Markovin ketju. Stokastinen prosessi. Markovin ketju. Markovin malli: DNA esimerkki. M-ketju:homogeeninen ja ei-homogeeninen

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Markovin ketju. Stokastinen prosessi. Markovin ketju. Markovin malli: DNA esimerkki. M-ketju:homogeeninen ja ei-homogeeninen"

Aurora Laine
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Soke roe Mkäl lmöö lyy uuu (okuu), uhu ok roee. Soke roe vod myö ähdä oukko umuuu X() oll o ey relo x(). Proe o oääre, o e lolle omuude evä muuu myöä (em. odourvo, vr). Ak vo oll kuv dkree, mo X() Mrkov keu Trkell lmöä o hum A odeäköyy ruu v o hum A edelävä hum. ESIM: Olee eä ukleode {,,,} odeäköyy eyä DNA ekveä ruu edelävä ukleodeä: (eurv ukleod edelävä ukleod)) ( ). ( ).3 ( ). ( ).4 ( ). ( ). ( ).4 ( ).3 ( ). ( ). ( ).3 ( ).4 ( ).3 ( ). ( ).4 ( ). Tällää mll kuu. kerluvu Mrkov mllk: mll oke rv odeäköyyke umm o.. kerluvu M-mll ol vuoro (e ruvuu edeläää): (). ().3 (). ().4 Eää. kerluvu Mrkov mll? Mrkov keu ESIM: Trkell edelle :ke vull ekveä:. kerluvu mllll ekve odeäköyy P(X) o: P(X) () () () () () ().4 Mrkov mll: DNA emerkk DNA mll vod eää rfe (huom! v muum (..) rrey) ( ) ( ). kerluvu mllll odeäköyy P(X) o: P(X) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).6 Mä :ä () o käyey keu lkulodeäköyyeä Ue odeäköyy lke lorme yheelku: lo b lo + lo b Lorme käyö myö eää l ellä luvull kerome oelm o ekve ov kä: 5 ukleod ekve :yy luokk - (lo - -). ( ) ( ) ( ) Kuk mo ehdoll :ä rv DNA mllukee. kerluvu Mrkov mllll? Rku: 4 + Eää :e roeekve? Rku: + ( ) Mrkov keu DNA ekve Mrkov keu rymäodeäköyyde emod ekved. M-keu:homoeee e-homoeee Emerkk määrele ( ):. Määrelmä ( )(,)/(). Lke kuk mo ker eyy ekveä (olee eä ) 3. Lke kuk mo ker eyy : älkee (olee eä ) 4. Olkoo ekve uu N 5. Sd ehdyllä oleukll ( )(/N)/(/N).

ESIM: Olee eä ukleode {,,,} odeäköyy eyä DNA ekveä ruu edelävä ukleodeä: (eurv ukleod edelävä ukleod)) ( ). ( ).3 ( ). ( ).4 ( ). ( ). ( ).4 ( ).3 ( ). ( ). ( ).3 ( ).4 ( ).3 ( ). ( ).4 ( ). Tällää mll kuu.

2 Mrkov keu Trkell yeemä o kkk :ää mhdoll l merkää E :llä. Olee eä yeem o hekellä l E Srymäodeäköyyä l E (hekeä ) l E k (hekellä +) merkää k :ll. Mrkov keu yleeä olee eä lrymäodeäköyy k o rumo (homoeee keu). Sd rymäodeäköyymr P: Mä o y k k kkll rvoll? Läk rv. lkulkum π mlllle kklle lolle E HUOM! oku edeää eä yeem lo eyä l E, ollo π π ku. Mrkov keu Me lke roe, ok oud Mrkov keu, ryä khde kykkö k l E (hekellä ) l E (hekellä +)? Olkoo kyyy odeäköyy Mrkov umuuulle ryä l E l E khde kykköä. Me : rvo d? Rku: lke kerolkuääöllä k k k, kok Mrkov umuuu ää oll väll E k (hek +). Voko k oll? Määrellää P () mrk ok (,) eleme o Me P () uheuuu rymäodeäköyymr P? Rku: P () P, mä P rymäodeäköyymr koroeu oee oe P PP. Mrkov keu Yleeyä P () P Mu me lke P helo? Käyeää mr P omrvo omvekore hyväk. P o R x mr, oll omrvo λ, λ, λ ok d yhälöä de( P - λi) Olee eä kkk λ ov erllä Kklle λ o olem okeuolee omvekor r vemmuolee omvekor l eä: Pr λ r l T P l T λ Olee eä ämä omvekor ov ormlodu,. l T r kkll. Tällö P vod määrää P λ r l T Kok o λ P: omvekor λ o P omvekor, ollo P λ r l T ehye olemue olle vom Mrkov keu: borov l Mrkov keu o olev borov l E o (el ku. Emerkk ohee Mrkov keu l E o borov el keu ääyy l E. P KYSYMYKSIÄ: ) Jo Mrkov keu o uem borov l, mkä o eä ämä l loul vue? ) Mkä o kekmääräe ryme lukumäärä ollo borov l vue? Mrkov keu: borov l KYSYMYS :.. mkä o eä borov l vue RATKAISU: Olkoo Mrkov keu l E rymä mr P lko Trkell u o E E ov borov lo el ku ku. Olkoo w,,3, - eä loul hekellä oll l E ku lähdeää l E. Vod oo eä ällö odeäköyyde w d yhälöä (,..,): w w + - Jo v yk borov l E ääyä l E o. Mrkov keu: borov l KYSYMYS : kekmääräe ryme lukumäärä ollo borov l vue? RATKAISU: Trkell u o E E ov borov lo. Vod oo eä o o kekmääräe ryme lukumäärä ääyä lkul E borov l, : d yhälöryhmää (,..,-): - + Yhälöryhmää reueho. Jo v yk borov l E, ällö yhälöryhmä d muooo: mä reueho. - +

Mrkov keu Me lke roe, ok oud Mrkov keu, ryä khde kykkö k l E (hekellä ) l E (hekellä +)? Olkoo kyyy odeäköyy Mrkov umuuulle ryä l E l E khde kykköä. Me : rvo d?

3 M-keu: e borov l Olee eä Mrkov keu, o e ole borov l, o äärelle e-erodlle eä kkk l ov vuev rum lähöl. ESIM: Keu ok rymä- mr o ohe muoo o erodlle P 3 4 Trkell eurvk Mrkov keu oäärä l 3 4 Jo keu rymä- mr o P eä lle eä M-roe o l E hekellä o Tällö eä hekellä + roe o l E o k k k Jo ämä odeäköyyde evä muuu hekeä hekee + ällö o eä Mrkov keu o STATIONÄÄRISESSÄ l. M-keu: e borov l Mrkov keulle, o e ole borov l, ok o äärelle eerodlle eä kkk l ov vuev rum lähöl, o olem ykkäee oääre kum Merkää T (,, ) d oäärä kum vv yhälö: T T P Vekor T o myö oudev roe T (. ), (,,)T El ku -> oääre kum P () o M-keu: e borov l ESIM: Olkoo Mrkov keu rymä- mr P Määrä ämä Mrkov roe oääre kum Rku: Rk yhälöryhmä T T P ehdoll T ollo uloke o T (.44,.385,.69,.667). Tää emerkk o P (6) Mrkov keu DNA ekve Jo Mrkov keu ol hyvä mll eulle DNA ekvelle, ää e lolle ovko Mrkov keu ruvuu vom ekve ol. Trkell luk. kerluvu Mrkov mll DNA ekvelle, ok koouu ukleod {,,,}. Sekveä lke eymäulukko ukleod kohd ukleod kohd + x x x 3 x 4 x x x 3 x 4 x 3 x 3 x 4 x 4 x x x3 x4 x x 3x 4x χ e Trkell loll χ e khde kum verlemee Teoreem: Jo,, k e, e k ov hvu ( ) odoeu (e ) määrä yryke uookokee o k mhdoll uloulo, ällö ku -> umm k ( - e ) e kum oud χ kum k- vue. ESIM: Yloo kveee lokell reye ruuu, uloke u, 48 kel, 36 ä 3 vole ruuu. Tukmu ohv rofeor ole eä väre uhee ov 9:3:3:. Oko eulo okkev rofeor eor? RATK: Hyoee H : 9/6, 3/6, 3 3/6, 4 /6 ov : mulomkumlle o 4 uloulo e Ny y {( - e ) /e }.9, kok Y~Ch(3/) F χ (.9).4 oe 59%: odeäköyydellä eor äee (kre rvo F χ (7.8).95) ukleod kohd Mrkov ruvuue ukleod kohd + x x x 3 x 4 x x x 3 x 4 x 3 x 3 x 4 x 4 x x x3 x4 Te ovko uluko keormuuu (rv rkkee) o lolle rumom ollo eoll e ole. kerluvu Mrkov ruvuu. Te hyoee H : H : ukleod eyä kohd + o rumo ukleod kohd. Jo H o o X : odourvo o E[X ]E x x / el ukleod kohd + o rumo ukleod kohd. Tämä oh χ e, o käyeää umm y {(x - E ) /E }, o umuuu Y~Ch(v/), mä vuede lkm v(4-)(4-)9. Jo F χ (y, v) >.95 H eäo ällö o. kerluvu M ruvuu x x 3x 4x 3

evä muuu hekeä hekee + ällö o eä Mrkov keu o STATIONÄÄRISESSÄ l.

4 ESIM: ukleod kohd Aovuue ukleod kohd x 6 x 8 x3 x4 99 Yhee ä x 3 x 6 3x 5 4x 6 46 Ny E[X ]E x x / Ch umm y {(x - E ) /E }, o umuuu Y~Ch(v/), mä vuede lkm v9. Mrkov keu DNA ekve χ eä rkem eä deää ylee loλ eä loλ e lähökoh o uk oleev hyoee H ämä vkke hyoee H mkmodeäköyykä. -lo λ: erm λ o. lkelhooduhdeerm, o rkell hyoee H mkmodeäköyyde L mx (H ) uhde hyoee H mkmodeäköyyee L mx (H ): λ L mx (H ) / L mx (H ) IDEA: Hyoee H e ro mll, H ro. Erä elkeyä: o λ o lähe ällö hyoee H vom. Summ y9.4 Kok F χ (9.4,9).999 >.95 ällö hyoee H o eäo el o olem. kerluvu Mrkov ruvuu. Mrkov keu DNA ekve ukleod kohd ukleod kohd + x x x 3 x 4 x x x 3 x 4 x 3 x 3 x 4 x 4 x x x3 x4 Hyoee H : Tuluko rv rkkee rumom. Olkoo eä melvle vlu äye ouu eleme (,). Olkoo x eä äye ouu rvlle vv x eä rkkeelle. Rumomuu -> x x, mä x, x. Ny kokoodeäköyy uluko dlle o L(H ) M ( x x ) x, mä M o mulomkum vko. x x 3x 4x Mrkov keu DNA ekve Mkmod L(H ), ollo d L: mkm vv em odeäköyyklle: ˆ / ˆ / Sd L mx (H ) x x L mx (H ) M Hyoee H : Rvellä rkkell e ruvuuroe Todeäköyy uluko eleme (,) rvolle o muoo, ollo kokoodeäköyy uluko dlle o L(H ) M ( ) x, ok mkmo mx{l(h )} oh ˆ x / Sd L mx (H ) x x x L mx (H) M -lo λ k λ L mx (H )/L mx (H ) Ny -lo λ {x lo(x /E )}, mä E x x /. x x x x Mrkov keu DNA ekve Ny -lo λ {x lo(x /E )}, mä E x x /. -lo λ k uhee vod od eä o hyoee H o o, ällö -lo λ läheyy ymooe χ kum mä vuede lukumäärä o hyoee H määreläväk ääede rmere lukumäärä. Emerkk edellä v9 (HUOM! edeää x x ) Todu: Olee eä x o lähe E el x E (+δ ) ollo -lo λ E (+ δ )lo(+ δ ) Kok lo(+x) x - x / + o(x ) ällö -lo λ E (+ δ )(δ -.5 (δ ) ) Jo erm (δ ) 3 olee ollk käyeää ulo δ (x -E )/ E d -lo λ (x -E ) /E, ok o χ kuuu. -lo λ k käyää erye.-kerluvu Mrkov mll ruvuude euke, mä >. Nää uke muodoe vv ulukko mouloee. Mrkov keu eee eää Mrkov keu o eey käyeäväk erye eumlle eee eää (3 mhdoll lku- loukodo, 6 koodv kodo). 4

lkelhooduhdeerm, o rkell hyoee H mkmodeäköyyde L mx (H ) uhde hyoee H mkmodeäköyyee L mx (H ): λ L mx (H ) / L mx (H ) IDEA: Hyoee H e ro mll, H ro. Erä elkeyä: o λ o lähe ällö hyoee H vom. Summ y9.

5 Mrkov keu eee eää 5. Kerluvu keu o hvu rhmmk eumlle eee eää eää. Mk 5. kerluvu? Ku käyeää 5:ä edelävää ukleod ehdoll odeäköyykä rkelv ukleod ol, ällö e rkell kh eräkkää kodo. Bkeere eom ov rävä kä o vod emod kkk rvv odeäköyyde. 8. kerluvu keu vo oll o velä rem, mu ällö ä emod erä odeäköyyä. ESIM: Sekve AAGACGTGCAT odeäköyy 5. kerluvu mllll: P(A)P(A A)P(G AA)P(A AAG)P(C AAGA)P(G AAGAC)P(T AGACG) Mrkov keu eee eää Trkell mk korkemm kerluvu Mrkov keu ov rem. Olee eä. kerluvu mll o oke mll eelle. Tällö ekvellä GGCGA odeäköyy P(A GGCG)P(A G). Olee eä erehdykeä käyeää. kerluvu keu. Tällö vmee A: odeäköyy lke P(A CG):llä. Kok. kerluvu mll oke, khde emäke käyö o merkykeö, kok P(A CG)P(A AG)P(A GG)P(A TG)P(A G). ELI: Jo käyöä rävä d emom P(A CG).kerluvu mll ok oke, ällö d P(A CG): rvok m rvo ku P(A G):llä. Jo kuek. kerluvu mll ol ollu oke,. kerluvu mll ol ollu rämäö odeäköyyke lke! Mrkov keu eee eää Alorm: eumlle eee eä Mrkov keull.. Kerää eumlle G ueu ee (eoko) ORF:ää (ORFlkukodo + koodv kodo + loukodo) ekveäkää, ok e eeä.. Oe verlumll M (Em. emo : 5. kerluvu keulle, mhd. myö e-homoeee), ok v eemll M G, kkll ekveäkllä. 3. Oe eemll M G G ORF edoll. 4. Ver uemom luokelv ORF: verlumll M eemll M G odeäköyykä P P G : Jo P G / P >, ällö luokele ORF eek. Kyyrvo vod määrää lolle oeueoo kuuluve ee/e-ee ORF:e vull: emo e rvo :lle (kokelemll), ok oeueo rh luokeluuloke. 5. Päällekkä meeve ORF: uke, lke kklle älle erkee odeäköyyde. Mrkov keu eee eää Muuelm edellä muu lorm lee o käyeää v eee ORF:ä: Verlumll vod käyää. kerluvu Mrkov mll el emod P(A), P(C), P(G) P(T) d vull. Tällö P G /P omäärää vod rvod kue ormlk lkelhooduhde. 5

kerluvu mllll: P(A)P(A A)P(G AA)P(A AAG)P(C AAGA)P(G AAGAC)P(T AGACG) Mrkov keu eee eää Trkell mk korkemm kerluvu Mrkov keu ov rem. Olee eä. kerluvu mll o oke mll eelle.

Samankaltaiset tiedostot

Tekes: Korjausrakentamisen kehittäminen -teema TEEMAN TILANNEKUVA

Tekes: Korjausrakentamisen kehittäminen -teema TEEMAN TILANNEKUVA eke: Krurkee kehäe ee EEMN ILNNEKUV J Sre, kvr, V llce Prer Oy 20.11.2013 J Sre Älykä rkeeu elypärö: V Lkee Rkeuke Su edelläkävä älykkää re plvelu eklg, k udv u ue, yö vp kkuuk. eke edää käyäe, yrye ekä