Rak Rakenteiden mekaniikka C (4 ov) Tentti

Transkriptio

1 Rk-54.6 Rkeneden meknkk (4 ov) Ten.5.8 Krjo jokeen koeppern elvä - koko nme, puhuelunm llevvun - oo, vuokur, enn pävämäärä j enävä opnojko koodeneen - opkeljnumero, mukn luken rkukrjn - moneko ker ole opnojko enmää - mnä vuonn ole nu enokeuden pkolle koehävä uormll ) Suorn uvn knemkk määrellään hälöllä u(, ) = u (, ) e + v (, ) e, u(, ) = α() β(), v (, ) = w (), jo on uvn keklnjn uunnen koordn j on uvn keklnjn normln uunnen koordn. Suvn kohduu jknunu kuorm f(, ) = p (, ) e + q (, ) e j uvn puu on L. () Johd vrulen ön pereell pnohälö ulokeuvn jännreulnelle, el normlvomlle N, vuumomenlle M j lekkuvomlle Q. () Määrä mll mö jännreulnej j rmäuure kokev reunehdo. L b ) Oheen kuvn vomen pokklekkuken lppojen pkuu on j puude ov b j b. Kk lpp muodov uorn kulmn j kk muu ov nhn nähden 45 een kulm. Määrä pokklekkukelle () väänöjäh ekä () lekku- el väänökekön em. () Selvä läk nlle j kvojen vull, men kärmjäh ω lken. ) Nelöln vum on, pkuu j vuujäkk D = E / [( ν )]. L on vp ueu oheen kuvn muke khdel vkkel vuln, jo hdävän keklnjn (e ueu) läpuolell kuormuken on nen kuorm q, kun keklnjn lpuolen vpn vun kekellä vku pekuorm. Lke rvo ln mkmpumlle käämällä Krchhoffn lmll j poenlenergn mnmn pere ekä oveluv pumn refunko. b q q 4) Suvn puu on L, vuujäkk E j m puukkköä koh m. () Johd jkuvmen uvn vuuväräheln odfferenlhälö. () Määrä ää pnohälöä ovelen oheen uvn ln omnkulmjuu. Suv on oe pääään jäkä ueu j oe päää on jäkkä rulluk. () Hhmoele läk kh ln omnkulmjuu vv värähelmuodo. LEm,, x

2 Rk-54.6 Rkeneden meknkk, RM (4ov) Kvkokoelm enn.5.8 Lää perukvoj kvkokoelm RM- j RM-. Muodonmuuoke kkdmenoe puke ε = u u u u e, ε = e, γ = e + e Sänen vrulnen ö δw = δ d Ulkonen vrulnen ö δw = F δud + T δud u ST rulen ön pere δw + δwu = Suvn jännreuln: momen, normlvom j lekkuvom M ( ): σ (, ) d =, N( ): M ( ): σ (, ) d = =, ( ): = τ (, ) Q d äänöjäh umpnelle, reällelle, monoelle ohuelle uorkeelle ekä k- j monkoeloelle uvlle ψ ψ = p + ( z ) d z = ( Hr + Φ d ) Gθ M =, = Φ = Gθ, d w d 4 4 = + d d, = d q Gθ Sekorlnen koordn peen uheen ω =± h d = [( z z ) d ( ) dz] Sekorle ulomomen ω = ω d, ω ω z z d Jähmomen = z d, = z = d, z b = z d KÄÄNNÄ!

3 äänö- el lekkukekö zωz zω ωz = + = ; + joz = z z ω zωz ω z = z = z ; joz = z z z Sekorlnen nen momen väänökekön ekorlelle koordnlle S ωˆ = ωˆ d, Normeeru väänökekön ekorlnen koordn Sωˆ ω ˆ = ω Sekorlnen nen momen S () ω() d ω = Sekorlnen väänöjäh el kärmjäh ω = ω d oenlenerg Π = U + Muodonmuuoenerg U = d Ulkoen kuormuken poenl = F ud T ud S T Krchhoff-ln muodonmuuoenerg D w w w w w U = d {( ) ( ν)[ ( ) ]} d = + x x x D = E ( ν ) Suvn vuuvärähel ( Ev''( x, ))'' + mvx (, ) = px (, ) vx (,) = X( xt ) (), T( ) = n( ω) + co( ω) T ( ) ωt ( ) + =, 4 m X x X x E ''''( ) ω ( ) = X( x) = n( λx) + co( λx) + nh( λx) + coh( λx), Lää perukvoj kvkokoelm RM- j RM-. λ = ω 4 m E

4 Rk-54.6 Rkeneden meknkk (4 ov) Rkuvelmä enn.5.8 [ulu pe]. Tehävä: () Muodonmuuoke ov n ε u u = e = = '() '() α β u v ε = e = = u u v u γ = e + e = + = w'() β(). [ p.] Sänen vrulnen ö on muoo δw = δ d = ( σ δε + σ δε + τ δγ ) d { σδ( α' β ') τδ( ' β) } = + w ddl L = σ (, ) d δα '() σ (, ) d δβ '() + τ (, ) d ( δ w' δβ )() d L { δα δβ δ δβ } = : N( )' M ( )' + Q (( w)' ) d L mä normlvom j momen määrellään luekkell N( ): = M( ): = σ (, ) d j M ( ): M ( ): (, ) d = = σ ekä lekkuvom on muoo Ulkonen vrulnen ö vodn luu muodo δw = f δud + δud u ST = p(, ) δu dd + q(, ) δv(, ) dd L L = δα() p(, ) dd δβ() p(, ) dd + δw() q(, ) dd L L L = δα d Rδβ d + Fδ w d L L L mä kuormreuln on määrel eurv: F( ): = q(, ) d, = p(, ) d j R p(, ) d =. rulen ön pereen mukn δw + δw =, joen { } u Q(): = Q (): = τ (, ) d. [ p.] N( δα )' + M ( δβ )' Q(( δ w)' δβ ) d + δα d R δβ d + F δ w d =. [ p.] L L L L Onegromll dn { ' ( ' ) ' } [ ] [ ] [ ] L L L = + L L L L N δα M Q δβ Q δ w d Nδα Mδβ Qδ w δα d Rδβ d Fδ w d Jo ämä hälö päee kkll vroll δα, δβ j δ w, on pnohälöden

5 N' =, M' + Q = R j Q' = F olv vom välllä (, L ). [ p.] () Mö jäkä knnen ( = ) j vp reunn ( = L) reunehojen on olv vom: δα =, kun =, j N =, kun = L, δβ =, kun =, j M =, kun = L, δ w =, kun =, j Q =, kun = L. [ p.]

6 . Tehävä: () äänöjäh: b = (+ ) b = (+ ) b. [ p.] () äänökekö: klen rmän edeään n mmern perueell hävävän peeä, jo mmer-kel lekk profln. een z -koordno profln uorn kulmn uorn kulmn muodoven lppojen uune. Tää koordno lkeu koordnjkum nv jähmomen (+ ) b = z d =,76b (+ ) b z = d = = b,76 b = z d = b z,47. een nppe profln uorn kulmn, jollon peeeen lvllä uorn kulmn muodovll oll päee ω =. Jo povnen uun kerää vpävään, nn voll llpll ω kv noll lnere rvoon ω = ( b/)( b) = b j voll lälpll rvoon ω = b. Koordnjkumen vull dn ekorle ulomomen b b 4 4 ω = ( ) ( ),77 ω d = b b + b b = b b 6 b b 4 4 ω = ( )( ),77 z ωz d = bb + b b = b b 6 Nää dn edelleen väänökekön koordn zωz zω = +.45b z z z = z = ω z ωz z z [ p.] () Kärmjäh: äänökekön uheen lkeu normeermomn ekorlen koordnn ω jkum j vv ekorlnen nen momen dn kvo ˆ j S ˆ ˆ ω ω ˆ =± h d = [( z z ) d ( ) dz] = ω d. Normeeru väänökekön ekorlnen koordn j ekorlnen väänöjäh el kärmjäh lken kvo Sωˆ ω ˆ = ω j ω = ω d. [ p.]

7 . Tehävä: een x -koordno ln vempn l lnurkkn vujen uune j käeään ln pumlle pprokmo w w w( x, ) = x( x) = ( x x ), jok oeu poenlenergn mnmpereen vm kneme reunehdo w(, ) = (ven vu) j w= (, ) (oke vu). Yre e o huomoon -uunnn muuo mu on kuenkn fkle rävän hvä. Selveäväk jää k unemon vko w. [/ p.] Tälle pprokmolle päee w w w w =, =, =, x x joen ln muodonmuuoenerg on D w w w w w U = d {( ) ( ν)[ ( ) ]} d = + x x x D w w = ( ) = d D [ p.] Kokonpoenlenergn lueke on Π = U +, mä kuormn poenlenerg on = F δud T δud S T = qw( x, ) d w(,) w w = q x x dxd 4 /( ) q = ( + ) w 4 Kokonpoenlenergn Dw q Π = U + = ( + ) w 4 mnm vuen, kun [ p.] 4 4D q q = δπ = Π δw = Π = w ( + ) w + = w w 4 48D Mkmpum vuen ln puolvälä: 4 q + wmx = w(, ) = w = [/ p.] 48D

8 4. Tehävä: () Krjoen puor vompnoeho ekä momenpnoeho dfferenlelle plkn päkälle: Qx ( + x,) Qx (,) + px (,) x mvx &&(,) x= M( x+ x,) M( x,) Qx ( ) x+ [ px (,) mv&& ( x,)]( x) /= Q ( x,) p ( x,) M ( x+ x,) Jkmll hälö puoln puudell x, käämällä dervn määrelmää j jäämällä po korken een erm dn pnohälö j vuuväräheln hälö Q ( x+ x, ) M ( x,) d Qx (,) mv ( x,) + px (, ) mvx &&(, ) = dx Ev (,) x + mvx &&(,) = px (,) d M( x,) Qx (, ) = dx Tää on käe momenn j lekkuvomn määrelmä M = Ev '' j Q = Ev ''' ekä oleeu, eä E on vko. Omnvärähel-hälön rku eään muodo vx (,) = X( xt ) (), jok jomll hälöön n T&& + ω T = E X T m X = && ω T = ω m X X = E () Näden hälöden rku ov T( ) = nω+ coω, X( x) = D nγx+ D coγx+ D nhγx+ D cohγx, 4 4 ω m γ =. [ p.] E Reunehdo ov rullukpäädä v'(,) = = Q(,) j jäkä ueu päää vl (,) = = v'( L,), jo eur X '() = X'''() = = X( L) = X'( L). Nää dn ehdo D D = = j ol γ γ γ γ D + D = = D + D el DcoγL+ D4cohγL= coγl cohγl D = Dγ nγl+ D4γ nhγl= γ nγl γ nhγl D 4 Yhälörhmän keromlle dn noll erov rku, jo kerronmrn deermnn hävää: γ nhγlcoγl+ γ nγlcohγl= nhγl+ nγ =. Yhälöä vodn rk rvo γ j lopul omnkulmjuude E ω = γ, =,,,..., m γ L =.65, E E 5.6 ω = γ =. [ p.] m m L () Omnmuodo noudv reunehoj: kermä on noll molemm päädä j läk rmä on noll jäkää päädä. X :llä e ole hään olmukoh, X :ll on k. Solmukohdll rkoen ää plkn omnmuodon j plkn deformoumomn lkuln lekkupeä. [ p.]