Pro gradu -tutkielma. Whitneyn upotuslause. Teemu Saksala

Transkriptio

1 Pro gradu -tutkelma Whtneyn upotuslause Teemu Saksala Helsngn ylopsto Matematkan ja tlastoteteen latos 5. maalskuuta 2013

2 0.1 Johdanto Topologset monstot ovat melenkntosa, koska ne ovat määrtelmänsä nojalla lokaalst eukldsa. Velä melenkntosemmks ne muuttuvat, kun nhn määrtellään derentotuva struktuur, jollon ntä kutsutaan sleks monstoks. Tämä mahdollstaa dervaatan kästteen ylestämsen tavallsten eukldsten avaruuksen ulkopuolelle. Lsäks slelle monstolle vodaan määrtellä tangenttkmppu, joka myös osottautuu sleäks monstoks. Tangenttkmpussa jokasta monston pstettä vastaa eukldsen avaruuden kopo, jonka ulottesuus on sama kun tse monstolla. Tätä kutsutaan psteen tangenttavaruudeks. Monstojen tangenttkmpulla on myös tärkeä asema tutkttaessa monstojen samankaltasuuksa, sllä jokanen monstojen välnen sleä kuvaus, joka on ylestys dervotuvasta kuvauksesta, määrttelee kuvauksen monstojen tangenttkmppujen välllä. Tätä kuvausta kutsutaan tangenttkuvaukseks ja se tulee olemaan lneaarkuvaus, mkäl se rajotetaan yhden psteen päällä olevaan tangenttavaruuteen. Tangenttkuvausten avulla on helpomp tutka saman ulottesten monstojen samankaltasuuksa. Kaks samanulottesta monstoa ovat nmttän deomorsa, jos nden välsen sleän bjekton ndusoma tangenttkuvaus on lneaarnen somorsm tangenttavaruuksen välllä. Tangenttkmpun lsäks tärketä sleään monstoon lttyvä kästtetä ovat sen almonstot. Almonsto on sellanen somman monston alavaruus, joka on tsekn monsto. Eräs tärkeä tulos, joka tässä työssä osotetaan, kertoo almonstojen ana olevan nn sanottujen sleden upotusten kuva. Jotta päästäsn käsks yllä manttuhn olentohn, ptää ensks käydä läp muutama analyysn tulos. Nämä ovat Käänteskuvauslause, Implsttfunktolause ja Astelause. Nämä tärkeät lauseet kästtelevät derentotuven kuvauksen kääntyvyyttä er tlantessa. Nästä tunnetun el Käänteskuvauslause estellään muun muassa Helsngn ylopston Matematkan ja tlastoteteen latoksen Vektoranalyys-kursslla. Sen todstus kutenkn svutetaan. Pro gradu tutkelman varsnasena tavotteena on johtaa Hassler Whtneyn vuonna 1936 alkujaan todstama hänen nmeään kantava Whtneyn upotuslause, jonka mukaan jokanen sleä monsto on deomornen eukldsen avaruuden jonkn almonston kanssa. Työn ensmmäsessä luvussa muotollaan ja todstetaan kolme yllä estettyä analyysn tulosta. Tosessa luvussa tutustutaan slesn monstohn. Kukn kappale tässä luvussa kästtelee jotan nstä ahesta, jotka yllä manttn. 2

3 Tosen luvun vmesessä kappaleessa tutustutaan topologsten monstojen parakompaktsuuteen. Kolmannen ja neljännen luvun pääaheena on Whtneyn upotuslause erlasne muotoneen. Nässä luvussa rakennetaan joukko työkaluja, jolla päätulos todstetaan. Nästä manttakoon topologsna omnasuuksna ykkösen ostukset ja töyssyfunkto. Analyysn puolelta vodaan nostaa eslle nollamttasuuden käste, jonka avulla saadaan hyödyllstä tetoa sleden funktoden kuvsta. Tämän työn tärkempnä lähtenä on käytetty krjallsuusluettelossa manttuja teoksa. Lähdeteoksa on käytetty luvuttan pääsääntösest seuraavast. 1. Luku: [3] ja [2] 2. Luku: [1] ja [2] 3. Luku: [1] ja [2] 4. Luku: [2] Muhn lähtesn vtataan ntä käytettäessä. Haluan kttää ohjaajaan Erk Elfvngä hänen antamastaan opastuksesta ja palautteesta. 3

4 Ssältö 0.1 Johdanto Käänteskuvauslause ja sen johdannaset Vektoravaruus L(R n, R m ) Käänteskuvauslause Implsttfunktolause Astelause Sleden monstojen teoran perusteet Sleät monstot Sleät kuvaukset Tangenttkmppu ja tangenttavaruus Tangenttkuvaukset Almonsto Immersot, submersot ja sleät upotukset Monstojen parakompaktus Whtneyn hekko upotuslause Töyssyfunkto ja Whtneyn hekon upotuslauseen pohja Eukldsen avaruuden almonstot Whtneyn hekko upotuslause Whtneyn upotuslause Ykkösen ostukset Monstojen nollamttaset joukot Sleden funktoden approksmont mmersolla Whtneyn upotuslause Jälkpuhe

5 Luku 1 Käänteskuvauslause ja sen johdannaset 1.1 Vektoravaruus L(R n, R m ) Merktään kakken lneaarkuvausten f : R n R m joukkoa symbollla L(R n, R m ). Se on reaalkertomnen vektoravaruus, mkäl vektorsumma ja skalaarlla kertomnen määrtellään pstettän. Tämän vektoravaruuden nollavektor on kuvaus 0 : R n R m, 0(x) = 0. On helppo osottaa, että kuvaus : L(R n, R m ) R, L = sup{ Lh R : h S n 1 } (1.1) määrttelee joukolle L(R n, R m ) normn, mssä S n 1 = {x R n : x = 1} el R n :n ykskköpallo. Lemma 1.2. Jokaselle L L(R n, R m ) pätee L = mn{m R : Lx M x x R n }. Todstus Olkoon L L(R n, R m ). Merktään ja A = {M R : Lx M x x R n } A = {M R : Lx M x x S n 1 }. Tällön pätee, että A A. Osotetaan ensks, ette A ole tyhjä. Joukko S n 1 on kompakt ja kuvaus L lneaarkuvauksena jatkuva. Sllon L(S n 1 ) on myös kompakt. Eukldsen normn rajottuma joukkoon L(S n 1 ) on jatkuva, jollon Weerstrassn lauseen nojalla on olemassa on kuvajoukon L(S n 1 ) maksm, jota merktään symbollla L. Lsäks pätee, että L = mn A ja Lx L = L x x S n 1. 5

6 Joukon A epätyhjyys osotetaan seuraavast. Olkoon x R n, x 0 vektorn x suuntanen ykskkövektor. Tällön Lx = x Lx 0 x L, joka osottaa, ette A ole tyhjä. Lsäks L = mn A, sllä se kuuluu joukkoon A ja mkään stä penemp luku e vo olla joukon A mnm. Seuraavaks osotetaan L = L. Jos h S n 1, nn Lh L h = L el L L. Olkoon L L(R n, R m ) sellanen, että L > L ja x R n, x 0. Osotetaan, että tästä seuraa rstrta luvun L mnmaalsuuden kanssa. Merktään ɛ = 1 2 ( L L ) > 0, jollon L ɛ > L ja x ( L ɛ) > x L nän ollen x ( L ɛ) > x Lx 0 ja lopuks x ( L ɛ) > Lx. Vektoravaruuteen L(R n, R m ) vodaan määrtellä topologa myös tosella tavalla. Knntetään vektoravaruuksen R n ja R m kannat. Tällön Määrtellään bjekto L(R n, R m ) = {A : A on n m matrs}. L(R n, R m ) R nm, ϕ(a) = (a 11,, a n1, a 21,, a nm ), kun matrs A estetään muodossa a a n1 A = a 1m... a nm Annetaan joukolle L(R n, R m ) topologa ϕ:n ndusomana. Merktään tätä topologaa τ ϕ :llä ja L(R n, R m ) normn antamaa topologaa τ:lla. Lemma 1.3. (L(R n, R m ), τ) = (L(R n, R m ), τ ϕ ) Todstus Määrtellään avaruuteen L(R n, R m ) velä tonen norm 2 kaavalla A 2 = ϕ(a), jossa A L(R n, R m ) ja ϕ(a) on ϕ(a):n eukldnen norm. Tämän osottamnen normks on helppoa ϕ:n lneaarsuuden nojalla. Tavotteena on osottaa, että 2 :n määräämä topologa on τ ϕ ja että 2 on ekvvalentt :n kanssa. Olkoon A, B L(R n, R m ). Kaavan A B 2 = ϕ(a B) = ϕ(a) ϕ(b) 6

7 nojalla ϕ : (L(R n, R m ), 2 ) R nm on bjektvnen sometra. Ss se on homeomorsm. Indusonnn määrtelmän johdosta ϕ on τ ϕ -jatkuva ja avon kuvaus, jollon se on myös τ ϕ -homeomorsm. Tällön d = ϕ 1 ϕ : (L(R n, R m ), 2 ) (L(R n, R m ), τ 2 ) on homeomorsm. Ss normn 2 määräämä topologa on τ ϕ. R n j :s ykskkövektor. Mat- Olkoon A L(R n, R m ), h S n 1 ja e j rstulon nojalla Ah 2 = m ( n ) 2 ( m A j h j n ) n h 2 j = A 2 j =1 j=1 =1 j=1 j=1 m n A 2 j = A 2 2. =1 j=1 Ss A A 2. Tähdellä merktty epäyhtälö vodaan perustella lsäämällä vasemmanpuoleseen lausekkeeseen sopva määrä (h A kl h j A ps ) 2 tyyppsä lukuja. Tosaalta m n m n n n A 2 2 = A 2 j = (Ae j ) 2 = Ae j 2 A 2 = n A 2 =1 j=1 =1 j=1 1.2 Käänteskuvauslause j=1 joten A 2 n A. Määrtelmä 1.4. Olkoon G R n avon ja x G. Kuvaus f : G R m on derentotuva (sleä) psteessä x, mkäl on olemassa sellanen lneaarkuvaus A(x) L(R n, R m ) että, j=1 f(x + h) = f(x) + A(x)h + h ɛ(x, h), mssä ɛ(x, h) 0, kun h 0. Lneaarkuvausta A(x) kutsutaan f:n derentaalks psteessä x ja merktään A(x) = f (x) = Df(x). Kuvauksen f derentaal psteessä x vodaan avaruuksen R n ja R m standardkantojen suhteen esttää matrsna 1 f 1 (x)... n f 1 (x) f (x) =....., 1 f m (x)... n f m (x) jossa on. osttasdervaatta ja f j on kuvauksen f j. koordnaattkuvaus. 7

8 Määrtelmä 1.5. Kuvaus f : G R m on jatkuvast derentotuva psteessä x 0, mkäl on olemassa sellanen psteen x 0 ympärstö U G, että 1. kuvaus f on derentotuva jokasessa U:n psteessä. 2. f : U L(R n, R m ) on jatkuva psteessä x 0. Jos f on jatkuvast derentotuva jokasessa G:n psteessä, nn tällön merktään f C 1 (U). Krjan [4] svulla on osotettu, että f C 1 (G) on yhtäptävää sen kanssa, että osttasdervaattafunktot f j ovat jatkuva joukossa G kaklla {1,..., n} ja j {1,..., m}. Olkoon k N. Sanotaan, että f on k kertaa jatkuvast derentotuva G:ssä, mkäl kakk sen mahdollset osttasdervaattakombnaatot lukuun k ast ovat jatkuva G:ssä. Tässä tapauksessa merktään f C k (G). Merknnällä C 0 (G) tarkotetaan jatkuva kuvauksa joukolta G eukldseen avaruuteen. Edellä olevan määrtelmän funktota kutsutaan lyhest C k -funktoks, mkäl lähtöjoukko on asayhteydestä selvä. Jos f on C k (G)-funkto jokasella k N, merktään f C (G). Seuraavaks muotollaan ja osotetaan Käänteskuvauslause. Jotta päästään knn varsnasen lauseen todstukseen, joudutaan ensks kästtelemään kaks aputulosta. Joukko GL(n, R) on kakken joukon L(R n, R n ) bjektoden joukko. Lneaaralgebrasta mustetaan, että GL(n, R) = {L L(R n, R n ) : det L 0}. Lemma Jos A GL(n, R) ja B L(R n, R n ) ovat sellasa, että nn sllon B GL(n, R). B A A 1 < 1, 2. Joukko GL(n, R) on avon vektoravaruudessa L(R n, R n ) ja kuvaus A A 1 on jatkuva GL(n, R):ssa. 8

9 Todstus 1. Olkoon x R n. Lemman 1.2 nojalla Ax A x ja BAx B Ax B A x. Nnpä pätee BA B A. Osotetaan BA 1 GL(n, R), josta väte 1 seuraa. Tehdään vastaoletus BA 1 / GL(n, R). Lneaaralgebrasta on tuttua, että yhtälöllä BA 1 x = 0 on tällön jokn muukn ratkasu, kun x = 0. Olkoon x 0 tämän yhtälön ratkasu. Tällön saadaan rstrta, sllä x = BA 1 x AA 1 x = (B A)A 1 x B A A 1 x < x. 2. Determnanttkuvaus det : L(R n, R m ) R on Lemman 1.3 nojalla jatkuva, sllä se koostuu reaallukujen summsta, kertolaskusta ja vastalukujen ottamsesta, jotka ovat kakk R:ssä jatkuva. Tällön GL(n, R) = det 1 (R\{0}), joka on avomen joukon alkukuvana avon. Olkoon A GL(n, R). Merktään A 1 = [c j ]. Koska det A 0, nn vodaan osottaa, että c j = 1 det(a) ( 1)+j det(a j ), mssä A j on A:n almatrs. Koska jokanen A 1 :n koordnaatt vodaan krjottaa projekton, determnantn ja tulon avulla, nn kuvaus A A 1 on jatkuva. Lemma 1.7. (Välarvolause) Olkoon G R n ja J G jana, jonka päätepsteet ovat a ja b. Olkoon f : G R m derentotuva kuvaus jokasessa J:n psteessä. Tällön jokasta v R m koht on olemassa sellanen x v J, että v (f(b) f(a)) = v f (x v )(b a). Ertysest, jos f (x) M jokasella x J, nn f(b) f(a) M b a. Todstus Tekemällä sopva kerto ja srto, vodaan olettaa, että J on jana reaalaksellla. Parametrsodaan jana J poluks γ : [0, 1] R n, γ(t) = a + (b a)t. Merktään kuvauksella g v : R n R, g v (x) = v x normaala pstetuloa. Välarvolauseen nojalla on olemassa sellanen luku ξ ]0, 1[, että v (f(a) f(b)) = v (f(γ(0)) f(γ(1))) 9

10 = (g v f γ)(0) (g v f γ)(1) = (g v f γ) (ξ). Kuvaus (g v f γ) on hyvn määrtelty, sllä g v (x) on vektoreden v ja x vastnkoordnaatten tulojen summa. Dervaatan ketjusäännön nojalla vodaan krjottaa (g v f γ) (ξ) = D(g v f)(γ(ξ))γ (ξ) = Dg v (f(γ(ξ))df(γ(ξ))γ (ξ) = v T Df((γ(ξ))(b a) = v Df((γ(ξ))(b a). Valtaan lopuks x v = γ(ξ). Oletetaan, että jokasella x J pätee Df(x) M <. Valtaan v = f(a) f(b), jollon pstetulon omnasuuden a b = a b cos( (a, b)) ja Lemman 1.2 nojalla v 2 = v v = v (f(a) f(b)) = v f (x v )(b a) v f ((x v ) a b v M a b jollon on vomassa f(a) f(b) M a b. Lause 1.8. (Käänteskuvauslause) Olkoon G R n avon, f : G R n, f C 1 (G) kuvaus. Oletetaan, että joukossa G on pste a, jolle pätee det f (a) 0. Sllon on olemassa a:n ja f(a):n ympärstöt U ja V ja kuvauksen f U : U V käänteskuvaus g : V U. Lsäks g kuuluu joukkoon C 1 (V ) ja jokasella x U pätee g (f(x)) = f (x) 1. Todstus 1. njektvsyys: Merktään L = f (a). Koska det L 0, nn L on kääntyvä. Olkoon δ > 0 sellanen, että 2δ L 1 = 1. Koska derentaal f on jatkuva psteessä a, nn on olemassa U := B(a, r) jolle pätee f (x) L < δ jokasella x U. Määrtellään jokaselle y R n kuvaus φ = φ y φ(x) = x + L 1 (y f(x)), x G. Koska matrsn L 1 nolla-avaruus on {0}, nn havataan yhtäptävyys φ(x) = x jos ja van jos f(x) = y. Dervaatan ketjusäännön avulla saadaan arvo φ (x) = I nn + L 1 f (x) = L 1 (L + f (x)) ss φ (x) L 1 L f (x) 1 2δ δ = 1 2 Soveltamalla Välarvolausetta pstesn x 1, x 2 U huomataan φ:n olevan ato kontrakto φ(x 1 ) φ(x 2 ) 1 2 x 1 x 2. 10

11 Kuvauksella φ on tällön korkentaan yks kntopste U. Edellä olleen yhtäptävyyden nojalla f(x) = y korkentaan yhdellä x U. Koska valttu pste y ol melvaltanen, nn kuvauksen f rajottuma avomeen joukkoon U on njekto. 2. Joukko V =: f(u) on avon: Olkoon V y 0 = f(x 0 ) jollakn x 0 U. Valtaan d > 0 nn peneks, että B =: B(x 0, d) U. Olkoon y B(y 0, δd) ja tutktaan edellsessä kohdassa määrteltyä kuvausta φ = φ y. Tällön pätee φ(x 0 ) x 0 = L 1 (y y 0 ) L 1 y y 0 d 2. Koska jokaselle x B pätee φ(x) x 0 φ(x) φ(x 0 ) + φ(x 0 ) x x x 0 + d 2 d, nn φ(x) B(x 0, d). Tällön φ(b) B. Ss kuvaus φ B : B B on hyvn määrtelty ja ato kontrakto. Koska B on kompakt, nn se on täydellnen. Banachn kntopstelauseen nojalla kuvauksella φ on tasan yks kntopste joukossa B. Olkoon x B φ:n kntopste. Tällön f(x) = y ja y:n melvaltasuuden johdosta B(y 0, δd) f(b) f(u) = V. 3. (f 1 ) = (f ) 1 : Olkoot y V ja k R n sellasa, että y + k V. Merktään x = f 1 (y) ja h = f 1 (y + k) x. Koska f U on bjekto, nn x + h = f 1 (y + k) ja f(x + h) = y + k. Olkoon φ kuten edellä pstettä y vastaava kuvaus. Tällön seuraavat havannot ovat vomassa φ(x + h) = x + h + L 1 (y f(x + h)) ja φ(x) = x + L 1 (y f(x)) φ(x + h) φ(x) = h L 1 k h L 1 k = φ(x + h) φ(x) 1 2 x + h x = 1 2 h 1 2 h L 1 k jollon h 2 L 1 k 2 L 1 k = k δ. (1.9) Tosaalta kohdan 1 nojalla f (x) L L 1 < 1 2, jollon Lemman 1.6 nojalla f (x) GL(n, R). Ertysest on olemassa f (x):n kääntesmatrs T. Merktään taas g = f 1 ja osotetaan sen olevan derentotuva V :ssä. Edellä oleven merkntöjen nojalla g(y + k) g(y) T k = h + x x T k = h T k = T f (x)h T k 11

12 = T (k f (x)h) = T (f(x + h) f(x) f (x)h) Edellsen yhtälön ja kaavan (1.9) nojalla g(y + k) g(y) T k k T δ f(x + h) f(x) f (x)h. h Jollon kuvauksen f derentotuvuuden nojalla pätee: Kun k 0, kaavasta (1.9) seuraa h 0, jollon edellsen epäyhtälön okea puol lähestyy nollaa, nän myös vasen puol lähestyy nollaa. On ss osotettu f 1 :n olevan derentotuva V :ssä ja g (y) = T = f (x) 1 = f (g(y)) Kuvauksen g derentotuvuudesta joukossa V seuraa g:n jatkuvuus V :ssä. Oletuksen f C 1 (U) nojalla kuvaus f : U GL(n, R) on olemassa ja jatkuva. Edellä todstetusta: jokasella x U on olemassa f (x) 1 seuraa, että kuvaus g : V GL(n, R) on olemassa. Lemmassa 1.6 osotettn kuvauksen A A 1 olevan jatkuva GL(n, R):ssä. Nän ollen g (y) = f (g(y)) 1 on jatkuven kuvausten kompostona jatkuva. El g C 1 (V ). Käänteskuvauslauseesta seuraa, että kuvaus f U on homeomorsm. 1.3 Implsttfunktolause Tunnetust R m+n on homeomornen tuloavaruuden R m R n kanssa. Nän ollen jokanen t R m+n vodaan krjottaa yhtäptäväst muodossa t = (t 1... t m+n ) = (x 1,..., x m, y 1,..., y n ) = (x, y). Seuraavan lauseen todstuksessa käytetään tätä merkntätapaa lman erllstä kommentta. Lause (Implsttfunktolause). Olkoon G R m+n avon, f : G R n ja (x 0, y 0 ) G. Oletetaan lsäks: 1. f(x 0, y 0 ) = 0 2. f C 1 (G) 3. det u (y 0 ) 0, mssä u(y) = f(x 0, y). Tällön on olemassa sellaset x 0 :n ja y 0 :n ympärstot X ja Y, että jokasella x X on olemassa ykskästtenen vektor ϕ(x) Y, jolle f(x, ϕ(x)) = 0. Lsäks kuvaus ϕ : X Y on jatkuvast derentotuva X:ssä ja ϕ(x 0 ) = y 0. 12

13 Todstus Määrtellään apukuvaus g : G R m+n, g(x, y) = (x, f(x, y)). Tällön g(x 0, y 0 ) = (x 0, 0). Lstataan g:n koordnaattkuvaukset g 1 (x, y) = x 1, g 2 (x, y) = x 2,..., g m (x, y) = x m g m+1 (x, y) = f 1 (x, y), g m+2 (x, y) = f 2 (x, y),..., g m+n (x, y) = f n (x, y). (1.11) Koska f C 1 (G) ja x x on myös derentotuva, nn g (x, y) on olemassa. Tällön det g (x 0, y 0 ) = f 1 (x 0, y 0 )... m f 1 (x 0, y 0 ) m+1 f 1 (x 0, y 0 )... m+n f 1 (x 0, y 0 ).. 1 f n (x 0, y 0 )... m f n (x 0, y 0 ).. m+1 f n (x 0, y 0 )... m+n f n (x 0, y 0 ) = m+1 f 1 (x 0, y 0 )... m+n f 1 (x 0, y 0 ).. = u (y 0 ) 0 m+1 f n (x 0, y 0 )... m+n f n (x 0, y 0 ) Edellä olleen Käänteskuvauslauseen nojalla pstellä (x 0, y 0 ) ja (x 0, 0) on olemassa sellaset ympärstöt U ja B (m+n) (x 0, r) =: V, että kuvaus g U : U V on homeomorsm. Merktään käänteskuvausta (g U ) 1 =: g. Koska g (g (x, y)) = x jokasella {1,, m}, nn kaavan (1.11) nojalla g (x, y) = x. Merktäään h := (g m+1,, g m+n) : V R n. Tutktaan kuvausta ϕ : B m (x 0, r) R n ϕ(x) = h(x, 0) ja osotetaan sen olevan vätteen toteuttava kuvaus. Krjottamalla auk (x, ϕ(x)) = (x 1,..., x m, h 1 (x, 0),..., h n (x, 0)) = (g 1(x, 0),..., g m(x, 0), g m+1(x, 0),..., g m+n(x, 0)) = g (x, 0), huomataan, että g(x, ϕ(x)) = g(g (x, 0)) = (x, 0). Palataan takasn tutkmaan kuvausta f. Edellä oleven dentteetten nojalla (x, 0) = g(x, ϕ(x)) = (x, f(x, ϕ(x))) jollon f(x, ϕ(x)) = 0. Lsäks huomataan, että (x 0, y 0 ) = g (x 0, 0) = (x 0, ϕ(x 0 )) mstä seuraa, että ϕ(x 0 ) = y 0. 13

14 Oletuksen 1 nojalla f(x 0, y 0 ) = 0, jollon kaavan (1.11) nojalla pätee g m+ (x 0, y 0 ) = 0 jokasella {1,, n}. Ss g m+ (x 0, 0) = y 0. Kuvaus f on jatkuvast derentotuva, jollon g on jatkuvast derentotuva. Käänteskuvauslauseen nojalla myös g on jatkuvast derentotuva. Nn ollen ϕ on jatkuvast derentotuva, koska sen koordnaattkuvausten g osttasdervaatat ovat jatkuva. Tulotopologan määrtelmän nojalla vodaan valta psteden x 0 ja y 0 sellaset ympärstöt X ja Y, että X Y U. Merktään X = X ϕ 1 Y, joka on x 0 :n ympärstö, sllä ϕ on jatkuva ja ϕ(x 0 ) = y 0 Y. Nän ollen pätee (x 0, y 0 ) X Y ja ϕ(x) Y. Enää on jäljellä osottaa vektorn ϕ(x) ykskästtesyys. Olkoon z Y sellanen, että f(x, z) = 0 ja (x, z) U. Tällön g(x, z) = (x, f(x, z)) = (x, 0) = (x, f(x, ϕ(x)) = g(x, ϕ(x)). Koska g U on njekto, nn z = ϕ(x). 1.4 Astelause Tässä kappaleessa tutustutaan Käänteskuvauslauseen johdannaseen, jossa maal- ja lähtöavaruuden dmensot evät ole välttämättä samoja. Alotetaan määrttelemällä sleän kuvauksen aste. Oletetaan tämän kappaleen ajan, että U R m avon ja f : U R n on sleä. Palautetaan meleen, että matrslle A luku ranka on sen lneaarsest rppumattomen sarakkeden määrä. Lneaaralgebrassa on osotettu, että tämä on sama kun A:n lneaarsest rppumattomen rven määrä. Tosaalta tämä on sama kun sen vektoravaruuden dmenso, jonka sarakevektort vrttävät. Määrtelmä Sleän kuvauksen f : U R n aste psteessä x U on rankf (x). Jos kuvauksen aste jokasessa psteessä on k, nn sanotaan kuvauksen f olevan vakoastetta k. Jos k on sleän kuvauksen f : R m R n aste psteessä x, nn slle pätee k mn{m, n}. Tämä johtuu stä, että f (x) on m n- matrs. Olkoot U, G R n avoma ja h : U G sleä homeomorsm, jonka käänteskuvaus on myös sleä. Tällön para (U, h) kutsutaan avaruuden R n kartaks. Lemma Olkoot B M(m n, R) ja matrs A M(n n, R) kääntyvä. Tällön pätee rank(ba) = rank(b). 14

15 Todstus Olkoot rank(b) = k, ja (1),..., (k) nden matrsn B rven ndekst, jotka ovat lneaarsest rppumattoma. Olkoot BA (1),..., BA (k) vastaavat tulomatrsn BA rvt. Jos luvut m 1,..., m k ovat sellasa, että k m j BA (j) = 0, j=1 nn tällön pätee B k k (j) A 1 k j=1 m jb (j) A 1 m j BA (j) = m j. =. = 0. j=1 j=1 B (j) A n k j=1 m jb (j) A n 0 (1.14) Koska matrsn A sarakkeet muodostavat avaruuden R n kannan, nn vektorn k j=1 m jb (j) täytyy olla nollavektor. Nän ollen kertomen m 1,..., m k tulee olla nolla. Tämä osottaa, että matrsn BA aste on vähntään k. Jos rven BA (1),..., BA (k) joukkoon lsätään mkä tahansa jäljellä olevsta rvestä, päädytään yhtälöä (1.14) vastaavaan yhtälöön. Tästä nähdään, ette trvaal nollan estys ole anoa mahdollnen, sllä matrsn B aste ol k. Ss tulomatrsn BA aste on k. Lemma Olkoot f : R n R m sleä ja a : R n R n sleä bjekto, jonka käänteskuvaus on myös sleä. Tällön jokasella x R n pätee rank(f a)(x) = rank(f)(a(x)). Todstus Olkoon x R n. Kuvauksen asteen määrtelmän nojalla pätee rank(f a)(x) = rank((f a) (x)) = rank(f (a(x))a (x)), jollon edellsen lemman nojalla rttää osottaa, että kuvauksen a dervaatta on kääntyvä kakkalla. Tämä seuraa stä, että ykkösmatrs vodaan krjottaa seuraavassa muodossa I nn = (a 1 a) (x) = Da 1 (a(x))da(x). Lause (Astelause) Olkoon U R m ja f : U R n vakoastetta k oleva sleä kuvaus. Tällön jokaselle p U on avaruuksen R m ja R n kartat (U 0, ϕ) ja (W, φ) jolle pätee: p U 0, f(u 0 ) W ja jokasella x ϕ(u 0 ) (φ f ϕ 1 )(x 1,..., x k, x k+1,..., x m ) = (x 1,..., x k, 0,..., 0). 15

16 Todstus Koska srrot eukldsssa avaruuksssa ovat homeomorsmeja, nn vodaan olettaa, että p = 0 ja f(p) = 0. Oletuksen nojalla dervaattamatrsn f (p) aste on k. Tällön sen ssältä vodaan löytää kääntyvä k k-almatrs. Taas sopven srtojen avulla vodaan olettaa, että kyseessä on vasemmasta yläkulmasta alkava k k-matrs. Krjotetaan lähtöpuolen R m psteet muodossa ja maalpuolen R n psteet muodossa ϕ (0, 0) = (x, y) = (x 1,..., x k, y 1,..., y m k ) (v, w) = (v 1,..., v k, w 1,..., w n k ). Krjotetaan f(x, y) = (Q(x, y), R(x, y)), jossa Q : U R k ja R : U R n k ovat sletä. Tällön matrs [ Q x j ] on kääntyvä psteessä (0, 0). Määrtellään kuvaus ϕ : U R m kaavalla ϕ(x, y) = (Q(x, y), y). Osotetaan, että kuvauksen ϕ dervaatta psteessä (0, 0) on kääntyvä. Ensnnäkn pätee, että ϕ (x, y) L(R m, R m ). Toseks on vomassa, että Q 1 Q x 1 (0, 0)... 1 Q x k (0, 0) 1 Q y 1 (0, 0)... 1 y m k (0, 0)..... Q k x 1 (0, 0)... Q k x k (0, 0) Q k y 1 (0, 0)... 0 I m k ( [ ] [ ] ) Q = x j (0, 0) Q x j (0, 0), 0 I m k. Q k y m k (0, 0) joka on kääntyvä, sllä sen sarakkeet ovat lneaarsest rppumattoma. Käänteskuvauslauseen nojalla on olemassa psteden (0, 0) ja ϕ(0, 0) = (0, 0) ympärstöt U 0 ja V 0, jolle ϕ : U 0 V 0 on sleä homeomorsm, jonka käänteskuvaus on myös sleä. Krjotetaan käänteskuvaus sleden kuvausten A : V 0 R k ja B : V 0 R m k avulla muodossa ϕ 1 (x, y) = (A(x, y), B(x, y)). Tällön (x, y) = ϕ(a(x, y), B(x, y)) = (Q(A(x, y), B(x, y)), B(x, y)), josta seuraa, että y = B(x, y). Nän ollen käänteskuvaukselle pätee ϕ 1 (x, y) = (A(x, y), y). Lsäks yllä olevasta yhtälöstä seuraa, että x = Q(A(x, y), y). Tutktaan seuraavaks kuvausta f ϕ 1 : V 0 R n, jollon havataan f ϕ 1 (x, y) = f(a(x, y), y) = (Q(A(x, y), y), R(A(x, y), y)) = (x, R(A(x, y), y)). Merktään R(A(x, y), y)) = R : V 0 R m k, joka on sleä. Tutktaan seuraavaks funkton f ϕ 1 dervaattaa psteessä (x, y) ( ) I (f ϕ 1 ) k 0 (x, y) = [ ] [ ] R R x j (x, y) L(R m, R n ). y j (x, y) 16

17 Koska kuvaukset ϕ ja ϕ 1 ovat sletä bjektota, nn käänteskuvauksen ϕ 1 yhdstämnen funktoon f e Lemman 1.15 nojalla muuta kuvauksen f ϕ 1 astetta, ss rank(f ϕ 1 ) (x, y) = k. Koska pste (x, y) ol melvaltanen, kuvaus f ϕ 1 on vakoastetta k joukossa V 0. Matrsn (f ϕ 1 ) (x, y) k ensmmästä saraketta ovat lneaarsest rppumattoma, sllä vasemmassa yläkulmassa on denttnen matrs. Tällön jokasen m k jälkmmäsen sarakkeen täytyy olla lneaarsest rppuvanen k ensmmäsestä. Jos ols olemassa sellaset (x, y) V 0, ja j, että päts R y j (x, y) 0, nn tällön sarake k + j e rpus k ensmmäsestä. Tämä johtuu stä, että saraketta k + j vastaavan vektorn k ensmmästä koordnaatta ovat nolla, mutta k ensmmäsessä sarakevektorssa on ykkönen tasan yhdessä musta eroavassa kohdassa. Ss R y j (x, y) = 0, joka tarkottaa, ette R (x, y) rpu lankaan vektorsta y. Määrtellään R (x, 0) = S(x), jollon f ϕ 1 (x, y) = (x, S(x)). Olkoon W = {(v, w) R n : (v, 0) V 0 }. Osotetaan W avomeks. Jos (v, w) W, nn (v, 0) V 0. Koska V 0 R m on avon, nn (v, 0) on laatkkoympärstö G k G m k V 0. Tällön G k on v ympärstö R k ja 0 G m k R m k. Ss G k R n k on (v, w) ympärstö, joka ssältyy W. Joukko W on (0, 0) ympärstö, sllä (0, 0) V 0. Määrtellään kuvaus φ : W R n sellaseks, että φ(v, w) = (v, w S(v)). Koska v S(v) on sleä, nn φ on sleä. Kuvajoukko φ(w ) = W, sllä jälkmmänen koordnaattkuvaus on surjekto joukkoon {v} R n k. Lsäks on olemassa sleä käänteskuvaus φ 1 : φ(w ) W, joka on muotoa φ 1 (v, s) = (v, s + S(v)). El (W, φ) on kartta. Olkoon (x, y) U 0. Tällön (φ f ϕ 1 )(x, y) = φ(x, S(x)) = (x, S(x) S(x)) = (x, 0). Ss (U 0, ϕ) ja (W, φ) ovat etstyt kartat. 17

18 Luku 2 Sleden monstojen teoran perusteet 2.1 Sleät monstot Määrtelmä 2.1. Topolognen avaruus M on topolognen n-monsto, mkäl seuraavat kolme ehtoa ovat vomassa. 1. Avaruus M on T 2 -avaruus el Hausdorn avaruus. 2. Avaruus M on N 2 -avaruus el sllä on numerotuva kanta. 3. Jokasella x M on olemassa ympärstö U ja homeomorsm. ϕ : U G, jossa G R n avon. Määrtelmän ehdon kolme mukasta joukko-homeomorsmpara (U, ϕ) kutsutaan kartaks psteessä x, mkäl x U. Jos Φ on sellanen kokoelma karttoja, että M = (U,ϕ) Φ U, nn tällön Φ:tä kutsutaan atlakseks. Osotetaan, että topologsen monston määrtelmän kohta 3 votasn tehdä tostekn. Lemma 2.2. Topologsen monston määrtelmän kohdassa 3 vodaan joukoks G ana valta R n. Todstus Valnta G = R n on van erkostapaus kohdasta 3, jollon tonen suunta on lmenen. Oletetaan määrtelmän kohta 3. Olkoon x M ja (U, φ) kartta x:ssä. Oletuksen nojalla on olemassa avon G R n ja φ : U G on homeomorsm. Koska G on avon, nn se ssältää jonkn avomen kuuton Q, jonka keskpste on φ(x). Kuuto Q on homeomornen kuuton ] π 2, π 2 [n =: Q kanssa. Tunnetust tangentt tan : ] π 2, π 2 [ R ja arkustangentt arctan : R ] π 2, π 2 [ ovat jatkuva ja tostensa käänteskuvauksa. Sllon tan on homeomorsm. Määrtellään f : Q R n, f (x) = tan(x ), 18

19 joka on homeomorsm, sllä sen koordnaattkuvaukset ovat jatkuva ja käänteskuvauksen koordnaattkuvaukset ovat f 1 (y) = (arctan(y )), joka on myös jatkuva. Jos ϕ : Q Q on homeomorsm, nn kuvaus f ϕ φ φ 1 Q on etstty homeomorsm. Määrtelmä 2.3. Karttoja (U, ϕ) ja (V, ψ) kutsutaan C r yhteensopvks, mkäl tonen seuraavsta ehdosta toteutuu 1. U V = 2. Kuvaus ϕ ψ 1 : ψ(u V ) ϕ(u V ) ja sen käänteskuvaus ψ ϕ 1 ovat C r -kuvauksa. Määrtelmä on järkevä, sllä joukot ψ(u V ), ϕ(u V ) R n ovat avoma. Monston M atlasta Φ kutsutaan C r -atlakseks, mkäl sen kakk kartat ovat parettan C r yhteensopva. Yleensä C r -atlasta kutsutaan sleäks, jos dfferentotuvuuden aste on selvä. Lemma 2.4. Olkoon M n-ulottenen topolognen monsto ja Φ M:n C r - atlas. Tällön on olemassa sellanen ykskästtenen maksmaalnen C r -atlas Ψ, että Φ Ψ. Todstus Olkoon Ψ kakken sellasten karttojen kokoelma, että jokanen sen kartta on C r yhteensopva jokasen atlaksen Φ kartan kanssa. Osotetaan, että Ψ on kysytty maksmaalnen C r -atlas. Ensnnäkn Ψ on atlas, sllä se ssältää Φ:n. Olkoot (U, ϕ), (U, ϕ ) Ψ ja x U U. Koska Φ on atlas, nn on olemassa sellanen kartta (V, ψ), että x V. Tällön joukon Ψ määrtelmän ja dervaatan ketjusäännön nojalla ϕ ϕ 1 = ϕ ψ 1 ψ ϕ 1 : ϕ(u U V ) ϕ (U U V ) on C r -kuvaus ϕ(x):ssä. Psteen x melvaltasuuden nojalla ϕ ϕ 1 on C r - kuvaus, jollon Ψ on C r -atlas. Olkoon Ω sellanen C r -atlas, että Ψ Ω. Koska Φ Ψ, nn jokanen Ω:n kartta on yhteensopva jokasen Φ:n kartan kanssa. Tällön Ψ:n määrtelmän nojalla Ψ = Ω, el Ψ on maksmaalnen. Jos Ω on maksmaalnen Φ:n ssältävä C r -atlas, nn tällön samanlanen argumentt, jolla osotettn Ψ:n karttojen yhteensopvuus, näyttää Ω:n ja Ψ:n karttojen yhteensopvuuden. Maksmaalsuuden nojalla pätee Ω = Ψ. 19

20 On syytä huomoda, että mkäl kartta (U, φ) on maksmaalsessa atlaksessa Ψ ja G M avon, nn (U G, φ G ) on kartta ja lsäks se kuuluu tähän kokoelmaan, sllä jokaselle x U G pätee φ G (x) = φ(x). Määrtelmä 2.5. Monston M maksmaalsta C r -atlasta Ψ kutsutaan dfferentotuvaks struktuurks ja para (M, Ψ) C r -monstoks. Jos derentotuvuuden aste on asayhteydestä selvä, nn para (M, Ψ) kutsutaan sleäks monstoks. Seuraavaks määrtellään muutama tapoja luoda uusa sletä monstoja jo olemassa oleven avulla. Oletetaan nätä kästellessä, että kakk derentotuvuudet ovat samaa astetta ja puhutaan ylesest van slestä monstosta. Esmerkk 2.6. Jos (M, Φ) on sleä m-monsto ja (N, Φ) on sleä n-monsto, nn nden karteesnen tulo (M N, Θ) on sleä m + n-monsto, mssä Θ on derentotuva struktuur, joka ssältää kakk kartat, jotka ovat muotoa (U V, ϕ ψ); (U, ϕ) Φ ja (V, ψ) Ψ. Todstus Määrtellään Θ = {(U V, ϕ ψ) : (U, ϕ) Φ ja (V, ψ) Ψ}. Par (M N, Θ ) on topolognen m+n-monsto, sllä T 2 - ja N 2 -omnasuudet sälyvät tulossa ja kuvaus ϕ ψ : U V R m+n on upotus, sllä sen koordnaattkuvaukset ovat upotuksa. Joukko Θ on atlas, sllä sen kuvaukset ovat upotuksa ja joukkojen petteden tulo on tulojoukon pete. Jos (U V, ϕ ψ) ja (U V, ϕ ψ ) ovat Θ :n karttoja, nn ϕ ψ (ϕ ψ) 1 = ϕ ϕ 1 ψ ψ 1 : ϕ ψ((u V ) (U V )) ϕ ψ ((U V ) (U V )), jollon ϕ ψ (ϕ ψ) 1 on sleä, sllä sen koordnaattkuvaukset ovat sletä. Ss Θ :n kartat ovat yhteensopva. Lemman 2.4 nojalla on olemassa haluttu maksmaalnen C r -atlas Θ. Esmerkk 2.7. Jos M on topolognen avaruus, (N, Ψ) on sleä n-monsto, G N avon sekä h : M G homeomorsm, nn h Ψ = {(h 1 U, ψ G h) : (U, ψ) Ψ ja U G } on sleä atlas. Tätä kutsutaan kuvauksen h ndusomaks atlakseks. 20

21 Todstus Avaruus M on numerotuvakantanen Hausdorn avaruus, sllä N:n alavaruus G per nämä omnasuudet ja homeomorsm h srtää ne M:lle. Joukko h Ψ on selväst M:n atlas, jollon M on n-monsto. Olkoot (h 1 U, ψ h) ja (h 1 V, ϕ h) h Ψ:ssä. Tällön (ψ h) (ϕ h) 1 : (ϕ h)(h 1 U h 1 V ) (ψ h)(h 1 U h 1 V ) on sama kun ψ ϕ 1 : ϕ(u V ) ψ(u V ), joka on sleä kuvaus. Tällön (h 1 U, ψ h) ja (h 1 V, ϕ h) ovat yhteensopva. Lemman 2.4 nojalla on olemassa sellanen M maksmaalnen atlas Φ, joka ssältää h Ψ. Ss (M, Φ) on sleä monsto. Eräs esmerkk edellä olevasta konstruktosta on ndusoda sleän monston (M, Ψ) rakenne avomeen alavaruuteen G M nkluusokuvauksen : G M avulla. Merktään Ψ G = {(U G, ψ G ) : (U, ψ) Ψ}. Tällön (G, Ψ G ) on edellsen tuloksen nojalla sleä monsto. Joskus tarkastelun kohteena saattaa olla tlanne, jossa luodaan koko monstolle derentotuva struktuur avonten joukkojen struktuuren avulla. Esmerkk 2.8. Olkoon M topolognen monsto, joukkojen U, I kokoelma sen avon pete ja Ψ sellanen monston U derentotuva struktuur, että Ψ (U U j ) = Ψ j (U U j ), kaklla, j I. (2.9) Tällön on olemassa ykskästtenen M:n derentotuva struktuur Ψ, joka ssältää kakk joukot Ψ. Tätä struktuura kutsutaan struktuuren Ψ yhdstelmäks. Todstus Tutktaan joukkoa Ψ = {(U, ψ) : (U, ψ) Ψ, jollakn I}, joka on M:n atlas. Olkoon x M ja J I nden ndeksen joukko, jolla x U j, j J. Olkoot (U, ψ), (V, φ) Ψ sellasa, että x U V. Kaavan (2.9) nojalla kuvaus ψ φ 1 : φ(u V ) ψ(u V ) on sleä psteessä x. Koska sleys on lokaal omnasuus, nn kakk Ψ :n kartat ovat yhteensopva ja Ψ on sleä atlas. Nyt väte seuraa Lemmasta 2.4. Tutustutaan seuraavaks erääseen konkreettseen sleään monstoon. Esmerkk S n R n+1 on n-ulottenen C -monsto. Todstus Merktään U + = {x S n : x > 0} ja U = {x S n : x < 0}. Määrtellään kuvaukset h ± : B n (0, 1) U ± kaavalla h ± (x) = (x n 1,..., x 1, ± 1 x 2 j, x +1,... x n ). (2.11) Osotetaan, että nämä ovat pallon S n karttakuvausten käänteskuvauksa. 21 j=1

22 1. Kuvaus h ± on hyvn määrtelty: Koordnaatta vastaava koordnaattkuvaus on hyvn määrtelty, sllä n j=1 x2 j < 1. Kuvauksen h± määrtelmän johdosta jokasella x B n (0, 1) on vomassa h ± (x) = 1. El kyseessä oleva kuvaus on hyvn määrtelty. 2. Kuvaus h ± on bjekto: Määrtellään p ± : U ± B n (0, 1), p ± (x) = (x 1,..., x 1, x, x +1,..., x n+1 ). Merkntä x tarkottaa, että kysenen koordnaatt postetaan. Nämä kuvaukset ovat vastaaven kuvausten h ± käänteskuvauksa, sllä tosen asteen yhtälöllä n+1 x 2 = 1 on tasan kaks ratkasua. j=1 j 3. Kakk kuvaukset h ± ja p ± ovat jatkuva, jollon h ± on homeomorsm. x 2 j 4. Olkoon x B n (0, 1) sellanen pste, että kuvapste (p ± j h ± määrtelty. Tällön (p ± j h± )(x) = )(x) on (x 1,..., x n ) = d R n(x) (x 1,..., x j 1, x j, x j+1,..., x 1, ± 1 x 2, x +1..., x n ) (x 1,..., x 1, ± 1 x 2, x +1..., x j 1, x j, x j+1,..., x n ), (2.12) jossa ensmmäsessä rvssä = j, tosessa j < ja kolmannessa j >. Koska nelöjuurkuvaus kuuluu joukkoon C (R\{0}) ja lsäks dervaatan ketjusäännön nojalla C -kuvausten yhdstetty kuvaus on C -kuvaus. Nn estys (2.12) näyttää, että kaklla ndeksen ja j permutaatolla kuvauksen p ± j h± kakk komponenttfunktot ovat C -kuvauksa. Nän ollen kaklla, j {1,... n} yhdstetty kuvaus p ± j h± on C - kuvaus. Ss kakk kuvaukset p ± ovat C -yhteensopva keskenään. Perhe {U ± : 1 n} on selväst pallokuoren S n avon pete. Edellsten kohten nojalla perhe karttoja {(U ±, p± ) : 1 n} on pallon Sn C -atlas. Nän ollen Lemman 2.4 nojalla on olemassa maksmaalnen atlas Φ, joka ssältää atlaksen {(U ±, p± ) : 1 n}. Ss par (Sn, Φ) on n-ulottenen C -monsto. 22

23 2.2 Sleät kuvaukset Edellsessä osossa oltn ertysen knnostuneta sleden monstojen dfferentotuvsta struktuuresta. Tästä eteenpän puhuttaessa slestä monstosta, e krjoteta derentotuvaa struktuura näkyvn, elle stä välttämättä tarvta. Olkoot M ja N sletä monstoja ja f : M N kuvaus. Monston M karttaa (U, ϕ) ja N:n karttaa (V, ψ) sanotaan f:n kanssa yhteensopvks, mkäl f(u) V. Tässä tapauksessa kuvaus ψ f ϕ 1 : ϕ(u) ψ(v ) on hyvn määrtelty ja stä kutsutaan f:n lokaalks estykseks kartolla (U, ϕ), (V, ψ) psteessä x M, mkäl x U. Määrtelmä Kuvaus f : M N on sleä psteessä x M, mkäl sllä on olemassa sleä lokaal estys kartolla (U, ϕ), (V, ψ) psteessä x. Jos f:llä on sleä lokaal estys jokasessa M:n psteessä, nn sanotaan f:n olevan sleä M:ssä. Lemma Olkoon f sleden monstojen M ja N välnen kuvaus. Jos sllä on sleä lokaal estys jossan M psteessä, nn kakk f:n lokaalt estykset tässä psteessä ovat sletä. Todstus Olkoon f : M N, kartat (U, ϕ) ja (V, ψ) f:n kanssa yhteensopva sekä y ϕ(u). Oletuksen nojalla on olemassa f:n kanssa yhteensopvat kartat (U 0, ϕ 0 ) ja (V 0, ψ 0 ) sellaset, että ϕ 1 (y) U 0, U 0 U, V 0 V ja kuvaus ψ 0 f ϕ 1 0 on sleä psteessä ϕ 0 (ϕ 1 (y)). Nän ollen pätee ψ f ϕ 1 = (ψ ψ 1 0 ) (ψ 0 f ϕ 1 0 ) (ϕ 0 ϕ 1 ), joka on dervaatan ketjusäännön nojalla sleä y:ssä, sllä ensmmänen ja kolmas kuvaus ovat monston karttakuvauksna sletä. Sleden funktoden määrtelmässä e oleteta monstojen välsten kuvausten jatkuvuutta. Tämä e ole seuraavan lemman nojalla tarpeen. Lemma Jos f : M N on sleden monstojen M ja N välnen sleä kuvaus, nn se on jatkuva. Todstus Sleden kuvausten määrtelmän nojalla on olemassa kartat (U, ϕ) ja (V, ψ) sellaset, että f(u) V ja kuvaus ψ f ϕ 1 : ϕ(u) ψ(v ) on sleä. Ertysest se on jatkuva. Tällön vodaan f U krjottaa muodossa f U = ψ 1 (ψ f ϕ 1 ) ϕ, 23

24 joka osottaa f U jatkuvuuden. Koska f on sleä monstossa M, nn vastaavlla kartolla vodaan pettää koko monsto M. Tällön kuvaus f on jatkuva monstossa M, sllä jatkuvuus on lokaal omnasuus. Sleän monston M denttnen kuvaus d M on sleä, sllä jokasella kartalla (U, ϕ) pätee d M (U) = U ja kuvaus ϕ ϕ 1 = d ϕ(u), joka on sleä. Lemma Jos f : M N ja g : N P ovat sleden monstojen välsä sletä kuvauksa, nn näden yhdstetty kuvaus g f : M P on sleä. Todstus Olkoon x M. Valtaan sellaset f:n kanssa yhteensopvat kartat (U, φ) ja (V, ϕ) sekä g:n kanssa yhteensopvat kartat (G, α) ja (W, ψ), että x U ja f(x) G. Merktään V = V G ja U = U f 1 V. Edellsen lemman nojalla U on avon ja (g f)(u) W. Ertysest ψ (g f) φ 1 φ(u) on g f lokaal estys x:ssä, joka on sleä, sllä se vodaan krjottaa sleden funktoden kompostona seuraavast ψ (g f) φ 1 φ(u) = (ψ g α 1 V ) (α V ϕ 1 V ) (ϕ V f φ 1 φ(u) ). Topologan kannalta tärken mahdollnen sleä kuvaus on sleä homeomorsm. Mkäl sleän homeomorsmn käänteskuvaus on myös sleä, nn tällön homeomorsma kutsutaan deomorsmks. Monstojen M ja N sanotaan olevan deomorset, jos on olemassa deomorsm h : M N. 2.3 Tangenttkmppu ja tangenttavaruus Oletetaan tämän kohdan ajan, että (M, Φ) on n-ulottenen C r+1 monsto ja Φ = {(U, φ ) : I}. Tämän kappaleen tavotteena on määrtellä monstolle M tangenttkmppu ja osottaa sen olevan myös sleä monsto. Tangenttkmpun avulla määrtellään jokaselle monston psteelle tangenttavaruus, joka osottautuu n-ulotteseks vektoravaruudeks. Alotetaan tarkastelemalla joukkoa A M I R n, jossa A = {(x,, a) M I R n : x U }. Määrtellään tähän joukkoon relaato seuraavast (x,, a) (y, j, b), mkäl x = y ja D(φ j φ 1 )(φ (x))a = b. (2.17) Lemma Edellä määrtelty relaato on ekvvalenssrelaato joukossa A. 24

25 Todstus Olkoon (x,, a), (y, j, b) ja (z, k, c) A. 1. D(φ φ 1 )(φ (x))a = I nn a = a jollon (x,, a) (x,, a). 2. Olkoon (x,, a) (y, j, b) ss x = y, x U U j ja D(φ j φ 1 )(φ (x))a = b. Kuvauksen φ j φ 1 käänteskuvaus on φ φ 1 j, joka on Määrtelmän 2.3 nojalla sleä. Tällön seuraavat yhtälöt ovat yhtäptävä keskenään D(φ φ 1 j D(φ φ 1 j D(φ j φ 1 )(φ (x))a = b )(φ j (x))d(φ j φ 1 )(φ (x))a = D(φ φ 1 j )(φ j (x))b )(φ j φ 1 )φ ((x))d(φ j φ 1 )(φ (x))a = D(φ φ 1 )(φ j (x))b D(φ φ 1 j El (y, j, b) (x,, a). φ j φ 1 )(φ (x))a = D(φ φ 1 j )(φ j (x))b I nn a = D(φ φ 1 j )(φ j (x))b. 3. Olkoon (x,, a) (y, j, b) ja (y, j, b) (z, k, c). Tällön x = y = z, x U U j U k ja D(φ j φ 1 )(φ (x))a = b sekä D(φ k φ 1 j )(φ j (x))b = c. Nän ollen seuraavat yhtälöt ovat vomassa D(φ k φ 1 j D(φ k φ 1 j )(φ j (x))d(φ j φ 1 )(φ (x))a = c )((φ j φ 1 )(φ (x)))d(φ j φ 1 )(φ (x))a = c D(φ k φ 1 j φ j φ 1 )(φ (x))a = c D(φ k φ 1 )(φ (x))a = c. Joukon A ekvvalenssluokka merktään tästä eteenpän symbollla [x,, a], jota kutsutaan M:n tangenttvektorks psteessä x. Kakken M:n tangenttvektoren joukkoa el A/, kutsutaan M:n tangenttkmpuks ja stä merktään symbollla T M. Määrtellään seuraavaks projektokuvaus p : T M M kaavalla p([x,, a]) = x. Tämä kuvaus on hyvn määrtelty ekvvalenssrelaaton määrtelmän johdosta. Merktään jokasella A M alkukuvaa p 1 A = T A M. Ertysest, jos U on avon osajoukko, nn (U, Ψ U ) on sleä monsto. Nyt vodaan samastaa T U = T U M, sllä T U M = {[x,, a] A/ : x U} = (A A U )/ = T U, 25 j

26 mssä A U = {(x,, a) A : x U}. Olkoon (U, φ ) M:n kartta. Määrtellään kuvaus T φ : T U φ (U ) R n R n R n T φ ([x, j, a]) = (φ (x), D(φ φ 1 j )(φ j (x))a). Lemma Kuvaus T φ on hyvn määrtelty bjekto. Olkoon [x, j, a] T U ja [x, j, a] = [x, k, b]. Osotetaan kuvauksen T φ koordnaattkuvaukset hyvn määrtellyks. Ensmmänen koordnaattkuvaus vodaan krjottaa muodossa T φ 1 ([x, j, a]) = φ (p([x, j, a])) = φ (x) = φ (p([x, k, b])) = T φ 1 ([x, k, b]). Koska [x, j, a] = [x, k, b], nn x U j U k U ja D(φ k φ 1 j )(φ j (x))a = b, jollon tonen koordnaattkuvaus on T φ 2 ([x, j, a]) = D(φ φ 1 j )(φ j (x))a = D(φ φ 1 k D(φ φ 1 k φ k φ 1 j )(φ j (x))a )(φ k(x))d(φ k φ 1 )(φ j (x))a = D(φ φ 1 )(φ k(x))b = T φ 2 ([x, k, b]). j Injektvsyys: Jos [x, j, a] [y, k, b], nn x y ta D(φ k φ 1 j )(φ j (x))a b. Tällön φ (x) φ (y) ta D(φ φ 1 j )(φ j (x))a = D(φ φ 1 k D(φ φ 1 k )(φ k(x))b, k )(φ k(x))d(φ k φ 1 j )(φ j (x))a. sllä lneaarkuvaus D(φ φ 1 j )(φ j (x)) on njekto. Surjektvsuus: Olkoon (y, a) φ (U ) R n. Koska kuvaus φ on homeomorsm, nn on olemassa ykskästtenen pste x U, jolle φ (x) = y. Kuvauksen T φ määrtelmän johdosta T φ ([x,, a]) = (y, a). Edellsen lemman surjektvsuustarkastelu antaa dean stä, että kuvaus T φ votasn määrtellä tosellakn tavalla. Jos [x, j, a] on T U :n pste, nn on olemassa muotoa [x,, b] oleva pste, joka on tseasassa sama kun [x, j, a]. Tarvtsee van valta b = D(φ φ 1 j )(φ j (x))a. Tämä osottaa, että jokasella T U :n psteellä on estys muodossa [x,, b], jollon T φ ([x,, b]) = (φ (x), b). Määrtellään ss kuvaus T φ uudelleen kaavalla T φ ([x,, a]) = (φ (x), a). Tutktaan seuraavaks kuvausta (T φ j ) (T φ ) 1 : φ (U U j ) R n φ j (U U j ) R n, (2.20) 26

27 joka on Lemman 2.19 nojalla bjekto. Tarkastellaan, kunka pste (x, a) kuvautuu tässä kuvauksessa (x, a) [φ 1 (x),, a] d T M [φ 1 (x), j, D(φ j φ 1 )(φ (x))a] (φ j (φ 1 (x)), D(φ j φ 1 )(φ (x))a). Tästä estyksestä nähdään, että (T φ j ) (T φ ) 1 on jatkuva. Sen ensmmänen koordnaattkuvaus on homeomorsmen yhdstettynä kuvauksena jatkuva. Tonen koordnaattkuvaus vodaan tulkta kuvaukseks (x, a) (D(φ j φ 1 )(x), a) D(φ j φ 1 )(x)a φ (U U j ) R n f d R n GL(n, R) R n u R n, (2.21) jossa u on matrstulo sekä f : φ (U U j ) GL(n, R), f(x) = D(φ j φ 1 )(x). Kakk funktoketjun (2.21) kuvaukset ovat jatkuva, sllä karttakuvausten määrtelmän johdosta kuvaus f on hyvn määrtelty, ja Määrtelmästä 1.5 seuraa sen jatkuvuus. Ss myös tonen koordnaattkuvaus on jatkuva. Koska (2.20):n käänteskuvaus on symmetrnen (2.20):n kanssa, nn on osotettu (2.20):n olevan homeomorsm. Kuvauksen (T φ j ) (T φ ) 1 tarkastelu tarjoaa työkalut määrtellä joukkoon T M topologa. Merktään τ = {(T φ ) 1 (G) : G φ (U ) R n avon}. Määrtellään stten { τ = G : G τ }. (2.22) I Lemma (T M, τ) topolognen avaruus ja τ on anoa topologa, jossa jokanen kuvaus (T φ ) 1 on upotus. Kokoelma τ on määrtelmänsä nojalla T U :n kuvauksen T φ ndusoma topologa. Käydään läp topologan kolme ehtoa. 1. Tangenttkmppu T M τ. Tämä nähdään valtsemalla τ:n määrtelmässä joukoks G = U = (T φ ) 1 (φ (U ) R n ). 2. Jos G, G τ, nn ( ) ( G G = G I I G ) = ) (G G τ. I 27

28 3. Jos G j τ jokasella j J, nn G j = G,j = G,j = G τ, j J j J I I j J I jossa G = G,j τ. j J Lemman 2.19 nojalla (T φ ) 1 on bjekto. Olkoon U T U ja U τ. Jaetaan U osn U (T φ j ) 1 (φ j (U j ) R n ) =: U j, jotka ovat avoma. Edellä osotetun nojalla kuvaus (T φ j ) (T φ ) 1 on homeomorsm, jollon on olemassa jokn φ (U ) R n :ssä avon joukko G sellanen, että U j = (T φ ) 1 G, jollon pätee U j τ ja ss U τ. Nän ollen (T φ ) 1 on τ:n suhteen upotus, sllä se on määrtelmän nojalla upotus τ :n suhteen. Ertysest jokasella I pätee {G T U : G τ} = τ. (2.24) Lsäks topologa τ on ykskästtenen, sllä lsäämällä ta postamalla avoma joukkoja menetettäsn joko kuvauksen (T φ ) 1 jatkuvuus ta avomuus. Lemma Joukko {(T U, T φ ) : I} on T M:n C r -atlas. Topologan τ määrtelmän johdosta perhe {T U : I} on T M:n avon pete, ja kuvaus T φ on edellsen lemman nojalla homeomorsm. Olkoot (T U, T φ ), (T U j, T φ j ) {(T U, T φ ) : I} sellasa, että T U T U j. Tutktaan kaavan (2.20) määrttelemää kuvausta (x, a) (φ j (φ 1 (x)), D(φ j φ 1 )(φ (x))a). Kuvaus φ j φ 1 on monston M karttakuvausten yhdstelmänä C r+1 -kuvaus. Matrsn D(φ j φ 1 )(φ (x)) jokanen solu on monston M omnasuuksen nojalla velä r kertaa jatkuvast dervotuva. Lsäks kuvaus a a on C - kuvaus, jollon tulo D(φ j φ 1 )(φ (x))a) on C r -kuvaus. Edellä olevassa on näytetty, että jokasen muuttujan suhteen jokanen koordnaattkuvaus on jatkuvast r kertaa dervotuva, jollon kuvaus (2.20) on C r. Koska kuvauksen (2.20) käänteskuvaus on lausekkeeltaan samaa muotoa kun (2.20), nn (2.20) on deomorsm. Lause Jokasen n-ulottesen C r+1 -monston tangenttkmppu on 2nulottenen C r -monsto. Lemmojen 2.23 ja 2.25 nojalla rttää osottaa, että T M on Hausdorn avaruus, jolla on numerotuva kanta. Hausdor: Olkoon [x,, a] [y, j, b]. 28

29 1. Oletetaan, että x y. Koska M on T 2 -avaruus, nn on olemassa x:n ja y:n erllset ympärstöt U x ja U y. Projektokuvaus p : T M M on tseasassa sleä kuvaus, kuten myöhemmn osotetaan. Lemman 2.15 nojalla p on jatkuva, jollon p 1 U x ja p 1 U y ovat [x,, a] ja [y, j, b] erllset ympärstöt. 2. Oletetaan, että x = y. Tällön [x,, a] vodaan krjottaa muodossa [y, j, a ] ja a b. Valtaan pstelle a ja b erllset ympärstöt V ja W. Nyt avomet joukot (T φ j ) 1 (φ j (U j ) V ) ja (T φ j ) 1 (φ j (U j ) W ) ovat etstyt erllset ympärstöt. Numerotuva kanta: Oletuksen nojalla M on N 2 -avaruus, jollon se on Lndelöf-avaruus. Karttaympärstöjen joukko {U : I} on M:n pete, jollon on olemassa sen numerotuva osapete {U : J}. Ertysest J I on numerotuva ndeksjoukko. Tällön perhe {T U : J} on tangenttkmpun T M numerotuva pete. Tunnetust jokanen eukldnen avaruus R m on numerotuvakantanen, jollon Lemman 2.23 nojalla jokasella τ :llä on numerotuva kanta B. Merktään B = J B, joka on numerotuva. Olkoon [x,, a] G τ. Koska {T U : J} on T M:n pete, nn on olemassa J jolla pätee, että [x,, a] T U. Kaavan (2.24) nojalla T U G τ. Tällön on olemassa sellanen kantajoukko G B, että Ss B on avaruuden (T M, τ):n kanta. [x,, a] G T U G G. Tangenttkmpun karttaa (T U, T φ ) kutsutaan sen luonnollseks kartaks. Svulla 25 määrtelty projektokuvaus p : T M M on esmerkk monstojen välsestä sleästä kuvauksesta. Olkoon [x,, a] T M. Tällön yhdstetty kuvaus φ p (T φ ) 1 kuvaa psteen (φ (x), a) [x,, a] x φ (x), joka on sama kun eukldsen avaruuden projekto n:lle ensmmäselle koordnaatlle ja p(t U ) = U. Esmerkk Jokasen eukldsen avaruuden R n tangenttkmppu T R n on deomornen avaruuden R n R n kanssa. Todstus Olkoon z = [x,, a] T R n. Psteen x kartaks vodaan ana valta par (R n, d R n) := (U j, φ j ). Tangenttkmpun määrtelmän johdosta psteellä z on olemassa estys [x, j, b], jollon kartta (T U j, T φ j ) on jokasen tangenttkmpun psteen kartta. 29

30 Karttakuvauksen T φ j : T R n R n R n määrtelmän johdosta se on deomorsm, sllä T φ j ([x, j, b]) = (φ j (x), D(φ j φ 1 j )(φ j (x))b) = (x, I nn b) = (x, b). Lähdetään määrttelemään psteen x M tangenttavaruutta. Olkoon U sellanen M:n karttaympärstö, että x U. Määrtellään kuvaus T φ x : T x M R n yhdstettynä kuvauksena T φ T x M T U φ (U ) R n pr 2 R n. (2.28) Osotetaan kuvaus T φ x on bjektoks. njektvsyys: Olkoon [x,, a] ja [x,, b] T x M:n er pstetä. Tällön ertysest a b. Tästä seuraa, että T φ x ([x,, a]) = a b = T φ x ([x,, b]). surjektvsuus: Olkoon a R n. Tällön [x,, a] T x M, ja T φ x ([x,, a]) = a. Joukkoon T x M ndusodaan vektoravaruusrakenne bjekton T φ x vältyksellä seuraavast: 1. [x,, a] + [x,, b] := T φ 1 x (a + b) = [x,, a + b] 2. α[x,, a] := T φ 1 x (αa) = [x,, αa]. Tällön T x M on n-ulottenen vektoravaruus, sllä T φ x on lneaarnen somorsm. Havataan velä, että tämä rakenne on rppumaton ndeksstä. Olkoon j, jolla x U j. Yhdstetty kuvaus (T φ jx ) (T φ x ) 1 = D(φ j φ 1 )(φ (x)), (2.29) sllä [x,, a] T U on sama pste kun [x, j, D(φ j φ 1 )(φ x )a] T U j. Ss kaavan (2.29) funkto on lneaarnen automorsm. Joukkoa T x M kutsutaan psteen x tangenttavaruudeks. Edellä oleva tarkastelu osottaa lsäks sen, että tangenttkmppu on vektoravaruuksen joukko-opllsest erllnen yhdste. 30

31 2.4 Tangenttkuvaukset Tässä kappaleessa tutktaan, kunka monstojen välnen kuvaus nduso kuvauksen monstojen tangenttkmppujen vällle. Oletetaan, että f : M N on C r+1 -monstojen M ja N välnen C r+1 -kuvaus. Olkoon ψ j f φ 1 f:n lokaal estys psteessä x M kartolla (U, φ ) ja (V j, ψ j ). Tutktaan kuvausta (T f) j : T U T V j, [x,, a] [f(x), j, D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a]. (2.30) Lemma Yllä olevn oletuksn määrtelty kuvaus (T f) j : T U T V j on hyvn määrtelty, ekä sen arvo rpu lokaalsta estyksestä. Lsäks (T f) j on C r -kuvaus. Todstus Olkoon [x,, a] T U. Koska f(u ) V j, nn kuvauksen määrttelykaavasta (2.30) nähdään, että (T f) j (T U ) T V j. Valtsemalla [x, k, b] = [x,, a] huomataan, ettevät T f j :n kaks ensmmästä koordnaattfunktota rpu ndeksstä k ta vektorsta b. Rttää ss tutka vmestä koordnaattfunktota. D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a = D(ψ j f φ 1 )(φ φ 1 = D(ψ j f φ 1 k )(φ k(x))b. k φ k)(x)d(φ φ 1 k )(φ k(x))b Olkoot (U, φ ) ja (V j, ψ j ) toset kartat, jolla f:llä on lokaal estys x:ssä. Edellä ollut hyvn määrttelytarkastelu osottaa, ette kuvaus (2.30) rpu lähtöpuolen ndeksestä. Jos [f(x), j, b] = [f(x), j, D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a], nn b = D(ψ j ψ 1 j )(ψ j (f(x)))d(ψ j f φ 1 )(φ (x))a = D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a. Tämä osottaa, ette kuvaus (2.30) rpu myöskään maalpuolen ndeksestä. Tutktaan psteen (φ (x), a) φ (U ) R n kuvaa kuvauksessa T ψ j (T f) j (T φ ) 1 (φ (x), a) [x,, a] [f(x), j, D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a] (ψ j (f(x)), D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a) = (ψ j (f(φ 1 (x))), D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a). Tästä nähdään, että ensmmänen koordnaattfunkto on määrtelmän nojalla C r+1 -kuvaus. Tonen koordnaattfunkto on Lemman 2.25 todstuksen ja sleän kuvauksen määrtelmän nojalla C r -kuvaus. 31

32 Kuvauksen f sleyden johdosta jokasella x M on olemassa f:n lokaal estys kartolla (U, φ ) (V j, ψ j ). Lemman 2.31 nojalla jokasella tangenttkmpun psteellä [x,, a] T M on olemassa ykskästtenen kuvaus (T f) j. Ss vodaan määrtellä C r -kuvaus T f : T M T N sellaseks, että T f T U = (T f) j. Tätä kuvausta kutsutaan f:n tangenttkuvaukseks. Lause Olkoon f : M N sleden monstojen välnen sleä kuvaus ja x M. Tällön tangenttkuvaukselle (T f) : T M T N pätee: 1. T f(t x M) T f(x) N 2. T f TxM on lneaarkuvaus. Kuvausta T f TxM : T x M T f(x) N merktään T x f:llä. Todstus Koska f on sleä, nn on olemassa sen lokaal estys psteessä x kartolla (U, φ ) (V j, ψ j ). Tällön T x M T U. Olkoot psteet [x,, a], [x,, b] T x M ja α R. Kaavan (2.30) nojalla väte 1 pätee ja T f([x,, a]+[x,, b]) = T f([x,, a+b]) = [f(x), j, D(ψ j f φ 1 )(φ (x))(a+b)] ja = [f(x), j, D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a] + [f(x), j, D(ψ j f φ 1 )(φ (x))b] = T f([x,, a]) + T f([x,, b]) T f(α[x,, a]) = T f([x,, αa]) = [f(x), j, D(ψ j f φ 1 )(φ (x))αa] josta seuraa väte 2. = [f(x), j, αd(ψ j f φ 1 )(φ (x))a] = αt f([x,, a]), Tutktaan seuraavaks, kunka kahden tangenttkuvauksen yhdstetty kuvaus käyttäytyy. Alotetaan tarkastelu merktsemällä projektokuvauksa seuraavast p M : T M M ja p N : T N N. Lemma Sleällä kuvauksella f ja sen tangenttkuvauksella T f on seuraava yhteys p N T f = f p M. 32

33 Todstus Olkoon [x,, a] T M. Vodaan olettaa, että f:llä on x:ssä lokaal estys kartolla (U, ψ ) (V j, ψ j ). Jos lähtöpuolen ndeks on väärä, nn korvataan [x,, a] = [x,, a ]. Kuvauksen T f ja projektoden määrtelmen nojalla, (p N T f)([x,, a]) = p N ([f(x), j, D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a]) = f(x) = (f p M )([x,, a]). Lemma Monston M denttsen kuvauksen d M d T M. tangenttkuvaus on Todstus Koska mlle tahansa psteelle x M vodaan valta denttsen kuvauksen d M lokaal estys karttana (U, φ ), kunhan x U, nn väte seuraa suoraan kaavasta (2.30). Lemma Olkoon f : M N ja g : N Q sleden monstojen välsä sletä kuvauksa. Tällön T g T f = T (g f), joka on sleä. Todstus Lemman 2.16 nojalla kuvaukset g f : M Q ja T g T f : T M T Q ovat sletä. Tällön Lemman 2.31 nojalla T (g f) : T M T Q on hyvn määrtelty ja sleä. Olkoon [x,, a] T M. Olkoon g f:llä lokaal estys kartolla (U, φ ) (V j, ψ j ) psteessä x. Tosaalta kuvauksella f on lokaal estys psteessä x kartolla (U, φ ) (W k, ϕ k ) ja kuvauksella g on lokaal estys psteessä f(x) kartolla (W k, ϕ k ) (V j, ψ j ). Nyt pätee x U U, f(x) W k W k ja g(f(x)) V j V j. Lemman 2.31 nojalla tangenttkuvausten arvot evät rpu lokaalesta estyksstä. Tällön (T g T f)([x,, a]) = T g([f(x), k, D(ϕ k f φ 1 )(φ (x))a]) = [g(f(x)), j, D(ψ j g ϕ 1 k )(ϕ k(f(x)))d(ϕ k f φ 1 )(φ (x))a] = [g(f(x)), j, D(ψ j g f φ 1 )(φ (x))a] = T (g f)([x,, a]). Lause Olkoon M ja N sletä monstoja, x M ja f : M N deomorsm. Tällön pätee: 1. T x f on somorsm 33

34 2. Monstot M ja N ovat samanulottesa. Todstus Oletuksen nojalla f : M N ja f 1 kuvauksa. Kahden edellsen lemman nojalla : N M ovat sletä T f(x) f 1 T x f = T x (f 1 f) = T x (d x ) = d TxM. Koska tonen suunta on vastaava, nn väte 1 seuraa Lauseesta Väte 2 seuraa vätteestä 1, sllä vektoravaruuksen T x M ja T f(x) N dmensot ovat kohdan 1 nojalla samat. Tosaalta tangenttavaruuden dmenso, joka nähdään kaavasta (2.28), on sama kun monston M dmenso. Tämä osottaa vätteen 2 todeks. Lause (Käänteskuvauslause slelle monstolle) Olkoot M ja N sletä monstoja, G M avon, x G ja kuvaus f : G N sleä. Mkäl kuvaus T x f : T x M T f(x) N on lneaarnen somorsm, nn psteellä x on sellanen ympärstö U G, että f U : U f(u) on deomorsm. Todstus Olkoon ψ j f φ 1 f:n lokaal estys psteessä x kartolla (U, φ ) ja (V j, ψ j ). Lokaal estys on oletuksen nojalla sleä kuvaus avomesta joukosta φ (U) R n avomeen joukkoon ψ j (V ) R m. Olkoon vektor [x,, a] T x M. Kaavan (2.30) nojalla T x f([x,, a]) = [f(x), j, D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a]. Oletuksen nojalla T x f on bjekto, jollon lneaarkuvauksen a D(ψ j f φ 1 )(φ (x))a täytyy olla njekto. Oletuksesta T x f on somorsm seuraa tangenttavaruuksen dmensolle dm(t x M) = dm(t f(x) N), jollon edellä olleen lneaarkuvauksen matrs on kääntyvä nelömatrs. Lsäks lokaaln estyksen lähtöja maalavaruudet ovat samanulottesa eukldsa avaruuksa. Yllä oleva tarkastelu mahdollstaa Käänteskuvauslauseen soveltamsen. Käänteskuvauslauseen nojalla lokaaln estyksen rajottumalla (ψ j f φ 1 ) U on sleä käänteskuvaus g : V U, jossa U ja V ovat avoma. Ss lokaaln estyksen rajottuma on deomorsm. Joukot φ 1 (U ) =: U ψj 1 (V ) = V ovat avoma, x U ja f(u) V. Kuvaus f U on deomorsm, sllä se vodaan esttää deomorsmen yhdsteenä seuraavast: fu = (ψj 1 V ψ j V ) f (φ 1 U φ U ). 34