Suoraviivaista ajattelua II osa FUNKTIONAALIANALYYSI. Lauri Kahanpää

Transkriptio

1 Suoraviivaista ajattelua II osa FUNKTIONAALIANALYYSI Lauri Kahapää Sisällys Aluksi 7 I Metriset avaruudet ja täydellisyys 8 1. Sisätulo, ormi, metriikka ja topologia 8 2. Weierstrassi approksimaatiolause Taustaa Weierstrassi lause Yleistys: Stoe ja Weierstrassi lause ( ) Weierstrassi approksimaatiolausee sovelluksia ( ) Baachi kiitopistelause Kotraktio kiitopiste Differetiaaliyhtälö ratkaisu olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause ( ) Fredholmi ja Volterra itegraaliyhtälöt ( ) 23 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu I 25 II Jatkuvat lieaarikuvaukset Johdato Äärellisulotteise avaruude ormit ja lieaarikuvaukset Euklidise avaruude lieaarikuvaukset Äärellisulotteise ormiavaruude lieaarikuvaukset Yleisistä ormiavaruuksista Ääretöulotteisuudesta Normiavaruudet Jatkuvat lieaarikuvaukset Normiavaruude suljetut aliavaruudet Baachi avaruudet Rieszi lause ääretöulotteisuudesta 40 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu II 41 III Hilberti avaruudet ja ortoormaalit kaat Äärellisulotteiset reaaliset sisätuloavaruudet Kataa liittyvä sisätulo Vektoriavaruude R kaikki sisätulot Reaalie polaarikaava ja suuikassäätö K-kertoimiset sisätuloavaruudet Äärellisulotteiset K-kertoimiset sisätuloavaruudet Yleiset K-kertoimiset sisätuloavaruudet Ortogoaaliprojektiot ja kaat Hilberti avaruudessa 51 Typeset by AMS-TEX 3

2 f ( ) Projektiolause ja ortoormaalit joot Hilberti kata Separoituva Hilberti avaruus Jatkuvat lieaarimuodot ja Fréchet ja Rieszi esityslause Suljetut ja tiheät hypertasot Operaattorit ja kata Operaattorialgebra B(H) Yleistetty eliömatriisi Diagoalisoituvuus Hilberti kaassa Uitaariset ja hermiittiset operaattorit sekä adjugaatti Normaalie operaattoreide diagoalisoituvuudesta Yleistyksiä ( ) Hilberti avaruuksie sovelluksia Fourier sarjoista Muita katoja ( ) Väresarjat ja Rieszi kaat ( ) Fourier muuos ( ) Itô stokastie itegraali ( ) 99 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu III 103 IV Esimerkkejä ormiavaruuksista Klassisia ormiavaruuksia Jooavaruuksia Hölderi ja Mikowski epäyhtälöt Klassiset jooavaruudet Jatkuvie fuktioide ja lieaarikuvauste avaruuksia Jatkuvie fuktioide avaruuksia Jatkuvie lieaarikuvauste avaruuksia Lebesgue i avaruudet Itegraaliormit jatkuvie fuktioide avaruudessa L p (A)-semiormiavaruudet L p -ormiavaruudet Sobolevi avaruudet ( ) Normiavaruuksie duaaleja Tulo- ja tekijäavaruuksia Tuloavaruuksia ja suoria summia Tekijäavaruuksia ( ) 139 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu IV 142 VYhtäjatkuvat kuvausperheet ja Bairekategoriat Yhtäjatkuvat ja prekompaktit kuvausperheet Ascoli ja Arzelá lause Normaaliperhepäättely ( ) Kompakteista itegraalioperaattoreista ( ) Baire kategorialause Baire lause 152

3 SISÄLLYS Tasaise rajoitukse periaate Avoime kuvaukse lause Suljetu kuvaaja lause l 1 : duaali 161 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu V 162 VI Koveksit joukot ja jatkuvat lieaarimuodot Koveksia lieaarialgebraa Lieaarimuodot ja affiiit hypertasot Koveksit joukot vektoriavaruudessa Koveksit joukot ormiavaruudessa Jatkuvat lieaarimuodot ja suljetut affiiit hypertasot Koveksi jouko sulkeuma ja sisus Mazuri laajeuslause ja Baachi erottelulause Hahi ja Baachi lause Duaaliavaruuksie teoriaa Duaali ja traspoosi Joo heikko suppeemie ja rajoittueisuus Baachi limekset ( ) 184 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu VI 186 VII Heikot topologiat ja refleksiiviset avaruudet ( ) Heikot topologiat Topologioita Topologia kata ja alikata Aliavaruustopologia kata ja alikata Tulotopologia ja Tihoovi lause Baachi ja Alaoglu lause heikosta kompaktiudesta Refleksiiviset ormiavaruudet ( ) Refleksiivisyys ja heikot topologiat Refleksiivisyys ja tasaie koveksius L p (A)-avaruuksie duaaleista 212 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu VII 215 VIII Operaattoriteoriaperusteet Normialgebrat ja spektri Operaattori omiaisarvot ja spektraaliarvot Spektri Baach-algebrassa Carl Neumai sarja Liouville lause Spektri perusomiaisuudet kompakti ja epätyhjä Spektraalikuvauslause Projektioide järjestys Projektiot ja suorat summat Ortoprojektioide järjestys Hermiittiste operaattorie omiaisuuksia Yleisiä omiaisuuksia Hermiittise operaattori ormi kaava 227

4 f ( ) Hermiittiste operaattoreide järjestys Hermiittise operaattori spektri reaalisuus 230 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu VIII 232 IX Kompaktit operaattorit Kompakti operaattori spektri Kompakti operaattori määritelmä Kompaktit diagoaalioperaattorit Hilberti avaruudessa Yleise kompakti operaattori Riesz-hajotelma Hermiittise kompakti operaattori diagoalisoiti 243 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu IX 243 X Spektraali-itegraalit Hermiittise operaattori spektraaliesitys Päätulokse esittely Jatkuva fuktio itegroituvuus spektraaliparve suhtee Hermiittise operaattori spektraaliparve kostruktio Positiivise operaattori eliöjuuri Spektraaliparve kostruktio puuttuva osa 258 Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu X 259 Liite: Valita-aksiooma, hyvijärjestys ja kata Valita-aksiooma eri muotoja ( ) Hameli kata 269 Liite: Fourier-sarjojesovellus tavallisiidifferetiaaliyhtälöihi(a. Lehtoe) ( ) Värähtelevä jouse differetiaaliyhtälö 271 Aaltoyhtälö johto 271 Alku- ja reuaehtoje johto Muuttujie separoimie 272 Fourier-kertoimet Värähtelevä jousi, joka alkuopeus tuetaa 276 Yleie tilae Pakotetut värähtelyt Omiaisarvot ja -fuktiot 279 Hakemistot 282 Aakkosellie hakemisto 282 Merkitöjä 292 Kirjallisuutta 294

5 ALUKSI 7 Aluksi Tämä Suoraviivaista ajattelua -sarja toie osa o fuktioaaliaalyysi perusteide opettelukirja ja jatkoa lieaarialgebra moisteelle, joka päättyy kojugaattisymmetrise matriisi ortogoaalisee diagoalisoitii euklidisessa avaruudessa. Vektoriavaruus määräytyy täysi kerroikuastaa ja Hamel-katasa 1 mahtavuudesta. Topologisia vektoriavaruuksia se sijaa o hyvi moelaisia ja joutuu miettimää, mitä kaattaa käsitellä. Tässä kirjassa päälijaksi o valittu vaiheittai kohoava abstraktiotaso tie. Kerrattuamme yleistä topologiaa tutkiskelemme sisätuloavaruuksia ja iide ortogoaalikatoja. Väheämme aksioomia siirtye esittelemää muita ormiavaruuksia ja fuktioaaliaalyysi klassisia tuloksia, kute Hahi ja Baachi lausetta ja Baire kategorialausee seurauksia. Koveksie joukkoje geometria johtaa lokaalikoveksie topologiste vektoriavaruuksie ja heiko topologia käyttööottoo. Jotta moiste palvelisi kvattifysiikasta kiiostueita lukijoita, o hermiittiste operaattoreide diagoalisoitia käsitelty perusteellisesti. Moistee loppupuolella käsitellää spektriä ormialgebrassa, kompaktie operaattorie diagoalisoitia ja yleise hermiittise operaattori spektraali-itegraaliesitystä. Operaattoriteoria o melko riippumatota luvuista IV-VII. Baachi avaruudessa. Ole käyttäyt moia lähteitä, joista ylivoimaisesti tärkei ovat opettajai, yt jo edesmeee professori Klaus Vala luvulla pitämät maiiot lueot. Noista lueoista sai alkusa Vala tallia tuettu koulukuta, joka otti tavoitteeksee rikastuttaa suomalaista aalyysi osaamista laajetamalla sitä fuktioaaliaalyysi suutaa, jota Vala oli opiskellut Raskassa. Muut lähteet o maiittu kirjallisuusluettelossa, paitsi että työtoverii ovat ystävällisesti luovuttaeet käyttööi materiaalia sovitettavaksi tähä kirjaa. Kurssi aikaisemmilta lueoitsijoilta, Pekka Sorjoselta, Olli Martiolta, Kari Astalalta ja Tero Kilpeläiseltä perimiei harjoitustehtävie ja muistiipaoje lisäksi ole käyttäyt aiaki seuraavia lähteitä: (1) Stefa Geiss piti esitelmä Hilberti avaruuksie käytöstä stokastiikassa ja atoi miulle luva sijoittaa Itô itegraalia koskeva osa lukuu (2) Sobolevi avaruuksia koskevaa lukua kirjoittaessai oli käytössäi elektroie versio Pekka Koskela lueoista. (3) Ari Lehtoe o kirjoittaut Fourier-sarjoja ja differetiaaliyhtälöitä käsittelvä liittee. (4) Eero Saksma selvitti miulle kysymykse kahde operaattori samaaikaisesta diagoalisoituvuudesta kaassa (Lause 10.30). (5) Lebesgue i avaruuksie tarkka määritelmä jatäydellisyystodistus (Luvut 15.2 ja 15.3) o kopioitu Veikko T. Purmose luetomoisteesta. Ole käyttäyt tämä teksti osia pitämilläi kursseilla ja miulla o yt tilaisuus kiittää työtovereidei lisäksi kaikkia iitä moia aktiivisia oppilaita, jotka ovat vaikuttaeet teksti sisältöö ja muotoo. 3 1 Liite. 2 Klaus Eerikipoika Thesleff Vala , Suomi. 3 Yksi heistä, o todistaut itsellee peräti imikkolausee.

6 f ( ) 8 I METRISET AVARUUDET JA TÄYDELLISYYS 1. Sisätulo, ormi, metriikka ja topologia Avaruude R tavallie eli euklidie topologia eli kaikkie tavallisessa mielessä avoimie joukkoje joukko muodostetaa seuraavalla moivaiheisella kostruktiolla: Määritelmä 1.1. (1) Varustetaa R tavallisella, euklidisella eli stadardisisätulolla (x y) = j=1 x jy j, missä x =(x 1,...,x )jay =(y 1,...,y ). Stadardisisätulolla o abstrakti sisätulo määrittelevät omiaisuudet, eli kaikilla x R pätee symmetria: (x y) =(y x) positiividefiiittisyys: (x x) 0; (x x) > 0, ku x 0 bilieaarisuus: lieaarisuus kummaki muuttuja suhtee. (2) Muodostetaa stadardisisätulo avulla euklidie ormi x = x 2 = (x x) = x 2 j, joka o ei-egatiivie reaaliluku, koska juurrettava o ei-egatiivie. Määritelmä taustalla o alkeisgeometrie Pythagoraa lauseesee perustuva vektori pituude laskukaava. Euklidisella ormilla o yleise ormi määrittelevät omiaisuudet positiivisuus: x 0 kaikilla x R defiiittisyys: x = 0 vai, ku x =0 positiivihomogeeisuus: λx = λ x kaikille λ R ja x R kolmioepäyhtälö: x + y x + y kaikille x, y R. Lisäksi sisätulo ja siitä muodostetu ormi välillä pätee Cauchy, Schwarzi ja Bujakovski epäyhtälöksi 4 imitetty yhteys: j=1 (CSB) (x y) x y, 4 Augusti Louis Cauchy , Raska. Herma Amadus Schwarz, Saksa ja Cauchy oppilas Viktor Jakovlevitš Bujakovski , Ukraia/Veäjä.

7 1. SISÄTULO, NORMI, METRIIKKA JA TOPOLOGIA 9 joka avulla kolmioepäyhtälö o tapaa johtaa, ja joka myös tekee mahdolliseksi määritellä vektorie välise kulma sisätulo avulla. (3) Normista saadaa edellee tavallie eli euklidie metriikka asettamalla kahde vektori väliseksi euklidiseksi etäisyydeksi d(x, y) = x y. Normi omiaisuuksista seuraa, että pari (R,d)ometrie avaruus, ts. d toteuttaa abstrakti metriika aksioomat: Kaikilla x, y, z R pätee positiivisuus: d(x, y) 0 refleksiivisyys: d(x, x) =0 defiiittisyys: d(x, y) = 0vai,kux = y symmetria: d(x, y) =d(y, x) kolmioepäyhtälö: d(x, z) d(x, y) +d(y, z) (4) Avaruude R metrie, euklidie eli tavallie topologia o se kaikkie tavallise metriika mielessä avoite joukkoje joukko: T = {A R x A r >0 s.e. Bd (x, r) A}. Tässä okäytetty tavaomaista merkitää avaruude R avoimelle pallolle B(x, r) =B d (x, r) ={y R d(x, y) <r}. Jouko X = R tavallisella topologialla o seuraavat abstrakti topologia määrittelevät omiaisuudet: T {jouko X osajoukot} X T T A B T, jos A T ja B T A T, jos A T. Huomaa alimma rivi lyhyt merkitä yhdisteelle: A tarkoittaa samaa kui A A A. Jouko X kaikkie osajoukkoje joukkoa o tapaa saoa X: potessijoukoksi ja merkitä 2 X. Nime ja merkitätava taustalla o havaito, että -alkioisella joukolla o tasa 2 eri osajoukkoa. Topologia määritelmä o asetettu ii, että muut topologiset käsitteet voidaa palauttaa siihe. Seuraavassa o lueteltu muutamia topologisia käsitteitä. Luettelo o tarkoitettu viitteeksi siitä millaisia topologia ala tietoja tarvitaa tämä kirja ymmärtämiseksi. Topologia perustietoja voi opiskella esimerkiksi Jussi Väisälä kirjasta [V].

8 f ( ) 10 Määritelmä 1.2. Olkoo T jouko X topologia. ( ) Suljettu joukko o avoime jouko komplemetti. ( ) Jouko A X sulkeuma o A = {B X A B,B o suljettu}. ( ) Jouko A X osajoukko C A o tiheä joukossa A, jos A = C. ( ) Joukko A o pistee x ympäristö, jos o olemassa avoi joukko U T site, että x U A. Sama ilmaistaa saomalla, että x o jouko A sisäpiste. ( ) Jouko A sisus it A o se sisäpisteide joukko. ( ) Jouko A reua A o joukko A X A. ( ) Joukko o kompakti, jos se jokaisella avoimella peitteellä o äärellie osapeite. ( ) Joo raja-arvo määritellää asettamalla, että x y X, jos jokaista y: ympäristöä A kohti o olemassa ideksi A N site, että m A = x m A. ( ) Jookompaktiksi saotaa joukkoa A X, joka jokaisella joolla (x ) N o suppeeva osajoo x k a A. ( ) Fuktio raja-arvo määrittelemme topologisesti saomalla, että f(x) x y b, jos jokaista b: ympäristöä B kohti o olemassa y: ympäristö A B site, että f(a B {y}) B. ( ) Kuvaus o jatkuva, jos jokaise avoime jouko alkukuva o avoi. ( ) Kuvaus o avoi, jos jokaise avoime jouko kuvajoukko o avoi. ( ) Kuvaus o homeomorfismi, jos se o sekä bijektio, jatkuva että avoi. Fuktioaaliaalyysi tutkii esisijaisesti erilaisia topologisia vektoriavaruuksia, joissa kaikissa voimme käyttää mm. edellä kertaamiamme topologisia käsitteitä. Useimmat tutkimamme avaruudet, eteki kaikki ormiavaruudet, ovat kuiteki metrisiä avaruuksia, jote iissä voi tarkastella edelliste lisäksi myös muita metriste avaruuksie teoriaa, eteki tasaisee suppeemisee ja täydellisyytee liittyviä ilmiöitä. Seuraavassa o muutamia esimerkkejä metrisistä käsitteistä. Määritelmä 1.3. Olkoo d metriikka joukossa X. ( ) Joukko A X o rajoitettu, jos se sisältyy johoki palloo. ( ) Fuktio f : X Y o rajoitettu, jos kuvajoukko f(x) o rajoitettu. f o rajoitettu joukossa A X, jos A: kuva f(a) o rajoitettu joukko. ( Rajoitettu lieaarikuvaus o kuiteki jotaki muuta kui mitä imi saoo; ollasta eroava lieaarikuvaus ei voi olla rajoitettu juuri esittämässämme mielessä.) ( ) Fuktiojoo (f ) suppeee tasaisesti kohti fuktiota f joukossa A X, jos kaikilla ε>0 o olemassa ideksi eli luku ε N site, että m ε = f m (x) B d (f(x),ε) kaikilla x A. ( ) Kahde metrise avaruude välie kuvaus f : X Y o isometria, jos se säilyttää pisteide etäisyydet, eli ku d(f(x),f(y)) = d(x, y) kaikilla x, y X. Selvästi jokaie isometria o ijektio, mutta ei välttämättä surjektio. Surjektiivista isometriaa saotaa isometriseksi isomorfismiksi, ja sellaie o siis aia bijektio. ( ) Kahde metrise avaruude välie fuktio f : X Y o tasaisesti jatkuva, jos kaikilla ε>0 o olemassa luku δ>0 site, että d(x, y) <δ = d(f(x),f(y)) <ε.

9 2. WEIERSTRASSIN APPROKSIMAATIOLAUSE 11 ( ) Joo pisteitä x X o Cauchy-joo, jos kaikilla ε>0 o olemassa ideksi ε N site, että m, ε = d(x m,x ) ε. ( ) Metrie avaruus (X, d) o täydellie, jos se jokaie Cauchy-joo suppeee. Seuraava lause ilmaisee kaksi tuettua tosiasiaa euklidisesta avaruudesta R. Lause 1.4. Euklidie avaruus R o täydellie metrie avaruus ja topologie vektoriavaruus. Jälkimmäie väite merkitsee, että laskutoimitukset +:R R R ja : R R R ovat jatkuvia fuktioita. Tuloavaruudet R R ja R R o luoollisella tavalla samastettu avaruuksii R 2 ja R 1+. Huomautus 1.5. Määritelmä 1.1. ataa mahdollisuude yleistyksee. Mistä tahasa sisätulosta voi samalla kostruktiolla raketaa ormi, mistä tahasa ormista metriika ja mistä tahasa metriikasta topologia. Näi ajattelemme tehdyksi, ku ei toisi saota. 2. Weierstrassiapproksimaatiolause 2.1. Taustaa. Weierstrassi klassie approksimoitilause saoo, että kompaktilla välillä voi mitä tahasa jatkuvaa reaaliarvoista fuktiota approksimoida tasaisesti polyomilla. Lause tutuu vähemmä itsestää selvältä, ku muistaa, että Weierstrass o myös ataut esimerki fuktiosta, joka o koko välillä jatkuva, mutta ei missää derivoituva. Myös se, että Catori 5 porrasfuktiota voi approksimoida polyomilla, saattaa olla yllättävää. Weierstrassi approksimaatiolausee sisällö voi ilmaista saomalla, että polyomie joukko A o tiheä jatkuvie fuktioide avaruudessa C([a, b], R) ={f :[a, b] R f o jatkuva}, joka o varustettu tasaise suppeemise ormilla eli sup- ormilla f =sup{ f(x) x [a, b]} = max{ f(x) x [a, b]} Weierstrassilause. Lause 2.1(Weierstrass 1885). 6 Olkoo f :[a, b] R jatkuva ja ε>0. Silloi o olemassa polyomi p, jolle p(x) f(x) ε x [a, b]. Todistuksesta. Todistamme Weierstrassi lausee esi eliöjuurifuktiolle, sitte itseisarvofuktiolle, murtoviivafuktioille ja iide avulla kohdassa 2.7. lopulta kaikille muilleki jatkuville fuktioille. 5 Georg Cator Joukko-opi perustaja. Saksa. 6 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass , Saksa.

10 f ( ) 12 Esimerkki 2.2. Olkoo f(x) = x välillä [0, 1] ja olkoo 0 <ε<1. Polyomi p löydetää esimerkiksi seuraavalla tavalla. Neliöjuurifuktio f Taylor-sarja kehitettyä pisteessä 1 suppeee eliöjuurifuktiota kohti tasaisesti 7 välillä [a, 1+a], ku 0 <a<1. O siis olemassa esimerkiksi polyomi q, jolle q(x) x < ε 2 kaikilla x [ 1 4 ε2, ε2 ], toisi saoe (1) q(x ε2 ) x ε2 < ε 2 x [0, 1]. Polyomiksi p kelpaa yt p(x) =q(x ε2 ), sillä tekemämme vaakasuora siirto 1 4 ε2 : verra ei muuta eliöjuurifuktiota liikaa: _ ε 2 _ 2 4 ε _ 0 1 Kuva 1. Neliöjuurifuktio approksimoiti. (2) x ε2 x ε 2 x [0, 1]. Arviot (1) ja (2) yhdessä atavat Weierstrassi lausee väittee fuktiolle f(x) = x. Esimerkki 2.3. Olkoo seuraavaksi f(x) = x = x 2 välillä [ 1, 1]. Edellise esimerki ratkaisu p auttaa löytämää polyomiapproksimaatio tälleki, imittäi polyomi p(x 2 ). Esimerkki 2.4. Esimerki 2.3 pohjalta keksii helposti itseisarvofuktiolle tasaise polyomiapproksimaatio millä tahasa kompaktilla välillä [a, b]. Erityisesti siis jokaiselle polyomille p :[a, b] R o olemassa polyomi q, joka ataa itseisarvofuktiolle ε 2 approksimaatio polyomi p arvojoukossa p([a, b]). Tällöi q(p(x)) p(x) < ε 2 x [a, b]. 7 Taylor-sarja o potessisarja. Potessisarja tasaie suppeemie avoime suppeemisväli kompaktissa osassa o tuettu asia, jota Weierstrasski tutki aikoiaa.

11 2. WEIERSTRASSIN APPROKSIMAATIOLAUSE 13 Tästä seuraa, että jos fuktiota f voidaa approksimoida ε 2-tasaisesti polyomilla, olkoo se vaikkapa p, ii itseisarvoa f voidaa approksimoida ε-tasaisesti polyomilla q p: (q p)(x) f(x) q(p(x)) p(x) + p(x) f(x) q(p(x)) p(x) + p(x) f(x) ε 2 + ε 2 = ε. Esimerkki 2.5. Jos fuktioita f ja g voidaa approksimoida tasaisesti polyomeilla p ja q, ii lieaarikombiaatiota λf + µg ja tuloa fg voidaa approksimoida tasaisesti polyomeilla λp + µq ja pq. Perustelu jääköö harjoitustehtäväksi. Huomautus 2.6. Käytimme jo lyheettä A = {p p o polyomi [a, b] R}. Weierstrassi lausee väite o: A = C([a, b], R). Polyomie joukko A o reaalikertoimie fuktioalgebra, ts. suljettu vektoriavaruuslaskutoimituste ja kertolasku suhtee: f,g Aja λ R = f + g A,λf Aja fg A. Esimerki 2.5. tulos merkitsee, että myös polyomie algebra sulkeuma A o fuktioalgebra. Esimerki 2.4. tulos f A = f A puolestaa osoittaa, että toisi kui A itse A o myös fuktiohila, ts. suljettu maksimi ja miimi muodostamise suhtee: f,g A = max{f,g} A, ja mi{f,g} A. Näi o siksi, että reaaliluvuille ja siis tavallisessa pisteittäisessä mielessä myös reaaliarvoisille fuktioille maksimi ja miimi palautuvat laskutoimituksii ja itseisarvoo kaavoilla max{f,g} = 1 2 ((f + g)+ f g ) mi{f,g} = 1 2 ((f + g) f g ) Myös äärellise moe A fuktio maksimi ja miimi kuuluvat siis hilaa A. Esimerkki 2.7. Jokaista murtoviivafuktiota eli paloittai affiiia fuktiota voi approksimoida polyomilla välillä [a, b]. Tämä johtuu siitä, että murtoviivafuktio o lausuttavissa miimiä esimmäise astee polyomie maksimeista.

12 f ( ) 14 max(f,f ) 6 7 max(f,f ) 1 max(f,f,f ) f 1 f 2 f 4 f 5 f 3 f 7 f 6 mi( max(f,f ),max(f,f,f ),max(f,f )) a b Kuva 2. Murtoviivafuktio lauseke. Huomautus 2.8 (Todistus Weierstrassi approksimaatiolauseelle). Olkoo f :[a, b] R jatkuva ja ε>0. Etsitää sellaista fuktiota g A, että olisi g f ε. Edellise esimerki ojalla riittää todistaa, että jokaista välillä [a, b] jatkuvaa fuktiota f voi approksimoida tasaisesti murtoviivafuktiolla. Tämä puolestaa seuraa siitä, että kompaktilla välillä jatkuva fuktio f o tasaisesti jatkuva. Olkoo imittäi 0 < ε < 1. Koska f o tasaisesti jatkuva, o mahdollista valita tasaväliset pisteet a = x 0 <x 1 = a + δ< <x = a + δ = b site, että f(x) f(x j ) < ε 2 kullaki välillä [x j δ, x j + δ]. Murtoviiva, joka yhdistää kaikki pisteet (x j,f(x j )), (0 j ), määrittelee fuktio g, jolle f g ε. ε a x x 1 2 x x x x b Kuva 3. Murtoviivafuktiolla approksimoiti.

13 2. WEIERSTRASSIN APPROKSIMAATIOLAUSE Yleistys: Stoeja Weierstrassilause ( ). Huomautus 2.9. Weierstrassi lause pätee paljo vähemmi oletuksi kui edellä tehtii. Myös lausee todistus yleistyy piei korjauksi. Kompakti väli [a, b] voidaa korvata millä tahasa kompaktilla reaalilukujoukolla muuttamatta todistusta laikaa. Jos kuiteki halutaa tutkia muita kui reaalimuuttuja fuktioita, o jo lausee oletuksissa polyomijoukko A korvattava jollaki muulla sellaisella joukolla jatkuvia fuktioita, jolla todistukse vaiheet voidaa toteuttaa. Todistukse tärkeää välivaiheea todistimme, että klassise Weierstrassi lausee tilateessa A o fuktiohila. Tämä ajatus o johtaut Weierstrassi lausee hilaversio ja se avulla todistettava Stoe ja Weierstrassi lausee keksimisee. Lause 2.10 (Weierstrassi approksimaatiolausee hilamuoto). Olkoo X kompakti topologie avaruus ja A C(X, R). Riittävää sille, että A o tiheä tasaise suppeemise ormi mielessä o, että (1) A tai A o hila. (2) A erottelee vahvasti X: pisteet, eli kaikille x y X ja kaikille λ, µ R o olemassa f xy Asite, että f xy (x) =λ ja f xy (y) =µ. Todistus. Olkoo f : X R jatkuva ja ε > 0. Etsitää sellaista fuktiota g A, että olisi g f =sup f(x) g(x) ε. x X Korvaamme Weierstrassi lausee todistukse lopussa tehdy murtoviivakostruktio seuraavalla meettelyllä. Olkoo aluksi x X kiiteä piste. Valitaa jokaista y X kohti sellaie f xy A, että f xy (x) =f(x) ja f xy (y) =f(y). Kuvissa fuktioita f xy o havaiollistettu esimmäise astee polyomeilla. Koska f xy o jatkuva, o y:llä avoi ympäristö U xy, jossa f xy >f ε. f+ ε f f - ε f xy a x y b U xy X Kuva 4. Erotteleva fuktio.

14 f ( ) 16 Pisteide y avoimet ympäristöt U xy peittävät kompakti jouko X, jote iistä voidaa valita äärellie osapeite {U xy1,...,u xy }. Vastaavie fuktioide maksimi x o hilaoletukse mukaa A:ssa: f x = max{f xy1,...,f xy x } A. Puolet tavoitteesta o saavutettu, sillä olöytyyt fuktio f x A, jolle f x >f ε koko joukossa X. Lisäksi f x (x) =f(x) jaf x o jatkuva, jote kiiteäksi valitsemallamme pisteellä x o ympäristö U x, jossa pätee myös toisipäi oleva epäyhtälö: f x <f+ ε. f x f xy1 f xy 3 f xy4 y 1 x y 2 y y 3 4 f xy 2 U xy U xy U xy U xy 4 Kuva 5. Approksimoiti yhdessä ympäristössä. f x 3 f x2 f x 1 g x U 1 x 2 U x x x U 1 2 x 3 3 Kuva 6. Approksimoiti koko joukossa. Pistee x käydessä läpi koko jouko X saadaa taas peite ja voidaa toistaa kompaktiuspäättely. Valitaa fuktioksi g miimi äi saatavista fuktioista f x1,...,f xm. Sillä o halutut omiaisuudet.

15 2. WEIERSTRASSIN APPROKSIMAATIOLAUSE 17 Lause 2.11 (Stoe versio Weierstrassi lauseesta 1948) 8. Olkoo X kompakti topologie avaruus ja A C(X, R). Riittävää sille, että A o tiheä tasaise suppeemise ormi mielessä o, että (1) vakiofuktio 1 kuuluu joukkoo A, (2) A o fuktioalgebra kohda 2.6. mielessä ja (3) A erottelee X: pisteet, eli kaikille x y X o olemassa f xy Asite, että f xy (x) f xy (y). Todistus. Stoe ja Weierstrassi lausee oletuksista seuraa samalla päättelyllä kui Weierstrassi lausetta todistettaessa kohdassa 2.6, että sulkeuma A o fuktioalgebra ja hila. Hilaksi todistettaessa ja muuteki vastaise varalle o hyvä tiedostaa, että fuktioalgebra sisältää kaikki polyomit alkioistaa: jos f Aja p o polyomi, ii p(f) Aeli toisi merkite p f A. Toisaalta o helppo huomata, että oletuksistamme seuraa myös, että A erottelee X: pisteet vahvasti. Muuta ei lausee 2.10 mukaa tarvitakaa. Huomautus Weierstrassi klassie lause pätee myös reaalisella välillä määritellylle kompleksiarvoiselle jatkuvalle fuktiolle. Tämä toteamiseksi ei tarvitse tehdä muuta kui approksimoida eriksee se reaali- ja imagiaariosaa. Se sijaa yleisempi Stoe ja Weierstrassi lause ei päde, jos reaaliluvut muitta mutkitta korvataa kompleksiluvuilla. Tärkeä vastaesimerkki saadaa yrittämällä approksimoida jatkuvaa kompleksiarvoista fuktiota tasaisesti kompleksisilla polyomilla sisäpisteellisessä kompaktissa joukossa X C. Kompleksimuuttuja polyomit ovat imittäi kompleksiaalyyttisiä eli holomorfisia ja holomorfisuus säilyy tasaisessa kovergessissa. Ei siis ole mitää mahdollisuuksia approksimoida epäholomorfista jatkuvaa fuktioita, esimerkiksi kompleksikojugoitifuktiota z = x + iy z = x iy kompleksisella polyomilla sisäpisteellisessä kompaktissa joukossa X C. Laajetamalla approksimoitii käytettyje fuktioide joukkoa hiema voidaa asiaa kuiteki korjata. Kojugoitifuktio ataa itse tarvittava lisäehdo: Lause 2.13 (Stoe ja Weierstrassi lausee kompleksie muoto). Olkoo X kompakti topologie avaruus ja A C(X, C). Riittävää sille, että A o tiheä tasaise suppeemise ormi mielessä o, että (1) vakiofuktio 1 kuuluu joukkoo A, (2) A o kompleksikertoimie fuktioalgebra, (3) A erottelee X: pisteet ja (4) f A = f A. Perustelu. Lause voidaa helposti palauttaa Stoe ja Weierstrassi lausee reaalisee muotoo tarkastelemalla reaalikertoimista fuktioalgebraa A R = {f A f(x) R}, joka sisältää A: alkioide reaali- ja imagiaariosat. 8 Marshall Harvey Stoe , USA-Itia.

16 f ( ) Weierstrassiapproksimaatiolauseesovelluksia ( ). Seuraus 2.14 (Separoituvuus). Normiavaruus (C([a, b], R), )oseparoituva, ts. siiä o olemassa tiheä, umeroituva osajoukko. Tällaiseksi kelpaavat Weierstrassi approksimaatiolausee mukaa vaikkapa ratioaalikertoimiset polyomit tai Q 2 kulmaiset murtoviivafuktiot. Vastaava pätee myös avaruudelle (C(X, R), ), ku X R o kompakti. Itse asiassa avaruus (C(X, R), ), o separoituva, ku X o mikä tahasa kompakti metrie avaruus 9. Seuraus 2.15 (Trigoometriset polyomit). Olkoo X kompleksitaso yksikköympyrä kehä X = {z C z =1} = {e ϕi ϕ R} ja muodostukoo A kaikista kompleksisista trigoometrisistä polyomeista A = { f C(X, C) f(z) = k= c k z k joillaki N,c k C }. O syytä huomata, että trigoometrise polyomi lausekkeessa esiityvät myös z: egatiiviset potessit ja että z k ja z k ovat toistesa kompleksikojugaatit, ku z = 1. Siksi kompleksie Stoe ja Weierstrassi lause takaa, että tällöi A = C(X, C). Tämä merkitsee, että jokaista 2π-jaksollista jatkuvaa fuktiota R C voidaa approksimoida tasaisesti kompleksisella trigoometrisella polyomilla k= c k e ikx = k= c k (cos(kx)+i si(kx)). Tarkastelemalla reaaliosia huomaa, että jokaista 2π-jaksollista reaaliarvoista jatkuvaa fuktiota R R voidaa approksimoida tasaisesti reaalisella trigoometrisella polyomilla: x a a k cos(kx)+b k si(kx). k=0 Näillä tuloksilla o laajakatoisia seurauksia, joista maiitsemme tässä tuetuimma heti, vaikka tarvittavat käsitteet määritellääki vasta myöhemmi Hilbert-avaruuksia käsittelevässä luvussa: Kompaktilla välillä eliöitegroituva fuktio Fourier-sarja esittää sitä 2 ormi mielessä. 9 Perustelut: [F]. Kääteieki pätee: Jos X o kompakti Hausdorff topologie avaruus ja (C(X, R), ) separoituva, ii X o metrisoituva. [J].

17 3. BANACHIN KIINTOPISTELAUSE Baachi kiitopistelause 3.1. Kotraktio kiitopiste. Baachi kiitopistelause o huomattava yleistys periaatteelle, joka mukaa geometrie sarja suppeee. Seurate yleistä käytätöä määrittelemme aluksi fuktio Lipschitz-jatkuvuude 10 ja kutistavuude eli kotraktiivisuude. Määritelmä 3.1. Olkoo (X, d) metrie avaruus. Kuvaus f : X X o (1) Lipschitz-jatkuva, jos o olemassa luku, Lipschitz-vakio K 0, jolla d(f(x),f(y)) Kd(x, y) x, y X. (2) kotraktio eli kutistava kuvaus, jos f o Lipschitz-jatkuva vakiolla K < 1. Vakio K o tällöi imeltää kotraktiokerroi. Jokaie Lipschitz-jatkuva kuvaus, erityisesti kotraktio o tasaisesti jatkuva. Baachi kiitopistelause koskee aioastaa kotraktioita. Huomaa, että kotraktio määritelmässä o imeomaa K<1. Arvo 1 ei kelpaa. Lause 3.2 (Baachi kiitopistelause) 11. Täydellise metrise avaruude (X, d) kotraktiolla f : X X o tasa yksi kiitopiste eli piste ξ X, jolla f(ξ) =ξ. Todistus. Määritellää joo avaruude X pisteitä valitsemalla esimmäiseksi mikä tahasa x 0 X ja sitte iteroimalla siihe kuvausta f, toisi saoe x +1 = f(x ), eli x = f(f(f(...f(x 0 )...))) = f (x 0 ). Tarkoituksea o osoittaa, että joo (x 0,x 1,x 2,...) suppeee ja se raja-arvo o etsitty kiitopiste. Koska f o kotraktio, o olemassa aidosti ykköstä pieempi vakio 0 <K<1, jolla d(f(x),f(y)) Kd(x, y) x, y X. Tästä huomataa, että joo askelet d(x,x +1 ) lyheevät vähitää geometrisesti: d(x,x +1 )=d(f (x 0 ),f +1 (x 0 )) Kd(f 1 (x 0 ),f (x 0 )) K d(x 0,f(x 0 )). x 0 x 3 =f(x ) 2 x =f(x ) 1 0 x 4 =f(x 3 ) x =f(x ) 1 2 kiitopiste: f(x)=x x =f(x ) 7 6 x =f(x ) 8 7 x 6 =f(x 5 ) x 5 =f(x ) 4 Kuva 7. Kiitopistee löytämie iteroimalla. 10 Rudolf Otto Sigismud Lipschitz , Saksa. 11 Stefa Baach , Puola-Ukraia.

18 f ( ) 20 Koska avaruus X o täydellie, voidaa raja-arvo ξ =lim x olemassaolo todistaa Cauchy ehdolla. Olkoot, m N ja m >. Arvioidaa etäisyyttä d(x,x m ) toistuvasti kolmioepäyhtälö avulla ja käytetää ehtoa 0 <K<1: d(x,x m ) d(x,x +1 )+d(x +1,x m ) d(x,x +1 )+d(x +1,x +2 )+d(x +2,x m )... d(x,x +1 )+d(x +1,x +2 )+ + d(x m 1,x m ) K d(x 0,f(x 0 )) + K +1 d(x 0,f(x 0 )) + + K m 1 d(x 0,f(x 0 )) m 1 = d(x 0,f(x 0 )) K j d(x 0,f(x 0 )) K j = d(x 0,f(x 0 )) K 1 K. j= Etäisyys o siis toivotulla tavalla mielivaltaise piei, kuha o tarpeeksi suuri. Tämä riittää takaamaa raja-arvo ξ = lim f (x 0 ) olemassaolo. Kotraktioa kuvaus f o jatkuva, jote j= f(ξ) =f ( lim f (x 0 ) ) = lim f( f (x 0 ) ) = lim f +1 (x 0 )=ξ eli ξ o kuvaukse f kiitopiste. O lopuksi selvää, että muita kiitopisteitä ei ole, sillä jos sekä ξ että η ovat kuvaukse f kiitopisteitä, ii d(η, ξ) =d(f(η),f(ξ)) Kd(η, ξ), mikä o oletukse K<1 ojalla mahdotota, ellei d(η, ξ) ole 0. Baachi kiitopistelausee todistus paljastaa siis, että täydellisessä avaruudessa jokaisella kotraktiolla o yksikäsitteie kiitopiste ja että tämä kiitopistee luo pääsee iteroimalla kotraktiokuvausta f. O vieläpä helppoa arvioida, kuika kaukaa kiitopisteestä eitää ollaa : iteraatioaskele jälkee. Arvio riippuu aioastaa esiaskele pituudesta d(x 0,f(x 0 )), kotraktiovakiosta K ja askelte lukumäärästä. Baachi kiitopistelausee väite ei tietekää päde, ellei avaruude täydellisyyttä oleteta. Vastaesimerki tarjoavat vaikkapa metrie avaruus X = R {0} ja kotraktio f(x) = x 2.Myös vaatimus K<1otärkeä. Ei riitä, että K 1 eikä edes, että d(f(x),f(y)) <d(x, y) kaikilla x, y X. Esitämme seuraavassa joitaki Baachi kiitopistelausee sovelluksia differetiaali- ja itegraaliyhtälöide teoriaa Differetiaaliyhtälöratkaisuolemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause ( ). Esimmäise kertaluvu tavalliste differetiaaliyhtälöide ratkaisu olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause o differetiaaliyhtälöide teoria perustulos, joka varaa raketuu suuri määrä mutkikkaampie differetiaaliyhtälöide ratkaisuje olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseita ja joitaki ratkaisuje löytämisee käytettyjä umeerisia meetelmiä. Lausee muotoilussa o tapaa käyttää seuraavaa osittaise Lipschitz-jatkuvuude käsitettä:

19 3. BANACHIN KIINTOPISTELAUSE 21 Määritelmä 3.3. Olkoo Ω R 2 ja L>0. Fuktio f :Ω R o x-tasaisesti Lipschitz-jatkuva y: suhtee Lipschitz-vakiolla L, jos f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2 (x, y 1 ), (x, y 2 ) Ω. x-tasaie Lipschitz-jatkuvuus y: suhtee tarkoittaa siis, että kaikki fuktio f osittaiskuvaukset f(x, ) ovat Lipschitz-jatkuvia samalla vakiolla L. Lause 3.4 (OY-lause) 12. Olkoo Ω R 2 origo ympäristö sekä f :Ω R rajoitettu ja x-tasaisesti Lipschitz-jatkuva y: suhtee. Tällöi differetiaaliyhtälöllä y = f(x, y) o jollaki välillä ] h, +h[ tasa yksi alkuehdo y(0) =0toteuttava ratkaisu, toisi saoe derivoituva fuktio ϕ : ] h, +h[ R, jolle pätee alkuehto ϕ(0) = 0 ja lisäksi koko välillä (1) ϕ (x) =f(x, ϕ(x)). y a b Ω ϕ x h Kuva 8. OY-lausee väite. Todistus. Koska Ω o avoi, o olemassa suorakaide [ a, a] [ b, b] Ω. Seuraavassa osoitetaa, että väittee luvuksi kelpaa h<mi { a, b M, 1 L}, missä L o fuktio f Lipschitz-vakio ja M o rajoitetu fuktio f yläraja. 12 OY lausee todistaja o Charles Emile Picard Älä sekoita toisee kuuluisaa raskalaisee Picardii (Jea Picard ).

20 f ( ) 22 Todistukse ideaa o käyttää Baachi kiitopistelausetta. Siksi o tarpee valita sopiva täydellie metrie avaruus X ja se kotraktio F : X X site, että tutkittava differetiaaliyhtälö (1) o yhtäpitävä kiitopisteyhtälö F (x) = x kassa. Voisi arvata, että avaruudeksi X pitää valita sopiva fuktioavaruus, varmaaki joki joukko fuktioita ] h, +h[ R, ja äi meettelemmeki. Ogelmallista o aluksi se, että differetiaaliyhtälö (1) ratkaisulle pätee ϕ = f(x, ϕ(x)), joka ei ole kiitopistetyyppie yhtälö, jollaie olisi esimerkiksi yhtälö ϕ = f(x, ϕ(x)). Kiitopistelausee lisäksi todistukse oivallus oki se, että ogelma muuttuu kiitopistetyyppiseksi itegroimalla puolittai. Etsitää fuktiota ϕ, jolla ϕ(x) = x 0 f(t, ϕ(t)) dt, siis kiitopistettä kuvaukselle F : X X, jolle F (ϕ)(x) = x f(t, ϕ(t)) dt. 0 Idea o esitelty. Viimeistellää todistus valitsemalla sopiva täydellie metrie avaruus X ja todistamalla, että F o kotraktio. Jatkuvie fuktioide avaruus C([ h, h], R) varustettua tasaise suppeemise metriikalla d (f,g) = f g o tuetusti täydellie; tämähä merkitsee vai sitä, että tasaise Cauchy-ehdo toteuttava joo jatkuvia fuktioita suppeee tasaisesti ja jatkuvuus säilyy tasaisessa kovergessissa. Valitsemme avaruudeksi X fuktioavaruutee C([ h, h], R) sisältyvä suljetu pallo X = B C([ h,h],r) (0,b) ja muistamme topologia perusopioista tai tarkastamme pieellä laskulla, että täydellise metrise avaruude suljettu osajoukko, erityisesti valitsemamme X, o täydellie metrie avaruus. Osoitamme, että yhtälö F (ψ)(x) = x 0 f(t, ψ(t)) dt määrittelee kotraktio F : X X. Olkoo ψ X = B C([ h,h],r) (0,b), siis ψ jatkuva ja ψ(t) b kaikilla t. Tarkastetaa aluksi oko F (ψ) B C([ h,h],r) (0,b). Jotta F (ψ)(t) olisi aiaki määritelty kaikilla t [ h, h], o tarpee, että itegroitava f(t, ψ(t)) o määritelty kaikilla t [ h, h], toisi saoe, että ψ(t) [ b, b]. Tämä oki kuossa. Koska f ja ψ o lisäksi oletettu jatkuviksi, o myös kuvaus t f(t, ψ(t)) jatkuva välillä [ h, h], jote se itegraalifuktio x F (ψ)(x) = x f(t, ψ(t)) dt o olemassa ja jatkuva. Kuvaus F : X C([ h, h], R) 0 o siis aiaki hyvi määritelty. Osoitetaa, että F : kuvajoukko sisältyy palloo B C([ h,h],r) (0,b) ja että F o kotraktio. Esi maiittu o helppoa, koska x x F (ψ)(x) = f(t, ψ(t)) M hm < b. 0 0

21 3. BANACHIN KIINTOPISTELAUSE 23 Myös kotraktiivisuude todistus eteee samaa uraa, mutta käyttää Lipschitz-ehtoa eikä ylärajaa M. Olkoot φ ja ψ X. Arvioidaa etäisyyttä d(f (φ),f(ψ)) = F (φ) F (ψ). Olkoo x [ h, h]. x ( ) F (φ)(x) F (ψ)(x) = f(t, φ(t)) f(t, ψ(t)) dt L 0 x 0 x 0 h 0 f(t, φ(t)) f(t, ψ(t)) dt L φ(t) ψ(t) dt φ ψ dt = Lhd(φ, ψ) = Kd(φ, ψ), missä K = Lh < 1. Kuvaus F : X X o siis kotraktio täydellisessä metrisessä avaruudessa, jote sillä o Baachi lausee mukaa tasa yksi kiitopiste ϕ X = B C([h,h],R) (0,b). Nyt o helppoa todistaa OY lausee väite. Aloitamme tarkastamalla, että löytämämme kiitopiste ϕ X toteuttaa OY lausee ehdot. Aiaki kiitopiste o jatkuva fuktio ϕ :[ h, h] [ b, b] ja toteuttaa ehdo ϕ(x) =F (ϕ)(x) = x 0 f(t, ϕ(t)) dt. Oikeasta puolesta äkyy, että ϕ o derivoituva ja että derivoimalla puolittai saadaa differetiaaliyhtälö ratkaisu omiaisuus ϕ (x) =f(x, ϕ(x)). Tietysti alkuehtoki toteutuu: ϕ(0) = 0 f(t, ϕ(t)) dt =0. Jää harjoitustehtäväksi tarkastaa, että 0 jokaie alkuehdo ja välillä ] h, h[ alkuperäise differetiaaliyhtälö toteuttava fuktio ϕ o myös F : kiitopiste, siis yksikäsitteie Fredholmija Volterraitegraaliyhtälöt ( ). Esimerkki 3.5. (Fredholmi itegraaliyhtälö). 13 Olkoot aettuia luku λ ja jatkuvat fuktiot Fredholmi itegraaliyhtälö o (1) f(x) =λ K :[a, b] [a, b] R h :[a, b] R. b a ja K(x, y)f(y) dy + h(x), missä ogelmaa o löytää fuktio f. Ratkaisemie oistuu riittävä pieellä λ käyttämällä Baachi kiitopistelausetta kuvauksee: T : C[a, b] C[a, b] Tf(x) =λ b 13 Erik Ivar Fredholm , Ruotsi. a K(x, y)f(y) dy + h(x).

22 f ( ) 24 Tämä perustelemiseksi tutkitaa aluksi, millä ehdolla T o kotraktio. [a, b] [a, b] o kompakti ja K o jatkuva, ii Koska M = max K(x, y) <. a x,y b Pätee siis arvio: Tf Tg = max jote T o kotraktio, kuha a x b b = max a x b λ Tf(x) Tg(x) = a K(x, y)(f(y) g(y)) dy λ M f g (b a), λ < 1 M (b a). Baachi lausee mukaa o tällöi olemassa kuvaukse T kiitopiste f, ja se o selvästiki Fredholmi itegraaliyhtälö yksikäsitteie ratkaisu. Esimerkki 3.6. (Volterra itegraaliyhtälö (1897)). Olkoot aettuia jatkuvat fuktiot K ja h kute Fredholmi itegraaliyhtälössä. Volterra itegraaliyhtälö o x (2) f(x) =λ K(x, y)f(y) dy + h(x), a siis itegraali yläraja osalta erilaie kui Fredholmi yhtälö. Paratamalla hiema Baachi kiitopistelausetta o mahdollista osoittaa, että Volterra yhtälöllä o kaikilla λ R olemassa yksi ratkaisu. Harjoitustehtävää todistettava Baachi kiitopistelausee paraettu versio saoo, että täydellise metrise avaruude X kuvauksella T : X X o yksikäsitteie kiitopiste, kuha T = T T o kotraktio jollaki N. Pyrimme käyttämää tätä kuvauksee T : C[a, b] C[a, b] Tf(x) =λ x Alustava arvio tehdää kulleki x eriksee. a K(x, y)f(y) dy + h(x). (1) x Tf(x) Tg(x) = λ λ a x a K(x, y)(f(y) g(y)) dy M f g dy = λ M f g (x a).

23 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN I 25 Lopuksi osoitetaa iduktiolla : suhtee, että (2) T f(x) T g(x) λ M (x a) f g,! jolloi T o kotraktio riittävä suurella, ja Volterra yhtälö o ratkaistu. Iduktio-oletus o kaava (2). Käyttäe sitä laskemme: x T +1 f(x) T +1 g(x) λ K(x, y)(t f(y) T g(y)) dy λ a x a M λ M f g (y a) dy! = λ +1 M +1 (x a) +1 f g. ( +1)! Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuui Harjoitustehtäviä lukuui Mite sulkeuma karakterisoidaa jooi metrisessä avaruudessa? 1.2. Olkoo A X, missä (X, d) o metrie avaruus. Olkoo d A metriika d rajoittuma joukkoo A A. Tällöi (A, d A ) o metrie avaruus X: metrie aliavaruus. Osoita, että joukko U A o avoi d A mielessä, jos ja vai jos U = V A jolleki avoimelle V X. Havaiollista asiaa piirroksella Osoita, että kompakti avaruude suljettu osajoukko o kompakti Osoita, että kompaktie joukkoje leikkaus o kompakti. Leikattavia joukkoja saa olla äärettömä mota Olkoot A ja K metrise avaruude X erillisiä (siis iide leikkaus tyhjä) kompakteja osajoukkoja. Näytä, että joukkoje etäisyys d(a, K) o aidosti positiivie. (Määritelmä: d(a, K) = if {d(a, k) a A, k K}.) Päteekö väite vähemmi oletuksi? 1.6. Osoita, että metriste avaruuksie välie kuvaus F : X Y o ε, δ -mielessä jatkuva, jos ja vai jos jokaise avoime jouko B Y alkukuva F 1 (B) o avoi (jatkoa) Osoita, että jos metriste avaruuksie välie kuvaus F : X Y o jatkuva, ii jokaise kompakti jouko K Y kuvajoukko F (K) okompakti (jatkoa) Homeomorfismi o jatkuva bijektio, joka kääteiskuvauski o jatkuva. Olkoot X ja Y metrisiä avaruuksia, joista X kompakti, ja olkoo f : X Y jatkuva bijektio. Osoita, että f o homeomorfismi Olkoo a R 2. Todista, että euklidise taso R 2 siirto eli traslaatio T a : x x + a o jatkuva kuvaus. Oko mikää traslaatio lieaarikuvaus? Todista, että kompakti metrie avaruus o täydellie Osoita, että metrise avaruude X suljettu pallo B(x, r) ={y X d(x, y) r}

24 f ( ) 26 o suljettu joukko. Voiko se olla avoi? Näytä, että jos (x ) 1 ja (y ) 1 ovat X: jooja site, että d(x,x) 0 ja d(y,y) 0, ku,iid(x,y ) d(x, y) Täydeä Weierstrassi approksimaatiolausee todistusta osoittamalla, että kua < b, f o itseisarvofuktio [a, b] R ja 0 < ε, ii o olemassa polyomi p, jolle f p ε Täydeä Weierstrassi approksimaatiolausee todistusta osoittamalla, että jos fuktioita f ja g voidaa approksimoida ε-tasaisesti polyomeilla p ja q, ii lieaarikombiaatiota λf + µg ja tuloa fg voidaa approksimoida δ tasaisesti polyomeilla λf + µg ja pq. Määrää sopivat δ Oleta, että f :[a, b] R o k kertaa jatkuvasti derivoituva ja ε>0. Oko olemassa polyomi p site, että f () p () ε kaikilla =1,...,k? 2.4. Todista Stoe ja Weierstrassi lausee kompleksie muoto Olkoo (X, d) separoituva metrie avaruus ja A X. Näytä, että (A, d) o separoituva Keksi arvio Baachi kiitopistelausee ratkaisujoo suppeemisopeudelle Todista Baachi paraettu kiitopistelause, joka mukaa täydellise metrise avaruude X kuvauksella T : X X o yksikäsitteie kiitopiste, kuha T = T T o kotraktio jollaki N Todista, että jatkuvie fuktioide metrie avaruus (C([a, b], R),d )o täydellie Todista, että metrise avaruude täydellie metrie aliavaruus o suljettu osajoukko Todista, että täydellise metrise avaruude suljettu osajoukko o täydellie metrie aliavaruus Oko metrise avaruude (C[0, 1],d ) aliavaruus {f C[0, 1] f(1)=0} täydellie? 3.7. Viimeistele OY lausee yksikäsitteisyyspuole todistus tarkastamalla, että jokaie alkuehdo ja välillä ] h, h[ alkuperäise differetiaaliyhtälö toteuttava fuktio ϕ o myös F : kiitopiste, siis yksikäsitteie Todista Baachi kiitopistelausee avulla, että yhtälöllä log(x + 2) = x o yksikäsitteie ratkaisu x 0. Laske iteroimalla likiarvo ratkaisulle a) Olkoo X = B(0, 1) R varustettua tavallisella euklidisella metriikalla ja olkoo f : X X Lipschitz-jatkuva kuvaus vakiolla 1, toisi saoe oletetaa, että d(f(x),f(y)) d(x, y) x, y X. Osoita, että f(x) =x aiaki yhdessä pisteessä x X. Vihje: Tarkastele fuktioita f j =(1 1 j )f. b) Näytä esimerkillä, että vastaava väite ei päde yleiselle kompaktille joukolle B R. Vertaa tehtävää myös Baachi kiitopistelauseesee. Huomautuksia lukuui. Metrisistä ja topologisista omiaisuuksista. Metrisillä avaruuksilla o huomattavia topologisluoteisia erityispiirteitä. Esimerkiksi metriste avaruuksie välise kuvaukse jatkuvuus voidaa ilmaista sillä, että jatkuva kuvaus säilyttää jo-

25 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN I 27 oje raja-arvot. Tämä joojatkuvuus ei takaa jatkuvuutta yleisessä topologiassa. Metrie avaruus o kompakti tasa ollessaa jookompakti eli ku se jokaisella joolla o suppeeva osajoo. Vastaava ei päde yleisessä topologiassa. Cauchy-jooje yleisemmi Cauchy-filttereide ja iide mukaa (joo-) täydellisyyde käsite eivät ole topologisia käsitteitä, mutta eivät vaadi aiva metriikkaakaa, vaa liittyvät s. uiformiste avaruuksie teoriaa, jota emme käsittele. Lagrage i iterpolaatio ja Ruge ilmiö. 14 Fuktiota f :[a, b] R voi yrittää approksimoida polyomilla moi muiki tavoi kui tasaisesti. Yksi luoolliselta tutuva tapa o iterpoloiti, siis sellaise polyomi löytämie, joka yhtyy tutkittavaa fuktioo aetuissa pisteissä a 1,...,a [a, b]. Lagrage i iterpolaatiokaava f(a j ) k j p (x) = (x a k) k j (a j a k ) j=1 ataa alimmaasteise tällaise polyomi. Jos pisteet a 1,...,a valitaa tasavälisesti ja jakoa tiheetää, ii Lagrage i kaava p ei kuitekaa yleisesti lähee f:ää tasaise suppeemise mielessä eiedes,vaikkaf olisi reaaliaalyyttie jollai avoimella välillä ]c, d[ [a, b]. Tämä tuetaa imellä Ruge ilmiö. Mützi ja Szászilause. 15 Weierstrassi lausetta voi yleistellä myös iha toisee suutaa tarkastelemalla tosi tavallisia polyomeja välillä [a, b], mutta ei kaikkia. Kysymme millä luoollisia lukuja λ koskevilla ehdoilla moomie 1,x λ 1,x λ 2,x λ 3... virittämä vektorialiavaruus o tiheä C([a, b], R):ssä. Weierstrassi lauseha saoo, että aiaki ekspoetit λ = kelpaavat. Ratkaisu ataa Mützi ja Szatzi lause 16, joka mukaa ehto 1 = λ =0 o välttämätö ja riittävä. silotus. Weierstrassi klassie approksimaatiolause ataa polyomi, siis erityisesti derivoituva approksimaatio jatkuvalle fuktiolle. Tämätapaise sääöllistämise eli silotuste tekemisee o aalyysissä usei tapaa käyttää kovoluutioo perustuvaa meettelyä. joka ei yleesä aa polyomia. Weierstrassi lauseelle o todellaki olemassa kovoluutiotodistus, ks. esim. [CH] vol.1, Ch. I.4. Bersteii polyomit. 17 Esittämämme Weierstrassi klassise approksimaatiolausee todistus ei aa kovi kätevää tapaa löytää halutulaisia polyomeja. Käteviä tapoja o kuiteki olemassa. Itse asiassa Weierstrassi lausee voi 14 Joseph Louis Lagrage , Raska ja Carle David Tolmé Ruge , Saksa. 15 Herma Mütz , mm. Israel ja Otto Szász , Ukari-USA. 16 [R-2] tai [W]. Todistus perustuu Hahi ja Baachi lauseesee 21.4 ja kompleksiaalyysii. 17 Sergei Nataovitš Berstei , Veäjä.

26 f ( ) 28 todistaa approksimoimalla fuktiota f C([0, 1], R) tasaisesti Bersteii polyomeillaa 18 ( ) ( ) k B (x) = f x k (1 x) k. k k=0 Erotteluehdosta. Stoe ja Weierstrassi lauseessa esiityvä erotteluehto o siiä mielessä välttämätö, että jos X o kompakti ja A C(X, R) o ykkösfuktio sisältävä alialgebra, ii välttämätötä sille, että A o tiheä, o, että A erottelee X: pisteet. Ks. esim. [Y] s. 9. Metrisoituvuudesta. Normiavaruudet ovat metrisiä avaruuksia. O olemassa myös metrisoitumattomia topologisia vektoriavaruuksia. Hyvä lukija. Kirjoita tekijälle parausehdotuksia lukuu I. 18 Ks. esim. [W]. O myös olemassa lyhyt stokastiikkaa käyttävä todistus.

27 5. ÄÄRELLISULOTTEISEN AVARUUDEN NORMIT JA LINEAARIKUVAUKSET 29 II NORMIAVARUUDET JA JATKUVAT LINEAARIKUVAUKSET 4. Johdato Fuktioaaliaalyysi keskeie käsite o jatkuva lieaarikuvaus. Jotta kuvaus L : E F voisi olla lieaarie, o joukkoje E ja F syytä olla vektoriavaruuksia ja jotta sama kuvaus L : E F voisi olla jatkuva, o iide syytä olla myös topologisia avaruuksia. Koska haluamme, että lieaarisuus ja jatkuvuus liittyisivät joteki toisiisa, o avaruuksissa E ja F oltava yhteys lieaariste laskutoimituste ja topologia välillä. Topologiseksi vektoriavaruudeksi saotaaki vektoriavaruutta (E, +, ), jossa laskutoimitukset { + : E E E ja : R E E ovat jatkuvia fuktioita. Tarkoitukseamme o tutkia lieaarikuvauksia moelaisissa ääretöulotteisissa avaruuksissa, joide alkiot eli vektorit ovat tyypillisessä sovelluksessa lukujooja tai fuktioita. Teoria kaalta tämä vektoreide kokreettie esitystapa ei ole ratkaiseva asia, vaa tärkeämpää o, mitä vektoreille voi tehdä eli millaie o kulloiki tarkasteltava avaruude rakee. Topologisia vektoriavaruuksia luokitellaaki esisijaisesti raketeesa mukaa, ja puhumme mm. eriulotteisista sisätuloavaruuksista, erilaisista ormiavaruuksista ja lokaalikovekseista avaruuksista, ii reaali- kui kompleksikertoimisistaki. Perusesimerkki topologisesta vektoriavaruudesta o kuiteki euklidie avaruus R. Perusesimerkki o syytä tutea hyvi ja aika paljo siitä jo tiedämmei, sillä lieaarialgebra yhteydessä o joukkoa R tutkittu äärellisulotteisea vektoriavaruutea ja sisätuloavaruutea. Differetiaalija itegraalilaskea yhteydessä lukija o epäilemättä käsitellyt euklidista avaruutta myös metriseä ja topologisea avaruutea. 5. Äärellisulotteiseavaruudeormit ja lieaarikuvaukset Seuraavassa esitämme lieaarikuvaukselle viisi jatkuvuude kassa yhtäpitävää ehtoa. Sitte todistamme, että äärellisulotteiste ormiavaruuksie välie lieaarikuvaus o aia jatkuva, vieläpä tasaisesti jatkuva Euklidiseavaruudelieaarikuvaukset. Lause 5.1. Lieaarikuvaukselle L : R R m seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (a) L o tasaisesti jatkuva koko avaruudessa.

28 f ( ) 30 (b) L o jatkuva kaikissa pisteissä. (c) L o jatkuva origossa. (d) L o jatkuva jossai pisteessä. Todistus. Ehtoje (b), (c) ja (d) yhtäpitävyyde osoittamiseksi riittää äyttää, että jatkuvuus mielivaltaisessa pisteessä x R o yhtäpitävää jatkuvuude kassa origossa. Olkoo aluksi L jatkuva origossa. Merkitsemme kaikkie vektoriavaruuksie origoa samalla symbolilla 0, jote L(0) = 0. Jatkuvuude klassie ε-δ -määritelmä ε>0 δ>0: z 0 <δ = Lz 0 ε tarkoittaa siis, että Lz < ε, kuha z < δ. Jatkuvuus kohdassa x R saadaa soveltamalla tätä vektoreihi x y, missä y R : Lx Ly = L(x y) <ε, kuha x y <δ. L o siis jatkuva kohdassa x. Samalla o tullut todistettua, että jatkuvuudesta origossa seuraa suorastaa tasaie jatkuvuus koko avaruudessa, sillä jatkuvuutta pisteessä x todistettaessa kävi ilmi, että luku δ ei riipu pisteestä x vaa aioastaa luvusta ε ja tietysti lieaarikuvauksesta L. Päättely voi helposti käätää, jote lieaarikuvaukse L jatkuvuus pisteessä 0 seuraa se jatkuvuudesta missä tahasa pisteessä x. Edellise, siäsä yksikertaise todistukse oleellie piirre o mahdollisuus siirtää tarkastelut pistee 0 ympäristöstä pistee x ympäristöö traslaatiolla eli siirtokuvauksella R R : y x + y. Traslaatio säilyttää pisteide väliset etäisyydet ja kuvaa siksi pallot samasäteisiksi palloiksi. Saadaksemme geometrise mielikuva tilatesta lausumme kuvaukse L jatkuvuude pisteessä x palloje avulla: ε>0 δ>0: L(B(x, δ)) B(L(x),ε) Lausee 5.1.a) todistus ilmaisee, että jos lieaarikuvaus L kuvaa origokeskise δ- säteise pallo origokeskise ε-säteise pallo sisää, ii L kuvaa x-keskise δ- säteise pallo Lx-keskise ε-säteise pallo sisää.

29 5. ÄÄRELLISULOTTEISEN AVARUUDEN NORMIT JA LINEAARIKUVAUKSET 31 0 δ δ x L(B(x, δ)) L(x) B(x, δ) ε L L(B(0, δ)) 0 B(0, δ) B(0, ε) ε B(Lx, ε) Kuva 9. Lieaarikuvaukse tasaie jatkuvuus. Jatkuvia lieaarikuvauksia saotaa usei jopa yleesä rajoitetuiksi lieaarikuvauksiksi. Syyä tähä o, että lieaarikuvaukse jatkuvuus o yhtäpitävää se kassa, että se kuvaa yksikköpallo rajoitetuksi joukoksi, siis joki pallo sisää: Lause 5.2. Lieaarikuvaus L : R R m toteuttaa lausee 5.1 keskeää yhtäpitävät jatkuvuusehdot täsmällee silloi, ku se kuvaa avaruude R yksikköpallo rajoitetuksi joukoksi. Todistus. Jos L o jatkuva origossa, ii se kuvaa aiaki joki origokeskise pallo rajoitetuksi joukoksi, sillä jatkuvuude määritelmä mukaa o olemassa luku δ>0 site, että L(B(0, δ)) B(0, 1). Nyt yksikköpallo kuvautuu origokeskise 1 δ -säteise pallo sisää, sillä x < 1 = Lx = 1 δ L(δx) = 1 δ L(δx) 1 δ. L o siis rajoitettu fuktio yksikköpallossa B(0, 1), ja sup Lx 1 x B(0,1) δ. Tämäki päättely o kääettävissä, jote yksikköpallossa rajoitettu lieaarikuvaus o jatkuva. Edellisessä todistuksessa koko tilatee mittakaavaa muutetaa origokeskisellä homotetialla eli skaalauksella R R : y 1 δ y. Homotetia veyttää kaikkia etäisyyksiä samassa suhteessa ja o siis yhdemuotoisuuskuvaus, joka erityisesti kuvaa pallot palloiksi säilyttäe iide kokosuhteet. Skaalaus o lieaarikuvaus. Laskelmamme osoittaa, että jos lieaarikuvaus L kuvaa yksikköpallo B(0, 1) joki origokeskise R-säteise pallo B(0,R) sisää, ii L kuvaa mielivaltaise origokeskise δ-säteise pallo origokeskise δr-säteise pallo B(0,δR)sisää.