Joukot metrisissä avaruuksissa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Joukot metrisissä avaruuksissa"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013

2 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet Tarvittavia määritelmiä Diskreetti ja euklidinen avaruus Avoimet joukot metrisessä avaruudessa Avoin ja suljettu pallo Avoimien joukkojen havainnointia Sisäpiste ja sisäpisteistö Suljetut joukot metrisessä avaruudessa Kasautumispiste Joukon sulkeuma Rajoitettu joukko Yhtenäinen metrinen avaruus Aliavaruuksista 23 Viitteet 28

3 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LAHTINEN, SAARA: Joukot metrisissä avaruuksissa Pro gradu -tutkielma, 28 s. Matematiikka Elokuu 2013 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa esitetään metrisen avaruuden käsite ja tutkitaan erilaisten joukkojen ominaisuuksia metrisissä avaruuksissa. Metriset avaruudet ovat joukkoja, joissa voidaan mitata pisteiden välisiä etäisyyksiä. Aluksi määritellään avoin pallo, jota käytetään tutkielmassa esiintyvien muiden käsitteiden, kuten sisäpiste ja kasautumispiste, määrittelyssä. Tutkielma painottuu suljettuihin joukkoihin metrisissä avaruuksissa. Lukijalta edellytetään joukon infimumin ja supremumin käsitteiden tuntemusta, sillä nämä ovat keskeisessä osassa rajoitettujen joukkojen havainnoillistamisessa. Lopuksi tutkitaan metrisen aliavaruuden avoimien ja suljettujen joukkojen suhdetta metrisen avaruuden avoimiin ja suljettuihin joukkoihin. Tutkielman päälähteenä käytetään Satish Shiralin ja Harkrishan L. Vasudevan teosta Metric Spaces.

4 1 Johdanto Tämä tutkielma käsittelee metrisen avaruuden ominaisuuksia ja erityisesti joukkoja metrisissä avaruuksissa. Luvussa 2 tarkastellaan metrisen avaruuden perusmääritelmien lisäksi myös diskreettiä ja euklidista avaruutta. Luvussa 3 havainnoidaan avoimien joukkojen ominaisuuksia metrisessä avaruudessa. Topologian peruskäsitteiden, kuten sisäpiste ja kasautumispiste, määrittely on joukkojen tutkimisen kannalta tärkeässä asemassa. Tutkielma painottuu lukuun 4, jossa esitetään suljettuihin joukkoihin liittyviä käsitteitä ja lauseita. Lopuksi luvussa 5 määritellään aliavaruus, ja tarkastellaan avoimiin ja suljettuihin osajoukkoihin liittyviä lauseita. Lukijalta edellytetään joidenkin joukko-opin perusasioiden tuntemista. Lukijan olisi hyvä tietää yhdisteen ja leikkauksen käsitteet sekä osajoukon tarkka määritelmä. Myös analyysin perusasioiden, kuten kolmioepäyhtälön, supremumin ja infimumin olisi hyvä olla lukijalle tuttuja. Tutkielman lähdemateriaalina on käytetty pääasiassa Satish Shiralin ja Harkrishan L. Vasudevan teosta Metric Spaces. Täydentävinä lähdemateriaaleina on käytetty Wilson A. Sutherlandin teosta Introduction to Metric and Topological Spaces, Brian S. Thomsonin, Judith B. Brucknerin ja Andrew M. Brucknerin teosta Elementary Real Analysis sekä Seymour Lipschutzin teosta Theory and Problems of General Topology. 2 Metriset avaruudet Luvussa 2 esitetään jatkon kannalta oleellisia määritelmiä. Tutkielmassa luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan joukkoa {1, 2,...} ja merkitään symbolilla N. Tutkielman alussa esitetään diskreetti ja euklidinen avaruus havainnollistamaan metrisen avaruuden ominaisuuksia. Tunnetuimpia euklidisia avaruuksia ovat reaalilukujen joukko R ja taso R 2. Lähteinä käytetään teoksia [1, s. 121], [2, s. 38], [3, s ] ja [4, s ]. 1

5 2.1 Tarvittavia määritelmiä Tässä kappaleessa esitetään metriikan, metrisen avaruuden ja raja-arvon määritelmät. Lisäksi tarkastellaan metriikan ominaisuuksia esimerkin avulla. Määritelmä 2.1. Olkoon X epätyhjä joukko. Kuvausta d : X X R kutsutaan metriikaksi, jos se toteuttaa seuraavat ehdot kaikilla x, y, z X: (i) d(x, x) = 0, (ii) d(x, y) > 0, jos x y, (iii) d(x, y) = d(y, x), (iv) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Jatkossa metriikkaa merkitään myös lyhyemmin kirjaimella d. Määritelmä 2.2. Metrinen avaruus on järjestetty pari (X, d), jossa X on epätyhjä joukko ja d on joukon X metriikka. Metristä avaruutta (X, d) merkitään jatkossa myös metrisen avaruuden joukolla X, jos metriikka d on kerrottu tai muuten ilmeinen. Esimerkki 2.1. Olkoon d epätyhjän joukon X metriikka. Osoitetaan, että kuvaus e(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y), missä x, y X, on myös joukon X metriikka. Kuvaus e toteuttaa metriikan määritelmän ehdot (i)-(iii), sillä d on joukon X metriikka. Kuvauksen e tulisi siis toteuttaa vielä kolmioepäyhtälö (iv), jotta se olisi joukon X metriikka. Olkoot x, y, z X. Nyt ja Nähdään, että d(x, y) 1 + d(x, y) + d(y, z) d(y, z) 1 + d(x, y) + d(y, z) d(x, y) 1 + d(x, y) d(y, z) 1 + d(y, z) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), = e(x, y) = e(y, z). 2

6 sillä d on joukon X metriikka. Saadaan, että d(x, z) e(x, z) = 1 + d(x, z) d(x, y) + d(y, z) 1 + d(x, y) + d(y, z) d(x, y) = 1 + d(x, y) + d(y, z) + d(y, z) 1 + d(x, y) + d(y, z) e(x, y) + e(y, z). Täten e on joukon X metriikka. Määritelmä 2.3. Olkoon {x n } jono joukossa X metrisessä avaruudessa (X, d). Piste x X on jonon {x n } raja-arvo, jos kaikilla ɛ > 0 on olemassa n 0 N siten, että d(x n, x) < ɛ, kun n n 0. Jos x toteuttaa nämä ehdot, niin jono {x n } suppenee pistettä x kohti. Tätä suppenemista merkitään x n x. 2.2 Diskreetti ja euklidinen avaruus Metriset avaruudet ovat siis joukkoja, joissa voidaan mitata pisteiden välisiä etäisyyksiä. Seuraavissa esimerkeissä tutkitaan metriikan määritelmän ehtojen toteutumista erilaisissa kuvauksissa. Esimerkki 2.2. Olkoon X epätyhjä joukko. Määritellään kuvaus d : X X R asettamalla 1, kun x y, (2.1) d(x, y) = 0, kun x = y. Osoitetaan, että d on metriikka joukossa X. Ehdot (i)-(iii) seuraavat suoraan kuvauksen d määrittelevästä ehdosta (2.1). Olkoot x, y, z X. Jos x = z, niin d(x, z) = 0 ja kolmioepäyhtälö (iv) toteutuu. Jos taas x z, niin joko x y tai y z, jolloin kolmioepäyhtälön (iv) oikea puoli on vähintään yksi. Kuvausta d kutsutaan diskreetiksi metriikaksi. Järjestettyä paria (X, d) kutsutaan diskreetiksi avaruudeksi. 3

7 Esimerkki 2.3. Olkoon X = R n, missä n N ja olkoon i = 1,..., n. Metriikkaa d 2 (x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2 = n (x i y i ) 2, i=1 missä x = (x 1, x 2,..., x n ) R n ja y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, kutsutaan euklidiseksi metriikaksi. Merkintää d 2 käytetään myös tutkielmassa myöhemmin kuvaamaan euklidista metriikkaa. Osoitetaan, että pari (R n, d 2 ) on metrinen avaruus. Joukko R n on epätyhjä, joten riittää osoittaa, että d 2 on joukon R n metriikka. Nyt d 2 (x, x) = n (x i x i ) 2 = 0, i=1 joten ehto (i) toteutuu. Jos x y, niin d 2 (x, y) = n (x i y i ) 2 > 0, i=1 sillä positiivisten lukujen summan neliöjuuri on positiivinen. Selvästi myös d 2 (x, y) = d 2 (y, x) pätee. Ehtojen (ii) ja (iii) toteuduttua tutkitaan vielä ehtoa (iv). Olkoon z = (z 1, z 2,..., z n ) R n ja merkitään x i y i y i z i = s i. Ehdon (iv) toteutumiseksi tulisi epäyhtälön n (r i + s i ) 2 n ri 2 + n s 2 i i=1 i=1 i=1 päteä. Korotetaan epäyhtälö puolittain neliöön, jolloin saadaan n n n n n ri 2 + s 2 i + 2 r i s i ri 2 + s 2 i + 2 n r 2 n i s 2 i. i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Jäljelle jäävää epäyhtälöä n r i s i n ri 2 n s 2 i i=1 i=1 i=1 = r i ja kutsutaan Cauchy-Schwarzin epäyhtälöksi, jonka todistus löytyy teoksesta [2, s. 25]. Näin ollen d 2 on joukon R n metriikka ja paria (R n, d 2 ) kutsutaan euklidiseksi avaruudeksi. 4

8 Esimerkki 2.4. Reaalilukujoukon R yleinen metriikka on d 2 = x y, jossa x, y R. Nyt (R, d 2 ) on euklidinen avaruus. Toinen tunnettu euklidinen avaruus on taso R 2, jossa metriikkana on d 2 = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2, kun (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) R 2. 3 Avoimet joukot metrisessä avaruudessa Tässä luvussa keskitytään avoimia joukkoja koskeviin määritelmiin ja lauseisiin. Avoimien joukkojen tutkimisessa tarvitaan avoimen pallon määritelmää, jota käytetään muun muassa tulevissa todistuksissa. Lähteinä on käytetty teoksia [2, s ] ja [3, s. 51]. 3.1 Avoin ja suljettu pallo Avoimen ja suljetun pallon määritelmät ovat joukkojen tutkimisen kannalta tärkeässä asemassa. Tässä pykälässä määritellään myös pisteen ympäristö metrisessä avaruudessa. Määritelmä 3.1. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Tällöin joukkoa B r (x 0 ) = { x X : d(x, x 0 ) < r }, jossa keskipisteenä on x 0 X ja säteenä on 0 < r R, kutsutaan avoimeksi palloksi. Joukkoa, jossa keskipisteenä on x 0 X, säteenä on 0 < r R ja Br (x 0 ) = { x X : d(x, x 0 ) r }, kutsutaan suljetuksi palloksi. Määritelmä 3.2. Olkoon U metrisen avaruuden (X, d) osajoukko. Joukko U on avoin, mikäli jokaista pistettä x U kohti on olemassa r > 0 siten, että B r (x) U. Toisin sanottuna joukko U on avoin, jos jokainen sen piste x on keskipiste avoimelle pallolle, joka sisältyy joukkoon U. Lause 3.1. Metrisen avaruuden (X, d) jokainen avoin pallo on avoin joukko. 5

9 Todistus (vrt. [2, s. 66]). Olkoon B r (x) avoin pallo. Nyt B r (x) on epätyhjä, sillä x B r (x). Olkoon y B r (x) siten, että d(y, x) < r. Merkitään r = r d(y, x) > 0. Osoitetaan, että B r (y) B r (x). Nyt olkoon z B r (y). Tästä seuraa, että d(z, x) d(z, y) + d(y, x) < r + d(y, x) = r, joten z B r (x). Näin ollen jokaiselle pisteelle y B r (x) on olemassa avoin pallo B r (y) B r (x). Täten on todistettu, että B r (x) on metrisen avaruuden (X, d) avoin osajoukko. Esimerkki 3.1. Tarkastellaan erilaisia avoimia joukkoja. (i) Jos X = R, niin B r (x 0 ) on avoin väli (x 0 r, x 0 + r). (ii) Jos X = R 3 ja d = d 2 on euklidinen metriikka, niin B r (x 0 ) on x 0 -keskinen ja r-säteinen avoin pallo. Määritelmä 3.3. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Pisteen x 0 X ympäristö on mielivaltainen x 0 -keskinen metriseen avaruuteen (X, d) kuuluva avoin pallo. 3.2 Avoimien joukkojen havainnointia Tässä pykälässä esitetään avoimien joukkojen yhdisteitä ja leikkauksia metrisessä avaruudessa koskevia lauseita. Lause 3.2. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Nyt (i) joukot ja X ovat avoimia, (ii) avoimien joukkojen kaikki yhdisteet ovat avoimia, (iii) avoimien joukkojen äärelliset leikkaukset ovat avoimia. Todistus (vrt. [2, s. 67]). (i) Tyhjä joukko ei sisällä yhtään pistettä. Avoimen joukon ehtona on, että jokainen joukon piste on keskipisteenä avoimelle pallolle, joten ehto pätee automaattisesti. Koko avaruus X on avoin, 6

10 sillä jokaisen avoimen pallon, jonka keskipiste kuuluu joukkoon X, pisteet kuuluvat joukkoon X. (ii) Olkoon I mielivaltainen indeksijoukko. Nyt olkoon { G i : i I } mielivaltainen avoimien joukkojen joukkoperhe ja H = i I G i. Jos joukko H on tyhjä, niin se on avoin kohdan (i) nojalla. Oletetaan siis, että joukko H on epätyhjä ja sisältää alkion x H. Tällöin x G i jollakin i I. Koska G i on avoin, on olemassa r > 0 siten, että B r (x) G i H. Täten jokaisella alkiolle x H on olemassa r > 0 siten, että B r (x) H. Tästä seuraa, että avoimien joukkojen yhdiste on avoin. (iii) Olkoon { G j : j = 1, 2,..., n } äärellinen avoimien joukkojen joukkoperhe ja n G = G j. j=1 Jos joukko G on tyhjä, niin se on avoin kohdan (i) nojalla. Oletetaan, että G on epätyhjä ja sisältää alkion x G. Nyt x G k kaikilla k = 1,..., n. Koska G k on avoin, niin on olemassa r k > 0 siten, että B rk (x) G k kaikilla k = 1,..., n. Olkoon r = min{r 1, r 2,..., r n }. Tällöin r > 0 ja B r (x) B rk (x), kun k = 1,..., n. Nyt siis n B r (x) B rk G, k=1 joten avoimien joukkojen äärellinen leikkaus on avoin. Lause 3.3. Metrisen avaruuden (X, d) osajoukko G on avoin jos ja vain jos se on avoimien pallojen yhdiste. Todistus (vrt. [2, s. 68]). Lauseen 3.2 nojalla avoimien joukkojen yhdiste on avoin. Osoitetaan siis, että jos joukko on avoin, niin se on avoimien pallojen yhdiste. Oletetaan, että G on avoin joukko. Jos G =, niin se on avoin 7

11 lauseen 3.2 nojalla. Tyhjien joukkojen yhdiste on tyhjä joukko, ja täten myös avoin. Oletetaan siis, että G on epätyhjä joukko ja olkoon x G. Tällöin on olemassa r x > 0 siten, että B rx (x) G. Täten G = B rx (x), x G sillä jokainen avoimen joukon G piste kuuluu avoimeen palloon, joka sisältyy kokonaan joukkoon G. 3.3 Sisäpiste ja sisäpisteistö Monet metrisiin avaruuksiin liittyvät käsitteet voidaan määritellä pelkästään avoimien pallojen avulla. Näitä ovat muun muassa sisäpiste ja sisäpisteistö. Tässä kappaleessa todistetaankin, että avoin joukko koostuu pelkistä sisäpisteistä. Määritelmä 3.4. Olkoon U metrisen avaruuden (X, d) osajoukko. Piste u X on joukon U sisäpiste, jos u B r (u) U jollakin r > 0. Joukkoa U o sanotaan joukon U sisäpisteistöksi, jos se sisältää täsmälleen joukon U sisäpisteet. Esimerkki 3.2. Joitakin esimerkkejä sisäpisteistä. (i) Olkoon X = R 2 ja d = d 2 on euklidinen metriikka. Tällöin joukko B r (x 0 ) sisältää x 0 -keskisen ja r-säteisen ympyrän sisäpisteet. (ii) Olkoon X = R 2 ja d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2. Tällöin B r (x 0 ) on sisäpisteiden joukko sellaisesta x 0 -keskisestä neliöstä, jonka 2r-pituiset lävistäjät ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset. Lause 3.4. Olkoon U metrisen avaruuden (X, d) osajoukko. Nyt (i) sisäpisteistö U o on joukon U avoin osajoukko, joka sisältää kaikki joukon U avoimet osajoukot, (ii) joukko U on avoin jos ja vain jos U = U o. Todistus (vrt. [2, s. 69]). (i) Jos U o =, niin väite pätee. Olkoon U o ja x U o mielivaltainen piste. Tällöin on olemassa avoin pallo B r (x) U 8

12 jollakin r > 0. Koska B r (x) on avoin joukko, niin jokainen tämän joukon piste on keskipisteenä avoimelle pallolle. Nämä avoimet pallot kuuluvat joukkoon B r (x) ja siten myös joukkoon U. Täten jokainen joukon B r (x) piste on joukon U sisäpiste eli B r (x) U o. Koska x U o valittiin mielivaltaisesti, niin jokainen piste x U o on keskipiste avoimelle pallolle B r (x) U o jollakin r > 0. Täten U o on avoin joukko. Osoitetaan vielä, että sisäpisteistö U o sisältää kaikki avoimet osajoukot G U. Olkoon x G. Koska G on avoin joukko, niin on olemassa avoin pallo B r (x) G U, jollakin r > 0. Tällöin x U o. Täten jos x G, niin x U o eli G U o. (ii) Kohdassa (i) on todistettu, että joukon U sisäpisteistö U o on avoin ja sisältää joukon U kaikki avoimet osajoukot. Jos joukko U on avoin, niin se sisältää vain sisäpisteensä, eli U = U o. Jos taas U = U o, niin U sisältää vain sisäpisteensä eli U on avoin joukko. Lause 3.5. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Olkoot A ja B joukon X osajoukkoja. Tällöin (i) A B A o B o, (ii) A o B o = (A B) o, (iii) A o B o (A B) o. Todistus (vrt. [2, s. 69]). (i) Olkoon x joukon A o mielivaltainen piste. Määritelmän 3.4 nojalla on olemassa r > 0 siten, että B r (x) A. Jos A B, niin B r (x) B eli x B o. (ii) Leikkauksen määritelmän nojalla tiedetään, että A B A ja A B B. Kohdan (i) perusteella voidaan nyt todeta, että (A B) o A o kuin myös (A B) o B o. 9

13 Täten (A B) o A o B o. Toisaalta, olkoon x A o B o eli x A o ja x B o. On siis olemassa r 1 > 0 ja r 2 > 0 siten, että B r1 (x) A ja B r2 (x) B. Jos merkitään r = min{r 1, r 2 }, niin r > 0 ja B r (x) A B. Nyt siis x (A B) o, joten A o B o (A B) o. Täten väite A o B o = (A B) o on tosi. (iii) Yhdisteen määritelmän nojalla tiedetään, että A A B ja B A B. Kohdan (i) perusteella voidaan nyt todeta, että A o B o (A B) o. Esimerkki 3.3. Osoitetaan, että joukon [0, 1] R sisäpisteistö on joukko (0, 1). Olkoon x (0, 1). Avoin väli (0, 1) on avoin joukko, joten on olemassa r > 0 siten, että (x r, x + r) [0, 1]. Nyt siis x on joukon [0, 1] sisäpiste. Tutkitaan vielä joukon [0, 1] päätepisteet. Piste 0 ei ole joukon [0, 1] sisäpiste, sillä ei ole olemassa sellaista r > 0, joka toteuttaisi ehdon ( r, r) [0, 1]. Myös piste 1 ei kuulu joukon [0, 1] sisäpisteistöön, sillä ei ole olemassa sellaista r > 0, joka toteuttaisi ehdon (1 r, 1 + r) [0, 1]. 4 Suljetut joukot metrisessä avaruudessa Jotta metrisiä avaruuksia pystyttäisiin tutkimaan paremmin, tarvitaan suljettuihin joukkoihin liittyviä määritelmiä. Tässä kappaleessa määritellään muun muassa joukon kasautumispiste ja sulkeuma. Sulkeuman käsitettä tarvitaan yhtenäisten joukkojen tutkimiseen. Tässä luvussa lähteenä käytetään teosta [2, s , s ]. 4.1 Kasautumispiste Joukon F kasautumispisteellä metrisessä avaruudessa (X, d) tarkoitetaan pistettä, jonka jokainen ympäristö sisältää joukkoon F kuuluvan kasautumispisteestä eriävän pisteen. Kasautumispisteen ei siis tarvitse välttämättä kuulua joukkoon F. Määritelmä 4.1. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja F X. Piste x X on joukon F kasautumispiste, jos jokainen x-keskinen avoin pallo sisältää vä- 10

14 hintään yhden pisteen y F siten, että x y. Joukon F kasautumispisteiden joukkoa merkitään F. Määritelmä 4.2. Joukko F metrisessä avaruudessa (X, d) on suljettu, jos se sisältää kaikki kasautumispisteensä. Lause 4.1. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Nyt tyhjä joukko ja koko joukko X ovat suljettuja joukkoja. Todistus (vrt. [2, s. 73]). Tyhjällä joukolla ei ole kasautumispisteitä. Suljettu joukko sisältää kaikki kasautumispisteensä, ja täten tyhjä joukko on suljettu. Koska koko joukko X sisältää kaikki pisteet, niin se sisältää myös kaikki kasautumispisteensä ja on täten suljettu joukko. Lause 4.2. Joukko F metrisessä avaruudessa (X, d) on suljettu jos ja vain jos sen komplementti X\F on avoin. Todistus (vrt. [2, s. 74]). Oletetaan, että metrisen avaruuden (X, d) joukko F on suljettu. Jos F =, niin X\F = X on avoin lauseen 3.2 nojalla. Samoin, jos F = X, niin X\X = on avoin. Oletetaan siis, että F ja X\F, ja olkoon x X\F. Koska F on suljettu ja x / F, niin x ei voi olla joukon F kasautumispiste. On siis olemassa r > 0 siten, että B r (x) X\F. Täten jokainen joukon X\F piste sisältyy avoimeen palloon, joka sisältyy joukkoon X\F. Tästä seuraa, että joukko X\F on avoin. Oletetaan nyt, että X\F on avoin joukko. Osoitetaan, että F on suljettu joukko eli sisältää kaikki kasautumispisteensä. Olkoon x X joukon F kasautumispiste. Tehdään vastaväite, että x / F eli x X\F ja täten F olisi avoin joukko. On siis olemassa r > 0 siten, että B r (x) X\F eli B r (x) F =. Nyt x ei voi olla joukon F kasautumispiste, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Täten alkuperäinen väite pätee eli x F. Joukko F sisältää siis kaikki kasautumispisteensä ja on siten suljettu. Täten on osoitettu, että metrisen avaruuden osajoukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin. 11

15 Lause 4.3. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja F X. Jos x 0 on joukon F kasautumispiste, niin jokainen avoin pallo B r (x 0 ), jossa r > 0, sisältää äärettömän määrän joukon F pisteitä. Todistus (vrt. [2, s. 70]). Tehdään vastaväite, että avoin pallo B r (x 0 ) sisältää vain äärellisen määrän joukon F pisteitä. Olkoot y i x 0, missä i = 1,..., n, joukkojen B r (x 0 ) ja F yhteiset pisteet. Merkitään δ = min{d(y 1, x 0 ),..., d(y n, x 0 )}. Nyt avoin pallo B δ (x 0 ) ei sisällä yhtään joukon F pistettä y i x 0, mikä on ristiriidassa kasautumispisteen määritelmän kanssa. Täten vastaväite on väärä, joten jokainen joukon F kasautumispisteen ympäristö sisältää äärettömän määrän joukon F pisteitä. Lause 4.4. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja F X. Piste x 0 on joukon F kasautumispiste jos ja vain jos joukosta F voidaan valita jono erillisiä pisteitä x 1, x 2,..., x n,... siten, että lim d(x n, x 0 ) = 0. n Todistus (vrt. [2, s. 71]). Jos lim n d(x n, x 0 ) = 0, missä x 1, x 2,..., x n,... on jono erillisiä joukkoon F kuuluvia pisteitä, niin jokainen avoin pallo B r (x 0 ) sisältää jokaisen pisteen x n, missä n n 0 jollakin sopivasti valitulla n 0 N. Koska x 1, x 2,..., x n,... ovat joukon F erillisiä pisteitä, niin avoin pallo B r (x 0 ) sisältää pisteestä x 0 eriävän joukon F pisteen. Täten x 0 on joukon F kasautumispiste. Oletetaan nyt, että x 0 on joukon F kasautumispiste. Valitaan avoimen joukon B 1 (x 0 ) piste x 1 F siten, että x 1 x 0. Seuraavaksi valitaan avoimen pallon B 1/2 (x 0 ) piste x 2 F siten, että x 2 x 1 ja x 2 x 0. Tämä on mahdollista lauseen 4.3 nojalla. Jatketaan pisteestä x 0 ja aikaisemmista valituista pisteistä eriävien pisteiden valintaa n kertaa. Nyt siis olemme valinneet avoimen pallon B 1/n (x 0 ) pisteen x n F, joka eroaa pisteistä x 1, x 2,..., x n 1. Nähdään, että jonon {x n } pisteet toteuttavat raja-arvon lim n d(x n, x 0 ) = 0. Esimerkki 4.1. (i) Joukon F = { 1/n : n = 1, 2,... } kasautumispisteiden joukko metrisessä avaruudessa (R, d 2 ) on { 0 }. Nyt joukko F ei ole suljettu, 12

16 sillä se ei sisällä kasautumispisteitään. (ii) Eri joukoilla voi olla samat kasautumispisteet. Esimerkiksi (0, 1) = (0, 1] = [0, 1) = [0, 1] = [0, 1]. Lause 4.5. Olkoon F metrisen avaruuden (X, d) osajoukko. Joukon F kasautumispisteiden joukko F on suljettu. Todistus (vrt. [2, s. 71]). Joukko F on suljettu, jos se sisältää kaikki kasautumispisteensä eli (F ) F. Tyhjä joukko on lauseen 4.1 nojalla suljettu. Olkoon F ja x 0 (F ). Valitaan mielivaltainen avoin pallo B r (x 0 ) jollakin r > 0. Kasautumispisteen määritelmän nojalla on olemassa piste y F siten, että y B r (x 0 ). Jos r = r d(y, x 0 ), niin avoin pallo B r (y) sisältää äärettömän monta joukon F pistettä. Nyt siis B r (y) B r (x 0 ), joten ääretön määrä joukon F pisteitä sisältyy avoimeen joukkoon B r (x 0 ). Täten x 0 on joukon F kasautumispiste eli x 0 F. Joukko F sisältää kaikki kasautumispisteensä ja on täten suljettu. Lause 4.6. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Olkoot F 1 ja F 2 joukon X osajoukkoja. Tällöin (i) F 1 F 2 F 1 F 2, (ii) (F 1 F 2 ) = F 1 F 2, (iii) (F 1 F 2 ) F 1 F 2. Todistus (vrt. [2, s ]). Kohtien (i) ja (iii) todistukset tehdään samoin kuin kohdan (ii) todistus. (ii) Kohdan (i) nojalla F 1 F 2 (F 1 F 2 ). Osoitetaan siis vielä, että (F 1 F 2 ) F 1 F 2. Olkoon x 0 (F 1 F 2 ). On siis olemassa lauseen 4.4 nojalla jono erillisiä joukon F 1 F 2 pisteitä x 1, x 2,..., x n,... siten, että lim d(x n, x 0 ) = 0. n Jos ääretön määrä pisteitä x n sisältyy joukkoon F 1, niin x 0 F 1 eli x 0 F 1 F 2. Jos vain äärellinen määrä jonon x 1, x 2,..., x n,... pisteitä sisältyy joukkoon F 1, niin x 0 F 2 F 1 F 2. 13

17 Nyt x 0 F 1 F 2 kummassakin tapauksessa, joten (F 1 F 2 ) F 1 F 2. Täten (F 1 F 2 ) = F 1 F 2. Lause 4.7. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Suljettu pallo Br (x) = { y X : d(y, x) r }, missä x X ja 0 < r R, on suljettu joukko. Todistus (vrt. [2, s. 74]). Olkoon Br (x) suljettu pallo. Suljetun joukon komplementti on avoin joukko. Osoitetaan siis, että X\Br (x) on avoin joukko. Olkoon y X\Br (x) eli d(y, x) > r. Jos r 1 = d(y, x) r, niin r 1 > 0. Nyt siis on olemassa avoin pallo B r1 (y) X\Br (x). Olkoon z B r1 (y). Nyt d(z, x) d(y, x) d(y, z) > d(y, x) r 1 = r. Nyt siis z / Br (x) eli z X\Br (x). Täten joukko Br (x) on suljettu. 4.2 Joukon sulkeuma Sulkeumalla tarkoitetaan joukkoa, joka sisältää kaikki kasautumispisteensä. Toisin sanoen joukon F sulkeuma on pienin suljettu joukko, joka sisältää joukon F. Määritelmä 4.3. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja F X. Joukon F sulkeuma on joukko F = F F. Lause 4.8. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja F X. Joukon F sulkeuma F on suljettu joukko. Todistus (vrt. [2, s. 72]). Lauseiden 4.5 ja 4.6 nojalla voidaan kirjoittaa (F ) = (F F ) = F (F ) F F = F F. Täten joukon F sulkeuma F sisältää kaikki kasautumispisteensä ollen siis täten suljettu joukko. Lause 4.9. Olkoon F metrisen avaruuden (X, d) osajoukko. Joukko F on suljettu jos ja vain jos F = F. 14

18 Todistus (vrt. [2, s. 72]). Olkoon F = F. Nyt lauseen 4.8 nojalla joukko F on suljettu. Oletetaan siis, että joukko F on suljettu. Nyt F = F F = F. Lause Olkoot A ja B metrisen avaruuden (X, d) osajoukkoja. (i) Jos A B, niin A B, (ii) Jos A B ja B on suljettu joukko, niin A B. Todistus (vrt. [2, s. 72]). (i) Lauseen 4.6 kohdan (i) nojalla A = A A B B = B. (ii) Lauseen 4.9 ja kohdan (i) nojalla A B = B. Lause Olkoon F metrisen avaruuden (X, d) osajoukko. Seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (i) x F, (ii) B r (x) F jokaisella x-keskisellä avoimella pallolla B r (x), (iii) on olemassa ääretön jono {x n } joukon F pisteitä siten, että x n x. Todistus (vrt. [2, s ]). (i) (ii): Olkoon x F. Jos x F, niin selvästi B r (x) F. Jos x F, niin sulkeuman määritelmän nojalla x F. Kasautumispisteen määritelmän nojalla (B r (x)\{x}) F, joten myös B r (x) F. 15

19 (ii) (iii): Valitaan x n B 1 (x) F jokaisella n N. Nyt nähdään, että n x n x. Itse asiassa, jos valitaan n 0 > 1, missä r > 0 on mielivaltainen, r saadaan Täten x n B r (x). d(x n, x) < 1 n 1 n 0 < r, kun n n 0. (iii) (i): Oletetaan, että joukon F pisteistä muodostuva jono {x n } n 1 sisältää äärellisen määrän erillisiä pisteitä. On siis olemassa osajono {x nk } siten, että x nk Täten x F F. = x kaikilla k I, missä I on mielivaltainen indeksijoukko. Oletetaan, että jono {x n } n 1 sisältää äärettömän määrän erillisiä pisteitä. On siis olemassa erillisiä pisteitä sisältävä osajono {x nk } siten, että Lauseen 4.4 nojalla x F F. lim d(x n k, x) = 0, kun lim k n (x n, x) = 0. Lause Olkoot F 1 ja F 2 metrisen avaruuden (X, d) osajoukkoja. Nyt (i) (F 1 F 2 ) = F 1 F 2, (ii) (F 1 F 2 ) F 1 F 2. Todistus (vrt. [2, s. 73]). (i) Joukko-opin perusoperaatioiden ja lauseen 4.6 kohdan (ii) nojalla (F 1 F 2 ) = (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) = (F 1 F 2 ) (F 1 F 2) = (F 1 F 1) (F 2 F 2) = F 1 F 2. (ii) Joukko-opin perusoperaatioiden ja lauseen 4.6 kohdan (iii) nojalla (F 1 F 2 ) = (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2 ) (F 1 F 2) (F 1 F 1) (F 2 F 2) = F 1 F 2. 16

20 Esimerkki 4.2. Monissa metrisissä avaruuksissa pätee (A B) = A B. Tällainen ominaisuus on esimerkiksi diskreetillä avaruudella. Tämä johtuu siitä, että A = A kaikilla A X, missä (X, d) on diskreetti avaruus. Toisaalta on myös olemassa metrisiä avaruuksia, joilla (A B) = A B ei päde. Olkoon (R, d) metrinen avaruus, missä d = x y kaikilla x, y R. Olkoon nyt A = (0, 5) ja B = (5, 12). Tällöin A B =, joten myös (A B) = =. Toisaalta A = [0, 5] ja B = [5, 12], joten A B = {5}. Tämä vielä havainnoillistaa väitteen (A B) A B pätevyyttä. 4.3 Rajoitettu joukko Tämä kappale painottuu reaalilukujoukon R osajoukkojen tarkasteluun. Joukon infimumin ja supremumin avulla voidaan tutkia metristen avaruuksien osajoukkojen halkaisijoita ja joukkojen ja pisteiden välisiä etäisyyksiä. Rajoitetuilla joukoilla on aina reaalinen halkaisija. Lisäksi esitetään suljettuihin väleihin liittyen Cantorin joukko. Matemaatikkoja hämmentäneellä Cantorin joukolla on erikoisia topologisia ominaisuuksia. Cantorin joukko muun muassa sisältää vain kasautumispisteitä, mutta ei yhtään sisäpistettä. Määritelmä 4.4. Olkoon F metrisen avaruuden (X, d) epätyhjä osajoukko. Joukko F on rajoitettu, jos on olemassa M > 0 siten, että d(x, y) M kaikilla x, y F. Lause Olkoon F R epätyhjä, rajoitettu ja suljettu joukko. Nyt joukon F infimum ja supremum kuuluvat joukkoon F. Toisin sanottuna inf F F ja sup F F. Todistus (vrt. [2, s. 75]). Osoitetaan, että jos inf F / F, niin inf F on joukon F kasautumispiste. Joukon infimumin, eli suurimman alarajan, määritelmän nojalla jokaisella ɛ > 0 on olemassa x F siten, että inf F x < inf F + ɛ. Koska kuitenkin inf F / F ja x F, niin inf F < x < inf F + ɛ. 17

21 Nyt jokainen pisteen inf F ympäristö sisältää pisteen x inf F. Täten inf F on joukon F kasautumispiste. Vastaavasti voidaan osoittaa, että piste sup F eli joukon F pienin yläraja, kuuluu joukkoon F. Lause Jokainen reaalilukujoukon R epätyhjä, avoin osajoukko G on yhdiste numeroituvasta joukkoperheestä, joka sisältää vain avoimia erillisiä välejä. Näiden avoimien joukkojen päätepisteet eivät kuulu joukkoon G. Päätepisteet eivät kuitenkaan ole pienempiä kuin joukon G infimum tai suurempia kuin joukon G supremum. Todistus (vrt. [2, s. 68]). Olkoon G R epätyhjä joukko, ja olkoon x G. Koska G on avoin joukko, niin on olemassa rajoitettu, avoin x-keskinen väli, joka sisältyy joukkoon G. On siis olemassa y > x ja z < x siten, että (x, y) G ja (z, x) G. Olkoon (1) a = inf{z : (z, x) G} ja b = sup{y : (x, y) G}. Nyt a < x < b ja I x = (a, b) on avoin väli, joka sisältää pisteen x. Osoitetaan, että a / G, b / G ja I x G. Väite pätee, jos a = tai b =. Oletetaan siis, että < a ja b <. Jos a G, niin (a ɛ, a + ɛ) G jollakin ɛ > 0. Nyt siis (a ɛ, x) G, mikä on ristiriidassa oletuksen (1) kanssa. Väite b / G todistetaan samalla tavalla. Osoitetaan siis, että jos piste w I x, niin w G. Jos w = x, niin selvästi x G. Olkoon siis w x siten, että a < w < x tai x < w < b. Riittää siis osoittaa, että a < w < x pätee. Jos a < w < x, niin oletuksen (1) nojalla on olemassa z < w siten, että (z, x) G. Koska a < w < x, niin w G. Täten I x G. Tarkastellaan vielä avoimia välejä sisältävää joukkoperhettä {I x }, jossa x G. Nyt jokainen piste x G sisältyy avoimeen väliin I x ja jokainen avoin väli I x sisältyy joukkoon G. Täten G = {I x : x G}. Osoitetaan, että mitkä tahansa kaksi väliä, jotka kuuluvat joukkoperheeseen {I x : x G}, ovat erillisiä. Olkoot (a, b) ja (c, d) tämän joukkoperheen välejä, joilla on ainakin yksi yhteinen piste. Nyt siis c < b ja a < d. Koska piste c ei kuulu joukkoon G, niin c / (a, b), joten c a. Koska piste a ei kuulu joukkoon G, niin a / (c, d), joten a c. Nyt a = c ja samoin b = d. 18

22 Jos avoimet välit sisältävät yhden yhteisen pisteen, niin (a, b) = (c, d), sillä a, b, c, d / G. Täten {I x : x G} on joukkoperhe erillisiä välejä. Osoitetaan seuraavaksi, että joukkoperhe on numeroituva. Jokainen epätyhjä, avoin väli sisältää rationaaliluvun. Koska erilliset välit eivät voi sisältää samaa lukua ja rationaaliluvut ovat numeroituvia, niin joukkoperhe {I x : x G} on numeroituva. Oletuksesta (1) seuraa, että a inf G ja b sup G. Täten joukon G avoimien välien päätepisteet eivät ole pienempiä kuin joukon G infimum tai suurempia kuin joukon G supremum. Määritelmä 4.5. Olkoon F R epätyhjä ja rajoitettu osajoukko. Olkoot α = inf F ja β = sup F. Joukkoa [α, β] sanotaan pienimmäksi suljetuksi väliksi, joka sisältää joukon F. Lause Olkoon F R epätyhjä, suljettu ja rajoitettu joukko. Jos joukko [α, β] on pienin suljettu väli, joka sisältää joukon F, niin [α, β]\f = (α, β) R\F. Lisäksi joukko [α, β]\f on avoin reaalilukujoukon R osajoukko. Todistus (vrt. [2, s. 75]). Olkoon x 0 [α, β]\f. Näin ollen x 0 [α, β] ja x 0 / F. Nyt x 0 / F, joten x 0 α ja x 0 β, sillä α, β F lauseen 4.13 nojalla. Tästä seuraa, että x 0 (α, β) ja x 0 R\F, joten [α, β]\f (α, β) R\F. Oletetaan nyt, että x 0 (α, β) R\F. Näin ollen x 0 R ja x 0 (α, β), mutta x 0 / F. Koska α, β F, niin x 0 [α, β]\f. Täten (α, β) R\F [α, β]\f. Joukko (α, β) R\F on kahden avoimen joukon leikkauksena avoin joukko. Lause Olkoon F R epätyhjä, suljettu ja rajoitettu joukko. Nyt F on joko suljettu väli tai suljetusta välistä jäljelle jäävä osa, kun poistetaan numeroituva määrä erillisiä, avoimia välejä (a n, b n ), missä a n, b n F ja n N. 19

23 Todistus (vrt. [2, s. 76]). Olkoon [α, β] pienin suljettu väli, joka sisältää joukon F. Nyt α = inf F ja β = sup F. Lauseen 4.15 nojalla joukko [α, β]\f = (α, β) R\F on avoin ja täten numeroituva yhdiste erillisiä avoimia välejä lauseen 4.14 perusteella. Olkoot (a n, b n ) [α, β]\f erillisiä avoimia välejä, missä n N. Nyt a n, b n / [α, β]\f, mutta koska a n, b n [α, β], niin a n, b n F. Täten väite on tosi. Esimerkki 4.3. Jaetaan suljettu väli I = [0, 1] kolmeen osaan pisteiden 1 3 ja 2 kohdalta. Poistetaan sitten avoin väli ( 1, ) joukosta I. Jaetaan jäljelle jääneet kaksi suljettua väliä [ [ 0, 3] 1 ja 2, 3 1] kolmeen yhtä suureen osaan pisteiden 1, 2 ja 7, 8 kohdalta. Poistetaan seuraavaksi avoimet välit ( 1, ) ja ( 7, ) joukosta I. Jaetaan neljä jäljelle jäänyttä suljettua väliä [ [ 0, 1 9], 2, [ 1 9 3], 2, ] ja [ 8 9, 1] kolmeen yhtä suureen osaan ja poistetaan keskelle jääneet avoimet välit. Toistetaan tätä äärettömän monta kertaa. Joukko G = ( 1, ( 2 3 3) 1, ( 2 9 9) 7, ) on yhdiste joukosta I poistettuja avoimia, erillisiä välejä ja täten avoin joukko. Joukon G komplementtia I\G kutsutaan Cantorin joukoksi. Määritelmä 4.6. Olkoon F metrisen avaruuden (X, d) rajoitettu osajoukko. Joukon F halkaisija on diam(f ) = d(f ) = sup{d(x, y) : x, y F }. Tyhjän joukon halkaisija d( ) on nolla. Joukon F ja pisteen x X välinen etäisyys on d(x, F ) = inf{d(x, y) : y F }. Joukon F ja joukon E X välinen etäisyys d(f, E) = inf{d(x, y) : x F, y E}. Joukkojen F ja E välinen etäisyys on määritelty myös, jos F = tai E =. Tällöin d(f, E) =. Muussa tapauksessa, eli kun F ja E, d(f, E) on reaalinen ja ei negatiivinen. 20

24 Esimerkki 4.4. Väli (0, ) ei ole rajoitettu reaalilukujoukon R osajoukko. Jos kuitenkin varustetaan joukko R diskreetillä metriikalla, niin jokainen tämän diskreetin avaruuden osajoukko A on rajoitettu, sillä d(x, y) 1 kaikilla x, y A. Tällöin d(a) = 1, jos osajoukossa A on enemmän kuin yksi piste. Voidaan yleistää, että jokaisen diskreetin avaruuden useamman kuin yhden pisteen sisältävän osajoukon halkaisija on yksi. Lause Jos A on metrisen avaruuden (X, d) osajoukko, niin d(a) = d(a). Todistus (vrt. [2, s. 77]). Olkoot x, y A. Nyt on olemassa jonot {x n } n 1 ja {y n } n 1, jotka sisältyvät joukkoon A siten, että d(x, x n ) < ɛ ja d(y, y 2 n) < ɛ, 2 kun n n 0 N ja ɛ > 0 on mielivaltainen. Nyt d(x, y) d(x, x n ) + d(x n, y n ) + d(y n, y) ɛ 2 + d(x n, y n ) + ɛ 2 d(a) + ɛ. Nähdään, että d(a) d(a), sillä ɛ valittiin mielivaltaisesti. Sulkeuman määritelmän nojalla d(a) d(a). Täten d(a) = d(a). 4.4 Yhtenäinen metrinen avaruus Tutkielmassa on osoitettu, että tyhjä joukko ja koko metrinen avaruus ovat sekä avoimia että suljettuja joukkoja. Tällainen ominaisuus on mahdollista olla myös jollain metrisen avaruuden epätyhjällä, aidolla osajoukolla. Jos tällaista joukkoa ei löydy, niin metrinen avaruus on yhtenäinen. Esimerkiksi reaalilukujoukko R on yhtenäinen. Määritelmä 4.7. Metrinen avaruus (X, d) on yhtenäinen, jos ei löydy kahta epätyhjää joukkoa A ja B, jotka toteuttavat ehdot (i) X = A B, (ii) A B = ja A B =. Jos tällaiset joukot löytyvät, niin metrinen avaruus on epäyhtenäinen. 21

25 Esimerkki 4.5. Rationaalilukujen joukon Q R metriikkana on d = x y, missä x, y Q. Osoitetaan, että metrinen avaruus (Q, d) on epäyhtenäinen. Valitaan A = {x Q : x < 2} ja B = {x Q : x > 2}. Nyt A B = Q, A B = ja A B =. Lause Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (i) (X, d) on epäyhtenäinen. (ii) On olemassa kaksi epätyhjää, avointa, erillistä joukkoa A ja B siten, että X = A B. (iii) On olemassa kaksi epätyhjää, suljettua, erillistä joukkoa A ja B siten, että X = A B. (iv) On olemassa joukko A X, joka on avoin ja suljettu. Todistus (vrt. [2, s ]). (i) (ii): Olkoon X = A B, missä A ja B ovat epätyhjiä joukkoja, A B = ja A B =. Nyt A = X\B on suljetun joukon komplementtina avoin joukko. Vastaavasti voidaan osoittaa, että B X on avoin joukko. Koska A ja B ovat erillisiä, niin selvästi myös A ja B ovat erillisiä, joten väite (ii) on tosi. (ii) (iii): Oletetaan, että väitteen (ii) ehdot pätevät. Osoitetaan, että A ja B ovat suljettuja joukkoja. Koska X = A B ja A B =, niin A = X\B. Nyt B on oletuksen mukaan avoin joukko, joten A on suljettu joukko. Vastaavasti nähdään, että B on suljettu joukko. (iii) (iv): Oletetaan, että väitteen (iii) ehdot pätevät. Nyt A = X\B, joten A on suljetun joukon komplementtina avoin joukko. Täten A on metrisen avaruuden (X, d) avoin ja suljettu aito osajoukko. 22

26 (iv) (i): Olkoon A sellainen metrisen avaruuden (X, d) aito osajoukko, joka on avoin ja suljettu. Olkoon nyt B = X\A, joten X = A B ja A B =. Koska A on suljettu joukko, niin A = A ja täten myös A B =. Samoin voidaan osoittaa, että A B =. Väiteet (i)-(iv) ovat siis yhtäpitäviä. 5 Aliavaruuksista Tässä luvussa tutkitaan metrisen aliavaruuden avoimien ja suljettujen joukkojen suhdetta metrisen avaruuden avoimiin ja suljettuihin joukkoihin. Todistetaan myös, että reaalilukujoukon osajoukko on yhtenäinen jos ja vain jos se on väli. Lähteenä käytetään teosta [2, s. 28, s , s ]. Määritelmä 5.1. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja Y X. Järjestettyä paria (Y, d Y ) kutsutaan metrisen avaruuden (X, d) aliavaruudeksi, missä d Y : Y Y R on metriikan d indusoima metriikka joukkoon Y Y. Toisin sanoen d(x, y) = d Y (x, y) kaikilla x, y Y. Esimerkki 5.1. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja Z Y X. Nyt Z voi olla samaan aikaan joukon Y avoin osajoukko ja joukon X ei avoin osajoukko. Olkoon X = R 2 ja d = d 2 euklidinen metriikka. Olkoon (Y, d Y ) aliavaruus, missä Y = {(x, 0) : x R} ja d Y metriikan d 2 indusoima metriikka joukkoon Y Y. Nyt Y on joukon X suljettu osajoukko, sillä joukon Y komplementti R 2 \Y = {(x, y) R 2 : y 0} on avoin joukossa X. Jos Z = {(x, 0) : 0 < x < 1}, niin Z on avoin joukon Y osajoukko. Jos Z olisi joukon X avoin osajoukko, niin olisi olemassa avoin pallo B r ((x, 0)) R 2, missä r > 0, 0 < x < 1 ja (x, 0) Z. Nyt yksikään tällainen ympäristö ei kuitenkaan sisälly joukkoon Z. Täten Z = {(x, 0) : 0 < x < 1} on joukon Y = {(x, 0) : x R} avoin osajoukko ja metrisen avaruuden (R 2, d 2 ) ei avoin osajoukko. Määritelmä 5.2. Olkoon (X, d) metrinen avaruus. Epätyhjä osajoukko Y X on yhtenäinen, jos aliavaruus (Y, d Y ) on yhtenäinen. Jos aliavaruus (Y, d Y ) on epäyhtenäinen, niin osajoukko Y X on epäyhtenäinen. 23

27 Lause 5.1. Olkoon (R, d) metrinen avaruus. Osajoukko I R on yhtenäinen jos ja vain jos I on väli. Joukko I on siis yhtenäinen, jos ja vain jos se on muotoa (a, b), [a, b), (a, b], [a, b], (, b), (, b], (a, ), [a, ) tai (, ), missä a, b R. Todistus (vrt. [2, s. 158]). Olkoon I R yhtenäinen joukko. Tehdään vastaväite, että joukko I ei ole väli. On siis olemassa x, y, z R siten, että x < z < y ja x, y I, mutta z / I. Nyt I = A B, missä A = (, z) I ja B = (z, ) I. Koska x A ja y B, niin joukot A ja B ovat epätyhjiä, avoimia ja erillisiä joukossa I. Nyt I on epäyhtenäinen, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Täten vastaväite on väärä ja alkuperäinen väite tosi. Olkoon I R väli ja tehdään vastaväite, että I on epäyhtenäinen. On siis olemassa epätyhjät osajoukot A ja B siten, että I = A B, A B = ja A B =. Valitaan x A ja y B. Voidaan olettaa, että x < y. Nyt I on väli, joten [x, y] I. Merkitään z = sup(a [x, y]). Supremum on olemassa, sillä joukko A [x, y] on ylhäältä rajoitettu pisteellä y ja epätyhjä sisältäessään pisteen x. Supremumin määritelmän nojalla on olemassa a A siten, että z ɛ < a z mielivaltaisella ɛ > 0. Nyt siis jokainen pisteen z ympäristö sisältää joukon A pisteen, joten z on joukon A kasautumispiste. Koska A B =, niin z / B ja x z < y. Jos z / A, niin x < z < y ja z / I, mikä on ristiriidassa oletuksen [x, y] I kanssa. Nyt siis z A ja z / B, sillä A B =. On siis olemassa δ > 0 siten, että (z δ, z + δ) B =. 24

28 Olkoon z 1 / B siten, että z < z 1 < y. Nyt x z < z 1 < y ja z 1 / I, mikä on ristiriidassa oletuksen [x, y] I kanssa. Täten joukko I R on yhtenäinen jos ja vain jos I on väli. Lause 5.2. Olkoon (Y, d Y ) metrisen avaruuden (X, d) aliavaruus. Olkoon z Y ja r > 0. Nyt Br Y (z) = Br X (z) Y, missä Br Y (z) Y ja Br X (z) X ovat avoimia, z-keskisiä ja r-säteisiä palloja. Todistus (vrt. [2, s. 79]). Koska Y X, niin Br X (z) Y = {x X : d(x, z) < r} Y = {x Y : d(x, z) < r} = Br Y (z). Lause 5.3. Olkoon (Y, d Y ) metrisen avaruuden (X, d) aliavaruus. Olkoon Z joukon Y osajoukko. Nyt (i) Z on avoin joukossa Y jos ja vain jos on olemassa avoin joukko G X siten, että Z = G Y ; (ii) Z on suljettu joukossa Y jos ja vain jos on olemassa suljettu joukko F X siten, että Z = F Y. Todistus (vrt. [2, s. 80]). (i) Olkoon Z joukon Y avoin osajoukko. Jos z Z, niin on olemassa B Y r (z) Z. Avoimen pallon B Y r (z) säteen r suuruus riippuu nyt pisteestä z Z. Nyt Z = z Z = = z Z ( z Z = G Y, B Y r (z) ( B X r (z) Y ) ) Br X (z) Y 25

29 missä G = z Z Br X (z) on avoin joukon X osajoukko. Olkoon nyt Z = G Y, missä G on joukon X avoin osajoukko. Jos z Z on mielivaltainen piste, niin z G ja näin ollen on olemassa avoin pallo Br X (z) G. Nähdään, että Br Y (z) = Br X (z) Y G Y = Z, ja täten z on osajoukon Z Y sisäpiste. Koska piste z on mielivaltainen joukon Z piste, niin Z on avoin joukon Y osajoukko. (ii) Joukko Z on joukon Y suljettu osajoukko jos ja vain jos (X\Z) Y on avoin joukon Y osajoukko. Näin ollen Z Y on suljettu joukossa Y jos ja vain jos on olemassa avoin joukko G X siten, että (X\Z) Y = G Y. Kun otetaan yhtälön molemmilta puolilta komplementit metrisessä avaruudessa (X, d), saadaan Z (X\Y ) = (X\G) (X\Y ). Täten Z = Z Y = (Z (X\Y )) Y = ((X\G) (X\Y )) Y = (X\G) Y. Nähdään, että Z on joukkojen X\G ja Y leikkaus, missä X\G on suljettu joukon X osajoukko. Olkoon nyt Z = F Y, missä F on suljettu joukon X osajoukko. Nyt X\Z = (X\F ) (X\Y ), ja edelleen (X\Z) Y = ((X\F ) (X\Y )) Y = (X\F ) Y, missä X\F on avoin joukon X osajoukko. Nyt X\Z on avoin joukossa Y. Täten Z on suljettu joukossa Y. 26

30 Lause 5.4. Olkoon (Y, d Y ) metrisen avaruuden (X, d) aliavaruus. (i) Jokainen joukon Y avoin osajoukko on avoin joukossa X jos ja vain jos Y on avoin joukossa X. (ii) Jokainen joukon Y suljettu osajoukko on suljettu joukossa X jos ja vain jos Y on suljettu joukossa X. Todistus (vrt. [2, s. 81]). (i) Oletetaan, että kaikki joukon Y avoimet osajoukot ovat avoimia myös joukossa X. Koska Y Y on nyt avoin joukossa Y, niin joukon Y täytyy olla avoin myös joukossa X. Oletetaan, että Y on avoin joukossa X. Olkoon Z Y avoin joukko. Lauseen 5.3 kohdan (i) nojalla on olemassa avoin joukko G X siten, että Z = G Y. Kahden avoimen joukon G ja Y leikkauksena joukon Z on oltava avoin joukossa X. (ii) Todistetaan vastaavasti kuin kohta (i). Lause 5.5. Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja Z Y X. Jos cl X Z ja cl Y Z ovat joukon Z sulkeumat joukoissa X ja Y, niin cl Y Z = Y cl X Z. Todistus (vrt. [2, s. 81]). Nähdään, että Z Y cl X Z, sillä Z Y X. Lauseen 5.3 kohdan (ii) nojalla voidaan todeta, että Y cl X Z on suljettu joukossa Y. Lauseen 4.10 kohdan (i) nojalla nyt cl Y Z Y cl X Z. Toisaalta lauseen 5.3 kohdan (ii) nojalla voidaan myös todeta, että cl Y Z = Y F, missä F on joukon X suljettu osajoukko. Nyt siis Z cl Y Z F. Lauseen 4.10 kohdan (i) nojalla cl X Z F. Täten Y cl X Z Y F = cl Y Z. 27

31 Viitteet [1] Lipschutz, S., Theory and Problems of General Topology. New York: Schaum Publishing Company, [2] Shirali, S. ja Vasudeva, H.S., Metric Spaces. Lontoo: Springer-Verlag, [3] Sutherland, W.A., Introduction to Metric and Topological Spaces, 2nd ed. New York: Oxford University Press Inc., [4] Thomson, B.S., Bruckner, J.B. ja Bruckner, A.M., Elementary Real Analysis. URL: (Viitattu ). 28

Metristyvät topologiset avaruudet

Metristyvät topologiset avaruudet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1 Topologia IA, kesä 07 Harjoitus Heikki Korpela 5. toukokuuta 07 Tehtävä. Todista ( luonnollisin oletuksin, kirjoita ne!) kaava 0.8., so. että f j J B j = j J f B j, huolellisesti tarkastellen yksittäisiä

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Johdanto Lassi Kurittu

Johdanto Lassi Kurittu Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n.

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n. Analyysi I ja II lisämateriaalia HAARUKOINTI Tässä käsitellään kootusti sellaisia differentiaali- ja integraalilaskennan kurssin kysymyksiä, joissa joudutaan syventymään lukusuoran hienovaraisimpiin ominaisuuksiin.

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Metrisoituvuuden yleistämisestä. Joonas Ilmavirta

Metrisoituvuuden yleistämisestä. Joonas Ilmavirta Metrisoituvuuden yleistämisestä Joonas Ilmavirta Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2011 Sisältö 1. Johdanto 1 2. Järjestys ja metriikka 2 2.1. Järjestys 2 2.2. Ordinaaleista

Lisätiedot

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.

Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

PARAKOMPAKTIT AVARUUDET JA SMIRNOVIN METRISTYVYYSLAUSE

PARAKOMPAKTIT AVARUUDET JA SMIRNOVIN METRISTYVYYSLAUSE PARAKOMPAKTIT AVARUUDET JA SMIRNOVIN METRISTYVYYSLAUSE PRO GRADU -TUTKIELMA HELSINGIN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS SAKU SNICKER OHJAAJA: ERIK ELFVING HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS

Lisätiedot

Topologian demotehtäviä

Topologian demotehtäviä Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Funktion approksimointi

Funktion approksimointi Funktion approksimointi Päivikki Vesterinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Päivikki Vesterinen, Funktion approksimointi (engl.

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Analyysi 1. Pertti Koivisto

Analyysi 1. Pertti Koivisto Analyysi Pertti Koivisto Syksy 204 Alkusanat Tämä moniste on tarkoitettu oheislukemistoksi Tampereen yliopistossa pidettävälle kurssille Analyysi. Monisteen tavoitteena on tukea luentojen seuraamista,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot