Aineaaltodynamiikka. Aikariippuva Schrödingerin yhtälö. Stationääriset tilat. Ei-stationääriset tilat

Transkriptio

1 Aieaaltodyamiikka Aikariiuva Scrödigeri ytälö Aieaaltoketä aikariiuvuude määrää ytälö Aieaaltokettie riiuvuus ajasta aikariiuva Scrödigeri ytälö Statioääriset ja ei-statioääriset tilat Aaltoaketit Kvattimekaiika ostulaatit Scrödigeri ytälöä ei voi jotaa mistää klassise fysiika teoriasta se o yksi uude teoria yoteeseista eli erusoletuksista. Scrödigeri ytälöä voidaa motivoida aalogialla säkömageettise ketä aaltoytälöö Statioääriset tilat ( xt, ) = ( x) e ; ( xt, ) = ( x) Yrite φ φ Sijoittamalla: ie ψ i = i φ( x) e = + E ( x) = t m ψ = e + E x x m Yrite o ajasta riiuva ytälö ratkaisu jos ψ + E ( x) φ( x) = Eφ( x) m ajasta riiumato φ = φ xt, c x e ; Ei-statioääriset tilat Scrödigeri ytälö yleie ratkaisu o Esimerkki: ie t Potetiaalilaatikko ( ) ie t (, ) = / + xt φ x e φ x e π = = Eergiat: E ; E 4 E ; ma Hetkellä t = 0 aaltoaketti o vasemmalla: ( x,0) = ( / ) φ( x) + φ( x) ja etkellä t = π /( E E ) aaltoaketti o oikella: = π = φ φ iπ E /( E E ) [ ] ( xt, /( E E )) e ( x) ( x) Aaltofuktio värätelee edestakaisi äide asemie välillä

2 Vaaa iukkase statioäärie tila: ( xt) Gaussi aaltoaketti ie t / j, = ϕ ( xe ) j Aaltoaketti = vaaa iukkase ei-statioäärie tila ikx / ( xt, ) = N ck e e dk Gaussi aaltoaketissa α α ( k k ) 0 / ck = e ormitustekijä N= / π. π Gaussi aketti aikka-avaruudessa Suorittamalla itegroiti yli liikemäärä ( ) ( ) N ( xt, ) = e e F / 0 / /α ikx k t m x k t m F t F = + i ; t0 = mα / ; N = / α π t Aaltoaketi todeäköisyystieys: ( xt, ) x k0t m β = e β π / / β = α + tt 0 Gaussi aketi omiaisuuksia Aaltoaketi leveys liikemääräavaruudessa o Todeäköisyystieyde maksimikota o isteessä x= k t m 0 / ( t t ) Paketi leveys kasvaa β = α + / Ku t >> t0 aketi leveys o x β = α( t/ t0) = t mα Aaltofuktio säilyttää ormisa ψ ( xt, ) dx= 0 / α Vaieoeus ja rymäoeus ikx ( ωt Tasoaallo ψ ) ( xt, ) = Ae vakioarvokota eteee vaieoeudella : ω vakio vakio kx ωt = vakio x = t + = v t + k k k Vaaalle iukkaselle v ω ω E mv / v = = = = = k k mv Hiukkase todellie oeus o se rymäoeus : dω dω de vg = = = = dk dk d m Rymäoeudelle ätee myös d ( x, t) vg =< v>= ( xt, ) dx ( xt, ) ( xtdx, ) im dx

3 Todeäköisyysvirta Todeäköisyyde jatkuvuusytälö: j ds = = t r j r t S V (, t) dv (, t) () Kvattimekaiika ostulaatit I Scrödigeri ytälöstä: + E = i m t + E = i m t Kertomalla ja laskemalla uolittai ytee = i (,) r t () m t Vertaamalla () ja () j = mi Kvattimekaiika ostulaatit II Kvattimekaiika ostulaatit III

4 Kvattimekaiika ostulaatit IV Kvattimekaiika ostulaatit V Hamiltoi (eergia) Liikemäärä aikka Tärkeimmät oeraattorit Oeraattori Kulmaliikemäärä Kulmaliikemäärä z-komoetti H ˆ ψ + E m x, t ˆ i r r Lˆ r ( i ) Lˆ z i x y y Hermiittisyys Oeraattori Aˆ o ermiittie jos ( ˆ ) ˆ = Φ AΦ dx AΦ Φ dx mielivaltaisille fuktioille Φ ja Φ. Hermiittise oeraattori omiaisarvot ovat reaalisia ja se omiaisfuktiot voidaa valita ortogoaalisiksi: ˆ i j jos ja i i i φφdx = 0 i j Aφ x = a φ x i =,,3..

5 Erefesti teoreema / Erefesti teoreema mukaa kvattimekaaiset fysikaaliste suureide odotusarvot toteuttavat klassise mekaiika liikeytälöt! Esimerkki: Newtoi toie laki Kvattimekaiikassa : d de = dx d de ( ) = ma = F = dx Aueuvo d Jodetaa autulos: A = AH HA i d dψ dψ Merkitää: A = ψ Aψdx A = A A dx ψ + ψ dψ Scrödigeri ytälöstä: = Hψ i d A = ( H ψ) A ψ + ψ A ( H ψ) dx i Merkitää: χ = Aψ. A: ermii ttisyys ( Hψ) χdx = ψ Hχdx d A = ψ ( HA + AH ) ψ dx = AH HA i i Erefesti teoreema / d Autulokse erusteella = H H i Liikemääräoeraattori o vaidaaie liike-eergia oeraattori kassa: = H H = E E = ( x, t) E E ( x, t) E E E E = + E E = x = ( ) = i E E ( xt, ) i ( xt, ) i = d ( x, t ) E E ( x, t ) + E ( x) = i m t ( xt) = ψ Yteeveto /5 Aikariiuva Scrödigeri ytälö Statioäärie tila, x e ; (Todeäköisyystieys ei riiu ajasta) iet iet ( x, t) ( x) e = ( x) e = ( x ) ( x) toteuttaa ajasta riiumattoma Scrö ψ ψ ψ ψ ψ + E x t x = E x m (, ) ψ ψ digeriytälö

6 EI- statioäärie tila (, ) = ψ xt c x e Yteeveto /5. ie t (Todeäköisyystieys riiuu ajasta) Hiukkasvirra tieys j( r) = ( ) mi 3D ψ( x) ψ ( x) jx = ψ ( x) ψ( x) im x x D Vaieoeus ω v = k Vaieoeus v g Yteeveto 3/5 3 dω vd r = = v = = dk 3 d r iukkase todellie oeus Hamiltooeraattori eli Hamiltoi ˆ d H = E + ( x) m dx Yteeveto 4/5 Postulaatti I Klassie fysiikka Kvattimekaiikka A A i ( r, ) ˆ ( r, ) Postulaatti II Madollisia mittaustuloksia ovat omiaisarvot Aˆ φ x = a x i =,,.. i φ i i Postulaatti III Todeäköisyys sille, että saadaa a 3 3 = φφ φφ c d r d r Yteeveto 5/5 Postulaatti V (ajasta riiuva Scrödigeri ytälö) i = Hˆ t Erefesti teoreema d de = dx Postulaatti IV (Mittaustuloste keskiarvo) ˆ ˆ 3 A = A = Φ A, i Φd r ave ( r )