Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Transkriptio

1 Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen Luku 9): a) f(m, n) := m 3 d) i(p, p+q) := q p b) g(x, y) := + ln( x y) e) j(x, y) := x + y c) h(x, y) := lukujen x ja y tulon neliöjuuri f) k(x, y) := lukujen x ja 7 tulon kuutiojuuri Ratkaisut. Pysytään reaaliluvuissa. Ilmaistaan vastaus muodossa lähtöjoukko maalijoukko. a) Selvästikin kelpaa f : R R R (lähtöjoukko siis M f = R R ja maalijoukko R). b) Nyt pitää olla x 0 ja x y > 0 eli y < x. Siis g : M g R, missä lähtöjoukko on M g = { (x, y) R R x 0 y < x }. Piirretään tämän joukon rajaviivoja tasoon, varjosta alue itse! 3 y 0 3 x 3 c) Eksplisiittisenä lausekkeena: h(x, y) := xy (nk. geometrinen keskiarvo). Lähtöjoukoksi M h voidaan ottaa tason I ja III neljännes, jossa muuttujilla on sama merkki ja tulo ei-negatiivinen, siis M h = { (x, y) R R xy 0 } = { (x, y) R R (x 0 y 0) (x 0 y 0) }. d) Lausekkeella q p on selvästikin yksikäsitteinen arvo kaikilla p, q R. Nyt vain määrittely on hiukka hämäävä, kyseessä onkin oikeastaan yhdistetty funktio. Voimme kuitenkin tehdä muuttujanvaihdon: p + q = r, jolloin q = r p, ja saamme funktiolle i eksplisiittisen esityksen i(p, r) = q p = r p p = r p. Tämä tuottaa samat arvot, mutta suoraan sijoittamalla lausekkeeseen! Tämä on siis todellakin funktio R R R. e) Kyseessä on funktio R R R, koska muuttujanvaihdolla x = u saadaan j(u, v) = u + v. f) Eksplisiittisesti: k(x, y) = 3 7x, ja on kyseessä funktio R R R.

2 Esimerkki (vertailun vuoksi). Esimerkiksi sääntö f, f(x, 3x) := + x, (parametriarvoilla x R) ei määrittele kahden muuttujan funktiota koko joukossa R, vaan vain suoran y = 3 x pisteissä, siis joukossa M f = {(a, 3a) a R} = {(p, 3 p) p R}. Tehdään taas muuttujanvaihto: x = p, jolloin x = p ja f(p, 3 p) = + p. Lopulta saamme ekplisiittisen esityksen funktiolle f : M f R, f(x, y) = + x. Huomaa, että vaikka tässä y näyttää vapaalta, se on lähtöjoukon M f takia edelleen riippuvainen arvosta x, siis on aina oltava y = 3 x. Näin myös lähtöjoukko voi sisältyä implisiittisesti funktion määrittelevään sääntöön.. Mitkä tehtävän operaatioista ovat tai ovat helposti tulkittavissa niin, että ovat laskutoimituksia Luvussa 9. olevan määritelmän mielessä? Koeta siis valita perusjoukko X niin, että operaatiosta tulee funktio X X X. Ratkaisut. Tehtävän ratkaisujen mukaan kohdissa a), d), e) ja f) on kyseessä laskutoimitus joukossa R, siis funktio R R R. Mutkikkaampien määrittelyjoukkojen tapauksessa joudutaan vähän tutkailemaan. Kohdassa c) geometrinen keskiarvo on laskutoimitus jokaisella välillä [a, b], kun a 0, geometrinen keskiarvo on nimittäin muuttujien arvojen välissä. Negatiivinen puoli ei käy, koska tulon ollessa positiivinen myös neliöjuuri on positiivinen, jos joukossa on molempia arvoja, niin neliöjuurta ei voi reaalisena ottaa. Kohdassa b) tilanne on vielä vaikeampi, kokeile Kurssimateriaalisivun DYNAAMISEL- LA KUVIOLLA! Määrittelyjoukon siis pitää olla muotoa X X. Erikoisesti, jos X on väli, niin määrittelyjoukon pitää olla neliö X X, jonka lävistäjä on suoralla y = x (ks. tehtävän kuvio), ja tulosten vielä pitää olla joukossa X. Tällaisen neliön (tai olipa se määrittelyjoukko sitten vaikka muunkinlainen X X) voi saada mahtumaan joukkoon M g vain joukolle X ]0, [ y x Erikoisesti muotoa (x, x), x X olevilla pareilla pitää olla kuva kyseisessä joukossa X. Mutta seuraavasta kuvasta nähdään funktion x g(x, x) olevan negatiivinen välillä ]0, [ (todistappa se lukion taidoillasi!), joten kelvollista joukkoa X ]0, [ ei voi olla!

3 Mitkä seuraavista operaatioista ovat laskutoimituksia, mitkä sitten vaihdannaisia, mitkä liitännäisiä: a) f : N N N, f(m, n) := d) i : N N N, i(m, n) := (n + )(m + ) b) g : N N N, g(m, n) := 3m 5 e) j : R R R, j(m) := m c) h : Z N Z, h(m, n) := 3m + f) k : R R R, k(x, y) := min(x, y) Ratkaisut. Laskutoimituksia ovat f, i ja k, miksi muut eivät ole? Keksi vastaesimerkit! Nämä kaikki ovat selvästikin vaihdannaisia, koska tulos funktion arvo ei muutu vaikka muuttujien arvot vaihdettaisiin keskenään. Laskutoimitukset f ja k ovat liitännäisiä, mutta i ei. Vastaesimerkki: merkitään m n := i(m, n) = (m + )(n + ). Valitaan luvuiksi vaikka, ja 3, jolloin liitännäisyysehdosta saadaan eri puolilta eri tulokset: ( ) = ( 3) = 6 = 7 = ( ) = ( ) = = 5 3 = 5. Erottele loogisiin osiin ja muunna matematiikan kielelle seuraavasta suorasanaisesta tarinasta aksioomatyyppiset ilmaukset, määritelmät, väitteet ja niiden oletukset sekä formuloi niistä lauseita (todistuksineen?). Lukujoukko on rajoitettu, jos löytyy luku, jota pienempiä kaikki joukon alkiot ovat itseisarvoiltaan. Sanomme lukujoukkoa neliöjoukoksi, jos sen jokaisen alkion neliö myös kuuluu kyseiseen joukkoon. Silloin rajoitettu neliöjoukko ei voi sisältää itseisarvoltaan lukua yksi suurempia alkioita. Jos neliöjoukko sisältää aidosti positiivisen ykkösestä poikkeavan luvun, niin kyseinen joukko on ääretön. Eräs esimerkki neliöjoukosta on joukko {, /3,, /9, 6, /8,...}. Ratkaisu. Huomautuksia. Vaikka sanallinen määritelmä on merkintävapaampi, usein se kuitenkin korvataan helpommin sovellettavalla ilmauksella. Määritelmä. Joukko A R on rajoitettu, jos on olemassa sellainen luku M > 0, että a M kaikilla a A; tällaista lukua M sanotaan joukon A ylärajaksi. Määritelmä. Lukujoukko on neliöjoukko, jos sen jokaisen alkion neliö myös kuuluu kyseiseen joukkoon. Sama ilmaistuna logiikan keinoin: Määritelmä. Lukujoukko A R on neliöjoukko, jos on voimassa lause: a R : a A a A. Esimerkki. Joukko {, /3,, /9, 6, /8,..., } on neliöjoukko. Lause. Jos A R on rajoitettu neliöjoukko, niin a kaikilla a A. 3

4 Todistus. Olkoon A R rajoitettu neliöjoukko ja M > 0 sellainen, että a M kaikilla a A. Antiteesi: On olemassa x A, jolle x >. Neliöjoukon A alkioita ovat silloin kaikki < x < x < (x ) <... < x n <... kasvaen rajatta. Koska oli x >, on siis olemassa N M N, jolle x N M > M. Tämä on ristiriita, sillä M oli joukon A yläraja. Lause. Jos neliöjoukko sisältää aidosti positiivisen ykkösestä poikkeavan luvun, niin kyseinen joukko on ääretön. Todistus. Olkoon A R neliöjoukko ja a A aidosti positiivinen, a. Jos a >, voidaan Lauseen todistuksen tapaan päätellä, että A sisältää aidosti kasvavan jonon (a n ) n N ja on siten ääretön. Jos taas 0 < a <, niin yllä määritelty joukon A sisältämä jono on aidosti vähenevä ja siten ääretön. 5. Millaisia ovat äärelliset neliöjoukot? Millaisia ovat rajoitetut neliöjoukot? Mitä voit sanoa kaikkien epätyhjien neliöjoukkojen leikkauksesta? Onko kaikkien neliöjoukkojen yhdiste reaalilukujen joukko? Ratkaisu. Lauseen tapaan voidaan päätellä, että ainoat äärelliset neliöjoukot ovat joukon {, 0, } osajoukot, {0}, {}, {0, }, {, } ja {, 0, }. Huomaa, että jos joukko sisältää luvun, sen pitää sisältää myös luku. Lauseen mukaan rajoitetut neliöjoukot sisältyvät kaikki suljettuun väliin [, ]; toisaalta tämäkin on itse neliöjoukko (todenna!). Kaikkien neliöjoukkojen leikkaus on tyhjä, tyhjä joukko on nimittäin Määritelmän (ja myös ) mukaan neliöjoukko. Leikkaus olisi kyllä tyhjä vaikka tyhjää joukkoa ei neliöjoukoksi hyväksyttäisikään, nimittäin jo kahden neliöjoukon {0} ja {} leikkaus on tyhjä. Triviaalisti R on neliöjoukko, joten neliöjoukkojen yhdiste sisältää joukon R. Toisaalta kaikki neliöjoukot ovat Määritelmän mukaan joukon R osajoukkoja, joten yhdisteeseenkään ei muita kuin reaalilukuja kuulu. 6. Osoita induktiolla, että jokaisella luonnollisella luvulla n pätee seuraava parittomien lukujen yhteenlaskukaava: (n ) = n. Ratkaisu. Induktiotodistus luvun n N suhteen: I) n = : =. OK I) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee jollakin arvolla k, eli (k ) = k. I3) n = k+: Induktioväite: ((k+) ) = (k+). Todistus. Havaitaan, että arvolla k+ parittomien lukujen summa on ((k+) ) = (k ) + (k+), joten liitännäisyyttä ja induktio-oletusta käyttäen saadaan ((k+) ) = ( (k )) + (k+) = k + k + = (k+).

5 Mutta tässäpä onkin induktioväite todistettuna. Induktioperiaatteen ja kohtien I-3 mukaan väite on tosi kaikilla n N. 7. Osoita induktiolla: Jos n on luonnollinen luku, niin Vihje: Tiedetään, että n = n 3 = ( n). n(n + ). Ratkaisu. Induktiotodistus luvun n N suhteen: I) n = : 3 =. OK I) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee jollakin arvolla k, eli k 3 = ( k). I3) n = k+: Arvolla k+ summa on induktio-oletuksen mukaan k 3 + (k+) 3 = ( k) + (k+) 3. Annetun vihjeen (ks. luennot) mukaan edelleen ( ) k(k+) ( k) + (k+) 3 = + (k+) 3 = k (k+) Ottamalla yhteiseksi tekijäksi (k+) saadaan k (k+) + (k+)3 = (k+) (k + k + ) = (k+) (k+), ja ottaen uudelleen huomioon vihje nyt arvolla k+ saadaan lopulta ( ) (k+) (k+) (k+)(k+) = = ( k + (k+)). Näin on todistettu induktioaskel k 3 + (k+) 3 = ( k + (k+)). Induktioperiaatteen ja kohtien I-3 mukaan väite on tosi kaikilla n N. + (k+)3. 8. Olkoon (F n ) Fibonaccin lukujono. Osoita induktiolla, että kaikilla luonnollisilla luvuilla n pätee F + F + + F n = F n F n+. Ratkaisu. Fibonaccin luvuille on F = F = ja F n+ = F n + F n kaikilla n. Todistetaan väite induktiolla luvun n suhteen. I) n = : =. OK I) n = k: Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee jollakin arvolla k, eli F + F + + F k = F k F k+. I3) n = k+: Arvolla k+ on induktio-oletuksen mukaan F + F + + F k + F k+ = F k F k+ + F k+ = F k+ (F k + F k+ ). Fibonaccin lukujen määrittelyn mukaan F k + F k+ = F k+, joten F + F + + F k + F k+ = F k+ (F k + F k+ ) = F k+ F k+. Mutta nythän induktioaskel onkin todistettu. Induktioperiaatteen ja kohtien I-3 mukaan väite on tosi kaikilla n N. 5