Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2

Transkriptio

1 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Korte / Lindfors MS-A0207 Dierentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM), kevät 2017 Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12 Näitä tehtäviä lasketaan ja käsitellään harjoituksen aikana. Niitä ei siis tarvitse laskea ennen harjoitusta. Pisteiden saaminen edellyttää tehtävien ratkomista harjoituksissa. Muista myös Verkkotehtävät 2! A1 Yhtälö z = f(x, y) = /a 2 + y 2 /b 2 esittää elliptistä paraboloidia. Millaisia ovat a) pinnan leikkauskäyrät xz- ja yz-tasojen kanssa? b) pinnan korkeuskäyrät f(x, y) = c 2 = vakio > 0? Kirjoita korkeuskäyrien yhtälö "standardimuodossa" ja määritä siinä esiintyvien parametrien lausekkeet vakioiden a, b, c avulla lausuttuna. > with(plots): > implicitplot(x 2/4+y 2/9+z 2/16=1,x=-2..2,y=-3..3,z=-4..4) > plot3d(x 2/4+y 2/9),x=-2..2,y=-3..3, scaling=constrained) a) Koordinaatti tasojen yhtälöt ovat kaikki ne kahden kordinaattiakselin muodostamat pisteet, kun kolmas kordinaatti on 0. Täten xz-taso on y = 0 ja yz-taso on x = 0. Leikkauskäyrät xz-tason kanssa on täten z = f(x, 0) = x2 a b 2 = x2 a 2. Tämä on paraabeli. Leikkauskäyrät ovat siis paraabelejä. yz-tason leikkauskäyrät ovat z = f(0, y) = 02 b 2 = y2 b 2. Kuten edellä leikkauskäyrät ovat paraabelejä. b) Tutkitaan seuraavaa tasa-arvokäyrää. f(x, y) = c 2 b 2 = c 2 Tämä on ellipsin yhtälö. Se ei ole välttämättä ihan selvää, mutta muokataan se standarmimuotisen ellipsin yhtälöksi. Standardimuodossa ellipsin yhtälö on muotoa A 2 + y2 B 2 = 1

2 Nyt muokataan tasa-arvokäyrä tähän muotoon, ja ilmoitetaan vakiot A ja B vakioiden a,b,c avulla. b 2 = c 2 : c 2 a 2 c 2 + y2 b 2 c 2 = 1 ac 2 + y2 bc 2 = 1 Nyt vertaamalla yleistä muotoa saamaamme yhtälöön voimme todeta, että standardimuodossa tasa-arvo käyrä on muotoa missä A = ac ja B = bc. A2 Onko funktioilla A 2 + y2 B 2 = 1, f(x, y) = 5x2 y 2 2x 4 + 3y 4, g(x, y) = 2x2 xy 4 y 2 raja-arvo origossa (x, y) = (0, 0)? Vihje: Aloita tutkimalla funktiota (joillakin) suorilla y = ja muistele Di-int-1-kurssin raja-arvoja. Aloitetaan ottamalla käyrä y =. Kahden muuttujan funktioilla rajaarvoa voidaan lähestyä monelta suunnalta. Tästä syystä voimme valita, että tulemme käyrää y = pitkin. Täten voimme muuttaa raja-arvon x ja y suunnasta yhden muuttujan raja-arvoksi seuraavasti. f(x, y) f(x, ) (x,y) (0,0) Nyt laskemalla tämä raja-arvo saamme 5 () 2 f(x, ) 2x 4 + 3() 4 5k 2 x 4 2x 4 + 3k 4 x 4 5k 2 x 4 x 4 (2 + 3k 4 ) 5k k 4 = 5k k 4 Tutkimalla tulosta nähdään, että se on riippuvainen k:n arvosta. Näin ollen raja-arvo on riippuvainen, millä tavalla origoa lähestytään. Näin ollen sillä ei voi olla raja-arvoa, koska jos sillä olisi, niin sen pitäisi olla riippumaton reitistä. Eli f(x, y):llä ei ole raja-arvoa origossa.

3 Tutkitaan nyt funktiota g(x, y) samalla tavalla. g(x, y) g(x, ) (x,y) (0,0) 2 x() g(x, ) 4 () 2 2 k 4 k 2 (2 k) (2 k)(2 + k) k = k Kuten edellä, raja-arvo ei ole vakio. Näin ollen myös g(x, y):llä ei ole rajaarvoa origossa. A3 Olkoon f(x, y) = x2 y x 4, kun (x, y) (0, 0). + y2 a) Tutki funktion raja-arvoja origossa pitkin suoria y =, k R. b) Tutki a-kohdan tapaan raja-arvoja pitkin paraabeleja y = k. c) Onko funktiolla f raja-arvoa origossa? a) Kuten tehtävässä A2, Lasketaan raja-arvo samalla tavalla. f(x, y) f(x, ) (x,y) (0,0) f(x, ) () x 4 + () 2 + k 2 Tutkinta jakautuu kahteen tilanteeseen. () ( + k 2 ) Tilanne 1. k 0. Tällöin k 2 + > 0. Nyt voimme laskea raja-arvon + k 2 = k k 2 = 0 Tilanne 2. k = 0. Tällöin k x = 0 ja + k 2 =. Näin ollen raja-arvon lausekkeesta saadaan. + k = 0 Näin ollen siis kaikki lähestymiset muotoa y = tuottavat saman rajaarvon 0.

4 b) Nyt lähestymme käyrää y = k pitkin. f(x, y) f(x, (x,y) (0,0) 2 ) 2 ) = (k ) x 4 + (k ) 2 4 x 4 (1 + k 2 ) = k 1 + k 2 = k 1 + k 2 Kuten aikaisemmissa tehtävissä, niin raja-arvo on riippuvainen k.n arvoista. Näin ollen funktiolla ei ole raja-arvoa origossa. c) Funktiolla ei ole raja-arvoa origossa. Jos katsoo a)-kohdan vastausta, niin voisi kuvitella, että raja-arvo voisi olla 0. Kuitenkin b)-kohdasta nähtiin että paraabelejä pitkin origoon menevät käyrät eivät anna ykiselitteistä raja-arvoa. Tästä siis opimme, että tätä tekniikkaa ei niinkään voi käyttää näyttääkseen, että raja-arvo on olemassa. Sen sijaan tämä on erinomainen tapa todistaa, että raja-arvoa ei ole. A4 Olkoon z = f( + y 2 ) funktio, jossa f on mikä tahansa jatkuvasti derivoituva yhden muuttujan funktio. Näytä, että z toteuttaa osittaisdierentiaaliyhtälön y x x y = 0. Aloitetaan tehtävä merkitsemällä u(x, y) = +y 2. Näin ollen saamme z funktion muotoon z = f(u). Tämän jälkeen pitää selvittää mitä tarkoittaa x z.n derivaattaa x:n suhteen ja y ja y. Merkintä x tarkoittaa z:n derivaattaa y.n suhteen. Ongelmana on, että funktion argumenttina ei ole x vaan + y 2. Tässä voidaan käyttää niin kutsuttua ketjusääntöä. Ketjusääntö menee niin, että jos z on funktio u:sta ja u on funktio x:stä, silloin voimme kirjoittaa z:n derivaatan x:n suhteen Samoin y:n suhteen saamme x = u u x y = u u y Käytten tätä voimme ratkaista kyseiset derivaatat. x = u u x = f (u) 2x = 2xf (u) (1) y = u u y = f (u) 2y = 2yf (u). (2)

5 Koska f on jatkuvasti derivoituva, niin f'(u) on olemassa ja jatkuva. Sijoitetaan nämä haluttuun lauseeseen. y x x y = y(2xf (u)) x(2yf (u)) = 2xyf (u) 2xyf (u) = 0 (3) Näin ollen todistettava lauseke toteutuu.