VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 09: Yhden vapausasteen vaimeneva ominaisvärähtely

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 09: Yhden vapausasteen vaimeneva ominaisvärähtely"

Jorma Aaltonen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 9/ VÄRÄHTELYMEKNKK SESSO 9: Yhn vpun vinv oinivärähly LKEYHTÄLÖ Viooi vinnu vinnuvoin oln olvn uorn vrrnnollinn värählvän n nopun li F v () jo on vinnuvio. Kuv on viooii vinnun värählijän prulli, jo vinnu uv iunvinninlni. Si pino on uvn () un g, illä nopun oll noll i iunvini ol voi. () g joun lpopiuu () ( () ) & inn pino g & g Kuv. Viooii vinnu värählijä. Kuv () n liiyhälö ( ) g & jo ur ulon g vull värählijän liiyhälöi & () Jll puoliin ll, n liiyhälö nriuooon & ζ ω ω (3) jolloin on ou äyöön rinnä ω / ζ /( ω) (4) Suur ζ non vinnuuhi. Vinnuuh uv vinnun voiuu j on inioon luu.

2 9/ LKEYHTÄLÖN RTKSU λ Eiään liiyhälön (3) riu uoo (), iä j λ ov vioi. Tällöin on λ () & λ j & () λ λ. Sijoill riuyri liiyhälöön (3) n λ ( λ ζ ωλ ω ) (5) iä ouuu iill jn rvoill vin, jo λ ζ ωλ ω (6) Yhälöä (6) non rriii yhälöi j n juur ov λ ω ζ ζ λ ω ζ ζ (7) Liiyhälön (3) ylinn riu on ii uoo λ λ ζ ω ζ ω ζ ω () (8) iä vio j ääräyyvä n lun j lunopun prull. Ko vinnuvio ζ voi rvoj välilä ζ <, voi yllä nliöjuur olv lu ζ oll poiiivinn, noll i ngiivinn j liiyhälön riu on luonln rilinn uin pu. () Yliriiinn vinnu ζ > Kun ζ >, ov juur λ j λ riuuri ngiivii rliluuj. Tällöin iiryä lähyy ypooii noll, un i. Vinnu on niin voi, ä värählyä i iinny iä ynyvä lii ol jollinn. Kun yin lu j lunopu unnn, on holli l riu (8) olv vio j. Voin ooi, ä niin lu ov ζ ω ζ ζ ω ζ ζ ω ω ζ (9) Kuv on iy iri ää riupu luurvojn oll 6 N/, 6 N/ ( ζ ),, j, /. g,

3 9/3 () Kriiinn vinnu ζ Kun ζ, ov juur λ j λ yhä uuri j Tällöin yyppiä λ λ ω, iä on ngiivinn luu. λ olvi riuj on vin yi j rvin oinn iiä linrii riippuon riu. Sllii lp yyppiä λ olv riu. Liiyhälön ylii riui ul ii ää pu ω ω () () Myö vinnun oll riiinn on niin voi, ä iiryä lähyy ypooii noll, un i. Kun yin lu j lunopu unnn, n riu () olv vio j voi ω () Kuv. Kriiinn j yliriiinn vinnu. Kun ζ, n v (4) vinnuvioll lu ω () jo non riiii vinnuvioi. Voin ooi, ä riiin vinnun ovn värählijän iiryä lähyy nopin noll, uin uun vvn u yliriiin vinnun ovn värählijän. Kuv on iy iri ää riu, jolloin 8 N/. () liriiinn vinnu ζ < Kun ζ <, on lu ζ iginäärinn j voin li uooon i ζ, jo i. Krriin yhälön juur λ j λ ov ää pu opliluuj j oin liioluuj. Liiyhälön (3) ylinn riu on vvi uoo λ λ ζ ω i ζ ω i ζ ω () (3) On äyöön rinnä π π ω ω ζ τ (4) ω ω ζ

4 9/4 jo uur ω on vinnu oiniuljuu j ± i o ± iin τ vinnu oinivärähyi. Eulrin vn j vinnun oiniuljuun äärilän prull n riu (3) hiyä urvi () ζ ω ζ ω [( oω i inω ) ( oω i inω )] [( ) oω i( ) inω ] Kun llä olv ulo on äyöön uu rli vio 3 j i, n liiyhälön riu lopullin uooon ( ) 4 () ζ ω ( o ω in ω ) 3 4 (5) Riu (5) on juull ω phuv värählyä, jon pliui pinn ζ ω roin joho ypooii nolln, un. Kuv 3 on iri ää riu luurvoill g, 6 N/, N /, ( ζ, 5 ),,,, /. Kun luho j unnn, voin vio 3 j 4 l voi Kuv 3. liriiinn vinnu. 3 4 ω ζ ω ζ (6) Riu (5) voin iää yö oi uoo, un vioin äyään pliui C j vihul ψ li () C ζ ω in( ω ψ ) (7) luhojn oll j vioin C j ψ lu ov C ζω ω ζ ω ζ ψ rn ζ ω (8) Kv (4) näyy, ä viooi vinnu pinnää yin oiniuljuu j uurn oinivärähyi vinon ilnn vrrun. Käyännöä vinnu on uin pini, irii ζ <,, jolloin uuoin ov piniä.

5 9/5 ESMERKK VMS9E v Mänä liiuu ylinriä vionopull v, unn örää j ruu joun j iunvinin uvn uii. Määriä ännän ii iiryä ruin jäln j l pljono ähän uluu i. Prrill on rvo 4,53g, v 5,4 /, 3,5N/ j 75N /. Riu: Vinnu on liriiinn, illä ω 87,9 ζ, 97 4,53 ω 4,53 87,9 Vinnu oiniuljuu on ω ω ζ 85,75 j ζω 9,3. luho ov j 5,4 /, jolloin vn (6) vioin rvoii ul j 3 ( ζ ω )/ ω (5,4 )/ 85,75,78. Riui ul ii v (5) 4 (),78 () & [3,43 9,3 9,3 / / in(85,75 / ) in(85,75 / ) 5,4 9,3 / o(85,75 ll () on äärirvo, un nopu &(), jo ur / )] / n( 85,75 / ) 4,439 85,75 /, 349,57 ( ),8 ESMERKK VMS9E Kirjoi uvn uin nin yin oinivärählyjn liiyhälö, un oorinii vlin plin ul- iun i pino j vpli oln oi. nifioi liiyhälöä oiniuljuu ω j vinnuuh ζ. Määriä vinnu oiniuljuu ω j vinnuvion riiinn rvo. O & & Riu: Pinovoi g voin jäää poi vpppluv, illä i uoonuuo ihuuv jouivoi uo n viuun, un in i pino. Vpppluv n oniliiyhälöi nivln O uhn & &

6 9/6 & & && & Jo viiii irjoiu yhälö on yin liiyhälö nriuoo. nifioin nin oiniuljuu ul-n roi ω. Vin- nuuh n in ulnopun & roi, illä yhälön (3) un on ζω ζ ζ Vinnu on riiinn, un ζ, jon Vinnu oiniuljuu on vn (4) un ω ω ζ ω 4 4 ESMERKK VMS9E & & r ' Ovn on nnu ulijnii uvn uii. Ovn 36g, oru on, lvy,75 j puu 4. Ovi vuuu vn väänöjou, jon jouivio N / r. Määriä ulij rviv vinnuvio, jo vinnu olii riiinn. Kuno ää ovn uluuinn nno o o 9 noon? Riu: Ovn hiuoni iön u ulvn ' -lin uhn on ' ( ) G h Srnoin u ulvn -lin uhn hiuoni n Sinrin äännöllä ' Mr. Sijoill nnu luurvo n uloi 6,769 g. Moniliiyhälöi ul & & && jo ur nriuoo j oiniuljuu

7 9/7 && & ω 6,769 ω,5 Vinnu on riiinn, un ω 6,46N Liiyhälön riu on riiin vinnun pu vn () un ω ω ω ω () & () ω( ) luho ov ( ) π / & () π / ω π / π ω Ovn ulon ii () ( ω ). o π ω π Hllä on ( ) ( ω ) 5,36 8 HRJOTUS VMS9H unvinin ylilyönnin hlun olvn %, li pääää vinnin iln lunopu liill ohi pinon äärällä,. Määriä rviv vinnuuh ζ. Miä on ylilyöni, jo vinnuuh on ζ /? V. ζ,59 37,8 % Vihj: HRJOTUS VMS9H Tyin j n vruin on Tyi liiuu luiin jäln n 5g. Ryylijoun jouivio on N/.,4 päin. Määriä ryyliniin vinnuvio in, ä vinnu on riiinn. Miä on yin lunopu j i, jon uluu yi on ullu lun n,? V. 447N / 4,86 /,86 Vihj: HRJOTUS VMS9H3 Kuvn on uvv lnlli on iuvrn v g j lin 5g. lin on v iinniy pruun unnll, jon 5MN/ j v v N /. uvr puon lvo orul h h lvo olvn lin pääll j öräyä pluuirroin on ε, 4. Määriä öräyä ihuuv lin lunopu. L lin j n unnn uoon yin oiniuljuu, oinijuu, oini- v värähyi, vinnuuh j vinnu oiniuljuu. Eiä lin öräyn jälin iiryän () lu, piirrä n uvj j i iiryän uurin rvo. Piirrä yö lin öräyn jälin nopun j iihyvyyn uvj j lviä nopun j iihyvyyn uuri iirvo.,46 / ω r/ f 5,9H τ,63 ζ, ω 99,5r/ V.,3,46 / && 8,646 / Vihj:

Samankaltaiset tiedostot

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 6, Kevät 2017

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 6, Kevät 2017 OY/PJKOMP R6 017 Puolijohdoponnin pru 571A Riu 6, Kvä 017 1. MOSondnori (MlOxidSiconducor) oouu ninä uii lli hil, oidiriä j doupu puolijoh (Kuv 1). Idlii hilll u jänni G ippuu oidirro jännin vrrn j puolijohn