SATE2180 Kenttäteorian perusteet syksy / 5 Laskuharjoitus 5 / Laplacen yhtälö ja Ampèren laki

Transkriptio

1 STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 / 5 Tehtävä. Karteesisessa koordinaatistossa potentiaalin nollareferenssitaso on y = 4,5 cm. Määritä johteelle (y = 0) potentiaali ja varaustiheys, kun E = 6,67 0 (- e y ) V/m alueella y > 0 ja alue koostuu eristeestä, jolle r =,0. Piirrä tilanteesta periaatekuva. Eristeessä ei ole vapaita varauksia, joten voidaan käyttää Laplacen yhtälöä (karteesinen koord.): V V V V 0 x Kenttä on riippuvainen vain koordinaatista y, joten V V 0 Integroidaan ensimmäiseen kertaan: V 0 Integroidaan toiseen kertaan: y B Kerroin saadaan selville: Ε e e 6,67 0 e V 6,67 0 m y y y Kerroin B saadaan selville: V y B B V y ref ref 0 6, , V Joten potentiaali johteessa: V y B Vy 0 6, V Varaustiheys: 9,0 0 ( 6,67 0 ) S Dn En 0, nc/m 6π 6

2 STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 / 5 Tehtävä. Samankeskisillä johtavilla sylintereillä, V = 75 V, kun r = 0 mm ja V = 0 V, kun r = mm. Määritä D sylinterien välisellä alueella, jossa r =,6. Piirrä tilanteesta periaatekuva. Eristeessä ei ole vapaita varauksia, joten voidaan käyttää Laplacen yhtälöä (sylinterikoordinaatisto): V V V 0 Kenttä on riippuvainen vain säteestä, joten V 0 Kerrotaan molemmat puolet :lla ja integroidaan: V 0 V V Jaetaan molemmat puolet r:llä ja integroidaan: ln B Kertoimet ja B saadaan selville: 75 ln 0,00 B 65 ln 0,00 ln 0,00,7 0 ln 0, 00B B 0 ln 0, 00 59,9 Sähkövuon tiheys sylinterien välisessä alueessa: 9 0, 6, 7 69 pc D E e e e e 6π m Tehtävä. Sylinterikoordinaatistossa sijaitsevilla johtavilla tasoilla on potentiaalit 0 V ( = 90 ) ja 00 V ( = 0 ). Määritä D tasojen välisessä alueessa, jossa r =,60. Piirrä tilanteesta periaatekuva. Eristeessä ei ole vapaita varauksia, joten voidaan käyttää Laplacen yhtälöä (sylinterikoordinaatisto): V V V 0 Kenttä on riippuvainen vain kulmasta, joten V V 0

3 STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 / 5 Kerrotaan molemmat puolet :llä ja integroidaan: V 0 Integroidaan toiseen kertaan: B Ratkaistaan kertoimet ja B: 00 0 π π 95,49 00 B 00 B π π π π 0 B 0 B π 80 B 50 Joten sähkövuon tiheys: 9, ,49,5 D E e e e e 6π nc/m Tehtävä 4. Sylinterikoordinaatistossa V = / (pc/m ). Olkoon V = 0 V, kun =,0 m ja V = 50 V, kun =,0 m. Määritä E. Piirrä tilanteesta periaatekuva. lueessa vapaita varauksia (sylinterikoordinaatisto): V V V Kenttä on riippuvainen vain säteestä, joten π,554 V π Kerrotaan molemmat puolet :llä ja integroidaan:,554,554 4,554

4 STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 4 / 5 Jaetaan molemmat puolet :llä ja integroidaan:,554,554 V ln B 4 Ratkaistaan kertoimet ja B:,554 V ln B 4,554 0 ln B 4 B,8,554 4,98 50 ln B 4 Joten sähkökentän voimakkuus: 6, 8 4,98 E e e /m Tehtävä 5. Ohut virtalanka (virta 0 suuntaan -e ) on -akselilla, ja virtataso (K =,0e /m) sijaitsee tasolla y = 4 m. Määritä pisteessä (,, ) m. Piirrä tilanteesta periaatekuva. Virtalangan aikaansaama : r e e x y I I ex ey 0 ex ey 5 ex ey I Ie e π π π π m Virtatason aikaansaama : K K en Ke ey Kex,0e x,0 e x m Joten kokonais : 5 ex ey K, 0e, 0e 0,67e 0, 45e π,67ex 0, 45ey,9,9 m I x x x y

5 STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 5 / 5 Tehtävä 6. Siirretty laskuharjoituksen 6 tehtäväksi Tehtävä 7. Kaksi identtistä virtasilmukkaa (r = 0,5 m ja I = 0 ) ovat yhdensuuntaisilla tasoilla, joiden etäisyys on m. Määritä ko. virtasilmukoiden välisen etäisyyden puolivälissä. Piirrä tilanteesta periaatekuva. Sijoitetaan virtasilmukat sylinterikoordinaatistoon alla olevan kuvan mukaisesti: Virran suunta virtasilmukoissa on e. 0 0,5 I I Kuva. Periaatekuva tehtävään 6. Lasketaan ensin virtasilmukan ja aiheuttamat differentiaaliset magneettikentät ko. pisteessä: d d Idl e I de e 0,5e I d e 0,5e 4π 4π 0,5 0,5 4π 0,5 Idl e I de e 0,5e I d e 0,5e 4π 4π 0,5 0,5 4π 0,5 Id e 0,5e Id e 0,5e I de d d d 4π 0,5 4π 0,5 4π 0,5 Kokonaiskenttä ko.pisteessä: π I de π I de 00,5 e 7, /m e 0 4π 0,5 4π 0,5 0,5 0,5