TENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Luotettavuusteoria

Transkriptio

1 TENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Luoeavuueoria Dekripiivinen luoeavuu R() =P(T>) R(x ) =P(T>+ x T>) r() = f() R() R() =e R(x ) =e r() d +x r() d F () R() f() r() F () R() f() F () df () d R() dr() d f() d f() d e r() d e r() d r()e r() d r() df () F () d dr() R() d f() f() d Barlow Campo-ei < < 2 < < n i

2 ii, kun < /n, kun < 2 2/n, kun 2 < 3 ˆF () = (n )/n, kun n < n, kun n Σ (α) = α T S (α) = m R() d, α R() d T Σi = i k +(n i) i, T Σ = T Σn = k= n k= k ˆT S (i/n) = T Σ i T Σ c\n Luoeavuuden approkimaaio r() = ln R() λ = ln R( ) IFRA-yeemille R() e λ, kun ja λ = ln R( ). DFRA-yeemille R() e λ, kun ja λ = ln R( ). IFR-yeemille R() e m, kun m. DFR-yeemille R() e m, kun m.

3 iii Vikajakauma Nimi gammajakauma Weibullin jakauma Rayleigh n jakauma parameri α>,β > λ>,α> θ>,k iheyfunkio m V β α Γ(α) α e β λα α 2θk+ λα e Γ(k +) 2k+ e θ2 α β λ /α Γ( + ) Γ(k + 3) 2 α Γ(k +) θ (k + Γ(k + 3 ) 2 )2 θ Γ(k +) 2 α β 2 λ 2/α (Γ( + 2 α ) Γ( + α )2 ) luoeavuu Γ(β,α) e λα Γ(θ 2,k+) Γ(x) = x e d Γ(u, x) = u x e d Γ(x) Nimi normaalijakauma lognormaalijakauma alfajakauma parameri µ>,σ > α>,β > µ>,σ > iheyfunkio e β 2σ 2 ( µ)2 2πσ π e β ln(α)2 2πσ 2 e 2σ 2 ( µ)2 m µ α e 4β µ + σ2 µ 3 V σ 2 α (e σ 2 2 β e 2β ) µ + 8σ4 4 µ 6 ( ) µ luoeavuu Φ Φ( ( 2β ln(α)) Φ µ ) ( ) µ Φ σ σ σ Φ(x) = 2π x e 2 2 d

4 iv Nimi Birnbaum Saunder-jakauma kääneinormaalijakauma parameri α>,β > µ>,λ> iheyfunkio + β 2α 2πβ 3 e 2α 2 ( β + β 2) λ λ 2π 3 e 2µ 2 ( µ)2 m β( + 2 α2 ) µ V α 2 β 2 ( α2 ) λ ( ) λ λ ( ) Φ β luoeavuu Φ α β α µ ( ) λ λ Φ µ µ 3 e 2 λ µ Nimi Gumbelin jakauma. Pareon jakauma 2. Pareon jakauma parameri α,θ > γ α>,β > α>,β > α { { αβ α α, kun β, kun <β iheyfunkio α e α( θ) eα( θ), kun >β αβ α α, kun β m V luoeavuu θ γ α αβ α + π 2 6α 2 αβ 2 { e eα( θ), kun α> e eα( θ), kun α< αβ α (α>) αβ 2 (α >2) (α + 2)(α +) 2 (α 2)(α ) 2 { { β α α, kun β, kun <β, kun >β β α α, kun β γ = Ääriarvojakauma F n max (y) =F (y) n = e n( F (y)) F n min (y) = ( F (y)) n = e nf (y)

5 v Makimienropia H =E( ln f(x)) = f(x)lnf(x) dx f ME (x) =αe λ g (x) λ k g k (x) (x I) f ME (x) dx = ja E(g (X)) = η,..., E(g k (X)) = η k I Konvoluuio f () f 2 () = f ( )f 2 () d Teau ja eimoini χ 2 -ei =τ <τ < <τ N <τ N+ = p j =P(τ j T<τ j+ )= V = j= τ j+ N (C j np j ) 2 = np j n τ j f() d (j =,,...,N) N Cj 2 p j= j n χ 2 (N) K n K + n = n up = n up Kolmogorov Smirnov-ei ( ˆF () F ()) = n max n j= (F () ˆF ()) = n max n j= ( ) j n F ( j) ( F ( j ) j n ( P K n + y ) ( =P K n n y ) = y y ( ) n (k y) k (y + n k) n k = e 2z 2 n n n k k= )

6 vi K n = n up ˆF () F () = max(k n +,Kn ) P(K n z) = 2 ( ) l+ e 2l2 z 2 l= Paloiain ekponeniaalinen iheyfunkion eimaai ˆf() = C j n(τ j+ τ j ), kun τ j <τ j+ (j =,,...,N) ˆr() = ˆf() ˆR() = R() =e C j (n C C C j )(τ j+ τ j ) =Λ j, kun τ j <τ j+ j ˆr() d Λ i (τ i+ τ i ) Λ j ( τ j ) = e i=, kun τj <τ j+ f() =ˆr()R() Tiheyfunkion eimoini makimienropian kaua ˆη i = n g i ( j ) n j= KLIV(f,f 2 )= ID(f, ˆf) =KLIV(f, I (i =,...,k) f ()ln f () f 2 () d ˆf)+KLIV( ˆf,f). Aeeaan J {} ja i ekä lakeaan δ =ID(ˆf,f J ). 2. Jo δ ɛ, niin iirryään kohaan Jo aa δ>ɛ,onkaki mahdolliuua: 3. Jo i<k, aeeaan J J {i +} ekä i i +, lakeaan uui δ = ID( ˆf,f J ) ja mennään kohaan Jo i = k,eihaluua avoiea voiu aavuaa. Lopeeaan. 4. Jo i =, niin uloeaan f J () ja lopeeaan. 5. Jo aa i>, aeeaan i i ja J J {i} ekä lakeaan δ = ID( ˆf,f J ). Jo ny δ δ, aeeaan J J ja δ δ. Mennään kohaan 4.

7 vii Vikajakauman paramerien eimoini pienimmän neliöumman meneelmällä h(f()) = β + β g ()+ + β l g l () L j = C j n(τ j+ τ j ) (j =,,...,N) S(β,...,β l )= N (h(l j ) β β g (τ j ) β l g l (τ j )) 2 j= X = g (τ ) g l (τ ) g (τ ) g l (τ ) g (τ N ) g l (τ N ), β = β β. β l, y = h(l ) h(l ). h(l N ) S(β) = y Xβ 2 ˆβ =(X T X) X T y ML-eimoini Täydellinen ei: Monienuroini: L(θ) =f( ; θ)f( 2 ; θ) f( ; θ) L(θ) =f( ; θ)f( 2 ; θ) f( ; θ)r(s ; θ) a R(S 2 ; θ) a2 R(S n ; θ) an I yypin enuroini: L(θ) = ( ) n f( ; θ)f( 2 ; θ) f( ; θ)r(s; θ) n II yypin enuroini: ( ) n L(θ) = f( ; θ)f( 2 ; θ) f( ; θ)r(max(, 2,..., ); θ) n Kaplan Meier-ulorajaeimaai ˆR() = ) ( nj j=,2,... j

8 viii Ekponenijakauman ML-eimoini Täydellinen ei: ˆm = ˆλ = n ( n )= Tyypin II enuroini palauaen: T = n (T + T T n ) gamma(n, nλ) ˆλ = Tyypin II enuroini palauamaa: n(y + y y ) = n T = Y + Y Y gamma(, nλ) ˆλ = Tyypin I enuroini palauamaa: (n ) T + T T +(n )T = gamma(, λ) ˆλ = Tyypin I enuroini palauaen: (n )S Monienuroini palauaen: P(V = ) = (nλs) e nλs! ˆλ = ns P(V = ) = (nλ(s + S S n )) e nλ(s +S 2 + +S n)! ˆλ = S + S S n Monienuroini palauamaa: ˆλ = ( a )S +( a 2 )S 2 + +( a n )S n

9 ix Rakeneie yeemi Sarjaan- ja rinnankykey yeemi R max () = ( R ()) ( R k ()), R min () =R () R k () Rinnan-arjaan- ja arjaan-rinnan-kykey yeemi ( ) m k i R() = R ij () R() = i= j= ( ) m k i ( R ij ()) i= j= Binomikykey yeemi R (k,) () = k i= ( ) k R() i ( R()) k i i Loogiei kykey yeemi Dijunkiivinen muoo: (A A 2 A k ) (A 2 A 22 A 2k2 ) (A m A m2 A mkm ) Konjunkiivinen muoo: (A A 2 A k ) (A 2 A 22 A 2k2 ) (A m A m2 A mkm ) Inkluuio-ekkluuio-kaava: R() =P(D D 2 D l =) l = P(D i =) P(D i D j =)+ P(D i D j D k =) i= i<j l i<j<k l + +( ) l+ P(D D 2 D l =) R() =P(C C 2 C l =) l = P(C i =)+ P(C i C j =) P(C i C j C k =) i= i<j l i<j<k l + +( ) l P(C C 2 C l =)

10 x Saunnailukujen generoini: Nimi Weibullin jakauma Generoini ( ln( U)) /α λ Gumbelin jakauma (α >) ln( ln( U)) + θ α Gumbelin jakauma (α <) ln( ln U)+θ α. Pareon jakauma βu /α 2. Pareon jakauma β( U) /α Box Muller-muunno: { V = ln U co(2πu 2 ) V 2 = ln U in(2πu 2 ) Huolleavuu ja käyeävyy <T <T 2 < <T r < X i = T i T i (i =, 2,...) H() =E(N )= h() = dh() d P(N k) k= P(N + N =) = lim + p r () =P(N = r) (r =,, 2,...) p r () =P(N r) P(N r +)=P(T r ) P(T r+ ) Differeniaaliyhälömeneelmä: p r (+ ) p r () = P(N + = r+ N = r)p r ()+P(N + = r N = r )p r ()+o( ) Differeniaaliyhälömeneelmä ekponenijakaumalle: dp i () d Laplacen muunno: = λ i+ p i ()+λ i p i (), p i () = (i =, 2,...,r) p () =R() =e λ L(g())() = g()e d L(g () g 2 ())() =L(g ())()L(g 2 ())()

11 L g(u) du () =L( g())() = L(g())() xi Konvoluuiomeneelmä aidoille uuimiille: L(f r ())() =(L(g())()) r ja L(F r ())() = (L(g())())r = r (L(G())()) r Konvoluuiomeneelmä viiveuuimiille: L(f r ())() =L(g ())()(L(g())()) r ja L(F r ())() = L(g ())()(L(g())()) r = r L(G ())()(L(G())()) r BAO-uuimie h() =r() H() = ln R() p i () = i! H()i R() (i =, 2,...) L(θ) = f( ; θ)f( 2 ; θ) f( ; θ) R( ; θ)r( 2 ; θ) R( ; θ) Weibullin uuimiproei ML-eimaai: H() = ln R() =λ α, h() =αλ α, p r () = λr αr ˆα = ln +ln + +ln, ˆλ = 2 ˆα r! e λα U = α ( ˆα = α ln T +ln T + +ln T ) gamma(, ) T T 2 T Z = Y + Y Y = λt α gamma(, ) A = U ln Z ln = α ˆα λˆα ln =lnθ ˆλ α ˆλ (λ = θ α )

12 xii P(A a) = ( 2)! = ( 2)! v 2 e v Γ(e v (a+ln ),) dv 3( ) v 2 e v Γ(e v (a+ln ),) dv Uuimiyhälö ja -lauee viiveuuimiille L(H())() = L(G ())() L(G())() L(h())() =L(g ())()+L(h())()L(g())() L(H())() =L(G ())()+L(H())()L(g())() ja h() =g ()+h() g() =g ()+ h(u)g( u) du ja H() =G ()+H() g() =G ()+ Alkeinen uuimilaue: Blackwellin uuimilaue: Avainuuimilaue: lim h() = m, lim H() lim (H( + x) H()) = x m H(u)g( u) du = m Q() d = q< lim Q() h() = q m Vuoroeleva uuimie U = X,U 2 = X +(Y + X 2 ),U 3 = X +(Y + X 2 )+(Y 2 + X 3 ),... T i =(X + Y )+(X 2 + Y 2 )+ +(X i + Y i ) (i =, 2,...)

13 xiii W i = Y i + X i, Z i = X i + Y i (i =, 2,...) f i () =g () g (i ) () γ i () φ i (u) =g (u) g (i ) (u) γ (i ) (u) (i =, 2,...) L(H I (u))() = L(g (u))() L(g(u))()L(γ(u))(), L(h L(g (u))() I(u))() = L(g(u))()L(γ(u))(), L(H II ())() = L(g ())()L(γ())() L(g())()L(γ())(), L(h II())() = L(g ())()L(γ())() L(g())()L(γ())() S = {, jo yeemi on käyöä hekellä, jo yeemi on huolloa hekellä K = S u du A() =E(S )=P(S =) A() = E(K ) A = lim A() = lim A() = A() =e ρ() = h I() A() ρ(u) du + h II (v)e m m + µ ρ(u) du v dv Vioiumiuuimie: Ehkäievä uuimie k FRP = m Määräaikaiuuimie: k BRP = b + H(M) M M M : h(m) = M h(u) du + b M

14 xiv Ikäuuimie: k ARP = +(a )R(M) M R(x) dx M : r(m) M R(x) dx + R(M) = a Bayein meneelmä P(A B) = g(θ x) = P(B A)P(A) P(B) f(x θ)g(θ) f(x). Valiaan eijakauma g(θ). Aeeaan i. 2. Oeaan näye x i aunnaimuuujaa X. 3. Lakeaan Bayein kaavalla jälkijakauma g (θ) =g(θ x i ). 4. Jo näyeenooa jakeaan eli i<n, aeeaan i i +ja g(θ) g (θ) ja mennään kohaan 2.,. jälkijakaumaa ulee uui eijakauma, jne. Nimi beajakauma kääneigammajakauma parameri a>,b> α>,β > iheyfunkio odouarvo variani Γ(a + b) Γ(a)Γ(b) xa ( x) b, kun x a a + b ab (a + b) 2 (a + b +) β α Γ(α) x α e x, kun x> β, kun α> α β 2, kun α>2 (α ) 2 (α 2) kerymäfunkio β(x, a, b), kun Γ(β/x, α), kun x > β β(x, a, b) = Γ(a + b) x u a ( u) b du Γ(a)Γ(b)

15 xv p-appio: β(a, b) = Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) = u a ( u) b du lo p (θ,d)= ˆθ(D) Θ p, lo p (θ,d)= k ˆθ i (D) Θ i p i= Bayein eimaaori 2-appiolle: ˆθ(D) =E(Θ D) = θg D (θ) dθ J