Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!

Transkriptio

1 AS-74. Alogie ääö vkokoelm v. Plu ei jälkee! Trk kokoelm ivumäärä! Älä ee miää merkiöjä kvkokoelm!

2

3 Dymie mllie perukompoei. Sähköie kompoei Vu (reii) u() Ri() el (iduki) u() L di() d odeori i() C du() (kpii) d. Eeevä liike Mkpple Joui Vimei F x x B m x () x x F F B F d x() m m d o kiihyvyy Δx() ( x ( ) x ( )) dδx() FB BΔ v() B d dx() dx() B d d v o opeu.4 Virujärjeelmä Säiliö Tulppviru Ideliekoii Veiili (ukko) Tileiy Järjeelmä: F ( ) V () F( ) F( ) C ( ) F( ) C( ) P ( ) V () C () F () R F () dv () F( ) F() F() d P ( ) C ( ) F( ) C( ) y () + y () + + y () + y() bu () + + b u () + b u() ( ) ( ) () ( ) () Yleie ileiy: x () f( x(), u()) y() g( x(), u()) F () F ( T) C () C ( T) dv () F() F() d dcv ( ( ) ( )) C() F() C() F() d C () C() F () AR () ΔP () (urbulei) F () AR () ΔP () (lmiri).3 Pyörivä liike Hiumomei θ() J Vääöjoui θ() k θ() B Vääövimei θ() θ() d θ () TJ () J d Tk () kδθ () k( θ ( ) θ ( )) dδθ () Tb () B d dθ() dθ() B d d x () f( x(), u()) Ax() + Bu() Lierie ileiy: y() g( x(), u()) Cx() + Du(). Lierioii Olkoo yleie ileiyke pioil (x,u ). Tpioil lierioiu ileiy o ällöi df df Δ x () ( x, u) Δ x( ) + ( x, u) Δu( ) T T dx du dg dg Δ y() ( x, u) () (, ) () T Δ x + x u T Δ u dx du (/8)

4 df T dz ( z) df df df dz dz dz df df ( z) ( z) ( z) ( z) ( z) dz dz df dz ( z) ( z). oie muodo () () () Ohjv koie ileiy: x x + u y () [ b b b b] x() b b x () x() + u() Hviv koie ileiy: b b y () [ ] x().3 Lierie ileiyke rkiu Φ () e A A, Φ () e L {( I A) x() Φ() x() + Φ( τ ) Bu( τ) dτ y() Cx() + Du() y() ( CΦ() x() ) + C Φ ( τ) Bu( τ) dτ + Du() y() + yu().4 Ohjvuu j hvivuu Ohjvuumriii: m df dz M B AB A B A B c m Hvivuumriii: C CA M o CA CA.5 Tilääö Järjeelmä: x () Ax() + Bu() y() Cx() Tkiikykeä lähöuuree: u() Tr() y() Tr() Cx() ( ) ( ) * * x () Ax() + B Tr() Cx() A BC x() + BTr() A x() + B r() y() Cx() Tkiikykeä iluuree: u() Tr() Lx() ( ) ( ) * * x () Ax() + B Tr() Lx() A BL x() + BTr() A x() + B r() y() Cx() Iegrori ugmeoii ilääimee: u() Lx() LIxI() x I() Cx() + yref () x () A BL BL x() y x C x I x A x B y * * x() y() C x () y() [ C ] I () x I + ref () () () * * * * I I () () + ref () rkeriie yhälö: I A + BL BL * I de ( I A ) de C I.6 Tileimoii x( ) odellie il xˆ( ) ileimi x ( ) eimi poikkem (/8)

5 Tilhviij: x ˆ() Axˆ() + Bu() + eˆ () Axˆ() + Bu() + y() Cxˆ() ( A C) xˆ( ) + Bu() + y() Eimoiivirhee dymiikk: x () A C x () A x () ( ) *.7 Tileimoii j -ääö yhdieyä x () A BL BL x() BT () () + () r x A C x () y () [ C x ] () x rkeriie yhälö: de( I A+ BL) de( I A+ C) 3 Siirofukio ( ) Y( ) Siirofukio: G () U( ) Lähöuure: y () L { G () L{ u () Sie vhviu: k lim { G( ) Tileiykeä iirofukioo: G() C( I A) B+ D 3. Eimmäie kerluvu dymiikk τ y () + y () u () G () τ + Impulive: y () e τ τ Akelve: y () e τ 3. Toie kerluvu dymiikk y() + ςω y () + ω ω u() G( ) ω + ζω+ ω Omiijuu: ω Vimeuuhde: ζ co( α ) Aiko: Impulive: y( ) ω ζω e i ζ x x α ω ( ( ω )) ζ Im Re ζ ( ω ζ ) ( ω ζ ) ζω Akelve: y( ) e co + i ζ ζω e ( i( ω ζ + rcco( ζ) )) ζ Akelvee yliy: πζ ζ %OS e Huipu jkoh: π p ω ζ Akelvee eumiik: 4 3, ζ.88, ζ.83 ζω ζω (%) (5%) ζ 4. 7ζ.,.88 < ζ.4,.83 < ζ.4 ω ω Tjuuo: Reoipiiki juu: ωr ω ζ Reoipiiki korkeu: M r ζ ζ 3 db: kilevey: 4 BW ω ( ζ ) + 4ζ 4ζ + (3/8)

6 Pyyvä poikkem: P () P () GOL() Q Q k * () () Q*() :llä ei ole juuri origo Heräe { k : lim G ( ) p OL { k : lim G ( ) v OL { OL k : lim G ( ) k + p ± ± v Pyyvä poikkem ± Ykikkökelvee proeulie yliy j vihevr vimeuuhee fukio: PM ζ 8 7 PM: Vihevr (ei) PO ζ PM PO: Proeulie yliy: PO PO: Proeulie yliy PM: Vihevr (ei) (4/8)

7 4 Nv j oll Siirofukio Tileiy b + b + + b + b + b P () G () Q () z z z z z p p p p + p + p ( I A) ( ) ( ) Q () de P ( ) Cdj I A B+ Dde I A rkeriie yhälö: Q ( ) 4. Juuriur rkeriie yhälö: + G ( ) Juuriur: G ( ) OL Pi OL G ( ), { G ( ) π + k π, k, ±, ±,... OL Pi OL Pi Aympooie kulm: ( k + ) 8 α ± P Z Aympooie leikkupiee relikelill: P Z pi zi δ i i P Z Juuriur hroje yhymi- j erkemipiee: d d 4. Rouhi kvio b b b b, b3, b5, b b 4 b b b b4 b b6 5 b 3 5, b3, b5, b b3 b b b5 b b b7,,, b b b b b b b b b b b b b b c c c b c c c b z z z (5/8) 5 Tjuuve Tjuufukio: ( ω) ( ω) Re { ( ω) Im { ( ω) F G j G j + j G j z R+ j X z R + X { z rc( X R) + π ( jo R >, jo R < ) Ampliudiuhde A j vihe-ero ϕ: Ay A G( jω) Re { G( jω) + Im { G( jω) Au ϕ { G( jω) rc( Im { G( jω) Re { G( jω) ) + π ( jo Re G( jω) >, jo Re G( jω) < ) Euleri kv: Aj e co( A) + i ( A) j Bj e co B i B j ( ) ( ) 5. Bode digrmmi perukompoei { { G( jω ) lg G( jω ) db { G( jω) lg ( ) db τ + ( τ > ) db db / db/dek db/dek 9 9./ 45 /dek /

8 e τ ( τ > ) db 6.4 Viheejohojäöpiiri ω + kω + Gled lg () + + kω ω 7 Teifukioi ( + ζω + ω) ω ( ξ < ) db r 4 db/dek 8 u () y () S ωr ω ζ Mikäli piirreävä ekijä o imiäjää, ov vhviu- j vihekäyrä peilikuvi yllä eieyiä käyriä ollo uhee. 6 Sääime 6. PID-äädi de( ) u () P e () + e( ) d TD T τ τ + I d de() u () e P () + I e( τ) dτ + D d P I TI D PTD 6. Viheejohopiiri ω + Gled () + ω m kω kω k i( φm ) k Viheejäöpiiri kω + Glg () + ω Teifukio Aiko Lplce-muuo ykikköimpulifukio u (), + u () δ (), muulloi U() ykikkökelfukio u () u () d, u () U(), > ykikköpegerfukio u (), u () U(), > (6/8)

9 8 Ykikerie yeemie impuli- j kelvei Siirofukio Impulive Akelve.6.5 τ >, >, < ζ <, ω Siirofukio Impulive Akelve 6. (τ +)(τ +) ω + ζω+ ω ω +ω τ (τ +)(τ +)(τ 3 +) (τ +) τ τ ω ζω+ ω (7/8)

10 9 Tekijöihi jko ( ) P( ) ( r )( r )...( r ) ( r ) ( r ) ( r ) Y , r r i j ( ) Y Heviide meeelmä P( ) q ( r ) ( r )...( r ) C C C q q q q ( r ) ( r ) ( r) ( r ) ( r ) {( i) ( ) ri q {( ) ( ) lim r Y i,,..., i C lim r Y q r d q Cq lim ( r) Y( ) r d k d q Cq k lim ( r) Y( ) r! k k d i j. Lplce-muuo j ikvei Lplce-muuo ( Aj fukio δ() / / / + /! + e - e + + )! ( + ) ( + )( + b) ( + )( + b) b + b b( b ) ( e ) b ( e e ) b ( e be ) Lplce-muuo + i() Määrielmä: { F () L f () fe () d + co(). Lplce-muuoke eoreemoj ( + b) + e -b i() Lplce-muuo F() Aj fukio f() + b ( + b) + e -b co() C F () + C F () F(+) C f () + C f () e - f() + + b δ()+(-b)e -b e - F() F, f ( ), > f() Mikäli f(): j F(): rj-rvo ov olem, iille päee: lim ( ) lim ( ) { F { f lim { F( ) lim { f ( ) F ()F () f ( τ ) f ( τ) dτ F() f() f () ( ) [ f () f ()] F( ) f () () (8/8)