Insinöörimatematiikka A

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23

2 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan tulkinta I koostuu Tulkintajoukosta A, Vakiosymbolien tulkinnasta joukon A alkioiksi, Funktiosymbolien tulkinnasta joukossa A määritellyiksi funktioiksi, Predikaattisymbolien tulkinnasta joukon A relaatioiksi, Vapaiden muuttujien tulkinnasta joukon A alkioiksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 2 of 23

3 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan tulkinta I koostuu Tulkintajoukosta A, Vakiosymbolien tulkinnasta joukon A alkioiksi, Funktiosymbolien tulkinnasta joukossa A määritellyiksi funktioiksi, Predikaattisymbolien tulkinnasta joukon A relaatioiksi, Vapaiden muuttujien tulkinnasta joukon A alkioiksi. Kvanttorit ja konnektiivit tulkittava myös. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 2 of 23

4 Kertausta Atomikaavojen tulkinta Atomikaava R(t 1, t 2,...) on tosi annetussa tulkinnassa, mikäli termien t 1, t 2,... tulkinnat ovat siinä tulkintajoukon relaatiossa, joksi R tulkitaan. Atomikaava t 1 = t 2 on tosi annetussa tulkinnassa, mikäli termit t 1 ja t 2 tulkitaan samaksi joukon A alkioksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 3 of 23

5 Kertausta Atomikaavojen tulkinta Atomikaava R(t 1, t 2,...) on tosi annetussa tulkinnassa, mikäli termien t 1, t 2,... tulkinnat ovat siinä tulkintajoukon relaatiossa, joksi R tulkitaan. Atomikaava t 1 = t 2 on tosi annetussa tulkinnassa, mikäli termit t 1 ja t 2 tulkitaan samaksi joukon A alkioksi. Tulkinnan antama totuusarvo kaavalle φ on 0 mikäli φ tulkitaan epätodeksi ja 1 mikäli φ tulkitaan todeksi. Jos tulkintaa merkitään symbolilla I, merkitään kaavan φ totuusarvoa tulkinnassa I α I (φ):llä. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 3 of 23

6 Kertausta Kvanttorit Olkoon φ(x) predikaattilogiikan kaava, jossa x on vapaa muuttuja. ( x)φ(x) tulkitaan todeksi, jos kaava φ(x) tulkitaan todeksi kaikilla x:n valinnoilla (tulkintajoukosta) ( x)φ(x) tulkitaan todeksi, jos on olemassa sellainen x:n valinta tulkintajoukosta, että kaava φ(x) voidaan tulkita todeksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 4 of 23

7 Kertausta Konnektiivit Olkoot φ ja ψ kaavoja. Niiden totuusarvojen perusteella saadaan konnektiiveilla rakennettujen kaavojen totuusarvot seuraavan taulukon mukaan. φ ψ φ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 5 of 23

8 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23

9 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23

10 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23

11 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Jos esim x tulkitaan luvuksi 4, on I (x) tosi ja K(x) epätosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23

12 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Jos esim x tulkitaan luvuksi 4, on I (x) tosi ja K(x) epätosi Tällöin ( x)(i (x) K(x)) epätosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23

13 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Jos esim x tulkitaan luvuksi 4, on I (x) tosi ja K(x) epätosi Tällöin ( x)(i (x) K(x)) epätosi Konnektiivin tulkinnan mukaan I (s) ( x)(i (x) K(x)) tulkitaan epätodeksi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23

14 Semantiikka Esimerkki Kaavan (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) tulkinta, kun tulkintajoukko on N, I (x) tulkitaan x on parillinen, K(x) x on suurempi kuin kymmenen, ja s tulkitaan luvuksi 2: I (s)= 2 on parillinen, siis tosi I (x) K(x): epätosi vain jos I (x) tosi ja K(x) epätosi Jos esim x tulkitaan luvuksi 4, on I (x) tosi ja K(x) epätosi Tällöin ( x)(i (x) K(x)) epätosi Konnektiivin tulkinnan mukaan I (s) ( x)(i (x) K(x)) tulkitaan epätodeksi Konnektiivin tulkinnan mukaan koko kaava tulkitaan todeksi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 6 of 23

15 Semantiikka Kaava on tosi kaikissa tulkinnoissa: (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23

16 Semantiikka Kaava on tosi kaikissa tulkinnoissa: (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23

17 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23

18 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy J:ssä sekä I (s) että ( x)(i (x) K(x)) tosia Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23

19 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy J:ssä sekä I (s) että ( x)(i (x) K(x)) tosia I (x) K(x) tulkittava todeksi kaikilla tulkintajoukon alkiolla Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23

20 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy J:ssä sekä I (s) että ( x)(i (x) K(x)) tosia I (x) K(x) tulkittava todeksi kaikilla tulkintajoukon alkiolla I (s) K(s) tulkittava todeksi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23

21 Semantiikka Kaava (I (s) ( x)(i (x) K(x))) K(s) on tosi kaikissa tulkinnoissa: Voisi olla epätosi vain jos I (s) ( x)(i (x) K(x)) tosi ja K(s) epätosi Olkoon J tulkinta jossa näin käy J:ssä sekä I (s) että ( x)(i (x) K(x)) tosia I (x) K(x) tulkittava todeksi kaikilla tulkintajoukon alkiolla I (s) K(s) tulkittava todeksi Ristiriita! (kts. aikaisempi vaatimus I (s):n ja K(s):n tulkinnasta) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 7 of 23

22 Semantiikka Määritelmä Kaava on Toteutuva jos se on tosi ainakin yhdessä tulkinnassa (eli sillä on ainakin yksi malli). Kumoutuva jos se on epätosi ainakin yhdessä tulkinnassa. Tautologia eli loogisesti tosi, jos se on tosi kaikissa tulkinnoissa. Kontradiktio eli loogisesti epätosi, jos se on epätosi kaikissa tulkinnoissa. Kontingentti, jos se ei ole tautologia eikä kontradiktio. Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 8 of 23

23 Semantiikka Määritelmä Kaava on Toteutuva jos se on tosi ainakin yhdessä tulkinnassa (eli sillä on ainakin yksi malli). Kumoutuva jos se on epätosi ainakin yhdessä tulkinnassa. Tautologia eli loogisesti tosi, jos se on tosi kaikissa tulkinnoissa. Kontradiktio eli loogisesti epätosi, jos se on epätosi kaikissa tulkinnoissa. Kontingentti, jos se ei ole tautologia eikä kontradiktio. Otetaan käyttöön merkinnät (verum) ja (falsum). Nämä ovat nollapaikkaisia predikaattisymboleja, jotka tulkitaan kaikissa tulkinnoissa samoin: tulkitaan todeksi ja epätodeksi. Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 8 of 23

24 Semantiikka: Looginen seuraus Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 9 of 23

25 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 9 of 23

26 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Määritelmä Päättely premisseistä Γ johtopäätösjoukkoon on pätevä eli loogisesti sitova, jos kaikki joukon Γ mallit ovat myös :n malleja. Tällöin merkitään Γ = ja sanotaan, että on looginen seuraus joukon Γ kaavoista. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 9 of 23

27 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Määritelmä Päättely premisseistä Γ johtopäätösjoukkoon on pätevä eli loogisesti sitova, jos kaikki joukon Γ mallit ovat myös :n malleja. Tällöin merkitään Γ = ja sanotaan, että on looginen seuraus joukon Γ kaavoista. Jos = {φ}, merkitään Γ = φ ja sanotaan, että kaava φ on kaavajoukon Γ looginen seuraus. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 9 of 23

28 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Määritelmä Päättely premisseistä Γ johtopäätösjoukkoon on pätevä eli loogisesti sitova, jos kaikki joukon Γ mallit ovat myös :n malleja. Tällöin merkitään Γ = ja sanotaan, että on looginen seuraus joukon Γ kaavoista. Jos = {φ}, merkitään Γ = φ ja sanotaan, että kaava φ on kaavajoukon Γ looginen seuraus. Jos Γ = ja = Γ, sanotaan, että Γ ja ovat loogisesti ekvivalentit ja merkitään Γ. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 9 of 23

29 Semantiikka: Looginen seuraus Malli Kaava- tai lausejoukon Γ malli on tulkinta I, jossa kaikki Γ:n kaavat ovat tosia Määritelmä Päättely premisseistä Γ johtopäätösjoukkoon on pätevä eli loogisesti sitova, jos kaikki joukon Γ mallit ovat myös :n malleja. Tällöin merkitään Γ = ja sanotaan, että on looginen seuraus joukon Γ kaavoista. Jos = {φ}, merkitään Γ = φ ja sanotaan, että kaava φ on kaavajoukon Γ looginen seuraus. Jos Γ = ja = Γ, sanotaan, että Γ ja ovat loogisesti ekvivalentit ja merkitään Γ. = merkitsee, että :n kaavat ovat tosia kaikissa tulkinnoissa. Tämä merkitään myös =. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 9 of 23

30 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23

31 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Olkoon J tulkinta jossa premissit ovat tosia Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23

32 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Olkoon J tulkinta jossa premissit ovat tosia I (s) tosi ja ( x)(i (x) K(x)) tosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23

33 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Olkoon J tulkinta jossa premissit ovat tosia I (s) tosi ja ( x)(i (x) K(x)) tosi (I (s) K(s)) tosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23

34 Semantiikka: Looginen seuraus Esimerkki Päättely on loogisesti sitovaa: {I (s), ( x)(i (x) K(x))} = K(s) Olkoon J tulkinta jossa premissit ovat tosia I (s) tosi ja ( x)(i (x) K(x)) tosi (I (s) K(s)) tosi K(s) tosi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 10 of 23

35 Semantiikka: Looginen seuraus Loogisen seurauksen toteennäyttäminen Suora todistus: Γ 1 = Γ 2 =... = Γ n = φ, Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 11 of 23

36 Semantiikka: Looginen seuraus Loogisen seurauksen toteennäyttäminen Suora todistus: Γ 1 = Γ 2 =... = Γ n = φ, Epäsuora todistus: Γ { φ} = Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 11 of 23

37 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23

38 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23

39 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23

40 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23

41 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Vastaoletus: I ei ole φ:n malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23

42 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Vastaoletus: I ei ole φ:n malli. I on φ:n malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23

43 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Vastaoletus: I ei ole φ:n malli. I on φ:n malli. I on Γ { φ}:n malli. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23

44 Semantiikka: Looginen seuraus Lause Jos Γ { φ} =, niin Γ = φ. Aputulos (Lemma) Jos =, niin :lla ei ole mallia. Todistus: Jokainen :n malli olisi myös sen loogisten seurausten malli. Lauseen todistus Oletetaan, että I on Γ:n malli. On näytettävä, että se on myös φ:n malli. Vastaoletus: I ei ole φ:n malli. I on φ:n malli. I on Γ { φ}:n malli. Ristiriita! Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 12 of 23

45 Semantiikka: Looginen seuraus Vastaesimerkki Γ = φ, jos on olemassa Γ:n malli, jossa φ ei ole tosi. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 13 of 23

46 Gentzenin järjestelmä Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 14 of 23

47 Gentzenin järjestelmä Automatisoitavissa oleva systeemi, jonka sääntöjen mukaan aiemmista kaavoista kirjoitetaan uusia (käsittely syntaktisesti) Tavoitteena mahdollisimman hyvä kytkentä sääntöjen (syntaksi) ja loogisen seurauksen (semantiikka) välille Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 14 of 23

48 Gentzenin järjestelmä Konnektiivien introduktiosäännöt (I ) : (I ) : φ. ψ φ ψ φ ψ φ ψ (I ) : (I ) : φ. φ φ φ ψ ja ψ φ ψ (I ) : φ. ψ φ ψ ψ. φ φ tarkoittaa sitä, että säännön soveltamisen jälkeen φ merkitään poistetuksi Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 15 of 23

49 Gentzenin järjestelmä Konnektiivien eliminointisäännöt φ ψ (E ) : φ ψ φ φ ψ ψ (E ) : φ ψ. η η. η (E ) : φ φ ψ ψ (E ) : φ φ (E ) : φ φ ψ ψ ψ φ ψ φ (E ) : φ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 16 of 23

50 Gentzenin järjestelmä Reductio Ad Absurdum φ (RAA) :. φ Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 17 of 23

51 Gentzenin järjestelmä Kvanttorisäännöt (I ) : φ(x) ( x)φ(x) (I ) : φ(t) ( x)φ(x) φ (E ) : ( x)φ(x) φ(t) (E ) : ( x)φ(x) ψ. ψ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 18 of 23

52 Gentzenin järjestelmä Kvanttorisäännöt (I ) : φ(x) ( x)φ(x) (I ) : φ(t) ( x)φ(x) φ (E ) : ( x)φ(x) φ(t) (E ) : ( x)φ(x) ψ. ψ Kvanttorisääntöjen rajoitukset: (I ): x ei saa esiintyä vapaana missään (poistamattomassa) oletuksessa, josta φ(x) on johdettu. (E ): x ei saa olla vapaa ψ:ssä tai johdon φ... ψ muissa oletuksissa kuin φ:ssä. (E ) ja (I ): mikään vapaa muuttuja termissä t ei saa tulla sidotuksi, kun kaavaan φ(x) sijoitetaan x:n paikalle t (Tällöin sanotaan, että t on x-vapaa φ:n suhteen). Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 18 of 23

53 Gentzenin järjestelmä Kvanttorisääntöjen rajoitukset, esimerkkejä (I ): (x = c) ( x)(x = c). Väärin, koska x esiintyy vapaana poistamattomassa oletuksessa x = c. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 19 of 23

54 Gentzenin järjestelmä Kvanttorisääntöjen rajoitukset, esimerkkejä (I ): (x = c) ( x)(x = c). Väärin, koska x esiintyy vapaana poistamattomassa oletuksessa x = c. (I ): ( y)( y + y = 0) ( x)( y)(x + y = 0). Väärin, koska termissä t = y tulee y sidotuksi, jos kaavaan ( y)(x + y = 0) sijoitetaan x:n paikalle y. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 19 of 23

55 Gentzenin järjestelmä Yhtäsuuruussäännöt (YS1) : x = x (YS2) : x = y y = x (YS3) : x = y y = z x = z (YS5) : (YS4) : x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n f (x 1, x 2,..., x n ) = f (y 1, y 2,..., y n ) x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n R(x 1, x 2,..., x n ) R(y 1, y 2,..., y n ) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 20 of 23

56 Gentzenin järjestelmä Huomattava: Säännöillä voidaan johtaa vain premissien loogisia seurauksia Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 21 of 23

57 Gentzenin järjestelmä Huomattava: Säännöillä voidaan johtaa vain premissien loogisia seurauksia Esimerkki (I ) : φ ψ φ ψ Jokainen joukon {φ, ψ} malli on myös φ ψ:n malli, siis {φ, ψ} = φ ψ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 21 of 23

58 Gentzenin järjestelmä Huomattava: Säännöillä voidaan johtaa vain premissien loogisia seurauksia Esimerkki (I ) : φ ψ φ ψ Jokainen joukon {φ, ψ} malli on myös φ ψ:n malli, siis {φ, ψ} = φ ψ Esimerkki (E ) : φ φ ψ ψ Jos φ ja φ ψ ovat molemmat tosia, on välttämättä myös ψ tosi, siis {φ, φ ψ} = ψ Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 21 of 23

59 Gentzenin järjestelmä Johtaminen Jos Γ on joukko kaavoja, sanotaan, että kaava φ voidaan johtaa joukosta Γ luonnollisen deduktion järjestelmällä, mikäli φ voidaan saavuttaa Γ:n kaavoista tai vapaasti lisätyistä oletuksista deduktiosääntöjä käyttämällä siten että lopuksi kaikki Γ:n ulkopuoliset oletukset ovat poistettu. Tällöin merkitään Γ φ. Jos Γ =, merkitään myös φ. Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 22 of 23

60 Gentzenin järjestelmä Johtaminen Jos Γ on joukko kaavoja, sanotaan, että kaava φ voidaan johtaa joukosta Γ luonnollisen deduktion järjestelmällä, mikäli φ voidaan saavuttaa Γ:n kaavoista tai vapaasti lisätyistä oletuksista deduktiosääntöjä käyttämällä siten että lopuksi kaikki Γ:n ulkopuoliset oletukset ovat poistettu. Tällöin merkitään Γ φ. Jos Γ =, merkitään myös φ. Huomautus: Γ = φ määritellään semanttisesti, Γ φ syntaktisesti. Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 22 of 23

61 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 23 of 23

62 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ Mika Hirvensalo Luentoruudut 3 23 of 23

63 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ 38 {( x)(i (x) K(x)), I (s)} K(s) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 23 of 23

64 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ 38 {( x)(i (x) K(x)), I (s)} K(s) 39 ( x)( y)( z)(x = y x + z = y + z) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 23 of 23

65 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ 38 {( x)(i (x) K(x)), I (s)} K(s) 39 ( x)( y)( z)(x = y x + z = y + z) 40 Jos y ei esiinny kaavassa φ(x), ( x)φ(x) ( y)φ(y) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 23 of 23

66 Gentzenin järjestelmä Esimerkkejä 36 φ (ψ φ) 37 φ ψ ψ φ 38 {( x)(i (x) K(x)), I (s)} K(s) 39 ( x)( y)( z)(x = y x + z = y + z) 40 Jos y ei esiinny kaavassa φ(x), ( x)φ(x) ( y)φ(y) 41 Jos y ei esiinny kaavassa φ(x), ( x)φ(x) ( y)φ(y) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 23 of 23