Rak Rakenteiden mekaniikka C (4 ov) Tentti

Transkriptio

1 Rk-54.6 Rkeneden meknkk (4 ov) Ten..8 Krjo jokeen koeppern elvä - koko nme puhuelunm llevvun - oo vuokur enn pävämäärä j enävä opnojko koodeneen - opkeljnumero mukn luken rkukrjn - moneko ker ole opnojko enmää - mnä vuonn ole nu enokeuden pkolle koehävä uormll ) Suorn uvn kdmenonen knemkk määrellään hälöllä u( ) u ( ) e + v ( ) e u( ) β() v ( ) w () jo on uvn keklnjn uunnen koordn j on uvn keklnjn normln uunnen koordn. Johd vrulen ön pereell pnohälö ulokeuvn jännreulnelle el momenlle M j lekkuvomlle Q ekä vv reunehdo. Suvn jknunu kuorm on q ( ) j uvn puu on. ) Määrä oheen kuvn vomelle kolmopokklekkukelle () väänöjäh j () lekku- el väänökekön em. () Selvä läk nlle j kvojen vull men kärmjäh lken. ppojen pkuu on j puude ov b ekä b /. b b b / b / ) Nelöln vum on pkuu j vuujäkk D E / [( ν )]. kuorm vpn nurkn pekuorm. () on vp ueu oheen kuvn muke hä vu j hä hlkj pkn. ke rvo ln mkmpumlle käämällä Krchhoffn lmll j poenlenergn mnmn pere ekä oveluv pumn refunko. () Men pumn refunko on muuev jo vun uunnen vp uen muuen jäkäk uennk mu hlkjn uunnen uen pdeään ennlln? 4) Suvn puu on vuujäkk E j m puukkköä koh m. () Johd jkuvmen uvn vuuväräheln odfferenlhälö. () Määrä ää pnohälöä ovelen oheen uvn ln omnkulmjuu. Suv on oe pääään jäkä ueu j oe päää on jäkkä rulluk. () Hhmoele läk kolme ln omnkulmjuu vv värähelmuodo. Em x

2 Rk-54.6 Rkeneden meknkk RM (4ov) Kvkokoelm enn..8 ää perukvoj kvkokoelm RM- j RM-. Muodonmuuoke kkdmenoe puke ε u u u u e ε e γ e + e Sänen vrulnen ö δw δ d Ulkonen vrulnen ö δw F δud + T δud u ST rulen ön pere δw + δwu Suvn jännreuln: momen normlvom j lekkuvom M ( ): σ ( ) d N( ): M ( ): σ ( ) d ( ): τ ( ) Q d äänöjäh umpnelle reällelle monoelle ohuelle uorkeelle ekä k- j monkoeloelle uvlle ψ ψ p + ( z ) d z ( Hr + Φ d ) Gθ M Φ Gθ d w d d d d q Gθ Sekorlnen koordn peen uheen ± h d [( z z ) d ( ) dz] Sekorle ulomomen d z z d Jähmomen z d z d z b z d KÄÄNNÄ!

3 äänö- el lekkukekö zz z z + ; + joz z z zz z z z ; joz z z z Sekorlnen nen momen väänökekön ekorlelle koordnlle S ˆ ˆ d Normeeru väänökekön ekorlnen koordn Sˆ ˆ Sekorlnen nen momen S () () d Sekorlnen väänöjäh el kärmjäh d oenlenerg Π U + Muodonmuuoenerg U d Ulkoen kuormuken poenl F ud T ud S T Krchhoff-ln muodonmuuoenerg D w w w w w U d {( ) ( ν)[ ( ) ]} d + x x x D E ( ν ) Suvn vuuvärähel ( Ev''( x ))'' + mvx ( ) px ( ) vx ( ) X( xt ) () T( ) n( ) + co( ) T ( ) T ( ) + 4 m X x X x E ''''( ) ( ) X( x) n( λx) + co( λx) + nh( λx) + coh( λx) ää perukvoj kvkokoelm RM- j RM-. λ 4 m E

4 Rk-54.6 Rkeneden meknkk (4 ov) Rkuvelmä enn..8 [ulu pe]. Tehävä: Muodonmuuoke ov n u u ε e β'() u v ε e u u v u γ e + e + w'() β(). [ p.] Sänen vrulnen ö on muoo δw δ d ( σ δε + σ δε + τ δγ ) d { σδ( β ') τδ( ' β) } + w dd σ ( ) d δβ '() + τ ( ) d ( δ w' δβ )() d { δβ δ δβ } : M ' + Q ( w' ) d mä momen määrellään luekkeell M ( ): M( ): σ( ) d j lekkuvom on vv muoo Q(): Q(): τ ( ) d. [ p.] Ulkonen vrulnen ö vodn luu muodo δw F δud + T δud u ST q( ) δv( ) dd δw( ) q( ) dd Fδw d mä kuormreuln on F( ): q( ) d. rulen ön pereen mukn δw + δw joen { } M δβ ' Q( δ w' δβ ) d + F δ w d. [ p.] Onegromll dn {( ' ) ' } [ ] [ ] M + Q + Q w d + M Q w F w d. Jo ämä hälö päee kkll vroll δβ j δ w on pnohälöden M' + Q j Q' F ekä jäkä knnen ( ) j vp reunn ( ) reunehojen olv vom: δβ kun j M kun δ w kun j Q kun. [ p.] u

5 . Tehävä: () äänöjäh: b ( + / ) b ( + ) b. [ p.] () äänökekö: ken enn profln pnope profln uor kulm mun: b b b b + b + /b + /b b z. b + b + /b + /b 4 een en z -koordno () pnopeeeen ( (b) peeeen jo väännön klnen muodonmuuo hävää muuen ll olev väänökekön kv evä päde ellenn) uorn kulmn muodoven lppojen uune. () nopekoordno lkeu koordnjkum nv jähmomen (ere z ) (+ 5 ) b z d 4 (+ 5 ) b z d 4 z ( 6) b z d. 4 een nppe profln uorn kulmn jollon peeeen lvllä profln lpoll päee. Jo povnen uun kerää vpävään nn voll llpll kv noll lnere rvoon ( b/)( b/) b / j voll lälpll rvoon b /. Koordnjkumen vull dn ekorle ulomomen ( ) d + b b ( ) z d + + b b z Nää dn edelleen väänökekön koordn zz z +.458b z z z z z z z z [ p.] 4 4 äänökekö jee profln nurk ulopän molempn koordnuunn mn.458b.4b verrn. 4 (b) klen rmän edeään n mmern perueell hävävän peeä jo mmer-kel lekk profln el peeä. een n z -koordno peeeen uorn kulmn muodoven lppojen uune. Tää koordno lkeu koordnjkum nv jähmomen (ere z ) (+ ) b z d

6 (+ ) b z d z b z d. 6 een nppe profln uorn kulmn jollon peeeen lvllä profln lpoll päee. Jo povnen uun kerää vpävään nn voll llpll kv noll lnere rvoon ( b/)( b/) b / j voll lälpll rvoon b /. Koordnjkumen vull dn ekorle ulomomen b/b b b/b b 4 ( ) ( ) d + + b b 6 4 b/b b b/ b b 4 ( )( ) z z d + + b b 6 4 Nää dn edelleen väänökekön koordn zz z +.4b z z z z z z z z [ p.] Sn m ulo kun -kohdn koordnovlnnll. () Kärmjäh: äänökekön uheen lkeu normeermomn ekorlen koordnn jkum j vv ekorlnen nen momen dn kvo ˆ S ˆ ˆ d. ˆ ± h d [( z z ) d ( ) dz] Normeeru väänökekön ekorlnen koordn j ekorlnen väänöjäh el kärmjäh Sˆ ˆ d. [ p.]

7 . Tehävä: () p uen reunll j hlkjll: een x -koordno ln uenojen rekohn el ln lnurkkn vujen uune j käeään ln pumlle pprokmo w w( x ) x( x) jok oeu poenlenergn mnmpereen vm kneme reunehdo w( ) (ven vu) j wxx ( ) (hlkj x ). Selveäväk jää k unemon vko w. [/ p.] Tälle pprokmolle päee w w w w w x x joen ln muodonmuuoenerg on D w w w w w U d {( ) ( ν)[ ( ) ]} d + x x x D w w {( ) ( )[ ( ) ]} d ν w w w D{( ) + ( )( ) } d D( ) ν ν [ p.] Kokonpoenlenergn lueke on Π U + mä kuormn poenlenerg on F δud T δu d w( ) w. [/ p.] S T Kokonpoenlenergn D( ν) w Π U + + w mnm vuen kun Π Π D( ν) δπ δw w + w w w D( ν) Mkmpum vuen ln kuormeu nurk: wmx w( ) w [ p.] D( ν) () Reunll jäkkä uen hlkjll vp uen: een x -koordno ln uenojen rekohn el ln lnurkkn vujen uune jollon vodn käää ln pumlle pprokmo w w( x ) x ( x) jok oeu poenlenergn mnmpereen vm kneme reunehdo w w( ) ( ) x (ven vu) j wxx ( ) (hlkj x ). [ p.]

8 4. Tehävä: () Krjoen puor vompnoeho ekä momenpnoeho dfferenlelle plkn päkälle: Qx ( + x ) Qx ( ) + px ( ) x mvx &&() x M( x+ x ) M( x ) Qx ( ) x+ [ px ( ) mv&& ( x )]( x) / Q ( x) p ( x) M ( x+ x) Jkmll hälö puoln puudell x käämällä dervn määrelmää j jäämällä po korken een erm dn pnohälö j vuuväräheln hälö Q ( x+ x ) M ( x) d Qx () mv ( x) + px ( ) mvx &&( ) dx Ev () x + mvx &&() px () d M( x ) Qx ( ) dx Tää on käe momenn j lekkuvomn määrelmä M Ev '' j Q Ev ''' ekä oleeu eä E on vko. Omnvärähel-hälön rku eään muodo vx ( ) X( xt ) () jok jomll hälöön n T&& + T E X T m X && T m X X E () Näden hälöden rku ov T( ) n+ co X( x) D nγx+ D coγx+ D nhγx+ D cohγx 4 4 m γ. [ p.] E Reunehdo ov rullukpäädä v'() Q() j jäkä ueu päää v ( ) v'( ) jo eur X '() X'''() X( ) X'( ). Nää dn ehdo D D j ol γ γ γ γ D + D D + D el Dcoγ+ D4cohγ coγ cohγ D Dγ nγ+ D4γ nhγ γ nγ γ nhγ D 4 Yhälörhmän keromlle dn noll erov rku jo kerronmrn deermnn hävää: γ nhγcoγ+ γ nγcohγ nhγ+ nγ. Yhälöä vodn rk rvo γ j lopul omnkulmjuude E γ... m γ.65 E E 5.6 γ. [ p.] m m () Omnmuodo noudv reunehoj: kermä on noll molemm päädä j läk rmä on noll jäkää päädä. X :llä e ole hään olmukoh X :ll on k j X :ll kk. Solmukohdll rkoen ää plkn omnmuodon j plkn deformoumomn lkuln lekkupeä. [ p.]