. Olkoot a,,, d R. Osoita, että a d a d) ). Ratkaisu. Väite seuraa Cauhy Shwarzi epäyhtälöstä: a d = a d a ) d ) ) ) = a d. 8. Olkoot a,, R. Osoita, että 9a a a ) a a ). Ratkaisu. Cauhy Shwarzi epäyhtälö ojalla 9a = a) = a a a a ) a ) ) ) ) ) ) ) ) a a a = a a ) a a ). 9. Olkoot a, a,..., a,,,..., Z ) reaalilukuja. Osoita, että a )... a ) a... a.... Ratkaisu. Neliöimällä molemmat puolet todistettava epäyhtälö imeltää Mikowski epäyhtälö) saa muodo: a )... a ) a... a... a... a..., mikä piee sievetämise jälkee muuttuu tuttuu muotoo a... a a... a... ; tämähä o Cauhy Shwarzi epäyhtälö. 40. Olkoot a, a,..., a,,,..., R, Z. a) Osoita, että a a... a a a... a )... ). Ratkaisu. Osoitetaa väite iduktiolla parametri Z suhtee. Tapauksessa = väitetyssä epäyhtälössä vallitsee varmasti yhtäsuuruus ja asia o selvä. Oletetaa siis, että väite pätee jollaki Z. Olkoot a, a,..., a,,,..., R jotki ) lukua. Tehdystä iduktiooletuksesta ja Mikowsky epäyhtälöstä seuraa, että a a... a a a... a )... ) a a a a... a a )... ).
10 4. Olkoot x, y ja z ei-egatiivisia reaalilukuja. a) Osoita, että x y z) x y y z z x. ) Oletetaa lisäksi, että xyz 0. Osoita, että x y z x y z. ) Oletetaa lisäksi, että 0<xy z. Osoita, että y z x y x) z x). Ratkaisu. Nämä epäyhtälöt seuraavat suoraa Mikowsky epäyhtälöstä: a) ) ) x y y z z x x y z) y z x) = x y z) = x y z). x y z x y z x ) y ) z ) x y z =. y z = x y x) x z x) x x y x) z x) = x y x) z x). Sekalaisia epäyhtälötehtäviä 4. Olkoot a > > 0. Osoita, että lukuje a ja a kääteislukuje keskiarvo o suurempi kui luvu a kääteisluku. Ratkaisu. Lukuje a ja a kääteislukuje keskiarvo o a ) = a a a a )a ) = a a > a a = a. 4. Kumpi luvuista o suurempi? ja Ratkaisu. Arvioidaa äide lukuje erotusta: = ) ) = ) ) Siis esimmäie luku o suurempi. = ) ) ) = ) ) > Olkoot a, ja sellaisia reaalilukuja, että a =. Osoita, että eitää kaksi luvuista voivat olla suurempia kui yksi. a, ja a
11 Ratkaisu. Tehdää se vastaoletus, että kaikki kolme lukua olisivat suurempia kui yksi. Tällöi olisi: a ) ) ) > a 8a 4a ) a ) a > a ) a ) <. Toisaalta olisi myös a ) mikä o ristiriidassa aiemma epäyhtälö kassa. 45. a) Olkoot a > >. Osoita, että a ) = a a > =, a a >. ) Olkoot a, R. Osoita, että a a a. ) Olkoot 0 < a <. Osoita, että a > a. a Ratkaisu. a) Koska luvut a ja a ovat positiivisia, saa iillä kertoa ja jakaa epäyhtälöitä puolittai. Täte: a a > a > a a a > a a a a a a > a aa ) > a ) a >. ) Symmetria vuoksi voidaa olettaa, että a. Koska tapauksessa a = todistettava epäyhtälö molemmat puolet ovat yhtäsuuret, riittää todistaa väite vai tapauksessa a >. Tässä tapauksessa a > 0 ja voidaa päätellä: a a a a a a a a ) a ) a, missä viimeie epäyhtälö tieteki pätee. ) Koska luku a o positiivie, voi sillä kertoa epäyhtälöitä puolittai. Tehdää ii: a a > a a a > a a a a a > a a a ) ) a a ) a ) > 0 a ) > 0. Tässä viimeie epäyhtälö pätee koska > a. 46. Etsi e reaaliluvut x, joille x > x. Ratkaisu. Tutkitaa esi, löytyykö ratkaisuita x, joille x >. Ku x >, voidaa päätellä: x > x < x) x) < x x < 0, ja selvästikää tarkasteltava epäyhtälö ei voi ratketa. Halutuille ratkaisuille pätee siis, että x <. Tällöi voidaa päätellä: x > x > x) x) > x x > 0. Tässä viimeisi epäyhtälö toteutuu täsmällee silloi ku x 0. Siis ratkaisuiksi saadaa e reaaliluvut x, joille x 0 ja x <, tai yhtäpitävästi: x ], 0[ ]0, [.
12 47. Olkoot x reaaliluku ja Z. Osoita, että x x). Ratkaisu. Olkoo aettu kiiteä x [, [. Todistetaa väite iduktiolla parametri Z suhtee. Tapauksessa = väite yksikertaistuu muotoo x x, missä itse asiassa pätee aia yhtäsuuruus, ja asia o selvä. Oletetaa, että x x) jollaki Z. Tällöi x) = x) x) x) x) = )x x )x, ja yt väite seuraa iduktioperiaatteesta. 48. Olkoot x > reaaliluku. Osoita, että Ratkaisu. Väite seuraa suoraa havaiosta 49. Olkoot a,, R. Osoita, että x x x > x. x x = x x x )x ) = x x > x x = x. a a a. Ratkaisu. Käyttämällä aritmeettisharmoista epäyhtälöä saadaa a a a = a a a a a =a ) a ) 9 a ) a a a 9 =a ) a ) = 9 =. 50. Olkoot a,, ja d sellaisia positiivisia reaalilukuja, että a d = 4. Osoita, että tällöi a a d a d d 6. Ratkaisu. Koska väli ]0, [ reaaliluvuille x pätee aia x x, voidaa arvioida: a a d a d d ) a a d a d d = a = a d a a d a d a d a d a d a d a d a d a d = a a d a d d a d = ) d a d ) d a d a d) a d = 6.
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie 1999 Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1,a,...,a ja b 1,b,...,b pätee Cauchy epäyhtälö (a 1 b 1 + a
Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Insinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
![Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)](/thumbs/39/18474355.jpg "Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)")
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3
83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0
Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat
Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
Lyhyt opastettu kierros algebrallisten epäyhtälöiden viidakkoon. Paul Vaderlind, Tukholman yliopisto
Epäyhtälöide kieltämätö viehätys Lyhyt opastettu kierros algebralliste epäyhtälöide viidakkoo Paul Vaderlid, Tukholma yliopisto Eglaikielisestä alkuperäistekstistä käätäyt Esa V Vesalaie Sisällysluettelo
2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.
POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mia Salmi Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta Luootieteide tiedekuta Matematiikka Kesäkuu 2017 Tamperee yliopisto Luootieteide tiedekuta SALMI, MINNA: Pseudoalkuluvuista
xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Vuosien Baltian tie -kilpailutehtävien ratkaisuja
f Vuosie 000 08 Baltia tie -kilpailutehtävie ratkaisuja 00.. Koska (x+y+z) =(x+y+z)(x +y +z +xy+xz+yz) =x +y +z +xy + x y+y z+yz +x z+xz +6xyz, havaitaa, ettäkutehtävä yhtälöide vasemmista puolista kaksi
(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla
Vaasa yliopisto julkaisuja 08 Sec:MatIvAdj 53 Matriisi käätämie adjugaatilla Määritelmä 3 -matriisi A adjugaatti o -matriisi adj(a) (α i j ), missä α i j ( ) i+ j det(a ji ) (, joka o siis alkioo a ji
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
2 u = 0. j=1. x 2 j=1. Siis funktio v saavuttaa suurimman arvonsa jossakin alueen Ω pisteessä x. Pisteessä x = x on 2 v. (x ) 0.
0. Maksimiperiaate Laplace-yhtälölle 0.. Maksimiperiaate. Alueessa Ω R määritelty kaksi kertaa erivoituva fuktio u o harmoie, jos u = j= = 0. 2 u x 2 j Lause 0.. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja u C(Ω) C
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 1 / Ratkaisuehdotuksia (AK) alkavalle viikolle
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 1 / Ratkaisuehdotuksia (AK) 14.9.009 alkavalle viikolle Näissä ohjauksissa opetellaan laskusääntöjen ja epäyhtälöiden huolellista käyttöä. Ratkaisuissa
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p
MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
S Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
Karamatan epäyhtälö. Majoroinnista. Markku Halmetoja Mäntän lukio
Solmu 3/03 Karamatan epäyhtälö Markku Halmeto Mäntän lukio Kirjoituksessa [] perehdyttiin funktion konveksisuuteen tätä teemaa tketaan nyt tutustumalla Karamatan epäyhtälöön sen sovelluksiin Lukin mukavuutta
{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee
Matematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
EX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
3 Yhtälöryhmä ja pistetulo
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat
Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on
102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
6 Geometria koordinaatistossa
64 6 Geometria koordinaatistossa Rakentamamme euklidisen tasogeometrian järjestelmä, vaikka se pyrkiikin mallintamaan havaintomaailmaa, on sinänsä abstrakti ja muusta matematiikasta irrallaan. Perusjoukko
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
3 Vektorin kertominen reaaliluvulla
3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista
BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8
(b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2013
Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset 013 Tehtävie ratkaisuja 1. Todista, että jokaista positiiviste kokoaislukuje paria k ja kohdeoolemassak sellaista positiivista kokoaislukua m 1,m,..., m k,jotkaeivät
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori