Vektori. 1.1 Peruskäsitteitä. 1. a) a s
|
|
|
- Jyrki Hukkanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Veo. Peuäeä.
2 Veo d. BC AD CD BA AB.
3 Veo. l, d h e h d h
4 Veo. uuu on, m/. Veon puu: Veon puu: v
5 Veo. α nα α,89... α β α n β β,... Veoen välnen ulm on ulmn β uplemenulm. α 8 - β,.
6 Veo 8. Seään veo lmn m peeä. α Veoen välnen ulm α 9 -. Seään veo lmn m peeä. α Veoen välnen ulm α 8 -.
7 Veo 9. AB, AC CB, AC 8 CB, AC Kolmon olm ulm Smnohen ulmn AB, CB 88 AB, CB
8 Veo. Konlue,, o BC BC BC. m/h 8 m/h 8 8 m/h A B C
9 Veo. Suunnn ve ulm ov hä uue. CD, CB Kulmn nmeämnen loen oe leä. Kulm ABC: 8 d AB, BC AB, AD e, 8
10 Veo. C β α 9 A B α β PQ RS Peen S oodn ov -,.
11 Veo PQ RS Peen S oodn ov,.. GF BC e mo veoe un HD Veoen DC DE välnen ulm on hä uu un äännöllen hdenulmon ulm. DC, DE 8 8 8
12 Veo d CF, DC 8 α Nelulmo CDEF on lnen puoluunn. α α α 9 α α CF, DC 8 Veoen välnen ulm on mö uplemenulm hdenulmon ulmn D n. AB CB D C nα α,... α, A α B
13 Veo AC C 9 A B AB β Snlue: n β nα n9 nα nα n 9 nα n9 α,... α γ β 8 α 8,... E ä, o ulm β lppä. Kulm α,. γ 8 9,...,...,
14 Veo Kolmnnen vun puu dn nlueell. nγ n β nγ n β n,... n9,9..., Vu: Kolmon ulm ov 9,,,. Kolm vu,. 8. Konlue: 8 8 oα 9oα 9oα 8 8 oα 9 α 8, C CA, BC 8 α,... A B
15 Veo. Luomu 9. d
16 Veo. - - d u d d - d - d -
17 Veo. Vu: veo ov vuune. w
18 Veo - - v
19 Veo. DC CB AB CD BC AB AD d DE DC DE CD CE e AB EA EB d CB DC DE CB DC ED EB. e d w e v d u
20 Veo. u v w w v u. - - u
21 Veo. 8 m/ m/ v oeu: m/ 8 m v 8 v eä lähöp m/,...m m
22 Veo 9. AB AC AD
23 Veo D C. QD QA A AP Q B P. v, v, v,,8...,8, m/h m/h v Vu:,8 m/h. v v v,,,,8..., m/h, m/h v Vu:, m/h
24 Veo.. el - :. el evä elp Vu:. AD BA v u
25 Veo. PR PB BR AB BC AB BC A D P B R C. v one m/h v uul m/ m/, m/h m/h v v one vuul m/h m/h m/h v v v v m m/h 98,89...,...h m/h, mn v one mn m/h v uul m/ v v m,8...m/h,8...h mn
26 . nlue n nα nα n nα n nα,... α,... Veo β 8 - -,... 88,8... β 8 - -,8...,... n β n n β n α m/h m/h α 8,...,8... β 8,... m/h,... mh m/, m/ Vu:, m/
27 Veo 8. AN BM AB BN BA BA CL AM CA A AC M AB AC C L N B 9. β nlue v α m/h,8 nα nα nα n,8n,8n,... β γ 8 m/,8 m/h α 8,8... 8,8 α 8 8,8...,... e ä, o ulm α e vo oll lppä
28 Veo γ 8 - β - α,... nlue v n n γ n γ v n,9... m/h. Peään olmo ABC, on vun ov veo AB BC C A B Tällön AC. Keon en veo luvull. Oleen, eä >. Jo <, uvo ään mpä.
29 Veo Snvää olmo AE C E Nän nvä olmo ADE on hdenmuoonen olmon ABC n, o AD DE ADE ABC AB BC Kulm e muuu, un len puude muuuv. Snluen u dn edelleen, eä EAD CAB DEA BCA. S olmo ABC ADE ov hdenmuooe. A Yhdenmuoo olmo vnvuen uhee ov m. B D Nän AE, o AC AE AC. Ko n edelleen AC AE, nn AE AC. AE AC Kun, dn
30 Veo. Yhdenuunuu. hdenuun veoe ov, e, d,. Veon n hdenuune veo ov muoo, R veo on mnuunnen, un > el eme veo on vuunnen, un < el eme. Eme Eme
31 Veo., oen, oen., < el e ole vom 8, >
32 Veo. Oleu:,,, Väe: Todu:,,, 8 8, oen. : 8 Ko <, nn 8..,
33 Veo , Ko d d, nn d Ko d d, nn d 8
34 Veo. Käeään öveo o en puu on. AB 9 AB AB Smnuunnen ön punen veo on AB. C Q D CQ CD 9 CD CQ CD QD CD 9 CD QD CD
35 Veo. OA OB AB K veo AB OA OK 8 A K B O OA OB OK
36 Veo. R O l OS, S R T ST, K veo OR OS ST,,,, O. d, 8 d d d 8 8 d 8 d
37 Veo., m m AP m A P AP OP K veo OP OA AP O. AB 8 R p M mnmn n A R B MB K veo MR MB BR MB BA MB AB M
38 Veo 8. Tp epäuo pääel Mäl ol, nn Tällön. Tämä on uenn ehävännnon mun mhdoon, oen on olv. Tp uo pääel Ko, nn mö -. Nän ollen <, < 8. Peään olmo, mä AB BC Tällön AC Kulm α 8 -,, oen mö < α < 8, ollon ee - < oα <. A α B C
39 Veo Konlueell dn oα oα oα oα > > oen > oα 9. Mäl ol, nn lö luu nn, eä Jo, on hälö muoo mä e pdä pn. Jo, nn el. Tämäään e ehävän mun ole o, oen e vo oll.
40 Veo. Komponen. -
41 Veo. Veo ov m, un. Veo ov m, un
42 Soen hälöön. Komponenmuoo on Veo. u u 8 u u u 8 u Sdn hälöp u 8 u u u Soen hälöön u -. u u 8 u Vu: u -
43 Veo Komponenen olv m 8 Soen lempn hälöön 8 - Vu: 8. Veo hdenuun, un,. 9d d 9d d 9 S Veo ov hdenuun.
44 Veo. Veo ov mnuun, un, >. Ko <, nn e veo evä ole mnuun.
45 Veo 8. Veo hdenuun, un, d d d d S, oen veo ov hdenuun. 9. Vomen umm on. e e e e e e e Vu:
46 Veo. d d d d 9 d d 9 d d Komponenen olv m 9 Tällön 9 9 veo ov m, un.
47 Veo. Peään mlluv. F F F Muodounee uoulme olmo dn F n o F F F Puo omponen F n 9 N n F,89...N N Vuo omponen F o 9 N o F.89...N N. Vu:, 9 9
48 Veo. Rn hälöä veo. 8 Soen enmmäeen hälöön n. Tun, ono, <, oen veo evä ole vuune.
49 Veo. Rn hälöä veo. : 9 Soen enmmäeen hälöön n. Tun, ono, >. Ko - <, veo ov vuune. Vu: Veo evä ole mnuun ov vuun
50 Veo. Ko omponen ov ohuo on vn, dn Phgon lueell,,,,89...,9 Toen omponenn uuuu on,9 N.. u v, > el u v :
51 Veo Soen oeen hälöön. ± ± Veo ov mnuun, un. v u Veo ov mo, un.
52 Veo Komponenen olv m, oen 9 Rn hden lmmän hälön vull
53 Veo Soen :n vo lempn hälöön Tun velä oeuvo du vo olmnnen hälön. 9 Yhälö oeuuu, oen omponen ov 9
54 Veo 8. Komponenen on olv m, oen Soen :n vo lempään hälöön. S.
55 Veo : : Soen 9 8 heen muuhun hälöön Ko <, veo ov vuune. Vu: 9,, veo ov vuune
56 Veo 8. Meään nnelev vom. Jen vom v- puon omponenehn. V- puoen omponenen umm on, o luu on pno. n n o o n n o o Vuo omponen: n n Puo omponen: o o 8
57 Veo Sdn hälöp: n n o o 8 n n o o 8 n n o o 8 Soen n o o 8 N n n o o 8 N n 8 N n o o n,...n,... Soen N. n,...n n n n,899...n Vu: N N
58 Veo. Geome ovellu 8. Meään AB AC Oleu: AP AB BQ BC P C Q Väe: PQ AB A B Todu: PQ PA AB BQ BC
59 Veo 8. AC AB BC BQ PB PQ BC CR QC QR Vu: QR PQ A B C Q P R
60 Veo 8. Oleu: AB DC D C Väe: Todu: ABCD on uunn el AD BC AD AB BC CD A B AB BC AB BC 8. Oleu: AD BC AB DC D C Väe: AD BC AB DC A B Todu: AD BC AB AB BC DC AD DC BC DC BC DC DC BC Sdn hälöp: el AD BC AB DC Ko veo ov m, ne ov hä pä.
61 Veo 8. K medn lev m peeä. Leupe medn äeä luen uhee :. BC BC AD AP A B C D P
62 Veo 8. Avuulävää puolv oen. Suunnn lävää puolv oen. H G E Q F A D P B C PQ PB BQ DB BH
63 Veo 8. BD BP AC AP BD BP AC AP BD BP AP Sdn hälöp: S BD BP AC AP PD BP PC AP BD BP AC AP Vu: : pdemmän vun äeä luen. A B C D P
64 Veo 88. Oleu: E, F, G H ov nelulmon vuen epeä. Väe: EFGH on uunn el EF HG Todu: EF AB BF AB BC AB BC H D G C F HG HD DC AD DC AD DC A E B Ko AD DC AB BC, nn EF HG.
65 Veo 89. Meään AB AC. BC CQ AQ AP BC A D C Q P B CQ CD CQ CD
66 Veo Komponenen olv m. S CD CQ QD CQ Vu: : äeä C luen
67 Veo 9. Meään AB AC. BC Ilmoen veo BP hdell e vll. BP BC BP BC BP AP AQ DC A C Q D P B
68 Veo Komponenen olv m, oen dn hälöp. PC BP BC BP Vu: : äeä B luen
69 Veo 9. Meään AB AC. BC Ilmoen veo AQ hdell e vll. AQ AR AQ AR BC A Q P C R B AQ CQ CP
70 Veo Komponenen olv m, oen dn hälöp. : AQ AR CQ CP AQ QR CQ QP Vu: nn AR uhee : äeä A luen nn CP uhee : äeä C luen
71 Veo C 9. OP OB BD D OB AB AC A OB AB AC OB OA OB OA OC OB OA OB OA OC OA OB OC OA OB OC P O B Ko veo OP on luuv peläään veoen OA, OB OC vull, e pe P pu enn vlnn. S en lev m peeä.
72 Veo 9. OABC on uunn OA, OC C E B P Q D O A Väe: CP PQ QA Todu: Luun veo CP hdell e vll. CP OP OE CP CA CP CA
73 Veo Komponenen olv m, oen dn hälöp. S CP CA Ko lnne on mmenen, nn QA CA QA CP. PQ QA CP PQ CA CA PQ CA CA CA El CP PQ QA.
74 Veo 9. Q on eedn pnope P on pe, o nn DQ uhee : äeä D luen.,,, BA CE OQ d OD OC OB OA A B E O C D Q P
75 Veo d d d d d d d BC AB d EC CD QC QD OQ OP OP ppuu vn veoe d,,. Tulo e pu ä, mnä äen hon välä n äeään, oen e päee nlle lle nolle. P on en nden noen leupe pe n äeä luen :.
76 Veo 9. AC AB, Pe Q on ulmn puolll. Väe: q p Todu: AQ AP AQ Luun veo BP hdell e vll. BP q p q q p q q p q BC q p q BP B q A C P p Q
77 Veo Komponenen olv m, oen dn hälöp. q q p q p q q p q q p q q p q q p q q p q p p q q p q p q q q p q p q q q p q p q q q p :
78 Veo 9. Oleu: > Väe: Veon ä C on nll AB Todu: Jo C on nll AB, nn BA BC BA BC el. BA BC BA BC O A B C
79 Veo Kä C nn AB uhee : Vu: uhee :
80 . -oodno Veo oodno ,
81 Veo oodno 99. P, - Q-, - OP OQ O PQ PO OQ Q-, - OP OQ P, -. A, B, AB 9 AB 9 A-, B-, 8 AB 8 AB 8 9
82 Veo oodno. Muodoen peen P pveo. OB OP Pe P,. 8 Yöveo
83 Veo oodno Muodoen n peen pveo. OP Pe on, -.. Suunnn lävää puolv oen. Meään läväen leupeä mell P. [ ] AC OA AP OA OP Pe P,.
84 Veo oodno Suunnn vuveo AD BC. BC Muodoen peen D pveo. OD OA AD OA BC Pe D -,. u Komponenen olv m. Soen enmmäeen hälöön. 9 Vu: u 9
85 Veo oodno. AB 8 B-, 8 Muodoen peen P pveo. OP OA AP P OA AB A-, O Pe P 9 8,. A, B -, AB AB 9
86 Veo oodno ± ± AB. d 8 e Suunn on nelää, o en vu ov hä pä. Meään uunnn vuveoe. e d e d 8 8 Soen enmmäeen hälöön. d 8 8 d e
87 Veo oodno Len vuveoen puude. 8 Svu ov hä pä, oen eeä on nelää. 8. AB AC BC AB AC O A, B P C Muodoen epeen P pveo. OP OA AP OA AB BC Kepe P,
88 Veo oodno 9. AB Muodoen peen P pveo hdell e vll. OP OP OA AB S 9 9. AP 9 AB AP PB : 9 9 Vu: : peeä A luen
89 Veo oodno. Veo vuune, oen, <. ± Ko <,
90 Veo oodno., < ± Ko <, -. Muodoen n peen pveo. OA OP K pe on,. A, O P
91 Veo oodno. Lävää puolv oen. Vu:
92 Veo oodno. R ee peeä Q.,, AQ,, , AQ AQ Vu:, m A Q
93 Veo oodno. 9 Vu: 9 m
94 Veo oodno. Veo hdenuune, un Soen lempään hälöön Vu:
95 Veo oodno. A,, P B, -, Q AP BQ AB PQ PA AB BQ 9 PQ Vu: ön päää
96 Veo oodno. Veo oon OP,,8... > OP Vu: E uule P O
97 Veo oodno 8. [ ] d d d d d d Komponen olv m. < d d d d Ko <, veo evä ole mllään d:n voll mnuune.
98 Veo oodno 9. AP 9 BP BP AP 8 8 : 8 BP AP Ympän, on epe on, äde ehä en ulopuol.
99 Veo oodno. Kulmn puoln pe, on hä un lä d d. Kenen ulmnpuol on nouev uo., d, d, uo ulmeon uon hälö, - d uo ulmeon uon hälö 9 d 9 9
100 Veo oodno 9 d d Kulmeon 99 el eä uunveo on Suo on lev, oen e ä. Vu:
101 Veo oodno. -oodno. C,, A,, B,,
102 Veo oodno. AB 8 Q AB P OP OQ AB 8 O Päädään peeeen -,, -.. Meään veon lupeä mell P. OP OQ P Q Alupe P,, - O
103 Veo oodno. AB BC AB BC. 9 d d d d d
104 Veo oodno. d Komponenen olv m
105 Veo oodno Soen enmmäeen hälöön. 8 Soen du vo hälöön. 8 Vu: d 8. D C OD OA OA AD BC A O B KäpeD, -, -.
106 Veo oodno 8.,, A OA,,,, BC BC AC AC AB AB C OC B OB Kolmo ABC on vunen. Kolmon l n AC AB A
107 Veo oodno 9. AB 8 OP OA AB 8 A P B Pe P,, O. AC D C P OP A OA AC O B Peen oodn ov,,.
108 Veo oodno OK 8. Käpänen peeä K,8,,8, Pveo Eä nu OK 8 8,8 m..,,,, 9 Meään ä peä mell Q. OQ OA 9 Päädään peeeen,,.
109 Veo oodno ± ± Komponenen olv m. Veo evä ole hdenuun mllään :n voll.
110 Veo oodno. AB BC Meään mednen leupeä mell P. BC AB OA BC AB OA AQ OA OP Mednen leupe on,,. A B C O Q P
111 Veo oodno. Hupun oodn E,, Poh uoulmo ABCD. E D -, -, C -,, A, -, B,, Sämäveo: EA EB EC ED K ämä ov hä pä. Sämän puu EA
112 Veo oodno. A,,, -, P,, O Muodoen peen P pveo hdell vll OP OP OA Komponenen olv m. Rn vmeeä hälöä.
113 Veo oodno Tällön Hönenen on peeä,,. A, -,. O P,, Kone o od peeä P. Muodoen peen P pveo hdell vll. OP OA OP Komponenen olv m. Soen hdeen lempään hälöön Kone o od peeä, -,.
114 Veo oodno 8. Meään P,, pllopnnn peä. Meään A,, mpän epeä Muodoen veo AP Veon puu AP Veon AP puu o m un pllon äde. AP
115 Veo oodno 9. Meään hln pääepeä A,, B -,,. Pllon epe Q. AB AB 9 9 AB OA OQ Kepeen oodn Q,,. Pllon hälö 9 9 A B Q O
116 Veo oodno. epe,, - äde Pllon hälö -elll ± ± Pllo le -eln peä, ±, Leuuvon hälö: -oll. 8 Eää pllo, on epe, -, äde 8.
117 Veo oodno. Meään nn AB epeä mell P. AB OA OP Kepeen oodn,, P A,, B,, P O
118 Veo oodno. Peulo
119 Veo oodno. 8. AB AC 9 AB AC 9 8 AB 8 8 AC 8 AB AC 8. AB 9 AC 9 AB AC 9 8
120 Veo oodno 9. OA OB 8 AB OA OB O B A OA AB BA AB OB BA 8. BC AD AB BC AB AD A D B C AC AB BC AB AD AB AC 8 BD BA AD AB AD AC BD
121 Veo oodno. ± ± : 8 9 ± ± ± ±
122 Veo oodno., oen ± ± Kun, nn Kun -, nn
123 Veo oodno
124 Veo oodno
125 Veo oodno 9. Peen, pveo. Telln puu. d d Sdn hälö. Telln peulo d Sdn hälöp Rn hälöp oumeneelmällä.
126 Veo oodno 9 9 ± Kun, nn. Tällön A, -. Kun -, nn.tällön A-,..
127 Veo oodno.
128 Veo oodno. : p p p p p p p p p p p p p p p p p. AC AB AC BA BC AC AB AC AB AC AC AB AB AC AB AC AB BC AC AB BC BC AC AB BC BC A B C
129 Veo oodno. CB AB BC AC AC AB AC AC AB AC BC AC AB AB AB AC CB AB AB AC CB AB AB AC BC AC AC AB AC AB AC. AB AB AB A B C O A B
130 Veo oodno. Vhdnl Oelul Sleomen oäänö
131 Veo oodno Tonen poen
132 Veo oodno. Veoen välnen ulm. 8 Veoen välnen ulm α. 8o 8 oα Veoen välnen ulm α. oα o
133 Veo oodno 8. α α β 8 β Smmen peueell γ. γ d δ 8 δ
134 Veo oodno 9. d 9 d Ko d, veo ov ohuo on vn el veoen välnen ulm on 9. 9 d d d oα d α,9... α 9. AC BC AB 8
135 Veo oodno Määeään ulm α. oα A, α β γ C, α 9 B, Määeään ulm γ. oγ γ,... γ Kolmon olm ulm β 8 α γ 8 9
136 Veo oodno.,9... o α α α 8 8, o 8 α α α
137 Veo oodno. AB CD AB CD Veoen välelle ulmlle päee AB CD oα AB CD 8 α,... α, CD α AB
138 Veo oodno. Väe: Veo ov ohuo on vn. Todu: Tun veoeden peulo. Ko peulo on noll, veo ov ohuo on vn.. C A B AB 8 AC 8 BC 8 Tun olmvuveoen peulo. AB BC 8 Veo AB BC ov ohuo on vn, oen olmo on uoulmnen.
139 Veo oodno. Suunnn lävää ov: d e Lävää ov ohuo on vn, un peulo on. ± e d
140 Veo oodno. AB,, AC,9, B BC AC AB,9,,, 9,, A C Len vuveoen puude. AB,, 8,,... AC,9, 9,,... BC, 9,,,... S BC > AB > AC el BC on olmon pn vu. Meään ä ulm mell α. B AB AC oα AB AC,,9,, 8, 9,, 8, 9,,9... A α C α 9,8... α 9,8
141 Veo oodno. Veoen ov ohuo, un peulo on. ± ± g f 8. Veo on peen P pveo, oen P,. Meään Q, Tällön PQ Veo on ohuo veo vn, o 9 Tällön 9 pe Q,
142 Veo oodno 9. OA 9 Veon AB pää oll ohuo veo OA vn, oen AB OA OA OB AB 9 9, Ehdo 9 8 AB OA dn 9 9 ± 9 8 : OB OA AB 9 9 Kun, nn 9 OB 9 Kun, nn 9 OB 9
143 Veo oodno 8. Veon lupe on ogo loppupe,. Veo on muoo. Veo on ohuo veo vn, o veoen välnen peulo on el Veo on veon punen, o Soen. ± Tällön ±. Veo ov.
144 Veo oodno 8. u v u v u u v v u v u v Meään lävääveoen välä ulm mell α. oα α 9 Läväen puuen uhde: 98 8 : 8. oα, α 8 Ko > >, nn oα määää peulon men., un oα el α 9 >, un oα > el un α < 9 <, un oα < el un 9 < α 8
145 Veo oodno 8. d Peulo dn o d d d d d Veoen d d välnen ulm 9, oen : d d d d d d d d d d d d d d d d d
146 Veo oodno 8. Ko pe A on ogo, nneu veo ov äpeden pveoe. B A, B, D, - A α D C Peen C pveo AC AB BC S C, AB AD 8 AB AD 8 oα,9...,... α Suunnn l A AB AD nα n,...
147 Veo oodno 8. Veoen välnen ulm: AB AC oα AB AC,... α 9,98... α 9 Kolmon l: A AB AC nα n 9,98...
148 Suo o. Suo 8. - ulmeon eä uunveo Δ Δ Δ Δ Δ ulmeon Δ eä uunveo Δ Δ ulmeon eä uunveo Δ Δ Δ Δ ulmeon eä uunveo : Δ Δ Δ Δ - : Suoll e ole ulmeon, uo on -eln uunnen. eä uunveo
149 Suo o 88. Δ Δ Δ ulmeon Δ Δ Δ Δ ulmeon Δ Δ Δ ulmeon Δ Δ 89. Δ Δ Δ ulmeon Δ Suo ulee peen, u, oen voem on. Suon hälö:
150 Suo o Δ Δ 9 ulmeon 9 9 Δ Δ Suo ulee peen, u, oen voem on. Suon hälö: pmemuoo on R, Voemeä dn uon pe : el -,, -. Suunveo dn :n eom el eä uunveo on
151 Suo o pmemuoo on R, Voemeä dn uon pe : el -, -,. Suunveo dn :n eom el eä uunveo on 9. Ko omponenen pää oll m, nn R, 8 8 Ko omponenen pää oll m, nn R, 8
152 Suo o 9. Jo pe -,, 8 uuluu uolle, nn peen oodn oeuv uon hälön. R, Soen -,, 8: 8 Sn äenen :n vo, oen uuluu uolle. R, Soen -,, 8: Yhälöhmällä e ole u, oen pe e uulu uolle.
153 Suo o 9., R o len, un. Soen : on leupe on -, -, o len, un. Soen : : on leupe on,,
154 Suo o o len, un. Soen : : on leupe on,, 9. Meään A, -, B 8, -,. B P Suunveo 8 A Peen P pveo OP OA O Veomuoo:
155 Suo o Pmee:, R o len, un el : Soen : Leupe:,, 9. Meään A,, B,, -. Suunveo A B P Peen P pveo OP OA O
156 Suo o Pmee:, R o len, un el : Soen -: Leupe on,,. 9. Meään A,, B,, -. B P A Suunveo 9 Pe P,, - on uoll, o AP O
157 Suo o Ko veo ov m, dn: 9 9 Yhälöhmällä äenen u, oen pe P uuluu uolle. 9.,, -, -, Pmee:, R Soen peen -,, - oodn pmeeeen: 9 9 Yhälöhmällä e ole äeä u, oen pee evä ole mll uoll.
158 Suo o 98. Suon uunveo on eme 9 Suon melvlen peen P pveo on OP OA 9 Pmee:, R 9 9 o len, un el 9 Soen 9 : 9 9 : Leupe:,,
159 Suo o B A 99. OA OB OC 9 O Jo pee mll uoll, nn eme AB AC el AB AC, C Tun päeeö hälö olln voll. 9 Komponenen pää oll m, oen [ ] Ko, pee evä ole mll uoll.
160 Suo o. Meään A, -,, B,, -9 C -,, AB 9 AC 8 Jo pee mll uoll, nn eme AB AC el AB AC, Tun päeeö hälö olln voll. 8 8 Komponenen pää oll m, oen 8 Yhälöhmällä e ole äeä u, oen pee evä ole mll uoll.
161 Suo o. Peden A B u ulevn uon uunveo on eme: AB Jo pe P on uoll, nn eme OB OP Komponenen pää oll m el o Ko hälöpll äenen u, pe P on uoll. Jo pe Q on uoll, nn eme OB OQ Komponenen pää oll m el epäo Ko, hälöhmällä e ole u, oen pe Q e ole uoll. A B P O A B Q O
162 Suo o. OP OP pe, - OP pe, Suon ulmeon Suo ulee peen, u, oen en hälö on. R, 8 Suunveo 8 Pe,,,, on uoll l. Suo l hdenuun: l l Suo l: 8 8
163 Suo o. Pmee: R, Suon m uunveo m Suo m hdenuun, oen m. Pe,,,, on uoll. Suo :
164 Suo o. K uo on hdenuunnen uon n, oen nllä on m uunveo. Pmeeeä dn eä uon uunveo Lä uo ulee peen,, - u, oen oodne on. 8 Koodneeä dn pmee: 8 8
165 Suo o. Veo on uon nomlveo, oen noml on ämän veon uunnen. Nomln ulmeon n Δ Δ Suon ulmeomelle päee n n Suon hälö on 9 9 Peen,, eä uo : d A B C A B
166 Suo o. Suoen leupe 8. Suunulmlle α päee nα α,... Suunulmlle β päee n β α,... Suoen välnen ulm α - β, - -, 98, Suoen välelle ulmlle δ päee n δ 9, oen δ 8-98, 8,89 8
167 Suo o 9. Suon uunulmlle α päee nα α,... Suon uunulmlle β päee n β β,... Suoen välnen ulm δ α β,...,..., Huom! Suoen välnen ulm vodn le mö uunveoeden vull. Suunveoen puude: 8
168 Suo o Suunveoen välnen ulm,... 8 o 8 o o o α α α α α Ko α 9, uunveoen välnen ulm on m un uoen välnen ulm. Suoen välnen ulm on.. Suoen välnen ulm 9, un uunveoen peulo on. Sdn hälö : ± ± -
169 Suo o. Suon n uunveo on em.. Suon m uunveo on em.. Meään uunveoen välä ulm mell α. o α oα oα, α 98,... Ko uoen välelle ulmlle δ päee n δ 9, nn δ 8 - α 8-98, 8, 8
170 Suo o. Leupeeä m -oodn, m -oodn m -oodn. 9 Soen - heen lempään hälöön. 8 8 :8 8 : Leupeeä -. Soen ämä uon l pmeeeen. 9 Leupe on 9, -,
171 Suo o. Meään uon peä A, -, B -, 88, Tun ovo pee A B uoll. Pe A, -, 8 Pe A on uoll. Pe B -, 8, 8 8 Pe B on uoll. Ko molemm pee A B ov uoll, uo ov m.
172 Suo o. Muodoen pmeee. Suo : Suunveo: Pmee: R, Suo : Suunveo: 8 Pmee: R, 8 Leupeeä m oodn, oen 8
173 Suo o Soen heen muuhun hälöön. 8 8 Suo lev, un pmeeeen.. Soen ämä uon 8 Leupe on,,.
174 Suo o. Suoen pmeeä dn uunveo. R u u u u R,, Meään uunveoen välä ulm mell β.,8... o o o β β β β Suoen välnen ulm α on eävää, oen α 8 - β 8 -,8,
175 Suo o. Suon m eä uunveo on m 8 8 Suon m eä unneu pe on, -8,, oen pmeee dn: 8, R Suon n eä uunveo on n 9 Suon n eä unneu pe on,,, oen pmeee dn: 9, R Leupeeä -oodn ov m, -oodn m -oodn m. 8 9
176 Suo o Soen - heen muuhun hälöön Leupeeä -, oen oodne dn: 8 8 Leupe on, -,. Suoen m n välnen ulm vodn le uunveoen vull. oα m n oα m n 9 9 oα, α,.. Suoen välnen ulm on.
177 Suo o. Suon veomuodo nähdään uon eä uunveo eä uon pe: P A 8 pe -,, Meään A -,, P, -, Peen P u peään uolle ohuo uo. Meään uoen leupeä mell Q. Määeään onn ohuon uon uunveo. Eme: PQ PA AQ 8 8 Q Ko veo PQ on ohuo, nn PQ :
178 Suo o S PQ 8 9 P Määeään peen Q pveo OQ. OQ OP PQ O Q Peen Q oodn ov 9 8 9,,. 8. Pmee: A Q P Meään uon peä A -, -, uon ulopuol peä P -8,, -. Q on uon ohuon uon PQ leupe.
179 Suo o Määeään on ohuon uon uunveo PQ PA AQ PA 8 Ko PQ on ohuo, nn PQ. 8 S PQ P Peen Q pveo OQ OP PQ 8 Q Peen Q oodn ov -,, --. O
180 Suo o 9. Muodoen uoen uunveo ulmeomen vull. : : Δ Δ Δ Δ uunveo uunveo Suunveoen välnen ulm oα oα oα α,8... α,
181 Suo o. 8 Meään n uon noml. Kohuouuehdon n on olv ällön vom. Jo n 8, nn n 8 8 Kohuouueho päee n 8 on eä noml. Meään n uon noml. Kohuouuehdon n on olv ällön vom. Jo n, nn n Kohuouueho päee n on eä noml.
182 Suo o P. Meään mhdoll ohmpeä mell C. O Määeään peen C pveo OC hdell e vll. C OC OP v P OC OP v 8 8 Komponenen ulee oll m, oen dn 8 Soen heen lempn hälöön Ko von vo evä ole m, nn pveo evä ole m, oen vlonäee evä oh.
183 Suo o. Selveään levo lenod. AB Suo, on uunveo on AB : R, Suo : R u u u u, Leupeeä oodn m. u u u u Soen u heen lempn hälöön. Yhälöhmällä e ole äeä u, oen lenod evä le. A B
184 Suo o. Muodoen uon pmee: R, Jo uo lev, nn 8 8
185 Suo o Soen heen lempn hälöön. epäo 9 epäo Yhälöhmällä e ole u, oen uo evä le. Jo uo lev, nn 8 Soen heen muuhun hälöön. epäo 8 Yhälöhmällä e ole u, oen uo evä le.
186 Suo o. Suo : Pmee uolle : R, Suo : Pmee uolle : R u u u u, Leupeeä oodn m. u u u Soen u heen muuhun hälöön. u u u u u u u u u u u u Soen u - uon pmeeeen. Leupe on, -,.
187 Suo o. Suo 9 Suunveo 9 Suo Suunveo Suo ov hdenuun, o nden uunveo ov hdenuun. Ko 9 nn uunveo ov hdenuun nän mö uo ov hdenuun.
188 Suo o. Tonen huppuen välnen veo on AB Oloon lenooneen lähöpe O. O Pe C onen huppuen välen eäden uhee :. A C B OC OA AB Jo lenooneen nouue le huppuen välen eäden uhee :, nn n veon OC pää oll mnuunnen oneenn nouuveon n.
189 Suo o Tun ovo veo mnuune el ono eho R OC, vom. Komponenen ulee oll m, oen dn: 8 Yhälöhmällä e ole äeä u, oen veo evä ole mnuun. Lenooneen nouue e le onen huppuen välä eää uhee :.
190 Suo o. Suon pmee: Muodoen e uon pmeeä: Suo : Suo : Suo lev, un Soen heen muuhun hälöön.
191 Suo o Len uoen leupeen oodn: Leupe, -, Tun oeuo pe, -, pmeeen ll :n voll. K pmeeen uo ulev peen, -, u.
192 Suo o. To 8. A -,,, B, -,, C-,, AB AC BC CA 9. Suon uunveo on Lä pe A-, uuluu uolle.. Pe B, -, on uon ulopuolnen pe. Muodoen onen on veo: AB A B Pe P,, on on pe. Ton veomuoonen hälö: OP OA
193 Suo o. A, -, -, B-, -,, C-, -, Ton uunveo: AC AB Veomuoonen hälö: AC AB OA OP Pmee: R,,. Soen - heen muuhun hälöön.
194 Suo o Sdn hälöp, o elmnodn.. Ton veomuoonen hälö on OA OP Ton pmee Soen heen muuhun hälöön elmnodn.
195 Suo o. Ton veomuoonen hälö: OA OP Pmee: Soen heen muuhun hälöön elmnodn
196 Suo o. Vln on nveoe AB AC. AB 9 AC 9 Muodoen veo AD Veo AD on o ABC, o AD AB AC 9 9 Komponenen ulee oll hä uue. 9 Soen - heen muuhun. 9 Pmelle n e vo, oen pe D e uulu oon.
197 Suo o. Meään A-,,, B, 9, -, C,, D9, -,. Ton ABC nveo: AB 9 9 AC! Pe D on o ABC, o veo AD on o ABC. 9 AD AB AC 9 9 Komponen ov hä uue el 9 Soen heen muuhun hälöön Yhälöhmällä e äeä u, oen pe D e uulu oon ABC. Pee evä ole m o.
198 Suo o. AB DE CD Vln on nveoe em. CD DE. Tun uuluuo veo AB ähän oon. DE CD AB Komponen ov hä uue el Soen heen muuhun hälöön. Yhälöhmällä äenen u, oen veo uuluv mn oon. A B C D E
199 Suo o 9 Jo veo uuluv mn oon, nn 9 9 Komponenen olv m, oen 9 Soen heen muuhun hälöön. 9 9 Yhälöhmällä e ole u, oen veo evä uulu mn oon.
200 Suo o. Meään A -,, n. Meän on melvl veo,, A Kun n on on nomlveo, on vom n 8 To le -eln, un. Ton hälö on - o le -eln peeä,,.
201 Suo o 8. Meään A, -, 8,, Ton eä noml on n. A Ko o ov hdenuune, nllä on m nomlveo. Kn on nomlveo on n o ulee peen A u. Oloon eä on veo 8. Tällön on vom n 8
202 Suo o 9. Meään A, -,. Jo uo on on noml, nn uon uunveo vodn pää on nomlveon. n,, Vln on melvlnen veo A Nomlveo on ohuo on veoe vn el n 8
203 Suo o. Meään A,, -, B-,, 9 C,, Vln on nveoe: AB 9 A B P,, AC 9 C Muodoen on hälö. OP OA AB AC 9 Komponene: 9 Soen - heen muuhun hälöön
204 Suo o. Ton nveo: AC AB Meään nomlveo n. AC n AB n Vln Soen - hälöön. Eä nomlveo on n.
205 Suo o. A,, Meään nomlveo n. n n Vln Soen hälöön. Eä nomlveo on n. Vln nomlveo n n.
206 Suo o Muodoen on nomlmuoo oodnhälöä. 9 Ton -on leuuo dn, un meään. Suo on Suon uunveo on Ton uunveo ov eme Jo uo on ohuo on uunveoe vn, nn e on ohuo o vn. Suo on ohuo o vn.
207 Suo o. Oloon P,,. Suon hälö on R,. Vln uol peä: Kun, nn, Kun, nn,, Pee P,,, Q,, R,, määäävä on. Ton uunveo ov eme PR PQ Oloon n on PQR nomlveo. Tällön on vom n PQ n PR. n PR n PQ Soen - lempn hälöön.
208 Suo o Jo eme, nn - - S eme veo n on nomlveo. Nomlveo e ole äenen, vn muoo n, olev veo ov on nomlveoe.
209 Suo o. Soen - lempn hälöön. : R Toen leu on vuuuo R,
210 Suo o. Suon on leupe. Soen oodnen lueee on hälöön: Soen u :n vo uon pmeeeen: 9 Suon on leupe on,, 9.
211 Suo o. Suon uunveo on pe,,. Pmee: R, Ton hälö. Soen oodnen lueee on hälöön. 8 Soen u :n vo uon pmeeeen. Leupe on,,.
212 Suo o 8. To Nomlveo n Pe P, -, - Yhälö D D D Suo Suunveo Pe Q,, - Pmee R, Leupeeä 8 Soen u :n vo uon pmeeeen. 8 Leupe on 8,, -.
213 Suo o 9. Suo : P,, R-,, To: A,, B,, C,, B P A C R O Leupe Q on uoll. OQ OR RP Ton nveo: AB AC Pe Q on o. OQ OA AB AC
214 Suo o Komponenen olv m, oen dn Soen heen lempään hälöön. Soen u :n vo lempään hälöön. S Soen du vo peen Q pveon lueeeeen. OQ Peen oodn ov,,.
215 Suo o. Suo R, A -,,, B, -, C,, To ABC AC AB AC AB OA OP Ton e: A B C P O
216 Suo o Meään oodnen lueee hä uu. Muodoen hälöp elmnodn. 8 9 Sdn hälöp: Soen u :n vo uon pmeeeen Peen oodn ov 99 8,,.
217 Suo o. To T pe,, Ton nomlveo n. n n Vln Soen u :n vo enmmäeen hälöön. 9 9 Eä nomlveo on n. Vln nomlveo n 9. Ton T hälö: 9 D
218 Suo o Soen peen,, oodn on hälöön. 9 D D Ton hälö: 9. Suo m pe,, 9 uunveo 9 Leupeeä Soen u :n vo uon pmeeeen Leupe on 9,,
219 Suo o., R Soen oodnen lueee on hälöön. 8 epäo Suo e le o.. Suunveo Poeopee -oll :,, 9, 8, Suunveo Suunveoen välnen ulm 8 8 o, 8 8 8, 9,... 9,
220 Suo o. Suon uunveo -oll poeuo: Suunveo Suunveoen välnen ulm,8...,, o
221 Suo o. Suon uunveo 9 Suon pmee: 9 Soen u :n vo heen muuhun lueeeeen. 9 Lenoone ouu mnpnn peeä,,,,. Soen u :n vo heen muuhun lueeeeen. 9 Anon lo on peeä,,.
222 Suo o. Nomlveo n Ton hälö - D Pe A, 8, on oll, oen dn 8 D D Ton hälö on -. Suon pe,, - uunveo Suon pmee. Soen oodnen lueee on hälöön. Soen u :n vo uon pmeeeen. Leupe on, -, -.
223 Suo o. A,, B,, C,, Nomlveo n Ton nveo: AC AB Sdn n AC n AB Vln Nomlveo n Nomln pmee Ton hälö
224 D Pe,, oll, oen D D Suo o Ton hälö on. Soen oodnen lueee on hälöön. Soen u :n vo oodnen lueen. Leupe on,,.
225 Suo o 8. Suo o Leupeeä o 8 9 Suo on oll. Leupeä ov uon pee. 9. Väe: on on 8 uunnen Todu: Suon uunveo on Ton nomlveo on n n Ko uunveo nomlveo ov ohuo, nn uo on on uunnen.
226 Suo o. Suon uunveo on. Ton - nomlveo on n Suunveo nomlveo ohuo, oen : ± ± n. Suon uunveo on Ton nomlveo on n
227 Suo o Suunveon nomlveon välnen ulm: o, n 8, n 9,... Kulm on lppä, oen uon on välnen ulm on α 9 9,...,89..., 9. Suon uunveo on Ton nomlveo on n Suunveon nomlveon välnen ulm: o, n, n,... Kulm on lppä, oen uon on välnen ulm α,
228 Suo o. Suunveo. C R A B PA 9 9 AB 8 9 AC 9 8 P Luun veo PR hdell vll: PR PA AB AC PR Komponenen ulee oll m, oen 9 8
229 Suo o Soen heen lempään hälöön Soen u :n vo hälöön. 8 Soen du vo :n lueeeeen: PR PR Kone lenää non 9, m. 9,
230 Suo o. Toen leupeeä molemm hälö ov vom. 9, Rn oe on hälöä. Vln :, : Pe,, on uoll. Vln :, Pe,, on uoll.
231 Suo o Leuuo ulee peden,, u.,, Suon uunveo Suon pmee:, R
232 T Suo o n. α oen välnen ulm n α T α Ko oen välnen ulm on nomlen välnen ulm, nn o nomlveoen välnen ulm on lppä, on nomlen välnen ulm en uplemenulm. Ton 8 nomlveo on n Ton nomlveo on n n. n n n 9 Len nomlveoen välnen ulm. 9 o n, n n, n,... Toen välnen ulm α 8 9.
233 Suo o. Määeään enn on nomln pmee. Ton nveo: AB n AC n AB n AC Vln. Soen u vo lempn hälöön. Eä nomlveo on n. P B C A
234 Suo o Nomln pmee: Ton hälö on muoo: D Pe,, oll, oen D D Ton hälö on: Poeope on on nomln leupeeä. P B C A
235 Suo o Len nomln on leupe omll oodnen lueee on hälöön. Soen u :n vo nomln pmeeeen. 8 8 Poeope on,,.
236 Suo o. n AC n AB n AC AB Vln Ton eä nomlveo on n P B C A
237 Suo o Vln nomlveo 8 n 9 8. Ton hälö on muoo 9 8 D. Ko pe,, on oll, dn D D Ton hälö on Pe,, 9 8 < Pe, -, > Ko luee 9 8 emee vo elv peä, pee ov on e puolll.
238 Suo o. Peen eä uo o Q 8. B,, A,, P, -, Q on pe. PQ PA AQ PA AB AB PA PQ PQ AB 8 8 AQ AB Pe Q B,,
239 Suo o 9. AB AB PA PQ AB PQ, PQ PQ A,, P,, B, -, Q
240 Suo o. A Q P,, A, -, - PQ PA PQ PQ PQ 8 9,8
241 Suo o. m : n: u u u Suon n pe P,, - Suon m pe A, -, PA PQ PA PQ, PQ PQ A P Q
242 Suo o. : Suon pe A,, uunveo. PA h PA AQ P PA A Q h 9 h h Kolmon l A.
243 Suo o. OP 9 OP, OP OP O P
244 Suo o. LA AB LA LQ AB AB LQ, LQ LQ A,, B,, L,, Q
245 Suo o. PA 8 AC AB PA PQ AC AB AC PQ AB PQ
246 Suo o Soen u :n vo enmmäeen hälöön Soen vo veon PQ lueeeeen. PQ Veon puu: PQ , 9 9
247 Suo o. P, -, A,, PA PA PQ PQ PQ
248 Suo o Soen u :n vo lempään hälöön. 8 Soen vo veon PQ lueeeeen. PQ PQ. Ton hälö: 8 Nomlveo: n 8 Pe P, -, Suo QP: 8 Q on uon on leupe
249 Suo o Soen u :n vo uon pmeeeen. 8 Peen Q oodn,, 8. Ton hälö Nomlveo n Kon huppupe P, -, Muodoen ellen uon hälö, o ulee peen P u on on nomlveon uunnen. Meään uon on leupeä mell Q. Suo PQ: Soen oodnen lueee on hälöön. 9 8
250 Suo o Soen u :n vo uon pmeeeen. Peen Q oodn,,. Kon oeu h PQ. PQ PQ Kon lvuu V Aph,
251 Suo o 9. Suo : Q Suon pe A,, uunveo. P A Ympän epe P-,, -. PA PQ PA Säde uo ohuo, oen PQ 8 Soen u :n vo veon PQ lueeeeen. PQ 8 Ympän äde PQ 8 Ympän l A
252 Suo o C 8. AB AB A Koeu h on peen A eää uo BC el h h AP P B AP AB BC Koeun ohuo n vn, oen AP BC 9 Soen u :n vo veon AP lueeeeen. AP 9 AP 9 AB h 9 Pn-l A,
253 Suo o 8. OC OB OA OP OA AP OC AP OB AP O B C P A
254 Suo o Soen u :n vo oeen hälöön. 9 9 AP d AP 9 8. : - A,, P, -,, -, AP AP 8
255 Suo o Vu: 8 m Suoen leupe A, -,
256 Suo o Len leupeen eä o. Ton eä nomlveo n Noml: Soen lueee on hälöön: Soen u :n vo: Nomln on leupe P,, PA Leupeden A P eä P A, -, PA
257 Suo o 8. AD AB A poh Koeu peen P eä o ABCD BP h Pe Q on pe, o on lähnnä peä P h PA PA AQ PQ h A B D P C Q
258 Suo o Koeuveo on ohuo uoulmon vuveoe vn. h h Soen du vo oeuveon lueeeeen: h h h Tlvuu h A V poh
259 Suo o 8. AB AC C 8 α o 8 A B,... A p n n,..., Ko pohn pee A, B C ov mll oeudell -o, pmdn oeu on uon peen D -oodn el h Tlvuu A V p h,,8
260 Suo o 8. Meään poholmon äpeä A,,, B-,, C-, 9, AB AC 9 Tp Poholmon n AC Q C 89 A B Poholmon oeu h h BQ BA AQ h Poholmon n oeu ohuo: h
261 Suo o h h Poholmon l poh A Pmdn oeu h. DA AR DA DR h 9 9 Koeuveo ohuo poh vn: h h
262 Suo o Soen u :n vo lempään hälöön. 8 8 h 9 9 h 9 8 Pmdn oeu h Pmdn lvuu V Apoh h 9
263 Tp Veoulo Suo o Poholmon äpee A,,, B-,, C-, 9, Pmdn huppu peeä D, -, AB AC 9 AD 9 9 Tlvuu V Tlvuu V
264 Suo o 8. Pllon epe P,, Pllo vu o. Ton eä nomlveo n Meään mell Q on pllon vumpeä. Suo PQ : Soen oodnen lueee on hälöön. 9 Svumpeen Q oodn:
265 Suo o Pllon äde PQ PQ PQ Pllon hälö
266 Suo o 88. Koen pllon hälö epemuodo - - Pllon epe,, äde. Lhn eä dn nomln vull. Ton eä nomlveo on n Pllon epeen u ulevn nomln hälö Soen oodnen lueee on hälöön. 9 9
267 Suo o Nomln on leupeen P oodn: A,, PA P d Kepeen A on eä PA Pllon on lhn eä d PA
268 Keuo Keuo. n,... Veoen välnen ulm: 9 - Veoen välnen ulm: 9 -,, Veoen välnen ulm: 8 - -,,
269 Keuo.. B-, A-, C, BC, n,9... 9,9... 9
270 Keuo.,8,9, Konlue: o o,9 o o,... 9,8... o,,8,9, Veoen välnen ulm ,8,
271 Keuo E D. F C FE BC A B Kuuulmon ulmen umm 8 Veoen välnen ulm Veoen välnen ulm 8.
272 Keuo d.
273 Keuo 8. Kolmo on lnen, oen BQ QF AC QC AQ AQ BA BQ BQ FQ FQ CQ QF CQ CF A C B Q F
274 Keuo 9. Peään veo peään pääellään olm veo. Seään ämän äleen pääel veo lmn ogo. -, -, - Kolmnnen veon loppupe on,.. 8
275 Keuo. AB C AL AB A L B CL AL Oleu: 9,, v Väe: v el v, R Todu: 9 v : :n vo äenen, oen v
276 Keuo. AB AB AC AC CB AC AP AB AC AB CA CB CB CP 8 A B C P
277 Keuo. AB O A B C AC AB oen AB AC Pee A, B C ov mll uoll.. Komponenehn o äenen, oen Soen enmmäeen hälöön: Vu:
278 Keuo. N N 8 Vu: 8 N. Veo ov hdenuun, o Veo evä ole hdenuun.
279 Keuo veo ov hdenuun, o Veo ov hdenuun. 8. Veon uunnen veo on muoo Komponenehn o äenen, oen Soen - lempn hälöön: K veo on.
280 Keuo 9. BP RB RP AD BA BD CB. AC AC AB AC BA BC AB Luun veo AP hdell e vll: BC BS AB AS AP A B C D P R A B C P R S
281 Keuo AB CA CR CP AC AP Ko eeä m veo AP, nn Soen lempään hälöön: El AS AP CR CP Pe P n AS CR uhee :.
282 Keuo. D, E F ov vuen epeä P on mednen leupe AB AC A F P D C E B Väe: PB PA PC Todu: Mednen leupe medn : äeä luen. PB FB FA AB PA EA CB BA
283 Keuo AC DA DC PC PC PA PB. DC AD AB BC Väe PQ Todu BC BQ AB PA PQ el PQ el PQ A B Q C D P
284 Keuo Väe PQ Todu PQ Ko PQ, nn.. OA OB AB 9 AB d AB 9
285 Keuo. LM 8 Jnn epeen A pveo LM OL LA OL OA 8 Muodoen peen P pveo LM OL OP 8 Peen P oodn, L M O A P O L M
286 Keuo. Muodoen peen A pveo. OA OB BA 8 8 Pveon puu OA 8 B. AD on medn, oen CD DB Mednen leupe M mednn äeä luen uhee :, oen AM AD AD AM A O M D C OD OA AD OA AM 8
287 Keuo OB OC CB OC CD Vu: B, D,8. Veo DB mnuunnen veon n, oen DB A B D C Muodoen peen B pveo hdell vll. Tp OB OA AB OA AC 8 8 Tp OB OD DB
288 Keuo Komponenehn o äenen, oen : Soen peen D u muodoeuun pveon. OB Peen B oodn ov,. 8. AB AB
289 Keuo Oloon veon epe P. AB OA OP Peen P oodn ov,,. 9. Muodoen peen P pveo. AB OA AP OA OP Peen P oodn ov,,. O A B P
290 Keuo. Pee A, B C ov mll uoll, o AB AC AC AB AB AC AB AC Pee ov mll uoll.. Pllon epemuoonen hälö on: Pe on pllon pnnll, o en oodn oeuv pllon hälön. o Pe on pllon pnnll.
291 Keuo. Veo le -on peeä P,,. Peen P pveo on OP Muodoen veo AP. AP Peen P pveo oell vll: OP OA AP 8 8 Komponenehn o äenen, oen 8 Soen heen lempään hälöön. 8 Peen P oodn ov, -,.
292 Keuo. O,, A, -, B,, - OB OA OB OA AB AB AC AC OA OC OC Kolmon l, 8 OC AB A Meään mednen leupeä mell P. OC OP Peen P oodn ov,, A C B O
293 Keuo
294 Keuo
295 Keuo 9.,...,...,, o,8... o. v u v u
296 Keuo. u v 9 9 v u. 9,,..., o,,8..., o,,, 8 α α β γ
297 Keuo. Tol Sdn hälö 8 : :
298 Keuo. A,, B -,, AB OP OA. Suon uunveo em. Suon pe dn, un nnen pmelle on vo. Em. un Pe,, - on uoll. Suon uunveo em. Suon pe dn, un nnen pmelle on vo. Em. un - 8 Pe -, -, 8 on uoll.
299 Keuo. Suon uunveo dn ulmeomen vull. Suon ulmeon. Suon uunveo. Vln uol on pe. Suo le -eln peeä A,. Suon veohälö on OP OA Pmee
300 Keuo. -on leupeeä. 8 8 Soen u :n vo oodnen lueen. 9 Suo le -on peeä -9,,. 8. Suon uunveo AB Vln uon unneu pee A,, Suon pmee:
301 Keuo Soen peen,, _ oodn pmeeeen. Soen - heen muuhun hälöön. o o Pe,, - on uoll. 9. Koen uoen hälö enn u muodo. Kulmeomen vull dn uoen uunveo ,..., o
302 Keuo Suoen uunveo: 8,9..., o. Leupeeä oodn m: 9 9 9
303 Keuo Soen du vo olmneen hälöön: El leupeeä 9,. Leupeen oodn:
304 Keuo. AB PA PA PQ 8 PQ PQ B-,, A,, P,, Q O
305 Keuo Vln uon n uunveo Pe,, on uoll n. PQ. Suon pmee: Leupeen pveo OQ OP PQ Leupeen oodn ov,,.. Muodoen uoen pmeee: Pe He 8 u u u
306 Keuo Leupeeä: 8 u u u u u u Muodoen hde lmm hälöä hälöp n e. 8 u u u u u Tun oeuvo du vo enmmäen hälön. u o Soen Pen hälöön: Sl on peeä,,.
307 Keuo. A,,, B-,,, C,, AC AB Ton veohälö: AC AB OA Ton pmee:
308 Keuo. Soen ämä oeen hälöön n. Soen olmneen hälöön
309 Keuo. Ton eä nomlveo on n. Tämä on mö hdenuunen on nomlveo. To ulee peen A-,, u. Jo pe B, -, on o, nn AB n AB AB n Pe, -, on o.. A,, Suoll pe B-, -,. Ton uunveo AB. Vln uon uunveo on oe uunveo Ton veohälö OP OA
310 Keuo Pmee: Soen - heen muuhun hälöön:. Soen uon pmeeeä oodnen lueee on hälöön.
311 Keuo Soen u :n vo uon pmeeeen. 8. Suon pmee: Leupeeä Soen u :n vo uon pmeeeen:
312 Keuo 9. Suon uunveo Peden poeopee -o:,, Poeopeden u ulev uunveo: 9 Len veoen välnen ulm. 9 o, ,... 8,
313 Keuo. Suon pmee: Suon uunveo. Suon on välnen ulm dn uunveon nomlveon väleä ulm. n n n o n 8,... 8,... Ko ulm on eävä, uon on välnen ulm on 9 8
314 Keuo. PA d d d d A, -, P,,
315 Keuo. PA AQ PA d AC AB PA : 8 : 8 d d d d A,, C, -, B,, P,, Q
316 Keuo d Soen du vo veon d lueeeeen Len veon puu. d 8,
317 Keuo. Pohmpän l A p Ton nomlveo: n Huppu peeä P, -,. Meään mell Q peä P lähnnä olev on peä. Nomln pmee: Len nomln on leupe omll oodnen,, lueee on hälöön. 9 9 Leupe on Q,,,,, o.
318 Keuo Tällön PQ Kon oeu on Kon lvuu h PQ 9 V Ap h
319 Keuo. u PQ v Eäveo v u QP d Kohuouuehdo dn: v d u d Q P
320 Keuo Soen lempään hälöön Eäveo d Peen Q eä o d 9 9 9,..., 9 9 9
321 Keuo Te C. Veo AB dn, un ulen enn veo en veon vveo. A M B S AB Pe M puol veon AB, oen AM AB. CM CA AM AB Vu AB CM
322 Keuo. A -,, B, -, -8 AB 8 Kepeen P pveo OP : OP OA AB O A P B Kepe P, -, - Veon AB puu on AB 9 AB :n uunnen öveo on AB AB AB Lähdeään peeä R,, - ulen öä veon AB uunn, ollon päädään n peeeen Q. Muodoen peen Q pveo: R AB O Q
323 Keuo OQ OR AB 9 K pe on,, Vu AB OP epe on, -, - AB,,. AB AC C BC BA AC A B Veon BC puu BC
324 Keuo Kulm ACB vodn le veoen CA CB välenä ulmn el hä hvn veoen AC BC välenä ulmn. o AC, BC o AC, BC AC BC AC BC AC, BC 9,... o 9 Vu BC BC 9. Veon u puu on u Puu on, oen Molemm puole ov pove ±
325 Keuo Jen veo 8 veoen uunn omponenehn emällä elle luvu, eä Komponenehn o on äenen, oen 8 8 : 8 9 S Vu ±
326 Keuo. Veo u v u v ov mnuune, o, mä >. u v u v u v u v Komponenehn o on äenen, oen Käeään oumeneelmää. ± Vn negvnen :n vo elp el.
327 Keuo Veo ov ohuo, o ± ± Vu
328 Keuo. Peden,, - -,, - u ulevn uon uunveo on Suon pmee on, R,,,,, R Suo le -on peeä, o. : 8 S leupe on, 8,. Vu, R, leupe, 8,
329 Keuo. Peen uunveon vull dn uon pmee R,,,, Ton leupeeä 8 : 8 Pmeeeä dn leupe El leupe on,, Vu,,
330 Keuo 8. Muodoen on veo AB AC Ton hälö nomlmuodo vodn muodo, o unnen on on pe on nomlveo. Ton eä nomlveo oloon n, o on ohuo on veoe vn AB n AC n AB n AC n Ko elp mä hn nomlveo, vodn vl eme, ollon 9 Eä nomlveo on n 9. Ton hälö nomlmuodo on Vln on peä,,,,
331 Keuo Ko -oll, dn leuuo Vu Ton hälö 8 9 Le -on pn uo 8
332 Keuo Te. Veoen AB CB välnen ulm on 8 8 A C B AB CB Veoeden välnen ulm len vll o, o, o,,8... o,,... 8 Vu 8 8
333 Keuo. CP QC QP DB RB CP BC RB RP Vu QP RB RP A B C D P Q R
334 Keuo. Veo en veoen uunn omponenehn emällä elle luvu, eä Komponenehn o on äenen, oen 8 9 : 9 : S Vu
335 Keuo. Pe P unnen, un unnen en pveo OP P OP OA OA AP 8BC A BC BC BC 9 O BC BC BC BC OP OA 8BC 8 S pe P, Vu P,
336 Keuo., 8 Veo ov on vn ohuo, un ± ± Vu
337 Keuo. Peden,, -, -, u ulevn uon uunveo on 9 Suon pmee on, R 9,,,, 9 R -oll, oen 9 8 S leupe on, -8, Pe,, -8 on uoll, o lö äenen, eä El pe e ole uoll. Vu 9 R, -8, e
338 Keuo. Suon R eä uunveo on. Suon eä uunveo on Suunveoen välnen ulm:,,..., o,9.., o 8, o Ko uunveoen välnen ulm on eävä, on e mll uoen välnen ulm.
339 Keuo Suon on leupeeä on vom : 8 8 Leupe dn uon pmeeeä Leupe on,, Vu,,,
340 Keuo 8. u v Ton eä nomlveo oloon n, o on ohuo on veoe vn u n v n u n v n Ko elp mä hn nomlveo, vodn vl eme, ollon : 9 9 : Eä nomlveo on n. Ton hälö nomlmuodo on 8 Ton unneu pe on,,, 8, Vu n
341 E E. N, oen Tun veoeden ulo: 9 9 Täen veo ov hdenuune.
342 E. Määeään veoeden ulo: Veo ov hdenuune, un edellä u veo on, el un
343 E. Eä on nomlveo on n 8 Ton nomlmuoonen hälö on n muoo 8 d. Ko pe,, on o, dn hälö 8 d, o d 8. Ton hälö on Pn-l on A 9,
344 E. Suunnn ABCD l dn vll 9, BC AB AD AB A 8. Sämön lvuu dn vll V
345 E 9. Teedn lvuu on AB AB AD AC AB V. N
346 E. Meään,.
347 E edelleen
348 E. 8, 8 9 d. Muon on hälö enn nomlmuooon. N dn, d
349 E. Ton nomlmuoonen hälö on - 8 8, oen d Eä on nomlveo on n Ton nomlmuoonen hälö on en muoo d. Ko pe,, on o, dn hälö d, o d. Ton hälö on. Peen 9, 9, eä ää o on d 9 9,
350 E. Kon oeu h. 9 Svunn puude dn ällön Phgon lue ääen Nän ollen V poh A h 9 A vpp 8 8
351 E. Oloon Q, peä P lähmpänä olev uon pe. Tällön -. Eä uon nomlveoe on n. Tämä veo on hdenuunnen veon QP n, oen n QP n QP o n, QP n QP n QP. n QP, o edelleen Ko peen P uon eä on QP, dn lopul n QP n QP d QP n n
Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
KOHDE: Kansakoulukuja 1 Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros
Fredrikinkatu 57 Tilatiedot 1. Kerros Tilatunnus Tilanumero Käyttötarkoitus Pinta ala '2C94 1,H1 HISSI 1 3,9 '2C9D 1,H2 HISSI 2 3,9 '2CA6 1,H3 HISSI 3 2,0 '2CAF 1,H4 HISSI 4 2,0 '2BC5 101 SÄ 1,8 '2BAA
Matematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?
2 Vektorit koordinaatistossa
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna
ARKISTOLUETTELO. Kopio SIVISTYSTOIMI KESKITETYT PALVELUT ORGANISAATIO JA TOIMINTA PÄÄTÖKSENTEKOMENETTELY LAKKAUTETUT TOIMIELIMET URHEILULAUTAKUNTA
Sivu 1(23) Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit 1960 1976 1 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1960-1971 2 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1972-1976 Sivu 2(23) Ab Lähetettyjen kirjeiden diaarit 1960 1976 1 Lähetettyjen
Määräys STUK SY/1/ (34)
Määräys SY/1/2018 4 (34) LIITE 1 Taulukko 1. Vapaarajat ja vapauttamisrajat, joita voidaan soveltaa kiinteiden materiaalien vapauttamiseen määrästä riippumatta. Osa1. Keinotekoiset radionuklidit Radionuklidi
2 Vektorit koordinaatistossa
Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna on sama. . a) Vektorin 4i komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion,
VETUMA-PALVELUN PALVELINVARMENTEET
Sivu 1 Versio: 3.4, 19.12.2014 VETUMA-PALVELUN PALVELINVARMENTEET 1 (18) Sivu 2 Versio: 3.4, 19.12.2014 Sisällysluettelo 1. Johdanto... 3 2. Testiympäristö... 3 2.1 Vetuma-palvelun testiympäristö... 3
c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
Eo C)sl. oarl. d to E= J. o-= o cy) =uo. f,e. ic v. .o6. .9o. äji. :ir. ijo 96. {c o o. ';i _o. :fe. C=?i. t-l +) (- c rt, u0 C.
C C C)l A\ d Y) L P C v J J rl, ( 0 C.6 +) ( j 96.9 :r : C (Db]? d '; _ äj r, { . 3 k l: d d 6 60QOO:ddO 96.l ä.c p _ : 6 äp l P C..86 p r5 r!l (, ō J. J rl r O 6!6 (5 ) ä dl r l { ::: :: :: 6e g r : ;
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
l, ; i.'s ä E.ä E o gäästaefiiä,ggäeäeää;äggtää EI ;äe E H * eaä* E E 8EP.E .e= äe eääege F EEE;säääg lee sa 8NY ExE öe äec E= : ;H ä a(ü
,. 8\ ( P ;! l, ;.'s ä.ä >. u.a ä q x ö ä : ; ä ;äe * eä* 8P. ee s $e ää ä F äsä ff ääsfä,ääää;äää ä eääe F ;säää le sa r T e q ( r "j (,{,!. r JJ fl *r ( + T r {rl J Y '( S YC T 8Y C0 ( (f J, r, C,9 l
Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????
MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
Videokoulu PASSE LEI TA VI NKKE JÄ TA RIN A N K E RT OJ A L L E
Vdeool PASSE LEI TA VI NKKE JÄ TA RIN A N K E RT OJ A L L E v 1.0 29.10.2015 Mely j ome m Te o e m m oll eem j m. M l ed j vdeo? Keelle vdeo oll eem? M vdeoll l d e? Mllo olemme vee pee, jollo vomme o
Säteilyturvakeskuksen määräys turvallisuusluvasta ja valvonnasta vapauttamisesta
1 (33) LUONNOS 2 -MÄÄRÄYS STUK SY/1/2017 Säteilyturvakeskuksen määräys turvallisuusluvasta ja valvonnasta vapauttamisesta Säteilyturvakeskuksen päätöksen mukaisesti määrätään säteilylain ( / ) 49 :n 3
3 Vektorin kertominen reaaliluvulla
3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista
CHEVROLET JA FORD OSIEN
1939 CHEVROLET JA FORD OSEN HNNASTO SUOMEN AUTOVARUSTE TURKU YLOPSTONKATU 7 PUH: KONTTOR 3908, MYYMÄLÄ JA VARASTO 3907, 3917 SÄHKÖ O S: AUTOVARUSTE :60 335285 335446-7-8(84018) 335679 335977 335978 337709
Ilmastointi PUSSISUODATIN ALTECH CL-36-3-M5 LASIKUITU L500 PUSSISUODATIN ALTECH CL-63-6-M5 LASIKUITU L360
Ilmastointi Tuote LVI-numero Pikakoodi 7754400 OK08 CL-36-3-M5 LASIKUITU L360 CL-36-3-M5 LASIKUITU L500 CL-63-6-M5 LASIKUITU L360 CL-63-6-M5 LASIKUITU L500 CL-66-6-M5 LASIKUITU L360 CL-66-6-M5 LASIKUITU
Aluevarausmerkinnät: T/kem Maakuntakaava
kk mk mv se jl ma ge pv nat luo un kp me va sv rr rr A AA C P TP T TT T/kem V R RA RM L LM LL LS E ET EN EJ EO EK EP S SL SM SR M MT MU MY W c ca km at p t t/ kem mo vt/kt/st vt/kt st yt tv /k /v ab/12
ARKISTOLUETTELO A MERKINTÄKIRJAT. Aa Luokkien päiväkirjat. sis. 5 sidosta. 1 kansio. Aa:1 1924-1926. Päiväkirjoja. Päiväkirja. 4 sidosta.
ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G-J Arkistonmuodostaja/viranomainen Valkeakosken yhteiskoulu Hyllyn numero 146-153 Lukumäärä ja laatu Arkistotunnus Asiakirjakokonaisuuden
Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014
Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Ratkaisuja Sulkeissa oleva nimi osoittaa, että kyseinen ratkaisu perustuu asianomaisen henkilön kilpailuvastaukseen. 1. Oletetaan, että
Tietolan kansakoulun luokkapäiväkirjat. Ab Kirjastonhoidon päiväkirjat. Tietolan koulukirjaston hoidon päiväkirja
ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G-H, M, U Arkistonmuodostaja/viranomainen Tietolan kansakoulu Hyllyn numero 91-93 Lukumäärä ja laatu Arkistotunnus Asiakirjakokonaisuuden
Projektiivisen geometrian alkeita
Projektiivisen geometrian alkeita Jotkin kilpailutehtävät saattavat ratketa helpoimmin menetelmillä, jotka kuuluvat ns. projektiivisen geometrian alaan. Projektiivinen geometria on eräänlaista pelkän viivoittimen
t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<
1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5
ARKISTOLUETTELO SOSIAALI- JA TERVEYDENHUOLTO LASTENVALVOJA
Sivu 1(16) Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit 1968 1977 1 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1968-1971 21.3.1968-31.12.1971 2 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1972-1977 1.1.1972-9.3.1977 Sivu 2(16) Ab Lähetettyjen
KESKUSTA - KAMPPI KÄYTTÄJÄKYSELY
FCG P O HELSINGIN AUPUNI ESUSTA - APPI ÄYTTÄJÄYSELY Yhv j jhääö 0100-D1194 31.12.2008 FCG P O Yhv j jhääö 1 (16) Hg 31.12.2008 - m ääjä 0100-D1194 SISÄLLYSLUETTELO 1 YLEISTÄ... 2 2 YSELY... 2 2.1 Vj d...
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
1 Tarkastelun lähtökohdat
Mo M Hj () Av om pv vo v höohd mo o h K j o om v Av om mppm omv h m- j md omv Av m po K (v) j po o om v oh o d mp (fco O) o od p vo, o mö hvo o j Av om mv vv mhdo K ö o homo pv - oh jom vo j od o v v Vh
Rajoittamattomat kieliopit
Rajoittamattomat kieliopit Ohjelmoinnin ja laskennan perusmalleista muistetaan, että kieli voidaan kuvata (esim.) kieliopilla joka tuottaa sen, tai automaatilla joka tunnistaa sen. säännölliset lausekkeet
4rrr. PYSwvYoesrÄ. 0809-cPR-1115. Tarvasjoen Teräsovi Oy Junnaronkatu 16 24100 Salo SE RTI FI KAATTI TUOTTEE N SUORITUSTASON EN 12101-2:2003
4rrr VTT XPRT SRVCS Y llmeu ls r 0809 VTT XPRT SRVCS Y P 1001.02044\TT S RT KAATT TUTT SURTUSTAS PYSwvYesrÄ 0809PR1115 urpn prlmenn j neuvsn seuksen : 305/201 1 (rkennusueseus el CPR), jk n nneu mlskuun
9 Projektiivisen geometrian alkeita
9 9 Projektiivisen geometrian alkeita 800-luvun alussa syntynyt projektiivinen geometria oli ensimmäinen todellinen Eukleideen luoman geometrian alueen laajennus. Projektiivista geometriaa voi ja pitäisikin
A DIAARIT JA PÄIVÄKIRJAT. Saapuneiden ja lähteneiden kirjeiden postikirja. Bb Yhtiöjärjestys, osake- ja osakasluettelot
ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G-H, K, O, R-S, U Arkistonmuodostaja/viranomainen Valkeakosken kaupunginteatteri Hyllyn numero 874-875, 877-878, 880, 883-885,
asunnottoman äänenkannattaja vuodesta 1987 nro 2 / 2017 hinta 3
m d 1987 2 / 2017 3 2 3 KOHTI PAREMPAA www..f m.m@.f m m TOIMISTO K 2 D 3.. 00500 H m().f Tm S T 050 407 9702 Jö Vd P 050 407 9703 Am O U P 050 443 0102 m().f Aö Om Am2 - C Bd 050 443 1063 M m J L 050
2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
problem computational non computational problem problem unsolvable solvable problem problem efficient solution partially solvable
? BA F S R ] ] UbM R H ] ] ] d ] ] M S R H 678 G ED B A> UKV ST NOKPQ K IJKLM H \ US ST NOKPQ K IJKLM h US bje bokpq T UKV ST NOKPQ K IJKLM d i mn op k v qr kst { i 0 i i i probem ompttion probem non
Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
AIKAKAUSLEHDET. tammik. Suomen Suurin SiSuStuSlehti. Kevään. värikkäät astiat. Talvi 1/0. arke. herkut. retkel MAK
1 UU mmk 2006 AIKAKAUSLHDT 75 : O R V A I L m U J Am I M Kää JAS ä M A KU r 0 1 ä y ö d K h h H r Sm Sr SSSSh ärkkää RUOKA, JUOM A, KITT IÖ, M AT K A ILU, HY VIVO ITI r y, y 3 ää & r h r d 2008 öö r g
Helka-neiti kylvyssä
Helkanet kylvyssä Frtz Grunbaum suom. M. A. ummnen Solo Tenor???? m Fred Raymond sov. G. Ventur 2001 Tä män täs tä p Bass Uu m g Wow uu uu uu uu uu uu uu, uu p wow wow wow wow wow wow wow, wow uu wow Mart
( )
( www.padasalai.net ) TET TET TET ReExam Paper I Paper II. 8015118094 sivatvmalai@yahoo.co.in Questions TRB - Page 1 II ( 7, 21 ) ( 3, 15 ) ( 3, 5) ( 6,2) (3,5) 1 ( 3, 5 ) (2 + ) ( - 2 ) (2 + ) ( - 2 )
Geometrian perusteet. Luvun 4 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia
Geometrian perusteet Luvun 4 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia Harjoitus 4.1.1. Osoita, että yhtenevyyskuvauksen käänteiskuvaus on yhtenevyyskuvaus. Ratkaisu. Olkoon f : τ τ yhtenevyyskuvaus. Tiedämme,
Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit
Fax 03-5461666 v.kangasaho@pp.inet.fi
Osanumero Kuvaus Kpl Hinta (alv 0%) Hinta (sis.alv) Hyllypaikka Tuote nro Nimi Kpl Hinta (alv 0%) Hinta (sis.alv) Hyllypaikka 204 2 501J9B 0245 2 444D 01078 2 101C 01202 LAAKERI 1 73,36 89,50 401A4B 1402
-Jotta maailma olisi parempi paikka wappuna. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012
-J w. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012 JOS ET NÄE LUKEA ALLAOLEVAA PIILOTETTUA TEKSTIÄ, JUO LISÄÄ SKUMPPAA, SILLÄ STEREOGRAMMIEN NÄKEMINEN ONNISTUU VAIN SILMÄT KILLISSÄ.
1, MITÄ TARKOITETAAN SEURAAVILLA TERMEILLÄ:
KRANPDON TNTT 14.4.2014 LAY/OTK OT: Vst jkseen kysymykseen erllselle pperlle (must merktä nm myös krjnptu"t.u"ppern). ös et vst jhnkn kysymykseen, jätä nmetty vstuspper myös kysesen tehtävän slt' rrävär:
Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
SUODATIN- PATRUUNAT MASINO-HYDROSTO KEY OY
1 SUODATIN- PATRUUNAT 2006 10 MASINO- KEY OY 2 Masino-Hydrosto key Oy toimittaa suodatusjärjestelmiä, suodattimia ja patruunoita hydrauli- ja kiertovoitelujärjestelmiin, kompressoreihin, ilmalle, vedelle
l:, ll (x +3y z- 5 {"+2y+32:0 (2x+3y+22:0 4 0l x 3y +
Vsn yps, kev â O Thusmemkn perusee, Rr,rs r. R m R m R R r - -6 8- _ vkk..-. F9 r-6 F - F 8- F O_T R R6 R pe R8 pe F F F F9. Mä rä rvperden vu b djungn vu käänesmrs mrse A_ - -. Rkse Crmern kv yhäöryhmä.
Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi
Flow shop önvaheeju jousava lnja läpvrauspaja Flow shopssa önvaheden järjess on sama alla uoella Kosa vahea vo edelää jono vova ö olla vaheleva ja ö vova ohaa osensa äl ö evä oha osaan puhuaan permuaaoaaaulusa
Markovin ketju. Stokastinen prosessi. Markovin ketju. Markovin malli: DNA esimerkki. M-ketju:homogeeninen ja ei-homogeeninen
Soke roe Mkäl lmöö lyy uuu (okuu), uhu ok roee. Soke roe vod myö ähdä oukko umuuu X() oll o ey relo x(). Proe o oääre, o e lolle omuude evä muuu myöä (em. odourvo, vr). Ak vo oll kuv dkree, mo X() Mrkov
ARKISTOLUETTELO KESKUSHALLINTO VANHAT ARKISTOT HENKILÖSTÖLAUTAKUNTA. HENKILÖSTÖASIAINKESKUS DIAARIT JA PÄIVÄKIRJAT
DIAARIT JA PÄIVÄKIRJAT Sivu 1(21) Aa Diaarikortit 1976 1989 1 Diaarikortit 1976-1981 2 Diaarikortit 1976-1981 3 Diaarikortit 1976-1981 4 Diaarikortit 1982-1989 001-020.923 5 Diaarikortit 1982-1989 020.923
3 *ä;r ä:e 5ä ä{ :i. c oo) S g+;!qg *r; Er ; l[$ E ;;iä F:ä ä :E ä: a bo. =. * gäf$iery g! Eä. a is äg*!=."fl: ä; E!, \ ins:" qgg ;._ EE üg.
t AJ 1., t4 t4 \J : h J \) (.) \ ( J r ) tḡr (u (1) m * t *h& r( t{ L.C g :LA( g9; p ö m. gr iop ö O t : U 0J (U.p JJ! ä; >
Matematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun
3 Yhtälöryhmä ja pistetulo
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =
Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit. saapuneiden kirjeiden. Aa-Ab Saapuneiden ja lähetettyjen kirjeiden. Saapuneiden ja lähetettyjen kirjeiden diaari
ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G-H, U Arkistonmuodostaja/viranomainen Terveyslautakunta Hyllyn numero 886, 891-897,900, 905-909, 916-920, 934 Lukumäärä
Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?
Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
IrUl. L(r. \a,u j l,/"å"? i\, -à (*rl. rj -t. ehdoinx+y:40. xrj > v. XV ky. \ì i. ' -?"{ '?ç;: l+ r t {À- U i. 3,t (.", ) .1CI= \ i.
\u /"Å"? d--- ( + r À- ru v. V ky ç. Vsn Rmpuu Oy myy shuksen svuueen synyvän purun rk-neeks kheen ksus-kheeseen. ( Oss puru ehdään ämmykseen käyeävää peeä (2 s purus käyeään muvkmps-evyen vmsukseen. Vkss
äiäää?l älägcläälii äisrä lää äää
E m vf z ln7 r vr ll n U d \r .Tl vr r E0.Tl : N. ' 6 J n n 5 EF g m : ' ".E q ' v { m i. 'n 9. E!. G r'.n ff ge re E'l n,. q (f,,r L : n 6 :. G N. +.:, lrf s 'T ^ x vr L : @ : L 5 T g G H liäiiiiii$ä1läl
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
MAA5. HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit a) AB
MAA5 HARJOITUKSIA 1 Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi Merkitse siihen vektrit a) AB, b) CA ja DB 2 Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä ABCD:
MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Hrjoitustehtävien rtkisut Ari Tuomenlehto - 0 - Hrjoitustehtävien rtkisut 1.
> 40 db > 45 db > 50 db > 55 db > 60 db > 65 db > 70 db > 75 db
Kmnrtno Ln Kmnlnn Hov Kore unsr etso Turv Ps Uus Kmnsuu Hovnsr Rstnlus Rstnem Vssr Hnmä Pävä-lt-ömelutso Vt 7 Phtää Hmn (sentoreus: m) Rs Russlo Tnem eltt Svnem S Ps Het Pohjos-Pots Ptäjänsr Rnth Suutr
J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
Rak Rakenteiden mekaniikka C, RM C 4ov Tentti
Rk-5.6 Rkeneden meknkk RM ov Ten.. 7 Krjo jokeen koeppern elvä - koko nme puhuelunm llevvun - oo vuokur enn pävämäärä ekä enävä opnojko koodeneen - opkeljnumero (muknluken rkukrjn) - moneko ker ole ko.
!"##$%&'(%&)*$%&+(),-*-"%$%.&
"##$%&'(%&)*$%&+(),-*-"%$%.& "#$%$#&'"(')*"#+,--.-#,//**-%'"#+&$)'*0&)"*+&1*1/*/,')")*-+ + + + "#$%&'#()%*+*,-./010023456/57869:8057;- ;
Matematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon
+,-./ /34,
!"#"$ %&'()%*' +,-./.01. 1 2./34,5 61708!"#$%$&'$ ()*)+",-.#/0%. #)#1"-%.$1 83 582 2$%)-$/ (&" 2004 ()+). 34$()+&56 7*'*)#1 &"#$%$&'. 7*'8$*&) 1 000 2$%)-$/. 9#&)-&". 2"#1: 7*'$;4'< =1) #1>+$&15.? /)&@$
a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
w%i rf* meccanoindex.co.uk
&, w% r* lr,ryd* kro g ; - C +gä!! r -. ä.;'! dg+s Zt t0, y < 9 -! 8 tü;r" lun.'-y; ',ä lrl;!tä u l - 9 9! - ä 6 ^ 9 b - q - cz * ; *'a! a = ;6 f
Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600
Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa
Lähetettyjen ja saapuneiden kirjeiden diaari. Lähetettyjen ja saapuneiden kirjeiden diaari. Lähetettyjen kirjeiden diaari
ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G-I Arkistonmuodostaja/viranomainen Tarttilan kansakoulu Hyllyn numero 89-90 Lukumäärä ja laatu Arkistotunnus Asiakirjakokonaisuuden
PUTKIKAKSOISNIPPA MUSTA
Takorauta Tuote LVI-numero Pikakoodi 0753007 RU33 KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS DN 65 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS SK/UK SK/UK
Geometrian perusteet. Luvun 2 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia
Geometrian perusteet Luvun 2 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia Harjoitus 2.1.1. Osoita, että janojen tulo, joka määriteltiin käyttämällä kahta ekvivalenssiluokkien edustajaa, ei riipu näiden edustajien
(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.
![(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.](/thumbs/57/40917180.jpg "(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.")
Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)
SPA-ZC. Ostajan opas
Ostajan opas Julkaistu: 18.01.2006 Tila: Vastaa englanninkielistä versiota C/24.02.2004 Versio: A Pidätämme oikeuden muutoksiin ilman ennakkoilmoitusta Ominaisuudet SPA-väylään liitettävä sähköinen/optinen
Geometrian perusteet. Luvun 1 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia
Geometrian perusteet Luvun 1 harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia 1.1.1. Todista, että tason kahdella eri suoralla on joko yksi yhteinen piste tai ei yhtään yhteistä pistettä. Ratkaisu. Olkoon eri suorilla
Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit. Saapuneiden kirjeiden diaari. Ab Lähetettyjen kirjeiden diaarit. Lähetettyjen kirjeiden diaari
ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Valkeakosken kaupunki A-E, G, U Arkistonmuodostaja/viranomainen Valkeakosken kansalaiskoulu Hyllyn numero 161-166 Lukumäärä ja laatu Arkistotunnus Asiakirjakokonaisuuden
203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360
Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon
Liitetaulukko 1/11. Tutkittujen materiaalien kokonaispitoisuudet KOTIMAINEN MB-JÄTE <1MM SAKSAN MB- JÄTE <1MM POHJAKUONA <10MM
Liitetaulukko 1/11 Tutkittujen materiaalien kokonaispitoisuudet NÄYTE KOTIMAINEN MB-JÄTE
Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48
Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180
Aa lähtevien kirjeiden diaari. Saapuvien ja lähtevien kirjeiden diaari. Ab Saapuneiden kirjeiden diaari. Saapuneiden kirjeiden diaari
ARKISTOLUETTELO Kunta/Kuntainliitto Pääsarjan nimike Sääksmäen kunta A-D Arkistonmuodostaja/viranomainen v.1973 lähtien Valkeakosken Terveysltk. - Terveydenhoitolautakunta asiakirjat Hyllyn numero 921-925
J fihu. oitus, :?'! Matemaattinen Analyysi. D:at-btp+ctp', R2 Ti. tç16. dpldt : a(q" - q) + þ(p" - p) (1) pt(t) ' viikko 47.
Vsn yps, syksy 207 / ORMS00 Memnen Anyys J fhu.us, vkk 47 R T R2 T 2-4 6 F426 F426 s.2. s.2.. Os, eä fun fn /- OTæ Tyn s kehyskeskuksen n # - u-, _D2 _f"- 3'- * - fø- 5 b Men mn emä summs pää ske, eä sdn
Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG LA37 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K
WC-varaosat Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG 5652536 LA37 NORDIC 2300/2200 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K SÄILIÖN TIIVISTE GBG HUUHTELUPUTKI GBG HUUHTELUVENTTIILI
Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG LA37 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K
WC-varaosat Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG 5652536 LA37 NORDIC 2300/2200 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K HUUHTELUPUTKI GBG HUUHTELUVENTTIILI GBG 1-H JA 2-H
Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia
Geometrian perusteet Luentojen yhteydessä esitettyjen harjoitustehtävien ratkaisuhahmotelmia 1.1.1. Todista, että tason kahdella eri suoralla on joko yksi yhteinen piste tai ei yhtään yhteistä pistettä.