Kompaktisuus ja filtterit

Transkriptio

1 Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L joss L on filtteriesikanta eli joss perhe { L : L L ja L on äärellinen} on filtterikanta (kyseistä perhettä kutsutaan filtteriesikannan L virittämäksi filtterikannaksi). Seuraava yksinkertainen havainto yhdistää filtteriesikannat kompaktisuuteen. Lemma 1 Joukon X epätyhjä osajoukkoperhe L on filtteriesikanta joss mikään perheen {X L : L L} äärellinen osaperhe ei ole X:n peite. Lause 2 Avaruus X on kompakti joss jokaisella X:n filtterikannalla on kasaantumispiste. Todistus. Välttämättömyys. Oletetaan, että X on kompakti. Olkoon L X:n filtterikanta. Tällöin myös perhe F = {L : L L} on filtterikanta. Tästä seuraa X:n kompaktisuuden ja Lemmman 1 nojalla, että avoin perhe {X F : F F} ei ole X:n peite. Täten on olemassa piste x X {X F : F F}; tällaiselle pisteelle pätee, että x F = {L : L L} ja x on siis L:n kasaantumispiste. Riittävyys. Oletamme, että jokaisella X:n filtterikannalla on kasaantumispiste ja osoitamme, että X on tällöin kompakti. Tehdään vastaväite: X:llä on avoin peite U, jolla ei ole äärellistä osapeitettä. Lemman 1 nojalla perhe F = {X U : U U} on filtteriesikanta; täten perhe ˆF = { F : F F ja F on äärellinen} on X:n filtterikanta ja oletuksen nojalla ˆF:llä on kasaantumispiste x. Koska ˆF on suljettu perhe, on voimassa x ˆF, mutta tämä on mahdotonta, koska ˆF = F = X U =.

2 Lause 3 Olkoon F sellainen avaruuden X filtterikanta, että jokainen perheen F joukko on kompakti ja suljettu. Tällöin F:n kasaantumispisteiden joukko K = F on kompakti ja epätyhjä ja jokaisella K:n ympäristöllä V on olemassa sellainen F F, että F V. Todistus. Olkoon F 0 perheen F joukko. Joukko K on suljettu ja K F 0, joten K on kompakti. Perhe F = {F F 0 : F F} on kompaktin avaruuden F 0 suljettu filtterikanta, ja sen kasaantumispisteiden joukko on F = F = K. Lauseen 2 nojalla on K. Olkoon V joukon K avoin ympäristö. Tällöin on voimassa = K V = F V = F V = {F V : F F }. Täten perheelle L = {F V : F F } on voimassa L =. Jos olisi voimassa L, niin L olisi F 0 :n suljettu filtterikanta. Koska L =, Lauseesta 2 seuraa, ettei L ole filtterikanta. Edellisen nojalla L, eli on olemassa sellainen F F, että (F F 0 ) V =. Edelleen on olemassa sellainen F F, että F F F 0. Nyt on voimassa F V. Lauseen 3 tulos pätee perheelle {L : L L}, missä L on kompaktin avaruuden filtterikanta. Tulos voitaisiin ilmaista sanomalla, että kompaktin avaruuden filtterikanta suppenee kohti kasaantumispisteidensä joukkoa. Lause 4 Kompaktin T 2 -avaruuden X jokainen kvasikomponentti on komponentti. Todistus. Teemme vastaväitteen: On olemassa sellainen x X, että Q(x, X) C(x, X). Tällöin joukko Q(x, X) on epäyhtenäinen, joten on voimassa Q(x,X) = F S, missä F,S c Q(x,X), F S = ja F S. On voimassa F,S c X, joten X:n normaalisuuden nojalla on olemassa sellaiset X:n avoimet joukot U ja V, että F U, S V ja U V =.

3 Perhe Q = {G X : G on reunaton ja x G} on filtterikanta ja sille pätee, että Q = Q(x,X). Koska on voimassa Q(x,X) = F S U V X, Lauseen 3 nojalla on olemassa sellainen G Q, että G U V. On voimassa x Q(x,X) eli x F S. Olkoon vaikkapa x F. Tällöin x U ja siis x G U. On voimassa G U X. Lisäksi pätee, että G U c X, koska G U = G V. Edellisen nojalla G U Q ja täten Q(x,X) G U. Tämä on ristiriita, sillä on voimassa S U = ja S Q(x,X). On ilmeistä, että topologisen avaruuden X piste x on X:n filtterikannan L kasaantumispiste joss x on filtterikannan L virittämän X:n filtterin kasaantumispiste. Täten Lauseen 2 tulos pysyy voimassa jos siinä filtterikanta korvataan filtterillä. Osoitamme seuraavaksi, että meidän ei tarvitse tarkastella edes kaikkia avaruuden filttereitä vaan ainoastaan eräitä hyvin erikoislaatuisia. Määritelmä Joukon E ultrafiltteri on E:n maksimaalinen filtteri eli sellainen E:n filtteri, joka ei sisälly aidosti mihinkään muuhun E:n filtteriin. Seuraavassa esitetään eräitä luonnehdintoja ultrafilttereille. Lause 5 Seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitävät joukon E filtteriesikannalle L: A. L on ultrafiltteri. B. Jokaisella A E on voimassa joko A L tai E A L. C. Jokaisella E:n äärellisellä peitteellä U on voimassa L U. Todistus. Koska selvästi C B, riittää näyttää, että A C ja B A. A C: Olkoon L E:n ultrafiltteri. Osoitetaan, että ehto C toteutuu. Tehdään vastaväite: joukolla E on sellainen äärellinen peite U, että U F =. Olkoon U U. Koska U ei kuulu maksimaaliseen filtteriin F, perhe

4 F {U} ei ole filtteriesikanta (muuten sen virittämä E:n filtteri sisältäisi F:n aidosti); täten on olemassa sellainen äärellinen perhe F U F, että U F U =. Nyt F:n äärellisellä osaperheellä F = U U F U on voimassa ( U) F = eli F = ja tämä on mahdotonta, koska F on filtteri. B A. Oletetaan, että ehto B toteutuu. Osoitetaan, että L on ultrafiltteri. Perhe L on filtterikanta, sillä jos L,T L, niin L T L, koska muuten olisi voimassa E (L T) L ja L:llä olisi äärellinen osaperhe L = {L,T,E (L T)}, jolla L =. Lisäksi L on filtteri, sillä jos L L ja L A E, niin on voimassa L (E A) = ja siten E A / L ja edelleen A L. Filtteri L on selvästi maksimaalinen: jokaisella A P(E) L on voimassa E A L, joten L {A} ei sisälly mihinkään filtteriin. Seuraavien huomioiden avulla voimme laajentaa filtteriesikantoja ultrafilttereiksi. Lemma 6 (a) Jos L P(E) on filtteriesikanta ja A E, niin ainakin toinen perheistä L {A} tai L {E A} on filtteriesikanta. (b) Jos α on ordinaali ja (L β ) β<α on nouseva jono filtteriesikantoja (eli L β L γ kun β < γ < α), niin perhe L = β<α L β on filtteriesikanta. Todistus. (a) Jos kumpikaan ei ole, löydämme sellaiset äärelliset perheet K, N L, että K A = ja N A =, mutta tällöin (K N) =, mikä on mahdotonta. (b) Muussa tapauksessa löydämme sellaisen äärellisen L L, että L = ; koska äärellinen perhe L sisältyy nousevan jonon (L β ) β<α yhdisteeseen, on olemassa sellainen β < α, että L L β, mutta tämä on mahdotonta, koska L β on filtteriesikanta.

5 Ultrafiltterilause: (A. Tarski) Jokainen joukon E filtteriesikanta sisältyy johonkin E:n ultrafiltteriin. Todistus. Olkoon L joukon E filtteriesikanta. Esitetään perhe P(E) muodossa {A α : 0 < α < λ}, missä λ on ordinaali. Asetetaan L 0 = L ja määritellään rekursiivisesti E:n filtteriesikannat L α, α < λ, asettamalla L α = ( β<α L β) {B}, missä B = Aα, mikäli syntyvä perhe on filtteriesikanta ja muussa tapauksessa B = E A α. Lemmaa 6 käyttämällä näemme helposti, että L α on filtteriesikanta jokaisella α < λ ja myös, että perhe F = α<λ L α on filtteriesikanta. Rekursiivisesta konstruktiostamme seuraa, että jokaisella A E on voimassa joko A F tai E A F ja tästä seuraa Lauseen 5 nojalla, että F on ultrafiltteri. Lisäksi L = L 0 F. Tarkastellaan nyt ultrafiltterien suppenemista. Lemma 7 Olkoon D joukko, X avaruus, φ : D X ja F D:n ultrafiltteri. Tällöin X:n filtterikanta φ(f) = {φ(a) : A F} suppenee kohti jokaista kasaantumispistettään. Todistus. Olkoon p φ(f):n kasaantumispiste. Osoitetaan, että φ(f) p. Olkoon U p:n ympäristö. Joukko φ 1 (X U) ei kuuluu filtteriin F, koska on voimassa p / X U ja φ ( φ 1 (X U) ) X U. Koska F on ultrafiltteri, Lauseen 3 nojalla on voimassa φ 1 (U) = D φ 1 (X U) F; täten φ ( φ 1 (U) ) φ(f). Lisäksi φ ( φ 1 (U) ) U. Seuraus Avaruuden ultrafiltteri suppenee kohti jokaista kasaantumispistettään. Lause 8 Avaruus on kompakti joss jokainen avaruuden ultrafiltteri suppenee.

6 Todistus. Välttämättömyys seuraa Lauseesta 4 ja Lemman 7 korollaarista. Riittävyys. Oletetaan, että jokainen avaruuden X ultrafiltteri suppenee. Osoitetaan Lauseen 2 avulla, että X on kompakti. Olkoon L X:n filtteri. Ultrafiltterilauseen nojalla on olemassa sellainen X:n ultrafiltteri F, että L F. Oletuksen nojalla on olemassa sellainen x X, että F x. Nyt on voimassa x {H : H F} {H : H L} ja täten x on L:n kasaantumispiste. Todistamme nyt Lauseen 8 avulla yleisen topologian kenties tärkeimmän tuloksen. Tihonovin lause: Kompaktien avaruuksien muodostama tuloavaruus on kompakti. Todistus. Olkoon X i kompakti avaruus jokaisella i I ja X = i I X i. Osoitetaan Lauseen 8 avulla, että X on kompakti. Olkoon F avaruuden X ultrafiltteri. Jokaisella i I, perhe p i (F) = {p i (H) : H F} on avaruuden X i filtteri, joten sillä on Lauseen 2 nojalla kasaantumispiste x i. Osoitetaan, että x = (x i ) i I on F:n kasaantumispiste avaruudessa X. Tehdään vastaväite: on olemassa sellainen joukko H F, että x / H. Tällöin on olemassa sellainen äärellinen J I ja jokaisella j J sellainen V j η xj (X j ), että on voimassa H j J p 1 j (V j ) =. Koska F on filtteri, on olemassa sellainen k J, että p 1 k (V k) / F ja koska F on ultrafiltteri, on voimassa X p 1 k (V k) F; tämä on kuitenkin mahdotonta, koska p k (X p 1 k (V k)) = X k V k, eikä filtterin p k (F) kasaantumispiste x k kuulu joukon X k V k sulkeumaan. Edellisen nojalla x on F:n kasaantumispiste. Lemman 7 nojalla on voimassa F x. Seuraus I A on kompakti jokaisella joukolla A.

7 Seuraus * (Banach-Alaoglun lause) Banachin avaruuden X duaalin X yksikkökuula B = {φ X : φ 1} on kompakti heikko- -topologiassaan. Todistus. Olemme aikaisemmin todenneet, että X :n heikko- -topologia on sama kuin X :n relatiivitopologia tuloavaruudessa R X. Jos φ B, niin φ(x) φ x x jokaisella x X; täten B sisältyy R X :n aliavaruuteen K = [ ] x X x, x. Tihonovin lauseen nojalla avaruus K on kompakti. Täten B :n kompaktisuus seuraa, kun osoitetaan, että B on suljettu K:ssa. Merkitään S x,y = {f R X : f(x+y) = f(x) + f(y)} kaikilla x,y X. Joukot S x,y ovat suljettuja: jos f R X S x,y ja jos merkitsemme ǫ = 1 4 f(x + y) f(x) f(y), niin f:n ympäristö { g R X : g(z) f(z) < ǫ jokaisella z {x,y,x + y} } ei leikkaa joukkoa S x,y. Vastaavasti, kaikilla x X ja α R, joukko T α,x = {f R X : f(αx) = αf(x)} on suljettu. Tästä seuraa, että kaikkien lineaarifunktioiden joukko L = {S x,y T α,z : x,y,z X ja α R} on suljettu R X :ssä. Koska B = L K, joukko B on suljettu kompaktissa avaruudessa K. Esittelemme lopuksi erään mielenkiintoisen luokan ultrafiltterien avulla määriteltäviä kompakteja avaruuksia. Esimerkki * Olkoon D joukko. Merkitsemme βd:llä kaikkien joukon D ultrafilttereiden muodostamaa joukkoa. Jokaisella A D merkitsemme  = {F βd : A F}. Perhe B = { : A D} on joukon βd erään topologian kanta, sillä on voimassa B = βd (koska F jokaisella F βd) ja lisäksi kaikilla Â, B B on voimassa  B =  B B. Merkitsemme kyseistä topologiaa τ:lla ja teemme βd:stä topologisen avaruuden varustamalle sen topologialla τ.

8 Avaruuden βd kannan B joukot ovat reunattomia, sillä jokaisella  B on Lauseen 5 nojalla voimassa βd  = D A B. Täten βd on nollaulotteinen avaruus; tästä seuraa, koska βd on selvästi T 0 -avaruus, että βd on Hausdorffin avaruus. Osoitamme, että βd on kompakti. Olkoon G βd:n avoin peite. Tällöin perhe B = {B B : B G jollain G G} on βd:n peite. Merkitään A = {A D :  B }. Perhe A on joukon D peite, sillä jokaisella x D, kiintofiltteri K x = {A D : x D} on D:n ultrafiltteri eli K x βd ja jos K x  B, niin x A A. Osoitamme, että D:n peitteellä A on äärellinen osapeite. Teemme vastaväitteen: A:lla ei ole äärellistä osapeitettä. Lemman 1 nojalla perhe L = {D A : A A} on D:n filtteriesikanta. Ultrafiltterilauseen nojalla on olemassa sellainen D:n ultrafiltteri F, että L F. Koska F βd = B, on olemassa sellainen A A, että F Â. Nyt A F ja toisaalta D A L F, mikä on mahdotonta. On siis olemassa äärellinen A A, joka on D:n peite. Lauseen 5 nojalla on voimassa A A  = βd eli perhe B = { : a A } on βd:n peite. Valitaan jokaisella B B sellainen joukko G B G, että B G B. Tällöin {G B : B B } on βd:n peitteen G äärellinen osapeite. Merkitään jokaisella x D kiintofiltteriä K x symbolilla x ja pannaan merkille, että x on avaruuden βd erakkopiste, sillä {x} = { x}. Merkitään edelleen D = { x : x D}. Jos tulkitsemme D:n diskreetiksi avaruudeksi, niin avaruus βd voidaan tulkita D:n kompaktisoinniksi upotuksen x x välityksellä. Diskreetin avaruuden D kopio D on tiheä βd:ssä, sillä jos  B ja Â, niin A ja x  jokaisella x A. Osoitetaan, että avaruudella βd on seuraava merkittävä ominaisuus: jokainen kuvaus f : D K, missä K on kompakti Hausdorffin avaruus, voidaan jatkaa jatkuvaksi kuvaukseksi βf : βd K. Olkoon siis K

9 kompakti Hausdorffin avaruus ja f kuvaus D K. Määritellään ensin kuvaus f : D K kaavalla f(x) = f( x) ja määritellään sitten kuvaus βf : βd K seuraavasti. Olkoon F βd. Kompaktin avaruuden K filtterikannalla f(f) = { f(a) : A F} on Lauseen 4 ja Lemman 7 nojalla rajapiste p; koska K on Hausdorffin avaruus, rajapiste p on yksikäsitteinen ja voimme merkitä βf(f) = p. Kuvaus βf määräytyy siis ehdosta f(f) βf(f). Kuvaus βf on kuvauksen f jatke, sillä jokaisella x D on voimassa {f( x)} = f{x} f( x) ja täten βf( x) = f( x). Näytetään, että βf on jatkuva. Olkoon G K ja F (βf) 1 (G). Tällöin βf(f) G ja avaruuden K säännöllisyyden nojalla on olemassa sellainen G K, että βf(f) G ja G G. Koska f(f) βf(f), on olemassa sellainen A F, että f(a) G. Nyt f(a) G G ja tästä seuraa, että pisteen F ympäristö Â sisältyy joukkoon (βf) 1 (G): jokaisella H Â on voimassa f(a) f(h) ja tästä seuraa, että filtterikannan f(h) rajapisteelle βf(h) on voimassa βf(h) f(a) G. Edellä esitetyn nojalla on voimassa (βf) 1 (G) βd. Jos edellä joukko D on äärellinen, niin kaikki D:n ultrafiltterit ovat kiintofilttereitä, joten βd = D D. Sensijaan jo numeroituvasti äärettömän joukon N määräämä avaruus βn on hyvin monimutkainen ja mielenkiintoinen. Avaruus βn on separoituva ja kompakti Hausdorffin avaruus ja sillä on seuraava universaalisuusominaisuus tällaisten avaruuksien luokassa: jokainen separoituva kompakti Hausdorffin avaruus voidaan esittää avaruuden βn jatkuvana kuvana. Tämä seuraa edellä esitetystä, sillä jos M on kompaktin Hausdorff-avaruuden K numeroituva ja tiheä osajoukko, niin on olemassa surjektio f : Ñ M ja kuvauksen f jatke βf on jatkuva surjektio βn K.