Rak Rakenteiden mekaniikka C, RM C 4ov Tentti

Transkriptio

1 Rk-5.6 Rkeneden meknkk RM ov Ten.. 7 Krjo jokeen koeppern elvä - koko nme puhuelunm llevvun - oo vuokur enn pävämäärä ekä enävä opnojko koodeneen - opkeljnumero (muknluken rkukrjn) - moneko ker ole ko. opnojko uorm - mnä vuonn ole uornu pkolle hrjouehävä ) Määrä lekkuvuo kukn oheen kolmkoeloen pokklekkuken enämää. Suvn puu on L j ä kuorm väänömomen T. Senämänpkuu on vko. ) Ohenen ohuenämänen ( b) << kolmopuk on leku uk kuvon oomll vll. Määrä nän vn pokklekkuken lekkukekön em ekä väänö- j käyrymjäyhyyde j. Senämänpkuu on vko. b b ) Ohee vruukehää uvojen mn okun jknuvn en eä puole on uvn kekpeeä j neljäo kummkn päää. Toen uvn kekpeeä on läk m M kg. Määrä kehän kkvpueen värähelyn omnjuude j omnmuodo. Suvojen m on kg/m vuujäykkyy E 6 MNm j puu L m. E L/ L/ L/ E x L/ M x ) Nelöl (vun puu ) on ueu +-muooelle ukkehkolle khdell er vll oheen kuvn muke. Määrä käyämällä poenlenergn mnmn pere j oveluv pumn pprokmo ln uurmmn pumn lkrvo kummkn puke. Ln kuormn on ompno j en vuujäykkyy on D Eh /( ν ).

2 Rk-5.6 Rkeneden meknkk RM (ov) Kvkokoelm enn..7 Lää perukvoj kvkokoelm RM- j RM-. Muodonmuuoke kkdmenoe puke ε u u u u e ε e γ y y y y ey + e y Sänen vrulnen yö δw δ d Ulkonen vrulnen yö δw F δud + T δud u ST rulen yön pere δw + δwu Suvn jännyreuln: momen normlvom j lekkuvom M ( ): σ ( y) y d N( ): M ( ): σ ( y) d Q ( ): τ ( ) äänöjäyhyy umpnelle reällelle monoelle ohuelle uorkeelle ekä yk- j monkoeloelle uvlle ψ ψ p + ( y z ) d z y ( Hr + Φ d ) Gθ M Φ Gθ d w d + d d d Monkoeloen uvn väänö q qk d d Gθ Gθ k k Sekorlnen koordn peen uheen b M q Gθ G ± h d [( z z ) dy ( y y ) dz] Sekorle ulomomen y d y Jäyhyymomen y z d z z d z y d yz θ y y y d zy d KÄÄNNÄ!

3 äänö- el lekkukekö zz yzy z y y + y ; + joyz y z yz y yy yzz y z z z ; joyz y z yz z Sekorlnen nen momen väänökekön ekorlelle koordnlle S ˆ ˆ d Normeeru väänökekön ekorlnen koordn Sˆ ˆ Sekorlnen nen momen S () () d Sekorlnen väänöjäyhyy el käyrymjäyhyy d oenlenerg Π U + Muodonmuuoenerg U d Ulkoen kuormuken poenl F ud T ud S T Krchhoff-ln muodonmuuoenerg D w w w w w U d {( ) ( ν)[ ( ) ]} d + x y x y xy E D ( ν ) Suvn muodonmuuoenerg vuu- lekku- puru- j väänöpuke L G { xy x } κ γ ε ϕ ζ U E + + E + G dx Jouvom j jouen muodonmuuoenerg F kx U kx Ykvpueen jou m-yeemn vpn värähelyn dfferenlyhälö ylenen rku j omnkulmjuu mx &&( ) + kx ( ) x( ) n( ) + co( ) Lää perukvoj kvkokoelm RM- j RM-. k m

4 Rk-5.6 Rkeneden meknkk RM ( ov) Rkuvelmä enn..7 [ulu peyy]. Tehävä: Sovellen monkoeloen uvn väännön kv q qk d d Gθ [ p.] Gθ k k jo dn yhälöryhmä q Sq Gθ q q S q ymm. mä enämen puude on keräy mrn S j opn-l j vekorn (k. numerorvo lkuhrjouken 5 ehävää ). Lekkuvuo enämä dn yhälöryhmän rku q Gθ S. [ p.] äänömomenlle päee T M q g GθS g mä dn väänymä T θ GS g joen rkun lopullnen muoo on TS q. [ p.] S g

5 . Tehävä: äänöjäyhyy: ( ) b + b. [ p.] äänökekö: Lken enn profln pnope profln uor kulm mun: b b b + b + b b z y. b + b + b een en yz -koordno pnopeeeen (muuen ll olev väänökekön kv evä päde ellenn) uorn kulmn muodoven lppojen uune jollon ää koordno lkeu koordnjkum nv jäyhyymomen (erye yz ) y (+ 5 ) b z d (+ 5 ) b z y d y yz ( 6) b zy d. een nppe profln ylänurkkn jollon peeeen lyvllä profln oll päee. Jo povnen uun kerää vpävään nn llpll kv noll lnere rvoon bb b. Koordnjkumen vull dn ekorle ulomomen (8 ) y d b y z d b z 8 Nää dn edelleen väänökekön koordn zz yzy y y +.7b y z yz yy yzz z z.b y z yz [ p.] Käyrymjäyhyy: äänökekön uheen lkeu normeermomn ekorlen koordnn ˆ jkum j vv ekorlnen nen momen dn kvo S ˆ ˆ d. ± h d [( z z ) dy ( y y ) dz] Normeeru väänökekön ekorlnen koordn j ekorlnen väänöjäyhyy el käyrymjäyhyy Sˆ ˆ d [ p.]

6 . Tehävä: Mmr: Jkmll mo puole kekpeeeen j neljänneke uvojen pähn dn mmrn lko m.5ml +.5mL 5kg m.5ml+ M 6kg jollon mmr on 5 m kg 6. [ p.] Jäykkyymr: Jäykkyymr k muodoen omll huomoon eä kekpeeään L kuormeun päään vp ueun uvn kekpeen pum on v. 8E Nän dn yhälö X+ X 8 Ev/ L X 8 E( v v )/ L v v jo nmll vuoronperään rvo j dn jäykkyymrk v v 6 E k 8. [ p.] L Omnvärähely: Tämän jälkeen pnoyhälö vodn krjo muooon x [ m]{} && x + [ k]{} x {} {} x x jok rkn yreellä x φ + ψ. { } { }n( ) Tämä joeun pnoyhälöön uo homogeenen yhälön k m {} φ n( + ψ) {} jo omnjuude vodn rk. [ p.] Jo merkään α E /5 L [kg] 5.[] dn neljännen een yhälö (6α )(8α ) α. Tämän juure ov - α j 6. j.95 () k m φ - 8α j edelleen. Omnmuodo dn rkemll yhälö { } {} () olemll emerkk eä φ jollon dn { φ () } j { φ () }. [ p.].5.5

7 . Tehävä: kuunnen plu -uen: een xy -koordno ln kekelle uennn uune j käyeään ln pumlle pprokmo w w( x y) xy jok oeu poenlenergn mnmpereen vm kneme reunehdo wx ( ) w( y ). Selveäväk jää yk unemon vko w. [/ p.] w w w w Tälle pprokmolle päee joen ln muodonmuuoenerg xy x y on D w w w w w U {( ) ( )[ ( ) ]} d + ν d x y x y xy [/ p.] w w D( ν) ( ) d D( ν) x y Kokonpoenlenergn lueke on Π U + mä kuormn poenlenerg on wo ρgwo ρgwd ρg xyd [/ p.] Kokonpoenlenergn D( ν) w qw Π U + mnm vuen kun Π Π D( ν) ρg ρg δπ δw w w w w 8 D( ν) Mkmpum vuen ln vp nurk: ρg wmx w( ) w 8 D( ν) [/ p.] o plu -uen: een xy -koordno ln kekelle uennn uune j käyeään ln pumlle m pprokmo w w( x y) xy. jok oeu poenlenergn mnmpereen vm kneme reunehdo wx ( ) w( y ). [/ p.] no muuoke edelleen ov kuormn poenlenerg wo ρgwo ρgwd ρg xyd ekä läk mkmpum vuen ln vpn vun kekellä: w w( / /) w / [/ p.] mx