4. Integraalilaskenta

Transkriptio

1 4. Inegrlilsken Joh8elev esimerkki: kun hiukksen pikk s( erivoin jn suheen, sn hiukksen nopeus: v( = s'( Kun nopeus erivoin jn suheen sn kiihyvyys ( = v'( Kääneinen ongelm: hiukksen kiihyvyys on (. Mikä on hiukksen nopeus v( j pikk s(? Trvin erivoinnille vskkinen lskuoimius: inegroinj s( erivoinj v( erivoinj ( inegroinj inegroinj Inegroinnin kksi ulkin. Määräämäön inegrli eli inegrlifunk3o InegroinJ on erivoinnille kääneinen prosessi F( = f( keroo minkä suheen inegroin Inegroinnin merkki f(=f(+ C f(:n inegrlifunkjo inegroimisvkio funkjo mikä piäisi inegroi (F( + C = (F( + (C = F( + = F( Inegroinnin kksi ulkin. Määräämäön inegrli eli inegrlifunk3o InegroinJ on erivoinnille kääneinen prosessi F( = f( f(=f(+ C (F( + C = (F( + (C = F( + = F(

2 Inegroinnin kksi ulkin. Määräämäön inegrli eli inegrlifunk3o InegroinJ on erivoinnille kääneinen prosessi F( = f( keroo minkä suheen inegroin Inegroinnin merkki f(=f(+ C f(:n inegrlifunkjo inegroimisvkio funkjo mikä piäisi inegroi (F( + C = (F( + (C = F( + = F( Inegroinnin kksi ulkin. Määräämäön inegrli eli inegrlifunk3o InegroinJ on erivoinnille kääneinen prosessi F( = f( keroo minkä suheen inegroin Inegroinnin merkki f(=f(+ C f(:n inegrlifunkjo inegroimisvkio funkjo mikä piäisi inegroi (F( + C = (F( + (C = F( + = F( Sm grfisesj Enä jos v ei ole vkio? Peruskoulup rkis eellä ollu esimerkki: muisjsäänöjen vull (esim s( =.5 + v + s jos vkio i grfisesj. Jos hiukksen nopeus v( = v = vkio, niin hiukksen ikn kulkem mk s( on v. v( v s( = v v( s( = v( Grfinen inegroinj

3 Inegroinnin kksi ulkin. Määrä6y inegrli eli inegroin3 sijoiusrjoill FunkJon f( inegrli välillä [,b] on käyrän f( j - kselin väliin jäävän lueen pin- l välillä [,b]. f( Merkiään: Inegroimisrj b b b f( = F( = F(b F( Inegrli siivujen summn FunkJo f(:n kuvj on käyrä. f(:n rvo :n eri piseissä kuvn pylväinä oheisess kuvss. Inegrlin f( ulkin: käyrän lle jäävä pin- l. Voin jell e8ä lue jen (ääre8ömän kpeisiin siivuihin, joien pin- l lsken yheen. Inegrlin merkinä ( venye8y S- kirjin ulee äsä inegrli on ikään kuin siivujen summ. f( Yheys inegrlifunkjon j määräyn inegrlin välillä f( = F( + C f( = F( = F( F( Yheys inegrlifunkjon j määräyn inegrlin välillä f( = F( + C f( = F( = F( F( Määrä8y inegrli C = - F(. f( on se inegrlifunkjo joll 3

4 Inegrlin lskeminen Kikill funkjoill ei ole inegrlifunkjo i sellis ei os lske (= esi8ää lkeisfunkjoien vull. InegroinJ ei muuenkn ole yhä suorviivis kuin erivoinj. Inegroinniss jouuu usein käy8ämään j solvelmn erilisi sregioi (j/i "kikkoj". Suorviivisi lähesymispoj ov esim: DerivoinJsäänöjen sovelminen "väärinpäin" Tulukkokirj => ulukkoinegrli Memcse ohjelm, esim MhemJc Numeerinen inegroinj (joskus ino keino InegroinJkeinoj Monimukisempi inegroinjkeinoj ov esim: Osi8isinegroinJ Sijoiusmene8ely eli muu8ujn viho Trigonomerise pluuskv RJonlifunkJon inegroinj Kompleksilskennn resiymeneelmä (ei käsiellä ällä kurssill InegroinJ erivoinjsäänöjen j kvojen vull (ks. esim MAOL Poenssifunk3on inegroin3 kun n - Esimerkkejä = C = C n = n n ( n + n+ = n Toisus: n n = n + C n = n + n+ + C kosk 5-3 = 5-3 ( C = = C = C n = n + n+ + C kosk ( n + n+ + C = n kosk ( C = 5-3 4

5 Summ j vkioll kerominen ( f (+ g( = f ( + g( + C kosk ( + 3 = C = C ( C = + 3 f ( = f ( 3 = 3 = 3 + C Yhiseyn funk3on erivoin3kvn sovelminen väärinpäin g( f ( = g'( f ( f '( g'( f ( f '( = g( f ( Voin käy8ää kun g ( osn inegroi. Sovelluksi: FunkJon poenssi, g (= n, jolloin g (f( = (f( n FunkJo sini- i kosinilusekkeess, g (=sin( i cos(, jolloin g (f( = sin(f( i cos(f( FunkJo eksponenjss, g (=e, jolloin g (f( = e f( Huom: jo8 inegroiv funkjo sn äsmälleen muooon g (f(f ( jouun usein keromn vkioll. Funk3on poenssin inegroin3 kun n -! Trkisus: n + f $ (n+ + C " # % & = n + (n + f (n f '( Trkisus: f ( n f '( = n + f (n+ + C = f ( n f '( f'( f( ( - 3 = 3+ ( C = 4 ( 4 + C 4 ( 4 = 4 4 ( 3 ( - = ( 3 = ( 3 Trkisus: f'( f( (3 + 5 = 3 3(3 + 5 = 3 6 ( C = 8 ( C ( 8 ( C = 8 6(3 + 5 (3 + = 8 6( = (

6 Funk3on / inegroin3 Kosk ln( = = ln + C Miksi iseisrvomerki? Vsus: jo8 funkjon j sen eriv8- i inegrlifunkjon määri8elyjouko olisiv sm. (Muis: ln( ei ole määriely kun <. ln( Sovellus: funk3on f'(/f( inegroin3 Kosk f '( = ln f ( + C f ( (ln( f ( = f '( f ( Tämäkin kv sn myös käänämällä yhiseyn funk<on erivoin<kv oisinpäin; ässä g ( = /. + = + = ln + + C Trigonomerisen funk3oien inegroin3 sin( = -cos(+ C D ( cos( = sin( cos( = sin(+ C D (sin( = cos( Esim. f '(sin[ f (] f '(cos[ f (] sin(5 = 5 = cos[ f (] + C = sin[ f (] + C 5sin(5 = 5 cos(5+ C sin( = sin( = cos( + C EksponenQfunk3on inegroin3 e = e + C D e = e f '(e f ( = e f ( + C D e f ( = f '(e f ( Esim. Logrimifunk3on inegroin3 kosk ( + 3e +3 = e +3 + C 5e 3 = e 3 = 5 3 e3 + C ln = ln - + C!" ln - + C # $ = ( ln + (ln = ln + = ln + = ln 6

7 Määräyn inegrlin lskeminen Esim. Esim π cos( = π / sin( = sin(π / sin( = = 3 3 = 3 3 = = 7.5 Määrä8y inegrli lsken khess viheess: Ensin inegroin Si8en sijoien Tpus : Erikoise inegroimisrj f ( = F( F( Joskus inegroinjrjn käyeään inegroinjmuu8uj. Tämä voi oll hämäävää, usein on selkeämpää käy8ää eri muu8uj inegroinjrjn j ise inegrlin merkinnässä, esim näin: f (uu hiukksen pikk j nopeus v( = s( s( = v( Tpus : ääreön j miinus ääreön inegroimisrjoin Hyöyllisiä limes- uloksi: lim e =, Joskus inegrlin rvo voi myös oll ääreön. Tällöin snon e8ä inegrli ivergoi. e -r r = = - e -r = lim - e - lim % & e e ' ( = lim % & = = lim ln( = lim ln( [ ln( ln( ] = lim e ' ( = = lim e = [ ln( ] = Inegrlilskuj kemiss, esim Aineen lämpökpsieec vkiopineess C p oeu8 ifferenjliyhälön " C p = H % $ ' # T & p missä H on enlpi j T bsoluucnen lämpöjl. Täsä sn H = C p T. Lämpökpsieec (yksikkö J K - mol - voin usein esi8ää lämpöjln kolmen prmerin funkjon: C p + bt + ct - Typelle (N prmerien rvo ov: = 8,58 J K - mol -, b = 3,77-3 J K - mol - j c = -,5-5 J K mol - Lske ΔH = H( - H(, kun ksu lämmieään lämpöjls = 5 C lämpöjln = C. 7

8 Rkisu: ΔH = H ( H = C p T H ( = ( + bt + c T = T T (T + b - c T = ( + b - c -( + b - c Sijoien nneu rvo, j sn ΔH = J mol - =, kj mol - Vinkki: rkis in erivoimll enä ole inegroinu oikein: nko inegrlifunk<on erivn lkuperäisen funk<on? Inegrlilskuj kemiss, esim Kun ksu ljenee (ulkois pine8 p e vsn, se suori8 ljenemisyön W = - p e V. Johen luseke ljenemisyölle W ksun ljeess Jlvuues Jlvuueen V eri puksiss. A. Kun pine on vkio, p = p e W = -p e V V V W = -p e V = p e V = p e (V = -p e (V V V B. Kun ksu on ieliksu vkiolämpöjlss (T j n vkioi, jolloin pv = nrt è p = nrt/v W = -pv = - nrt V V V V W = -pv = nrt V V V = - nrt V V = -nrt ln(v V V = -nrt(ln(v ln( = nrt ln( V Inegrlilskuj kemiss, esim 3 HCl molekyylin sioksen voimvkio on k = 58 N m - j spinosiospiuus r e =,7 nm. Hooken lin mukn siospiuuen muuos vsusv voim on F(Δr = kδr, missä Δr = (r- r e on poikkem spinosiospiuues. Lske Hooken lin mukinen siospiuuen muu8miseen rvi8v yö W(Δr kun HCl:n sios venyeään spinos,37 nm:n. Δr W (Δr = F(Δr(Δr = k Δr (Δr = = kδr k = kδr Δr Δr kδr Ny voin sijoi8 rvo: Δr =,37,7 nm =, nm, j W =,59-8 J. 8

9 Inegrlilskuj kemiss, esim 3 Huom: äsken olisi voiu käy8ää muu8ujn Δr:n sijn myös r:, jolloin olisi inegroiu F(r = k(r- r e sijoiusrjoill r e j r e + Δr. Lsku olisi ollu hiemn piempi, mu8 merkinä ehkä helpompi ymmärää: W (r = r e +Δr r e +Δr F(rr = k(r - r e r r e r e +Δr = k( r r r e r = k( r e r e +Δr r e r e re+δr r re - re re+δr r r e = k( (r + e Δr (r e (r e + Δr r e r e r e = k( r e + Δr r e r e r e Δr r e + r e = k Δr + Δr Inegrlilskuj kemiss, esim 4 AlkuJlneess 5, m 3 ksu on normli- ilmnpineess. Ksu purisen ibcsesj kymmenesosn lkuperäisesä Jlvuuesn. Aibcselle prosessille pv γ = k, missä γ = C p /C v =,44 ilmlle j k on vkio. Lske ehy yö W = pv. Rkisu: AlkuJlvuus = 5, m 3, loppujlvuus V =,5 m 3 p = V -γ k V W = pv = V -γ k V = k V -γ V = k V V V γ + V γ+ = k γ (V γ+ V γ+ V Äsken johecin W = k γ (V γ+ V γ+ Ennenkuin voin sijoi8 rvo, piää rkis k. Tämä voin ehä esimerkiksi lkujlvuuen = 5, m 3 j lkupineen p = m = 35 P vull. Sn k = p γ. Sijoien kvn: W = p γ γ (V γ+ V γ+ = 35P (5, m 3,44 ((, 5m 3,44+ (5, m 3,44+, 44 =9585, 5 J =, 9 6 J Inegrlilskuj kemiss, esim 5 Arrheniuksen yhälö on Osoi e8ä Rkisu: (ln k = E T R k = Ae E RT ln k = ln(ae E RT = ln A + ln(e E RT = ln A E RT (ln k = T T (ln A E RT = E R T = E R Huom: P = N m - ; P m 3 = N m = J 9

10 Arrheniuksen yhälö on b Jos k on rekjon nopeusvkio lämpöjlss j k on nopeusvkio lämpöjlss, osoi e8ä ln( k = E k R (T Rkisu: Äsken johecin (ln k = E R T k = Ae E RT (ln k = E T R. Täsä sn Ny voin inegroi molemm puole. k:n inegroinjrj ov k j k, T:lle vsvsj j. k (ln k = k E R T k (ln k = k k k E R T ln k = E T - R T T ln k ln k = E R ( ln ( k k = E R ( = E R ( ln ( k k = E R ( - Inegrlilskuj kemiss, esim 6 Osoi e8ä ieliksulle kun T on vkio (isoerminen prosessi k Rkisu: pv = nrt è p = nrt/v k nrtv pv = = nrt V V V kv = nrt V k k ln V = nrt (ln k ln = nrt ln( k = nrt ln k pv = nrt ln k Inegrlilskuj kemiss, esim 7 SiO :lle C - kvrsimuooss päee iemmin esiely lämpökpsieecyhälö C p + bt + ct - missä = 46, J K - mol -, b =,334 J K - mol - j c = - 8,9-5 J K mol - Lske enlpin j enropin muuokse kun kvrsi lämmieään lämpöjls 98 K lämpöjln 35 K. Enlpin j enropin ifferenjleille H j S päee: H/T = C p H = C p T S/T = C p /T S = (C p /TT Rkisu: inegroin yhälöien molemm puole.

11 H H ΔH = H = C p T = ( + bt + ct - T = T T (T + b - c T = ( - + b( - - c( - Sijoien = 98 K, = 35 K j nneu :n, b:n j c:n rvo, sn ΔH =,4 kj mol -. S ΔS = S = C - p T T = + bt + ct ( T T S = (T - + b + ct -3 T = T T ( ln T + bt - c = ln( + b( - - c ( - Sijoien = 98 K, = 35 K j nneu :n, b:n j c:n rvo, sn ΔS = 7,6 J mol - K -.