= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.

Transkriptio

1 6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän ratkaisu u = ux, t: = 2 u 2 γ2 aueessa Q =,,, 2 u, t = u, t = kaikie t >, ja 6.3 ux, = u x ja x, = u 1x kaikie x,. Muuttujien separoinnia ux, t = V xw t saadaan yhtäö 1 W t γ 2 W t = V x V x = vakio = λ. Reunaehtojen 6.2 nojaa funktioe V saadaan ehdot Paikkariippuvaa yhtäöä V = V =. V x = λv x on noasta eroavia, reunaehdot toteuttavia ratkaisuja vain, jos λ = λ k = k 2 π 2 / 2 ja k Z +. Ratkaisut ovat täöin V x = V k x = sinkπx/. Aikariippuvan yhtäön ratkaisuksi saadaan W k t = α k sin γkπt + β k cos γkπt Yhtäön ja reunaehtojen ineaarisuuden ja homogeenisuuden takia myös jokainen summa ux, t = sin kπx W k t, toteuttaa reunaehdot 6.2 ja ämmönjohtumisyhtäön 6.1, jos sarja suppenee riittävän nopeasti. Akuehtojen 6.3 toteutumiseksi tuisi oa ux, = sin kπx x, = sin kπx W k = W k = β k sin kπx α k γkπ = u x, ja sin kπx = u 1 x. Oetetaan auksi, että u 1 =. Täöin kertoimet α k =. Jatketaan u väie [, ] parittomaksi funktioksi, t.s. asetetaan u x = u x, kun x. Asetetaan funktioiden f ja g sisätuoksi nyt 7 Viimeksi muutettu f g = fxgx 28

2 Täöin funktiojoukko {f k k N} ortogonaainen, kun f x = 1, f 2k x = cos kπx, Kertoimie β k saadaan nyt Koska β k = 1 6. AALTOYHTÄLÖ I 29 u x sin kπx voidaan ratkaisu esittää muodossa ux, t = β k sin kπx f 2k 1x = sin kπx, kun k Z +. dx = 2 u x sin kπx sina + b sina b = 2 cos a sin b = 1 2 cos γkπt kπx + γt β k sin sin = 1 2 u x + γt u x γt. kπx γt Tässä funktio u on uonnoista tukita koko reaiakseia määriteyksi, 2-jaksoiseksi funktioksi, koska väiä [, ] on u x = β k sin kπx. Ratkaisussa esiintyvät aikariippuvat funktiot t u k x, t = sin kπx cos γkπt ovat jaksoisia. Funktion t u k x, t jakson pituus on Luku on funktion t u k x, t taajuus ja T = 2π γkπ/ = 2 γk. ν = 1 T = k γ 2 λ = γt = 2 k vastaava aaonpituus. Huomaa, että jokaisen ratkaisun t u k x, t taajuus on perustaajuuden γ 2 monikerta. Funktiot u x + γt ja vastaavasti u x γt esittävät aatoja, jotka etenevät negatiivisen ja vastaavasti positiivisen x-aksein suuntaan nopeudea γ.

3 6. AALTOYHTÄLÖ I 3 Oetetaan seuraavaksi, että u =, mutta u 1. Kertoimet α k voitaisiin määrätä kuten edeä, mutta edeinen ratkaisu antaa vihiä siitä, että ratkaisu u voisi oa muotoa ux, t = ϕx + γt + ψx γt. Akuehdot ux, = u x =, x, = u 1x, toteutuvat, kun ϕx + ψx =, γϕ x γψ x = u 1 x kaikie x. Ensimmäisen ehdon nojaa on ψx = ϕx ja toisen nojaa 2γϕ x = u 1 x. Siis ϕx = 1 2γ missä C on vakio. Kun asetetaan U 1 x = x x u 1 t dt + C, u 1 t dt, on ux, t = 1 U 2γ 1x + γt U 1 x γt. Yeisessä tianteessa, missä u ja u 1, ratkaisu saadaan näiden kahden erikoistapauksen ratkaisujen summana, ei 6.4 ux, t = 1 2 u x + γt u x γt + 1 2γ U 1x + γt U 1 x γt. Tämä ratkaisun esitystapa tunnetaan d Aembertin kaavana Muuttujanvaihto. Tarkasteaan aatoyhtäöä 2 = γ2 2 u 2 tasossa R 2. Hepoin tapa ratkaista tämä yhtäö ienee käyttää muuttujanvaihtoa ξ = x + γt, τ = x γt ei x = ξ + τ 2, t = ξ τ 2γ. Kun Uξ, τ = ux, t, on Siis Yhtäö 6.6 U ξ = ξ + ξ = γ, 2 U τ ξ = τ τ + 1 2γ = γ γ τ + 1 2γ 1 4γ 2 2 = γ2 2 u 2 2 U τ ξ =. 2 U τ ξ = 2 τ

4 on heppo ratkaista: Siis U ξ = ϕ ξ, Uξ, τ = 6. AALTOYHTÄLÖ I 31 ϕ ξ dξ + ψτ = ϕξ + ψτ. ux, t = ϕx + γt + ψx γt. Jos annettuna on funktiot u ja u 1 ja ratkaisu on määrättävä siten, että ux, = u x ja x, = u 1x kaikie x R, niin edeä oeen main mukaisesti ratkaisu saadaan kaavasta 6.4. Erityisesti, ratkaisu määräytyy yksikäsitteisesti akuehdoista u ja u 1. Lisäksi, jos u on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ja u 1 on jatkuvasti derivoituva, on funktio u kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ja toteuttaa yhtäön 6.5. Tämän sieämpi ei derivoituvampi ratkaisun ei tarvitse oa. Huomaa ero ämmönjohtumisyhtäöön: ratkaisua ux, t on kaikkien kertaukujen jatkuvat osittaisderivaatat kummankin muuttujan suhteen aueessa t >, vaikka akuehto ei oisi erityisen sieä. Mieenkiintoista on, että vaikka yhtäöt 6.5 ja 6.6 ovat oeeisesti sama yhtäö, ei yhtäön 6.6 ratkaisussa Uξ, τ = ϕξ + ψτ esiintyvistä funktioista ϕ ja ψ tarvitse oettaa muuta kuin, että ϕ on derivoituva; funktiosta ψ ei tarvitse tehdä mitään oetuksia mutta derivoimisjärjestys on tärkeä: ensin ξ:n suhteen Epähomogeeninen yhtäö. Tarkasteaan epähomogeenista aatoyhtäöä = 2 u γ2 + f tasossa 2 R2, 2 ux, = u x ja x, = u 1x kaikie x R, missä f : R 2 R on annettu funktio. Oetetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että u = ja u 1 =. Ratkaisu yeisessä tapauksessa saadaan summana näin öydetystä ratkaisusta ja edeä tarkasteusta homogeenisen yhtäön ratkaisusta. Muuttujanvaihdoa ξ = x + γt, τ = x γt saadaan funktioe Uξ, τ = ux, t 2 U τ ξ = γ 2. 2 Siis 2 u 2 γ2 = fx, t 2 U 4γ2 = fx, t =: F ξ, τ. 2 τ ξ Funktioe U akuehtoja u = ja u 1 = vastaten on ehdot HT Uξ, ξ =, U ξ, ξ =. τ

5 Integroidaan yhtäö 6. AALTOYHTÄLÖ I 32 2 U 4γ 2 = F ξ, τ τ ξ puoittain ξ:n suhteen väin [τ, ξ] yi, jooin akuehtojen nojaa saadaan 4γ 2 U ξ, τ = τ ξ τ F s, τ ds. Kun integroidaan tämä yhtäö puoittain τ:n suhteen väin [ξ, τ] yi, saadaan akuehtojen nojaa 4γ 2 Uξ, τ = ξ ξ Tehdään saadussa integraaissa muuttujanvaihto τ τ F s, r ds dr. s = x + γt, r = x γt. Täöin F s, r = fx, t. Sijoitetaan vieä takaisin ξ = x + γt ja τ = x γt. Koska muuttujanvaihdon Jacobin determinantti on 2γ, saadaan piirrä kuva ux, t = Uξ, τ = 1 2γ t x+γt t x γt t fx, t dx dt. Verrataan tuosta homogeeniseen akuarvotehtävään 2 v = 2 v 2 γ2 tasossa R 2, 2 v vx, τ = ja x, τ = fx, τ kaikie x R, Tässä τ on parametri ja v = vx, t, τ akuarvotehtävän ratkaisu. D Aembertin kaavan nojaa tämän ratkaisu on vx, t, τ = 1 2γ x+γt τ x γt τ Epähomogeenisen yhtäön ratkaisue on siis ux, t = t vx, t, τ dτ. Tämä ominaisuus tunnetaan Duhamein periaatteena. fx, τ dx Energiaperiaate. Tarkasteaan aatoyhtäön akuarvo- reuna-arvotehtävää = 2 u 2 γ2 aueessa Q =,,, 2 u, t = u, t = kaikie t >, ja Asetetaan ux, = u x Et = 1 2 ja x, = u 1x 1 γ kaikie x,.

6 Täöin Koska 2 u 2 Tässä E t = 1 2 = 2 u γ2, saadaan 2 = E t = E t = 6. AALTOYHTÄLÖ I γ 2 2 u , joten 2 u dx = 2 x= x= Reunaehtojen u, t = u, t = kaikie t > nojaa on, t =, t = kaikie t >, joten E t =, ei Et = vakio = E = γ 2 u2 1 + u 2 Erityisesti, aku- ja reuna-arvot määräävät ratkaisun yksikäsitteisesti koska kahden eri ratkaisun erotuksee oisi u = u 1 =, jooin E =. Lisäksi energian säiymisestä seuraa, että ratkaisu u = ux, t riippuu akuarvoista u ja u 1 jatkuvasti L 2 -normin suhteen jäeen sopivasti tukittuna: Et = = 1 2γ γ u u 2 2. Jos ratkaisu esitetään Fourier n sarjoina ux, t = sin kπx α k sin γkπt + β k cos γkπt saadaan Parsevain kaavan avua Et = γ 2 u2 1 + u 2 dx = π2 k 2 βk 2 + α 2 4 k Energiaperiaate ämmönjohtumisyhtäöe. Tarkasteaan ämmönjohtumisyhtäön akuarvo- reuna-arvotehtävää = 2 u γ2 aueessa Q =,,, 2 u, t = u, t = kaikie t >, ja ux, = u x kaikie x,. Asetetaan Täöin Et = 1 2 E t = 1 2 u 2 2u.

7 Koska = γ2 2 u 2, saadaan Tässä u 2 u = u 2 E t = γ 2 joten Reunaehtojen nojaa 6. AALTOYHTÄLÖ I 34 E t = γ 2 u 2 u 2 2, joten u 2 dx = γ 2 x= x= 2 E t = γ 2 dx, Et E = 1 2 u 2 u γ2 2 Akuarvo- reuna-arvotehtävän ratkaisun yksikäsitteisyys seuraa tästä. Samoin tästä epäyhtäöstä seuraa, että ratkaisu riippuu akuarvosta u jatkuvasti L 2 -normin suhteen Energiaperiaate II. Tarkasteaan n-uotteien aatoyhtäön akuarvo- reunaarvotehtävää n = u = 2 2 j ux, t = ux, = u x aueessa Q =,, kaikie x ja t >, sekä ja x, = u 1x kaikie x. Tässä R n on rajoitettu aue, jonka reuna on riittävän sieä tarkemmin myöhemmin. Asetetaan Täöin Et = 1 2 Koska 2 u 2 2 u 2 + dx = 1 2 E t = 1 2 = u, saadaan E t = 2 n u + n j j 2 + n j j 2 j

8 Tässä j E t = j = u + n 6. AALTOYHTÄLÖ I 35 2 u j j 2 j, joten j j 2 u 2 j Divergenssiauseen ei Gaussin auseen nojaa n E t = n j j ds = dx = n n u ds, j j missä n on reunan positiivisesti suunnistettu yksikkönormaai ja n u funktion u suuntaisderivaatta normaain suuntaan. Reunaehtojen ux, t = kaikie x ja t > nojaa on x, t = kaikie x ja t >, joten E t =, ei Et = vakio. Energian säiymisestä seuraa, että aku- ja reuna-arvot määräävät ratkaisun yksikäsitteisesti ja, että ratkaisu riippuu akuarvoista jatkuvasti L 2 -normin suhteen. Huomautus 6.1. Aueeta vaadittu ominaisuus, että reuna on riittävän sieä tarkoitti siis vain sitä, että divergenssiausetta voidaan sovetaa. Tähän riittää, että on rajoitettu ja sen reuna on paoittain sieä C 1 - hyperpinta; ks. esim. [14, II/2, Chapter 5, Appendix A4 & A5].