Insinöörimatematiikka A
|
|
- Aarne Väänänen
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23
2 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan tulkinta I koostuu Tulkintajoukosta A, Vakiosymbolien tulkinnasta joukon A alkioiksi, Funktiosymbolien tulkinnasta joukossa A määritellyiksi funktioiksi, Predikaattisymbolien tulkinnasta joukon A relaatioiksi, Vapaiden muuttujien tulkinnasta joukon A alkioiksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 2 of 23
3 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan tulkinta I koostuu Tulkintajoukosta A, Vakiosymbolien tulkinnasta joukon A alkioiksi, Funktiosymbolien tulkinnasta joukossa A määritellyiksi funktioiksi, Predikaattisymbolien tulkinnasta joukon A relaatioiksi, Vapaiden muuttujien tulkinnasta joukon A alkioiksi. Kvanttorit ja konnektiivit tulkittava myös. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 2 of 23
4 Kertausta Atomikaavojen tulkinta Atomikaava R(t 1, t 2,...) on tosi annetussa tulkinnassa, mikäli termien t 1, t 2,... tulkinnat ovat siinä tulkintajoukon relaatiossa, joksi R tulkitaan. Atomikaava t 1 = t 2 on tosi annetussa tulkinnassa, mikäli termit t 1 ja t 2 tulkitaan samaksi joukon A alkioksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 3 of 23
5 Kertausta Atomikaavojen tulkinta Atomikaava R(t 1, t 2,...) on tosi annetussa tulkinnassa, mikäli termien t 1, t 2,... tulkinnat ovat siinä tulkintajoukon relaatiossa, joksi R tulkitaan. Atomikaava t 1 = t 2 on tosi annetussa tulkinnassa, mikäli termit t 1 ja t 2 tulkitaan samaksi joukon A alkioksi. Tulkinnan antama totuusarvo kaavalle φ on 0 mikäli φ tulkitaan epätodeksi ja 1 mikäli φ tulkitaan todeksi. Jos tulkintaa merkitään symbolilla I, merkitään kaavan φ totuusarvoa tulkinnassa I α I (φ):llä. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 3 of 23
6 Kertausta Kvanttorit Olkoon φ(x) predikaattilogiikan kaava, jossa x on vapaa muuttuja. ( x)φ(x) tulkitaan todeksi, jos kaava φ(x) tulkitaan todeksi kaikilla x:n valinnoilla (tulkintajoukosta) ( x)φ(x) tulkitaan todeksi, jos on olemassa sellainen x:n valinta tulkintajoukosta, että kaava φ(x) voidaan tulkita todeksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 4 of 23
7 Kertausta Konnektiivit Olkoot φ ja ψ kaavoja. Niiden totuusarvojen perusteella saadaan konnektiiveilla rakennettujen kaavojen totuusarvot seuraavan taulukon mukaan. φ ψ φ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 5 of 23
8 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23
9 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23
10 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23
11 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Jos esim x tulkitaan luvuksi 4, on I (x) tosi ja K(x) epätosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23
12 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Jos esim x tulkitaan luvuksi 4, on I (x) tosi ja K(x) epätosi Tällöin ( x)(i (x) K(x)) epätosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23
13 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Jos esim x tulkitaan luvuksi 4, on I (x) tosi ja K(x) epätosi Tällöin ( x)(i (x) K(x)) epätosi Konnektiivin tulkinnan mukaan I (s) ( x)(i (x) K(x)) tulkitaan epätodeksi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23
14 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Jos esim x tulkitaan luvuksi 4, on I (x) tosi ja K(x) epätosi Tällöin ( x)(i (x) K(x)) epätosi Konnektiivin tulkinnan mukaan I (s) ( x)(i (x) K(x)) tulkitaan epätodeksi Konnektiivin tulkinnan mukaan koko kaava tulkitaan todeksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23
15 Semantiikka Kaava on tosi kaikissa tulkinnoissa: (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23
16 Semantiikka Kaava on tosi kaikissa tulkinnoissa: (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23
17 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23
18 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy J:ssä sekä I (s) että ( x)(i (x) K(x)) tosia Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23
19 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy J:ssä sekä I (s) että ( x)(i (x) K(x)) tosia I (x) K(x) tulkittava todeksi kaikilla tulkintajoukon alkiolla Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23
20 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy J:ssä sekä I (s) että ( x)(i (x) K(x)) tosia I (x) K(x) tulkittava todeksi kaikilla tulkintajoukon alkiolla I (s) K(s) tulkittava todeksi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23
21 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy J:ssä sekä I (s) että ( x)(i (x) K(x)) tosia I (x) K(x) tulkittava todeksi kaikilla tulkintajoukon alkiolla I (s) K(s) tulkittava todeksi Ristiriita! (kts. aikaisempi vaatimus I (s):n ja K(s):n tulkinnasta) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23
22 Semantiikka Määritelmä Kaava on Toteutuva jos se on tosi ainakin yhdessä tulkinnassa (eli sillä on ainakin yksi malli). Kumoutuva jos se on epätosi ainakin yhdessä tulkinnassa. Tautologia eli loogisesti tosi, jos se on tosi kaikissa tulkinnoissa. Kontradiktio eli loogisesti epätosi, jos se on epätosi kaikissa tulkinnoissa. Kontingentti, jos se ei ole tautologia eikä kontradiktio. Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 8 of 23
23 Semantiikka Määritelmä Kaava on Toteutuva jos se on tosi ainakin yhdessä tulkinnassa (eli sillä on ainakin yksi malli). Kumoutuva jos se on epätosi ainakin yhdessä tulkinnassa. Tautologia eli loogisesti tosi, jos se on tosi kaikissa tulkinnoissa. Kontradiktio eli loogisesti epätosi, jos se on epätosi kaikissa tulkinnoissa. Kontingentti, jos se ei ole tautologia eikä kontradiktio. Otetaan käyttöön merkinnät (verum) ja (falsum). Nämä ovat nollapaikkaisia predikaattisymboleja, jotka tulkitaan kaikissa tulkinnoissa samoin: tulkitaan todeksi ja epätodeksi. Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 8 of 23
24 Semantiikka: Looginen seuraus Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 9 of 23
25 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 9 of 23
26 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Määritelmä Päättely premisseistä Γ johtopäätösjoukkoon on pätevä eli loogisesti sitova, jos kaikki joukon Γ mallit ovat myös :n malleja. Tällöin merkitään Γ = ja sanotaan, että on looginen seuraus joukon Γ kaavoista. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 9 of 23
27 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Määritelmä Päättely premisseistä Γ johtopäätösjoukkoon on pätevä eli loogisesti sitova, jos kaikki joukon Γ mallit ovat myös :n malleja. Tällöin merkitään Γ = ja sanotaan, että on looginen seuraus joukon Γ kaavoista. Jos = {φ}, merkitään Γ = φ ja sanotaan, että kaava φ on kaavajoukon Γ looginen seuraus. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 9 of 23
28 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Määritelmä Päättely premisseistä Γ johtopäätösjoukkoon on pätevä eli loogisesti sitova, jos kaikki joukon Γ mallit ovat myös :n malleja. Tällöin merkitään Γ = ja sanotaan, että on looginen seuraus joukon Γ kaavoista. Jos = {φ}, merkitään Γ = φ ja sanotaan, että kaava φ on kaavajoukon Γ looginen seuraus. Jos Γ = ja = Γ, sanotaan, että Γ ja ovat loogisesti ekvivalentit ja merkitään Γ. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 9 of 23
29 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Määritelmä Päättely premisseistä Γ johtopäätösjoukkoon on pätevä eli loogisesti sitova, jos kaikki joukon Γ mallit ovat myös :n malleja. Tällöin merkitään Γ = ja sanotaan, että on looginen seuraus joukon Γ kaavoista. Jos = {φ}, merkitään Γ = φ ja sanotaan, että kaava φ on kaavajoukon Γ looginen seuraus. Jos Γ = ja = Γ, sanotaan, että Γ ja ovat loogisesti ekvivalentit ja merkitään Γ. = merkitsee, että :n kaavat ovat tosia kaikissa tulkinnoissa. Tämä merkitään myös =. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 9 of 23
30 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23
31 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Olkoon J tulkinta jossa premissit ovat tosia Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23
32 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Olkoon J tulkinta jossa premissit ovat tosia I (s) tosi ja ( x)(i (x) K(x)) tosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23
33 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Olkoon J tulkinta jossa premissit ovat tosia I (s) tosi ja ( x)(i (x) K(x)) tosi (I (s) K(s)) tosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23
34 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Olkoon J tulkinta jossa premissit ovat tosia I (s) tosi ja ( x)(i (x) K(x)) tosi (I (s) K(s)) tosi K(s) tosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23
35 Semantiikka: Looginen seuraus Loogisen seurauksen toteennäyttäminen Suora todistus: Γ 1 = Γ 2 =... = Γ n = φ, Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 11 of 23
36 Semantiikka: Looginen seuraus Loogisen seurauksen toteennäyttäminen Suora todistus: Γ 1 = Γ 2 =... = Γ n = φ, Epäsuora todistus: Γ { φ} = Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 11 of 23
37 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23
38 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23
39 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23
40 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23
41 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Vastaoletus: I ei ole φ:n malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23
42 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Vastaoletus: I ei ole φ:n malli. I on φ:n malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23
43 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Vastaoletus: I ei ole φ:n malli. I on φ:n malli. I on Γ { φ}:n malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23
44 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Vastaoletus: I ei ole φ:n malli. I on φ:n malli. I on Γ { φ}:n malli. Ristiriita! Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23
45 Semantiikka: Looginen seuraus Vastaesimerkki Γ = φ, jos on olemassa Γ:n malli, jossa φ ei ole tosi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 13 of 23
46 Gentzenin järjestelmä Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 14 of 23
47 Gentzenin järjestelmä Automatisoitavissa oleva systeemi, jonka sääntöjen mukaan aiemmista kaavoista kirjoitetaan uusia (käsittely syntaktisesti) Tavoitteena mahdollisimman hyvä kytkentä sääntöjen (syntaksi) ja loogisen seurauksen (semantiikka) välille Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 14 of 23
48 Gentzenin järjestelmä Konnektiivien introduktiosäännöt (I ) : (I ) : φ. ψ φ ψ φ ψ φ ψ (I ) : (I ) : φ. φ φ φ ψ ja ψ φ ψ (I ) : φ. ψ φ ψ ψ. φ φ tarkoittaa sitä, että säännön soveltamisen jälkeen φ merkitään poistetuksi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 15 of 23
49 Gentzenin järjestelmä Konnektiivien eliminointisäännöt φ ψ (E ) : φ ψ φ φ ψ ψ (E ) : φ ψ. η η. η (E ) : φ φ ψ ψ (E ) : φ φ (E ) : φ φ ψ ψ ψ φ ψ φ (E ) : φ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 16 of 23
50 Gentzenin järjestelmä Reductio Ad Absurdum φ (RAA) :. φ Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 17 of 23
51 Gentzenin järjestelmä Kvanttorisäännöt (I ) : φ(x) ( x)φ(x) (I ) : φ(t) ( x)φ(x) φ (E ) : ( x)φ(x) φ(t) (E ) : ( x)φ(x) ψ. ψ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 18 of 23
52 Gentzenin järjestelmä Kvanttorisäännöt (I ) : φ(x) ( x)φ(x) (I ) : φ(t) ( x)φ(x) φ (E ) : ( x)φ(x) φ(t) (E ) : ( x)φ(x) ψ. ψ Kvanttorisääntöjen rajoitukset: (I ): x ei saa esiintyä vapaana missään (poistamattomassa) oletuksessa, josta φ(x) on johdettu. (E ): x ei saa olla vapaa ψ:ssä tai johdon φ... ψ muissa oletuksissa kuin φ:ssä. (E ) ja (I ): mikään vapaa muuttuja termissä t ei saa tulla sidotuksi, kun kaavaan φ(x) sijoitetaan x:n paikalle t (Tällöin sanotaan, että t on x-vapaa φ:n suhteen). Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 18 of 23
53 Gentzenin järjestelmä Kvanttorisääntöjen rajoitukset, esimerkkejä (I ): (x = c) ( x)(x = c). Väärin, koska x esiintyy vapaana poistamattomassa oletuksessa x = c. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 19 of 23
54 Gentzenin järjestelmä Kvanttorisääntöjen rajoitukset, esimerkkejä (I ): (x = c) ( x)(x = c). Väärin, koska x esiintyy vapaana poistamattomassa oletuksessa x = c. (I ): ( y)( y + y = 0) ( x)( y)(x + y = 0). Väärin, koska termissä t = y tulee y sidotuksi, jos kaavaan ( y)(x + y = 0) sijoitetaan x:n paikalle y. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 19 of 23
55 Gentzenin järjestelmä Yhtäsuuruussäännöt (YS1) : x = x (YS2) : x = y y = x (YS3) : x = y y = z x = z (YS5) : (YS4) : x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n f (x 1, x 2,..., x n ) = f (y 1, y 2,..., y n ) x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n R(x 1, x 2,..., x n ) R(y 1, y 2,..., y n ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 20 of 23
56 Gentzenin järjestelmä Huomattava: Säännöillä voidaan johtaa vain premissien loogisia seurauksia Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 21 of 23
57 Gentzenin järjestelmä Huomattava: Säännöillä voidaan johtaa vain premissien loogisia seurauksia Esimerkki (I ) : φ ψ φ ψ Jokainen joukon {φ, ψ} malli on myös φ ψ:n malli, siis {φ, ψ} = φ ψ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 21 of 23
58 Gentzenin järjestelmä Huomattava: Säännöillä voidaan johtaa vain premissien loogisia seurauksia Esimerkki (I ) : φ ψ φ ψ Jokainen joukon {φ, ψ} malli on myös φ ψ:n malli, siis {φ, ψ} = φ ψ Esimerkki (E ) : φ φ ψ ψ Jos φ ja φ ψ ovat molemmat tosia, on välttämättä myös ψ tosi, siis {φ, φ ψ} = ψ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 21 of 23
59 Gentzenin järjestelmä Johtaminen Jos Γ on joukko kaavoja, sanotaan, että kaava φ voidaan johtaa joukosta Γ luonnollisen deduktion järjestelmällä, mikäli φ voidaan saavuttaa Γ:n kaavoista tai vapaasti lisätyistä oletuksista deduktiosääntöjä käyttämällä siten että lopuksi kaikki Γ:n ulkopuoliset oletukset ovat poistettu. Tällöin merkitään Γ φ. Jos Γ =, merkitään myös φ. Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 22 of 23
60 Gentzenin järjestelmä Johtaminen Jos Γ on joukko kaavoja, sanotaan, että kaava φ voidaan johtaa joukosta Γ luonnollisen deduktion järjestelmällä, mikäli φ voidaan saavuttaa Γ:n kaavoista tai vapaasti lisätyistä oletuksista deduktiosääntöjä käyttämällä siten että lopuksi kaikki Γ:n ulkopuoliset oletukset ovat poistettu. Tällöin merkitään Γ φ. Jos Γ =, merkitään myös φ. Huomautus: Γ = φ määritellään semanttisesti, Γ φ syntaktisesti. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 22 of 23
61 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 23 of 23
62 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 23 of 23
63 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ 38 {( x)(i (x) K(x)), I (s)} K(s) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 23 of 23
64 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ 38 {( x)(i (x) K(x)), I (s)} K(s) 39 ( x)( y)( z)(x = y x + z = y + z) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 23 of 23
65 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ 38 {( x)(i (x) K(x)), I (s)} K(s) 39 ( x)( y)( z)(x = y x + z = y + z) 40 Jos y ei esiinny kaavassa φ(x), ( x)φ(x) ( y)φ(y) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 23 of 23
66 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ 38 {( x)(i (x) K(x)), I (s)} K(s) 39 ( x)( y)( z)(x = y x + z = y + z) 40 Jos y ei esiinny kaavassa φ(x), ( x)φ(x) ( y)φ(y) 41 Jos y ei esiinny kaavassa φ(x), ( x)φ(x) ( y)φ(y) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 23 of 23
Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotPredikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
LisätiedotLAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,
LisätiedotPropositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.
Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E. Perusaksioomat: Laki 1: Kukin totuusfunktio antaa kullekin propositiolle totuusarvoksi joko toden T tai epätoden
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 opetusmoniste, lauselogiikka 2.1-3.5) 21 24.9.2004 1. Määrittele lauselogiikan konnektiivit a) aina epätoden lauseen ja implikaation
LisätiedotLoogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotPredikaattilogiikkaa
Predikaattilogiikkaa UKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Kertausta ogiikan tehtävä: ogiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka 2.1 3.4) 5.2. 9.2. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 2.1 Merkitään lausetta φ:llä, ja valitaan atomilauseiden
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa
LisätiedotT Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.3001 Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3 3.4) 21. 24.3.2006 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio
LisätiedotTotuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.
Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka A 2014
Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka A 014 Sisältö 1 Johdanto.................................................................... 5 1.1 Matematiikasta ja sen opiskelusta...........................................
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotRamseyn lauseen ensimmäinen sovellus
Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi
LisätiedotEntscheidungsproblem
Entscheidungsproblem Antti-Juhani Kaijanaho 24. kesäkuuta 2013 Entscheidungsproblem eli ratkaisuongelma kysyy, millä mekaanisella menetelmällä voisi selvittää, onko mielivaltainen annettu ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotT Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
Lisätiedot3. Predikaattilogiikka
3. Predikaattilogiikka Muuttuja mukana lauseessa. Ei yksikäsitteistä totuusarvoa. Muuttujan kiinnittäminen määrän ilmaisulla voi antaa yksikäsitteisen totuusarvon. Esimerkki. Lauseella x 3 8 = 0 ei ole
LisätiedotT kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut
T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen
LisätiedotEntscheidungsproblem
Entscheidungsproblem Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 Entscheidungsproblem eli ratkaisuongelma kysyy, millä mekaanisella menetelmällä voisi selvittää, onko mielivaltainen annettu ensimmäisen
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
Lisätiedot2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.
Lisätiedotb) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotModaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Sanna Kari Modaalilogiikan ja predikaattilogiikan kaavojen vastaavuus Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Toukokuu 2002 Sisältö 1 Johdanto
LisätiedotSeuraus 4.2 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos on olemassa kaava ϕ, jolla Φ ϕ.
Luku 4 Täydellisyyslause Ristiriidattomuus ja toteutuvuus Määritelmä 4.1Olkoon Φ L S kaavajoukko. (a) Φ on ristiriidaton eli konsistentti, Con(Φ), jos ei ole olemassa kaavaa ϕ, jolla Φ ϕ ja Φ ϕ. (b) Φ
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
LisätiedotT Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )
T-79.3001 Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka 10.3. 11.4) 26. 30.3. 2009 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 10.5 Allaolevat kolme graafia pyrkivät selventämään
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotJohdatus logiikkaan 2
Johdatus logiikkaan 2 Åsa Hirvonen Kevät 2016 Sisältö 1 Mallit ja aakkostot 3 1.1 Mallit................................... 3 1.2 akkostot ja L-mallit.......................... 6 2 Kaavat 7 3 Semantiikka
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotLokaalisuus ja määriteltävyys
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heini Lehtipuu Lokaalisuus ja määriteltävyys Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LEHTIPUU,
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
LisätiedotDiskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1
811120P 3. 5 op Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 ja laskenta tarkastelemme terveeseen järkeen perustuvaa päättelyä formaalina järjestelmänä logiikkaa sovelletaan
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotTodistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.
Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotLOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
Lisätiedot1.1. Määritelmä. a) Termit ovat merkkijonoja, jotka muodostuvat induktiivisesti. k 1
Tähän mennessä aakkoston rooli on jäänyt mallin käsitteessä hivenen irralliseksi seikaksi, sillä symboleita on käytetty lähinnä mallin rakenneosien (funktioiden, relaatioiden ja vakioiden) indeksoimiseen.
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotToinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13
2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit
1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät
LisätiedotT Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.
T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot.
LisätiedotRatkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
LisätiedotEpädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotLuku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.
Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko
LisätiedotOpintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Lammi Opintomoniste logiikan ja joukko-opin perusteista Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2018 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Mari Herranen. Ultratulo
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mari Herranen Ultratulo Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HERRANEN, MARI: Ultratulo Pro
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotKesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotLogiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa
LisätiedotFI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:
LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi
LisätiedotModus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.
JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi (A (A B)) B on tautologia eli (A (A B)) B. 1 / 15 JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin
LisätiedotMonisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät.
Monisteen Rantala & Virtanen, Logiikkaa: teoriaa ja sovelluksia harjoitustehtävät. Tehtäviä on osittain muokattu, jotta ne vastaisivat paremmin kokeilumonistetta Rantala & Virtanen, Logiikan peruskurssi.
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotMatemaattinen logiikka
Matemaattinen logiikka Jouko Väänänen November 29, 2010 Contents 1 Johdanto 2 1.1 Merkintöjä............................. 2 2 Propositiologiikka 3 3 Struktuurit 13 4 Predikaattilogiikka 22 5 Kaavojen ominaisuuksia
LisätiedotLUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
LisätiedotRatkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):
Diskreetti matematiikka, sks 2010 Harjoitus 2, ratkaisuista 1. Seuraavassa on kuvattu kolme virtapiiriä, joissa on paristo, sopiva lamppu L ja katkaisimia P, Q, R, joiden läpi virta kulkee (1) tai ei kulje
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
LisätiedotEhrenfeucht-Fraïssé-pelistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Hanna Sulonen Ehrenfeucht-Fraïssé-pelistä Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka 2012 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SULONEN, HANNA: Ehrenfeucht-Fraïssé-pelistä
LisätiedotJohdatus logiikkaan 1
Johdatus logiikkaan 1 28. elokuuta 2014 Tämän tekstin lähtökohtana on ollut moniste Veikko Rantala - Ari Virtanen: Logiikan peruskurssi, joka on saatavilla netistä http://www.sis.uta.fi/matematiikka/ modaalilogiikka/logpk2003.pdf.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotGoldblatt Thomasonin lause transitiivisille kehyksille
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mikko Kivinen Goldblatt Thomasonin lause transitiivisille kehyksille Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2009 Tampereen yliopisto
LisätiedotSurjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.
5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLauselogiikka Tautologia
Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden
Lisätiedot