811120P Diskreetit rakenteet

Transkriptio

1 811120P Diskreetit rakenteet Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot

2 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio R on karteesisen tulon S T osajoukko Joukon A binaarirelaatio R on karteesisen tulon A A osajoukko Esim. A={1,2,3}, R={(1,2),(1,3),(2,3)} Jos (x,y) R, niin voidaan kirjoittaa x R y Relaation käsite voidaan yleistää useammalle joukolle, mutta tässä tarkastellaan vain binaarirelaatioita funktiot 2

3 4.2.1 Relaation esittäminen Binaarirelaatio R voidaan esittää suunnatun verkon avulla Solmut joukon alkiot, piirretään nuoli a->b, jos (a,b) R Esimerkki: A={1,2,3,4}. R = {(x,y) x,y A x y} funktiot 3

4 4.2.1 Relaation esittäminen Joukon A = {a 1,a 2,,a n } binaarirelaatio R voidaan esittää myös relaatiomatriisin avulla: muodostetaan n*nmatriisi, jonka alkio paikassa (i,j) = 1, jos (a i,a j ) R 0, jos (a i,a j ) R Esimerkiksi A={1,2,3,4}. R = {(x,y) x,y A x y}. Relaatiomatriisi = funktiot 4

5 4.2.2 Binaarirelaatioiden ominaisuuksia A joukko ja R sen relaatio; R on Refleksiivinen, jos (a,a) R aina, kun a A x P(x) x P(x) Irrefleksiivinen, jos ei ole olemassa sellaista a A että (a,a) R Symmetrinen, jos siitä, että (a,b) R seuraa, että (b,a) R aina, kun a,b A Antisymmetrinen, jos siitä, että (a,b) R ja (b,a) R seuraa, että a = b aina, kun a,b A Transitiivinen, jos siitä, että (a,b) R ja (b,c) R seuraa, että (a,c) R aina, kun a,b,c A funktiot 5

6 4.2.2 Binaarirelaatioiden ominaisuuksia Tehtävä: A={1,2,3,4}. R = {(x,y) x,y A x y} ja S = {(x,y) x,y A x y} T = {(x,y) x,y A (x y) parillinen} Selvitä, mitkä em. ominaisuuksista pätevät yo. relaatioille Vastaus: x P(x) x P(x) R refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen (muut eivät voimassa) S irrefleksiivinen ja symmetrinen (muut eivät voimassa) T refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen (muut eivät voimassa) funktiot 6

7 4.2.3 Ekvivalenssi Joukon A binaarirelaatio R on joukon A ekvivalenssi (eli ekvivalenssirelaatio), jos se on 1. Refleksiivinen (a R a aina, kun a A), 2. Symmetrinen (jos a R b, niin b R a) ja 3. Transitiivinen (jos a R b ja b R c, niin a R c) Esim. Edellisen kalvon relaatio T on ekvivalenssi joukossa A = {1,2,3,4} Kun A on epätyhjä joukko ja R sen ekvivalenssi, merkitään R(a) = {x A a R x} Siis kaikki a:n kanssa relaatiossa olevat alkiot: tämä on alkion a ekvivalenssiluokka funktiot 7

8 4.2.3 Ekvivalenssi (2) Esimerkki. Em. relaatiolle T: T(1) = T(3) = {1,3} T(2) = T(4) = {2,4} Jos R on joukon A ekvivalenssi, niin a R(a), koska R on refleksiivinen Jokainen A:n alkio kuuluu siis johonkin ekvivalenssiluokkaan Jos R on joukon A ekvivalenssi ja R(a) R(b) Ø, niin R:n transitiivisuudesta ja symmetrisyydestä seuraa, että R(a)=R(b) Siten ekvivalenssiluokat jakavat A:n erillisiin joukkoihin funktiot 8

9 4.2.4 Osittainen järjestys Joukon A binaarirelaatio R on joukon A osittainen järjestys, jos se on 1. Refleksiivinen (a R a aina, kun a A), 2. Antisymmetrinen (jos a R b ja b R a niin a=b) ja 3. Transitiivinen (jos a R b ja b R c, niin a R c) Esim. 1. A={1,2,3,4} ja R = {(x,y) x,y A x y}. Tällöin R on joukon A osittainen järjestys Esim. 2. Relaatio reaalilukujen joukossa on osittainen järjestys. Esim. 3. Joukkojen välinen sisältyvyysrelaatio on osittainen järjestys. funktiot 9

10 4.2.5 Relaation ominaisuuksien toteaminen x P(x) x P(x) Miten todetaan, että joukon A relaatio on ekvivalenssi? Osoitetaan, että on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen Miten todeta, että joukon A relaatio «on osittainen järjestys? Osoitetaan, että «on refleksiivinen, transitiivinen ja antisymmetrinen HUOM! Toteaminen ei välttämättä ole yksinkertaista! funktiot 10

11 Tehtävä Mitkä seuraavista relaatioista ovat ekvivalensseja? Jos relaatio on ekvivalenssi, niin etsi sen ekvivalenssiluokat. 1. Relaatio S ihmisten joukossa. S = {(x,y) x:llä ja y:llä on yhteinen vanhempi} 2. Relaatio T ihmisten joukossa. T = {(x,y) x:llä ja y:llä on yhteinen äiti} 3. Joukon IN IN relaatio R, joka määritellään seuraavasti: (m,n) R (k,p) jos ja vain jos m+p = n+k. funktiot 11