40 LUKU 3. GAUSSIN LAKI
|
|
- Elsa Halttunen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 3 Gaussin laki 3.1 Coulombin laista Gaussin lakiin Takastellaan pistemäisen vaauksen q aiheuttamaa sähkökenttää, joka noudattaa yhtälöä (1.1). Tämän sähkökentän vuo etäisyydellä olevan pienen pintaelementin δ lävitse on δφ = δ = ()u δ = ± q 4πε δ 2 = ± q δω, (3.1) 4πε missä q on kappaleen vaaus, δ on δ:n pojektio kohtisuoaan vaauksesta δ:ään piiettyä vektoia vastaan ja δω on avauuskulma, jossa δ näkyy vaauksesta katsottuna. ähkökentän vuon yksikkö on m. Kaavassa oleva plusmekki vastaa tilannetta, jossa u :n ja δ:n välinen kulma on pienempi kuin π/2 (siis u δ > ) ja miinusmekki tilannetta, jossa kulma on suuempi kuin π/2 (siis u δ < ). a) b)!"!!"! 2 q q! 1 Kuva 3.1: Pistevaauksen aiheuttaman sähkökentän vuo suljetun pinnan lävitse. Kuvan 3.1 a tapauksessa vaaus on suljetun pinnan sisällä, ja pinnan muoto on sellainen, että kaikkialla u δ >. Ilmeisesti sähkökentän vuo tämän pinnan lävitse on Φ = dφ = d = q dω = q. (3.2) 4πε ε c Tuomo Nygén, 21 4π 39
2 4 LUKU 3. GAUIN LAKI Tämä ei siis ollenkaan iipu siitä, minkä muotoinen pinta on ja kuinka etäällä se on pistemäisestä vaauksesta, vaan ainoastaan vaauksen suuuudesta. Jos vaaus on suljetun pinnan ulkopuolella kuten kuvassa 3.1 b, löytyy kummaltakin puolelta pintaa elementit δ 1 ja δ 2, jotka näkyvät vaauksesta katsottuna samassa avauuskulmassa. Toinen näistä tuottaa yhtälöön (3.1) plusmekin ja toinen miinusmekin. Tällaisten pintaelementtien lävitse kulkevat vuot siis kumoavat toisensa paeittain. Lopputuloksena on, että pinnan lävitse kulkeva kokonaisvuo on nolla. Jatkuvasti jakautunut vaaus voidaan esittää pienten lähes pistemäisten vaausten avulla. uljetun pinnan sisällä paikassa olevan tilavuuselementin δτ sisältämä pieni vaaus on δq = ρ()δτ. (3.3) Jokainen tällainen vaauselementti aiheuttaa sähkökentän, ja yhtälö (3.2) on eikseen voimassa jokaisen vaauselementin aiheuttamalle sähkökentän vuolle. Kokonaissähkökenttä on näiden osasähkökenttien summa ja sen vuo on siis Φ = d = Q ε, (3.4) missä Q = ρ()dτ (3.5) on se kokonaisvaaus, joka jää pinnan sisällä olevaan tilavuuteen. Kun tämä sijoitetaan oikealle puolelle yhtälöön (3.2), saadaan d = ρ() ε dτ. (3.6) Yhtälön vasenta puolta voidaan muokata Gaussin lauseen avulla, jolloin dτ = ρ() ε dτ. (3.7) Tämä on voimassa kaikille mahdollisille suljetuille pinnoille, joten välttämättä kummankin puolen integandit ovat yhtäsuuet. iis = ρ() ε. (3.8) Tämä tulos tunnetaan nimellä Gaussin laki. Yhtälöstä (3.4) käytetään usein nimitystä Gaussin lain integaalimuoto ja yhtälöstä (3.8) nimitystä Gaussin lain diffeentiaalimuoto. Fysikaalisesti Gaussin laki sisältää saman infomaation kuin Coulombin sähkökenttä. dellä oletettiin, että on pinnan sisään jäävien vaausten aiheuttama sähkökenttä. Aiemmin kuitenkin todettiin, että suljetun pinnan ulkopuolella olevan
3 3.2. YMMTRIT ÄHKÖKNTÄT JA POTNTIAALIT 41 vaauksen aiheuttaman sähkökentän vuo pinnan lävitse on nolla. Näinollen Gaussin laki on voimassa myös kokonaissähkökentälle. aausten aiheuttama sähkökenttä osoittaa poispäin positiivisesta vaauksesta ja kohti negatiivista vaausta. Tämän on voimassa myös vaauksen välittömässä läheisyydessä. Kenttä näyttää siis lähtevän positiivisesta vauksesta ja negatiivinen vaaus näyttää keäävän sen ympäistöstään. Tämän vuoksi positiivinen vaaus toimii sähkökentän lähteenä ja negatiivinen vaaus sen nieluna. Gaussin laissa (3.8) nämä ominaisuudet sisältyvät oikealla puolella olevaan temiin, jota sen vuoksi nimitetään lähdetemiksi. 3.2 ymmetiset sähkökentät ja potentiaalit Kun vaaustiheydellä on taso- sylintei- tai pallosymmetia, syntyvä sähkökenttä voidaan usein laskea helposti Gaussin lain avulla Tasosymmetinen vaausjakautuma Takastellaan vaausjakautumaa, jossa vaaustiheys saa vakioavot yhdensuntaisilla tasoilla. alitsemalla z-akseli osoittamaan kohtisuoaan näitä tasoja vastaan tulee vaaustiheydestä vain z:n funktio, siis ρ = ρ(z). Tällöin vaaustiheys saa tietyn avon jokaisella xy-tason suuntaisella tasolla. Tällainen vaausjakautuma on tasosymmetinen, jos z:n nollakohta voidaan valita siten, että ρ(z) on paillinen funktio, ts. ρ(z) = ρ( z). Tasosymmetiasta seuaa, että sähkökenttä on välttämättä z-akselin suuntainen eli muotoa = z u z (3.9) ja että z on paiton funktio eli z (z) = z ( z). Tasosymmetia nimittäin edellyttää, että samalla etäisyydellä xy-tasosta kenttä osoittaa kummallakin puolella tasoa joko kohti tasoa tai siitä pois päin. ovelletaan Gaussin lakia kuvan 3.2 mukaiseen suoakulmaiseen sämiöön, jonka kansi + ja pohja ovat paikoissa z ja z. Koska kenttä on z-akselin suuntainen, sähkökentän vuo on nollasta poikkeava ainoastaan sämiön pohjalla ja kannella. iis mistä atkaistuna d = [ z (z)u z ] [u z ] + [ z ( z)u z ] [ u z ] = z (z) z ( z) = 2 z (z) = 1 ρdτ = 1 z ρ(z )dx dy dz = ε ε ε z (z) = 1 2ε z z z ρ(z )dz = 1 ε z z z ρ(z )dz, (3.1) ρ(z )dz. (3.11)
4 42 LUKU 3. GAUIN LAKI z + = u z!(z) y x - = -u z Kuva 3.2: Tasosymmetisen vaausjakautuman aiheuttama sähkökenttä. iimeinen esitysmuoto seuaa vaaustiheyden paillisuudesta. Tätä tulosta voidaan soveltaa kaikissa tapauksissa, joissa ρ on paillinen z:n funktio. Kuten vaadittiin, tulokseksi saatu z on paiton z:n funkio. Nimittäin tekemällä muttujanvaihto z = z saadaan z ( z) = 1 ε z ρ(z )dz = 1 ε z ρ(z )dz = z (z), (3.12) sillä vaaustiheyden paillisuuden vuoksi ρ(z ) = ρ(z ). Mikäli ρ = ρ on vakio alueessa a/2 < z < a/2 ja nolla sen ulkopuolella, kyseessä on homogeenisesti vaattu levy. Tällöin saadaan yhtälöstä (3.11) kun a/2 < z < a/2 ja muulloin z (z) = ρ z dz = ρ z, (3.13) ε ε z (z) = ρ ε ±a/2 dz = ± ρ a 2ε, (3.14) missä plusmekki on voimassa, kun z > a/2, ja miinusmekki, kun z < a/2. ähkökentän käyttäytyminen z:n funktiona on esitetty kuvassa 3.3 a olettaen levyn vaaus positiiviseksi. Potentiaali voidaan nyt laskea sähkökentästä yhtälön (2.4) avulla. Jos valitaan φ() =, saadaan z φ(z) = z (z ) u z dz = z (z )dz = 1 ε z z ρ(z )dz dz. (3.15)
5 3.2. YMMTRIT ÄHKÖKNTÄT JA POTNTIAALIT 43 a) z b)! -a/2 a/2 z -a/2 a/2 z Kuva 3.3: Homogeenisen vaauslevyn aiheuttama sähkökenttä ja potentiaali. Homogeenisesti vaatun levyn tapauksessa on alueessa a/2 < z < a/2 voimassa Alueessa z > a/2 saadaan φ(z) = ρ z z dz = ρ z 2. (3.16) ε 2ε φ(z) = φ(a/2) ρ a 2ε ja alueessa z < a/2 z a/2 dz = ρ a 2 8ε ρ az 2ε + ρ a 2 4ε = ρ a 8ε ( 4z + a) (3.17) φ(z) = φ( a/2) + ρ a 2ε z a/2 dz = ρ a 2 8ε + ρ az 2ε + ρ a 2 4ε = ρ a 8ε (4z + a). (3.18) Potentiaalin käyttäytyminen z:n funktiona on esitetty kuvassa 3.3 b olettaen levyn vaaus positiiviseksi. älillä a/2 < z < a/2 potentiaalikäyä on paabolinen ja tämän välin ulkopuolella potentiaali muuttuu lineaaisesti z:n funktiona. Tulos osoitaa, että potentiaalia ei olisi voitu valita nollaksi ääettömyydessä. Hyvin ohuen vaatun levyn tapauksessa mekitystä on vain kentän käyttäytymisellä levyn ulkopuolella; siis sähkökenttä levyn kummallakin puolella on vakio ja potentiaali muuttuu lineaaisesti levystä mitatun etäisyyden funktiona. Ilmeisesti levyn vaauskate on σ = ρ a, jolloin yhtälön (3.14) avulla z (z) = ± σ 2ε. (3.19) ama tulos voitaisiin laskea työläämmin Coulombin lain avulla. Kun yhtälöissä (3.17) ja (3.18) asetetaan ρ a = σ ja a =, saadaan potentiaaliksi φ(z) = σ 2ε z. (3.2) Myös tämä tulos voitaisiin laskea Coulombin lain avulla, mutta johto olisi olennaisesti työläämpi.
6 44 LUKU 3. GAUIN LAKI ylinteisymmetinen vaausjakautuma Jos vaausjakautuma ei iipu sylinteikoodinaatiston muuttujista ϕ ja z, on myös sen aiheuttama sähkökenttä samalla tavalla sylinteisymmetinen. iis ρ = ρ() ja = ()u, (3.21) missä on sylinteikoodinaatiston adiaalimuuttuja ja u siihen liittyvä yksikkövektoi. Tässä tapauksessa sovelletaan Gaussin lakia -säteiseen sylinteipintaan, jonka pituus on L ja jonka akseli on symmetia-akselilla. Kaikkialla sylintein vaipalla δ = δu. ylintein päissä pinta-elementtivektoit ovat akselin suuntaisia. Koska vaipalla δ = δ ja sylintein päissä sähkökenttä on pinnan tasossa, on koko pinnan läpi kulkeva vuo yksinketaisesti kentän adiaalikomponentin ja vaipan pinta-alan tulo, eli d = 2πL. (3.22) ylintein sisään jäävän vaauksen laskemiseksi jaetaan sylintein tilavuus ohuihin kuoiin. Tällaisen kuoen tilavuus on dτ = 2π Ld, missä on kuoen säde ja d sen paksuus. Ohuen kuoen alueella vaaustiheydelle voidaan antaa vakioavo ρ( ). Kokonaisvaaus saadaan laskemalla yhteen kaikkien sisäkkäisten kuoien vaaukset. Tulos on Q = ρdτ = 2π Lρ( )d, (3.23) joten Gaussin laki voidaan kijoittaa muotoon 2πL = 1 ε 2π Lρ( )d. (3.24) Tästä atkaistuna = 1 ρ( )d. (3.25) ε Tulosta voi soveltaa mielivaltaiseen sylinteisymmetiseen vaausjakautumaan. Jos vaaustiheys ρ = ρ on vakio R-säteisen sylintein sisällä ja nolla sen ulkopuolella, kyseessä on tasaisesti vaattu sylintei. Tässä tapauksessa sähkökentäksi saadaan = ρ d = ρ ε ε 2 2 = ρ, (3.26) 2ε kun < < R ja = ρ R d = ρ ε ε R2 2 = ρ R 2 2ε, (3.27) kun > R.
7 3.2. YMMTRIT ÄHKÖKNTÄT JA POTNTIAALIT 45 L "!() " + " z Kuva 3.4: ylinteisymmetisen vaausjakautuman aiheuttama sähkökenttä. alitsemalla potentiaali nollaksi symmetia-akselilla saadaan potentiaalille yleinen tulos φ() = ( )d = 1 1 ε ρ( )d d. (3.28) oveltamalla tätä tasaisesti vaatun sylintein tapauksessa alueeseen < < R saadaan φ() = ( )d = ρ d = ρ 2 (3.29) 2ε 4ε ja alueeseen > R φ() = φ(r) = ρ R 2 4ε R [ ( )d = ρ R 2 4ε ρ R 2 1 d 2ε R ( ) ] ln. (3.3) R Tuloksesta nähdään, että potentiaalia ei voi valita nollaksi ääettömyydessä, sillä :n logaitmi lähestyy ääetöntä :n lähestyessä ääetöntä. Tämä liittyy siihen, että vaausjakautuma ulottuu sylinteiakselin suunnassa ääettömyyteen. Jos sylintein säteen annetaan lähetä nollaa, saadaan tasaisesti vaattu suoa lanka (ääetön viivalähde), jonka vaaus pituusyksikköä kohti on λ; siis s:n pituisen langanpätkän vaaus on q = λs. Ilmeisesti λ = πr 2 ρ, joten kaavan (3.27) peusteella = λ 2πε. (3.31) Potentiaalin kaavassa (3.3) ei R:n voi antaa lähetä nollaa, joten potentiaalin nollakohta on valittava jollekin etäisyydelle a langasta. iis φ() = a d = λ 2πε a d = λ ln 2πε a. (3.32) Näistä tuloksista nähdään, että viivalähteen potentiaalia ei voi laskea Coulombin potentiaalin avulla asettamalla potentiaali nollaksi ääettömyydessä.
8 46 LUKU 3. GAUIN LAKI Pallosymmetinen vaausjakautuma Jos vaausjakautuma on pallosymmetinen, on myös sen aiheuttama sähkökenttä pallosymetinen. illoin ρ = ρ() ja = ()u, (3.33) missä on pallokoodinaatiston adiaalimuuttuja ja u adiaalinen yksikkövektoi. Ilmeisesti Gaussin lakia on tässä tapauksessa sovellettava -säteiseen palloon. Kaikkialla pallon pinnalla δ = δu. illoin δ = δ. Koska on vakio -säteisen pallon pinnalla, on sähkökentän vuo pallopinnan lävitse yksinketaisesti kentän ja pallon pinta-alan tulo, eli d = 4π 2. (3.34) Pallon sisälle jäävän vaauksen laskemiseksi jaetaan tilavuus ohuihin pallokuoiin. Kun kuoen säde on ja paksuus d, on tilavuus 4π 2 d. Ohuen kuoen alueella vaaustiheydelle voidaan antaa vakioavo ρ( ). Kokonaisvaaus saadaan laskemalla yhteen sisäkkäisten kuoien vaaukset. iis Q = ρdτ = 4π 2 ρ( )d. (3.35) Gaussin laki saadaan nyt muotoon mistä atkaistuna 4π 2 = 1 ε 4π 2 ρ( )d, (3.36) = 1 2 ρ( )d. (3.37) ε 2 Tulosta voi soveltaa mielivaltaiseen pallosymmetiseen vaausjakatumaan.!() " Kuva 3.5: Pallosymmetisen vaausjakautuman aiheuttama sähkökenttä.
9 3.2. YMMTRIT ÄHKÖKNTÄT JA POTNTIAALIT 47 Jos vaaustiheys ρ = ρ on vakio R-säteisen pallon sisäpuolella ja nolla sen ulkopuolella, kyseessä on tasaisesti vaattu pallo. ähkökentäksi saadaan kun < < R ja = ρ 2 d = ρ ε 2 ε = ρ, (3.38) 3ε = ρ R 2 d = ρ ε 2 ε R3 2 3 = ρ R 3 3ε, (3.39) 2 kun > R. Kun huomataan, että R-säteisen pallon sisään jäävä vaaus on Q = 4 3 πr3 ρ, (3.4) nähdään, että yhtälö (3.39) voidaan kijoittaa myös muotoon = Q 4πε 2, (3.41) mikä on pistemäisen vaauksen aiheuttaman sähkökentän lauseke. Tästä nähdään, että pallosymmetisesti vaatun pallon ulkopuolella vaikuttavan sähkökentän muodosta ei voi päätellä, kuinka suui pallo on. Juui tämä on syynä siihen, että pistevaauksen käsitettä voidaan yleensä käyttää sähkömagnetismin teoiassa. Todellisuudessa nimittäin nollasta poikkeava pistevaaus on fysikaalinen mahdottomuus, sillä sen enegia voidaan osoittaa ääettömäksi. iitä huolimatta pistevaausta voidaan käyttää kenttien laskemisessa, ja syynä on se, että pallosymmetisen vaauksen aiheuttama kenttä vaauksen itsensä ulkopuolella on pistevaauksen kentän muotoinen, kuten tulos (3.41) osoittaa. Toisin kuin kahdessa edellisessä tapauksessa, potentiaali voidaan nyt valita nollaksi ääettömyydessä. Tällä valinnalla φ() = ( )d 1 = ε 2 2 ρ( )d d. (3.42) Homogeenisesti vaatun pallon tapauksessa kun > R, ja φ() = ρ R 3 3ε d 2 = ρ R 3 3ε = Q 4πε, (3.43) φ() = φ(r) ρ d = ρ R 2 ρ 2 + ρ R 2 = ρ (3R 2 2 ), (3.44) 3ε 3ε 6ε 6ε 6ε R kun < R. Tulos (3.43) on myös pistemäisen vaauksen potentiaali vaauksen ulkopuolella.
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotMuita sähkökentän laskemismenetelmiä ovat muun muassa potentiaalin gradientti ja kuvalähdeperiaate. Niistä puhutaan myöhemmin.
GAUIN LAKI IÄLTÖ: Gaussin lain integaalimuoto Gaussin lain diffeentiaalimuoto Menetelmän valinta sähkökentän laskemisessa ähkökentän voivat aiheuttaa vaaukset tai muuttuva magneettikenttä. Tässä kappaleessa
LisätiedotSähkökentät ja niiden laskeminen I
ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin ja Gaussin lait -> sähkökentän voimakkuus ja sähkövuon tiheys
ATE180 Kenttäteoian peusteet 018 1 / Tehtävä 1. Pisteessä P 1 (,, -4) sijaitsee - mc suuuinen negatiivinen vaaus ja pisteessä P (1, -4, ) on positiivinen C vaaus. Määitä positiiviseen vaaukseen vaikuttava
Lisätiedot[B] = [F ] [q][v] = Vs. m 2
Luku 7 Magneettikenttä 7.1 Loentz-voima Liikkuviin vaauksiin kohdistuu sähkökentän aiheuttaman voiman lisäksi toinenkin voima, joka selitetään magneettikentän avulla. Vasinaisesti magneettikenttä on havaittu
LisätiedotSähköpotentiaali. Haarto & Karhunen.
Sähköpotentiaali Haato & Kahunen www.tukuamk.fi Johantoa Kun vaaus q on sähkökentässä siihen vaikuttaa voima Saman suuuinen voima tavitaan siitämään vaausta matkan sähkökentän aiheuttamaa voimaa vastaan
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotSähköstaattisen potentiaalin laskeminen
Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Potentiaalienegia on tuttu mekaniikan kussilta eikä se ole vieas akielämässäkään. Sen sijaan potentiaalin käsite koetaan usein vaikeaksi. On hyvä muistaa, että staattisissa
LisätiedotLuku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan
Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
LisätiedotCoulombin laki ja sähkökenttä
Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus
AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Tehtävä Kaksi pistevarausta ja sijaitsevat x-tason pisteissä r x e x e ja r x e x e. Mikä ehto varauksien
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELECA4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 2 Gaussin laki (YF 22) Oppimistavoitteet Varaus
LisätiedotPYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA
PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotLuku Ohmin laki
Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja
LisätiedotYmpyrä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat
31.1.017 Ympyä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat GEMETRI M3 Ympyä: Ympyä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat säteen etäisyydellä keskipisteestä. Sanotaan, että ympyä on tällaisten pisteiden
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotJakso 5. Johteet ja eristeet Johteista
Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)
LisätiedotSMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO
SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotLuku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä
Luku 23 Tavoitteet: Määritellä potentiaalienergia potentiaali ja potentiaaliero ja selvittää, miten ne liittyvät toisiinsa Määrittää pistevarauksen potentiaali ja sen avulla mielivaltaisen varausjakauman
LisätiedotEristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
Lisätiedot4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ
LisätiedotÖljysäiliö maan alla
Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö
LisätiedotTyhjä pallosymmetrinen avaruus
Tyhjä pallosymmetinen avauus Yleisen suhteellisuusteoian yhtälöitä on helppo käsitellä silloin kun aika-avauus on lähes tasainen, tai eityisen symmetisissä tapauksissa. Tyhjä pallosymmetinen avauus on
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotRATKAISUT: Kertaustehtäviä
hysica 6 OETTAJAN OAS 1. painos 1(16) : Luku 1 1. c) 1 0,51 A c) 0,6 A 1 0,55 A 0,6 A. b) V B 4,0 V c) U BC,0 V b) 4,0 V c),0 V 3. a) Kichhoffin. 1 + 3 1 3 4 0,06 A 0,06 A 0 V. b) Alin lamppu syttyy. Kokonaisvita
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotTilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3
/5/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x,y,z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x,y,z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedot1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
Lisätiedot1 Voima ja energia sähköstatiikassa
1 Voima ja energia sähköstatiikassa ähköstatiikassa tarkastellaan levossa olevia sähkövarauksia. 1.6 ähkövaraus Ranskalainen fyysikko Charles Coulomb osoitti kokeillaan v. 1785, että sähköllä varattujen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot5-2. a) Valitaan suunta alas positiiviseksi. 55 N / 6,5 N 8,7 m/s = =
TEHTÄVIEN RATKAISUT 5-1. a) A. Valitaan suunta vasemmalle positiiviseksi. Alustan suuntainen kokonaisvoima on ΣF = 19 N + 17 N -- 16 N = 0 N vasemmalle. B. Valitaan suunta oikealle positiiviseksi. Alustan
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotTeddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011
Teddy 1. harjoituksen malliratkaisu kevät 2011 1. Dipolimomentti voidaan määritellä pistevarauksille seuraavan vektoriyhtälön avulla: µ = q i r i, (1) i missä q i on i:nnen varauksen suuruus ja r i = (x
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotTilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3 3/19/13. f(x, y, z)dxdydz. ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: ρ(x,y,z)dxdydz
/9/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x, y, z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x, y, z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi
SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 6 Laskuharjoitus 7 / Kapasitanssi ja eristeaineet
ATE0 tttinen kenttäteoi kevät 06 / 6 Lskuhjoitus 7 / Kpsitnssi j eisteineet Tehtävä. Kuvss esitetyn kpelin sisimmän johteen ( =,5 mm) potentilieo uloimpn johtimeen ( = 00 mm) nähen on 00. Alueell,5 <
LisätiedotMatematiikan kurssikoe, Maa 9 Integraalilaskenta RATKAISUT Torstai A-OSA
Matematiikan kussikoe, Maa 9 Integaalilaskenta RATKAISUT Tostai..8 A-OSA Sievin lukio. a) Integoi välivaiheineen i) (x t ) dt ii) x dx. b) Määittele integaalifunktio. c) i) Olkoon 5 f(x) dx =, f(x) dx
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
Lisätiedot= ωε ε ε o =8,853 pf/m
KUDOKSEN POLARISOITUMINEN SÄHKÖKENTÄSSÄ E ε,, jε r, jε, r i =,, ε r, i r, i E Efektiivinen johtavuus σ eff ( ω = = ωε ε ε o =8,853 pf/m,, r 2πf ) o Tyypillisiä arvoja radiotaajuukislla Kompleksinen permittiivisyys
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotFysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto
ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet syksy / 5 Laskuharjoitus 5 / Laplacen yhtälö ja Ampèren laki
STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 / 5 Tehtävä. Karteesisessa koordinaatistossa potentiaalin nollareferenssitaso on y = 4,5 cm. Määritä johteelle (y = 0) potentiaali ja varaustiheys, kun E = 6,67 0
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 14: Indusoitunut sähkömotorinen voima ja kertausta magneettikentistä
ATE112 taattinen kenttäteoria kevät 217 1 / 5 Tehtävä 1. Alla esitetyn kuvan mukaisesti y-akselin suuntainen sauvajohdin yhdistää -akselin suuntaiset johteet (y = ja y =,5 m). a) Määritä indusoitunut jännite,
Lisätiedot