SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

Transkriptio

1 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä ja aine 15 Viikko 3 MagneeNken>ä 18 Viikko 4 Kertausta Viikko 5 Sähköken>ä johimissa, 19 Viikko 5 sähköiset piirit, komponenit 20 Viikko 6 MagneeNnen voima 21 Viikko 7 Viikko 8 Kertausta tenn

2 TAVOITTEET Ymmärtää voiman, sähkökentän, poteniaalienergian ja poteniaalin keskinäiset riippuvuudet Osata määri>ää varausjakauman poteniaali

3 SÄHKÖINEN POTENTIAALIENERGIA Muistele mitä tarkoi/ poten2aalienergia kuvaa kappaleen kykyä tehdä työtä asemansa ansiosta Kappaleeseen vaiku>aa konservaiivinen voima. Eli: voiman tekemä työ ei riipu kappaleen kulkemasta reiistä (energiaa ei muutu lämmöksi) PotenIaalienergian nollatason valinta on mielivaltaista à ainoastaan poteniaalienergian U muutoksella on merkitystä ΔU=U loppu U alku =W missä työ W= F ds SähköstaaNnen voima on konservaiivinen ( E=0) à Varatun hiukkasen pot. Energia muu>uu kun se liikkuu sähkökentässä

4 NOLLATASON VALINTA Miten kanna4aa määritellä ponten2aalienergian 0 taso? Pistevarus tai äärellinen varausjakauma: Yleensä nollataso valitaan ääre>ömyyteen. (miei miksi looginen ja esim. pistevarauksen ken>ään tuotua hiukkasta, mitä sen poteniaalienergia nyt kertoo?) Nollatason valinta kuitenkin vapaata kun kiinnostu>u suhteellisesta poteniaalin muutoksesta Muuta huomioitavaa: MieI>ävä mikä on systeemi ja mikä sen ympäristö (ks. Kirja ). Esim. yhden hiukkasen systeemi?

5 ESIMERKKI: HIUKKANEN KONDENSAATTORISSA 1) Siirretään posiiivista hiukkasta kohi posiiivista levyä Hiukkasen poteniaalienergia A) Kasvaa B) Pienenee C) EOS määritelmä oli ΔU= W nyt tehdään työtä sähköken>ää vastaan (hiukkanen liikkuu voimaa vastaan) à negaiivinen työ à ΔU > 0 W=F Δx=q(E) ( Δx ) < 0 E Δx F 0 x loppu x alku ks. Kirja sivut x

6 ESIMERKKI: HIUKKANEN KONDENSAATTORISSA 1) Siirretään negaiivista varausta kohi posiiivista levyä Hiukkasen poteniaalienergia A) Kasvaa B) Pienenee C) EOS Määritelmä oli ΔU= W Nyt sähköken>ä tekee työtä à posiiivinen työ à ΔU < 0 à kineennen energia K kasvaa ΔK = ΔU W=F Δx=q(E) ( Δx ) > 0 E Δx F 0 x loppu x alku ks. Kirja sivut x

7 ESIMERKKI: HIUKKANEN KONDENSAATTORISSA NegaIiviselta levyltä mekaanisella energialla E mech liikkeelle saatetun hiukkasen liike energia pienenee ja poteniaali energia kasvaa käännepisteeseen asi. ( posiiivinen työ ) Tämän jälkeen Ilanne on käänteinen: hiukkanen palaa takaisin, liike energia kasvaa ja poteniaalienergia pienenee ( negaiivinen työ )

8 KAHDEN HIUKKASEN SYSTEEMI Varaus q 2 siirtyy paikalleen kiinnitetyn varauksen q 1 sähkökentässä pisteestä x A pisteeseen x B à q 1 :n ken>ä tekee työn " = kq 1 q 2 $ 1 1 % # x B x ' A & W = xb Fdx W = xa xb xa q 1 q 2 kq 1 q 2 x 2 dx $ 1 ΔU = kq 1 q 2 & 1 % x B x A ' ) ( 0 x A x B ΔU < 0 kun varaukset samaa merkkiä (sähköken>ä tekee työtä, varaukset kiihtyvät, hylkivät toisiaan) ΔU > 0 kun varaukset eri merkkiä (tarvitaan työtä e>ä saadaan varaus paikasta x A pisteeseen x B )

9 KAHDEN HIUKKASEN SYSTEEMI Jos valitaan alkupiste ääre>ömyyteen x A à ja x à r, saadaan edellisestä ΔU = kq 1 q 2 r à nyt poteniaalienergia on siis verrannollinen etäisyyden käänteisarvoon.

10 SÄHKÖDIPOLIN POTENTIAALIENERGIA Lii4ykö dipolin asemaan sähkökentässä poten2aalienergiaa? Miten se vaihtelee dipolin suunnan mukaan? Valinta: Määritellään poteniaalienergia U nollaksi kun ken>ä ja dipolimomenn ovat kohisuorassa. Kun voiman momenn τ kiertää dipolia kulman ϕ, tekee voima työn dw=τdϕ E E ϕ p Aikaisemmin osoitenin, e>ä τ=pesinϕ W = pe φ 2 φ1 sinφ dφ ΔU = W = pe cosφ 2 pe cosφ 1 q F p F q à U = pe cosφ = p E (d/2)sinθ

11 SÄHKÖKENTÄN POTENTIAALI Sähköken>ään tuodun varatun hiukkasen poteniaali energia riippuu varauksesta Määritellään sähköinen poteniaali poteniaalienergiaksi yksikkövarausta kohi: V=U/q PotenIaaliero (jännite) ΔV on kentän kahden pisteen poteniaalien erotus ΔV = ΔU q = W q PotenIaaliero ei riipu reiistä (ks. tarkka esimerkki Kirjan sivut )

12 SÄHKÖKENTÄN POTENTIAALI PotenIaalin ja jänni>een yksikkö on J/C=Nm/C, jolla on oma nimi, voln (V). Atomi ja ydinfysiikassa energian yksikkönä käytetään elektronivolna eV = e(1v) = (1, C)(1 ) = 1, J J C Tämä on energia, jonka yhden alkeisvarauksen omaavan hiukkanen saa kun se kiihdytetään 1 V:n jänni>eessä.

13 KYSYMYS Mikä poteniaali vastaa sähköken>ää? V V V V y y y y A B C D

14 TASOPOTENTIAALIT Niiden pisteiden muodostama pinta, joissa on sama poteniaali à tasapoteniaalipinnalla olevien pisteiden välinen poteniaaliero on siis nolla. Halliday, Resnick, Walker: Fundamentals of Physics Pistevarauksen ken>äviivoja ja tasapoteniaalipintoja Sähködipolin tasapotentiaalipintoja

15 Laskarit 2, Tehtävä 4 Sähkövaraus Q on jakautunut tasaisesi ohueen sauvaan, jonka pituus on L. Laske sauvan jatkeella, etäisyydellä x sauvan keskipisteestä a) Sähkökentän voimakkuus E b) PotenIaali V sauvan jatkeella, P Pohdi miksi voi olla hyödyllistä Ietää poteniaali pisteessä P x

16 Laskarit 2, Tehtävä 5 Origossa on varaus q 1 ja paikassa r 1 =(a,0,0) on varaus q 2. Jälkimmäinen varaus siirretään paikkaan r 2 =(2a,0,0) a) Valitse sopiva rein ja määritä kuinka sähkökentän poteniaali muu>uu siirroksessa b) Mikä on sähköstaansen voiman siirroksessa tekemä työ? a 2a q 2 q 1 x Sopivaa reinä valitessa miei poteniaalin käsite>ä ja milloin voima tekee työtä? MieI myös voitko mennä suoraan x akselia pitkin a:sta a:han. Jos et niin mikset?

17 KYSYMYS Mikä tasopoteniaali pinta vastaa sähköken>ää

18 ESIMERKKI: KONDENSAATTORI JA ERISTELEVY* Oletetaan e>ä kondensaa>orin levyjen välillä on poteniaaliero ΔV=6 V, etäisyys d=3 mm. à E=ΔVd=2000 V/m. Kondensaa>orin ken>ä E=Q/(ε 0 A) Jos laitetaan kondensaa4orin levyjen väliin 1 mm metallilevy niin muu4uuko poten2aali? à Ken>ä edelleen metallilevyn ulkopuolella 2000 V/m, mu>a sisällä nolla Matka jolloin E 0 nyt pienempi à poteniaalin pitää olla pienempi (4 V) *lue kirjan sivut Q 1 Q 1 Q 2 Q 2 E E E=0 1 mm 3 mm E x

19 KYSYMYS Laita poteniaalit pienimmästä suurimpaan pisteissä a:sta e:hen A. V d = V e > V c > V a = V b B. V b = V c = V e > V a = V d C. V a = V b = V c = V d = V e D. V a = V b > V c > V d = V e E. V a = V b = V d = V e > V c

20 Laskarit 2, Tehtävä 6 Kondensaa>orin levyt ovat 2,0 cm etäisyydellä toisistaan ja niiden välissä on lähes homogeeninen sähköken>ä N/C. Elektroni laukaistaan 45 kulmassa kuvan mukaisesi posiiiviselta levyltä. Mikä on sen maksimivauhi, jo>a se EI törmää levyyn? v 0 E VIHJE: Voisiko tämän laskea työperiaa>een avulla? Pohdi miten elektronin nopeuden komponenit muu>uvat sen edetessä sähkökentässä

21 KONDENSAATTORIN VARAAMINEN Voidaan osoi>aa, e>ä kondensaa>orissa varauksen q ja jänni>een välinen V suhde on vakio. Tätä suhde>a kutsutan kapasitanssiksi C. Eli C = q/v. Kertoo siis kuinka paljon varausta on levyille tuotava, jo>a niiden välinen jännite olisi V Sähkökentän ja poteniaalin määritelmästä saadaan helposi* C = Ad 2ε 0 (eli riippuu kondensaa>orin geometriasta) Kapasitanssin yksikkö on [C]= C/V = F, Faradi. *Kertausviikolla tästä tarkempi lasku

22 Kondensaa>orin varaamiseen tarvitaan energiaa Ensin lasketaan tehdyn työn dw määrä eli kuinka paljon poteniaalienergia muu>uu (du) kun posiiiviselta levyltä siirretään pieni määrä negaiivista varausta (dq) posiiiviselle levylle. à KONDENSAATTORIN VARAAMINEN du = q C dq Tehty työ varastoituu siis kondensaa>orin poteniaalienergiaksi Q 1 Q E 1 V

23 KONDENSAATTORIN POTENTIAALI ENERGIA Ajatellaan levyjen varaaminen tapahtuvan seuraavasi: Aluksi levyt ovat neutraaleja. Toiselta levyltä aletaan siirtämään varausta dq kokoisissa erissä toiselle kunnes varaukset ovat q ja q. Jos tällöin levyjen välinen jännite on V niin voidaan osoi>aa, e>ä systeemin poteniaalienergia on U = du = 1 C 0 Q qdq U = 1 2 CV 2, kun käytetään kapasitanssin määritelmää Q = CV

24 KONDENSAATTORIN KENTÄN ENERGIATIHEYS Kondensaa>orin poteniaalienergian voidaan ajatella olevan levyjen välillä olevan sähkökentän energiaa. kentän energiaiheys u E = ponteniaalienergia/ilavuus u E = U Ad = CV 2 2Ad = 1 2 ε 0 (V d )2 (käyte>y C = ε 0 A/d) ks. edellinen kalvo jos ken>ä levyjen välillä on vakio (E=V/d) saadaan u E = 1 2 ε 0 E 2 Tärkeä tulos, pätee sähkökenille yleisemminkin (ja johdetaan tulevaisuudessa)

25 KENTÄN ENERGIATIHYES YLEISESTI u E = 1 2 ε 0 E 2 On tärkeä tulos, pätee sähkökenille yleisemminkin (ja johdetaan tulevaisuudessa hieman eritavalla) Tulkintaa Edustaa systeemin poteniaalienergiaa Työ joka tehiin tuomalla varaukset tähän konfiguraaioon KineeNnen energia joka vapautuu kun systeemi hajoaa (esim. kun hidut palaavat ääre>ömyyteen)

26 POTENTIAALIN TIETYSSÄ PISTEESSÄ Tarkastellaan työtä, jonka sähköken>ä tekee kun posiiivinen varaus q 0 siirtyy sähkökentässä pisteestä A pisteeseen B. Pienessä siirroksessa ds työ on dw = F ds Koko matka saadaan summana lyhyistä matkoista: W = q 0 B A E ds = q 0 (V B V A ), poteniaalieron määritelmä Valitaan alkupisteen poteniaaliero nollaksi V = B E ds A = q 0 E ds à Pisteen B poteniaali alkupisteen (0 poteniaalin suhteen)

27 ESIMERKKI: PISTEVARAUKSEN KENTÄN POTENTIAALI Siirretään tesivaraus q 0 pisteestä P etäisyydeltä, joka on etäisyydellä R varauksesta ääre>ömän kauas, missä määritetään siis, e>ä poteniaali on nolla. ReiIllä ei ole väliä. Siirretään radiaalisesi suoraa pitkin 0 V V P = E dr R 1 V = E dr = ( R R 4πε 0 q r 2 )dr R P q à V = 1 4πε 0 q R

28 ESIMERKKI: PISTEVARAUKSEN KENTÄN POTENTIAALI posiiivinen varaus B q 0 posiiivinen à ΔU = q 0 (V B V A ) < 0 ja kineennen energia kasvaa A negaiivinen varaus q 0 posiiivinen à ΔU = q 0 (V B V A ) > 0 ja kineennen energia pienenee

29 KYSYMYS Protoni päästetään iri levosta pisteessä B missä varaus on 0 V. Myöhemmin protoni A. Liikkuu kohi piste>ä A tasaisella nopeudella B. Liikkuu kohi piste>ä A kiihtyvällä nopeudella C. Liikkuu kohi piste>ä C tasaisella nopeudella. D. Liikkuu kohi piste>ä C kiihtyvällä nopeudella E. Pysyy paikallaan pisteessä B

30 SuperposiIoperiaa>een mukaan usean pistevarauksen kentän poteniaali jossakin pisteessä saadaan laskemalla yhteen kaikkien n:n pistevarauksen poteniaalit V USEAN PISTEVARAUKSEN POTENTIAALI n = V = 1 4πε i= 1 i= 1 0 n (kyseessä nyt tavallinen summa, ei vektorisumma) q r i i Jatkuva varausjakauma: summa à integraaliksi yli varausjakauman kuten edellä

31 POTENTIAALI JOHTEESSA Sähköken>ä on nolla johteen sisällä Onko myös sähköinen poten2aali nolla johteen sisällä? V: Ei tarvi olla nolla mu>a on vakio sillä ΔV=W/q ja W=Fd=qEd à ΔV=0

32 KENTÄN MÄÄRITTÄMINEN POTENTIAALISTA Kääntäen sähköken>ä voidaan laskea derivoimalla poteniaalista E = V Eli: V x, V E = Ey =, E V z = x y z Jos valitaan x koordinaanakseli kentän suuntaiseksi, voidaan kirjoi>aa E r = dv dr Esimerkiksi helppo soveltaa pistevaraukselle

33 ESIMERKKI: VARATUN PALLOKUOREN POTENTIAALI* V = 1 Q 4πε 0 r kuoren ulkopuolella (r > R) V = 1 Q 4πε 0 R Kuoren sisällä (r < R) HUOM: Yllä olevista voidaan laskea pallokuoren sähköken>ä derivoimalla (r suuntainen komponenn) E= V/ r. Tämä on nyt se helpompi tapa kuin määri>ä sähköken>ä suoraan! *jos tarkka lasku kiinnostaa ks. Kirjan sivut