Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely

Transkriptio

1 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely different. Johann Wolfgang von Goethe 1. Kompleksitaso C voidaan tulkita joko yksiulotteiseksi kompleksiseksi vektoriavaruudeksi tai kaksiulotteiseksi reaalisiseksi vektoriavaruudeksi R 2, x+i y (x, y). Kompleksisena vektoriavaruuna C voidaan varustaa tavallisella sisätulollaan (z w) C = z w. Osoita, että reaalisena vektoriavaruutena C:n tavalliselle sisätulolle ((x, y) (u, v)) R = x u + y v on ((x, y) (u, v)) R = Re((x + i y) (u + i v)) = Re(x + i y u + i v) C. Yleisemmin: Jokainen kompleksinen vektoriavaruus V voidaan tulkita reaalisiseksi vektoriavaruudeksi V R siten, että V R :ssä on sallittua vain reaaliluvuilla kertominen. Osoita, että jos ( ) kompleksinen sisätulo V :ssä, niin (x y) R := Re(x y) on reaalinen sisätulo V R :ssä. 2. (Jatkoa.) Selvitä käänteistä ongelmaa: Annettuna on reaalinen vektoriavaruus V. Halutaan löytää kompleksinen vektoriavaruus V C, jonka reaalinen dimensio on 2 dim V, ja joka tulkittuna reaaliseksi vektoriavaruudeksi sisältää V :n aliavaruutenaan. Jos vektoriavaruuteen V on annettu reaalinen sisätulo ( ), miten sen avulla konstruoidaan kompleksinen sisätulo ( ) C kompleksiseen vektoriavaruuteen V C, niin, että reaaliosa Re( ) C = ( ) alkueräistä avaruutta V vastaavassa aliavaruudessa? [Vihje: Käytä mallina paria R n ja C n = R n + i R n tai paria R ja C.] 3. Olkoon (E, ( )) sisätuloavaruus. Osoita, että jonolle (x n ) n=1 E seuraavat seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) x n x, kun n ; (ii) x n x ja x n x heikosti, kun n. [Vihje: (ii) = (i) : Suunnikassääntö.] 4. Osoita, että Hilbertin avaruudessa ehdosta kaikille y E on voimassa (x n y) (x y), kun n ei välttämättä seuraa, että x n x, kun n. [Vihje: Vastaesimerkki löytyy esim. Hilbertin avaruudesta l 2.] 5. Määrää Hilbertin avaruuden l 2 operaattoreiden L ja R adjungaatit, kun L(x 1, x 2, x 3,...) := (x 2, x 3,...) ja R(x 1, x 2, x 3,...) := (, x 1, x 2, x 3,...). 6. Olkoon L: c c, L(x 1, x 2, x 3,...) := (x 2, x 3,...). Määrää L:n transpoosi kuvauksena l 1 l 1. Oikeasti L t : c c, joten tässä on tarkoitus määrätä kuvaus T 1 L t T : l 1 l 1, missä T : l 1 c on duaalin c jonoavaruuteen l 1 samaistava isometria. 7. (Jatkoa.) Tee vastaava kuvaukselle R: c c, R(x 1, x 2, x 3,...) := (, x 1, x 2, x 3,...): määrää T 1 R t T : l 1 l 1.

2 ... jatkuu 2 8. (Jatkoa.) Tee vastaava kuvauksille L, R: c c, L(x 1, x 2, x 3,...) := (x 2, x 3,...), R(x 1, x 2, x 3,...) := (, x 1, x 2, x 3,...): määrää T 1 L t T, T 1 R t T : l 1 l 1, missä T : l 1 c on duaalin c jonoavaruuteen l 1 samaistava isometria. Muista, että tämä samaistus ei (tietenkään) ole sama kuin samaistus l 1 c. 9. Olkoot E normiavaruus ja (x k ) k=1 E jono, joka suppenee heikosti kohti vektoria x E. Osoita, että jono (x k ) k=1 on rajoitettu. E heikosti suppeneva jono. Osoita, että heik- 1. Olkoot E normiavaruus ja (x k ) k=1 koja raja-arvoja on vain yksi. Gentlemen: there s lots of room left in Hilbert space. Saunders MacLane 11. Olkoot H reaalinen Hilbertin avaruus ja T n : H H, n Z +, jono jatkuvia operaattoreita. Oletetaan, että kaikille x, y H jonolla ((T n x y)) n=1 R on raja-arvo. Osoita, että on olemassa jatkuva operaattori T : H H siten, että (T n x y) (T x y) kaikille x, y H, kun n. [Vihje: (Banach + Steinhaus) 2] 12. Olkoot E Banachin avaruus, F normiavaruus ja H B(E; F ) perhe jatkuvia operaattoreita. Oletetaan, että kaikille f F ja kaikille x E on voimassa sup T H f(t x) <. Osoita, että sup T H T <. 13. Olkoon (x n ) n=1 annettu reaalilukujono. Osoita, että seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitävät: (i) Sarja n=1 x n suppenee itseisesti. (ii) Sarja n=1 x ny n suppenee kaikille nollaa kohti suppeneville reaalilukujonoille (y n ) n=1. [Vihje: Implikaation (ii) = (i) voi todistaa Banachin ja Steinhausin lauseen avulla tai Analyysi 1:n tiedoilla&taidoilla.] 14. Olkoot X ja Y normiavaruuksia ja T : X Y lineaarikuvaus. Osoita, että seuraavavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) T :n kuvaaja Gr(T ) on suljettu. (ii) Jos x n x ja T x n y, niin y = T x. (iii) Jos x n ja T x n y, niin y =. 15. Olkoot E, F ja G Banachin avaruuksia sekä S : E F ja T : F G lineaarikuvauksia siten, että T on jatkuva injektio ja T S on jatkuva. Osoita, että S on jatkuva. [Vihje: Esimerkiksi edellinen tehtävä ja suljetun kuvaajan lause.] 16. Olkoot C := C([, 1], R) varustettuna sup-normilla ja K : [, 1] [, 1] R jatkuva funktio sekä T : C C, (T f)(t) := 1 K(t, s)f(s) ds. Osoita, että on olemassa jono T n : C C, n Z +, jatkuvia operaattoreita siten, että T n :n kuvajoukko on äärellisulotteinen ja T n T avaruudessa B(C; C). [Vihje: Stonen ja Weierstrassin approksimointilauseen nojalla integraalioperaattorin T ytimiä K voi approksimoida tasaisesti funktioilla K n, jotka ovat muotoa K n (t, s) = n j=1 a j(s) b j (t), missä a j, b j C.]

3 ... jatkuu Olkoot C := C([, 1]; C) ja K : [, 1] [, 1] C jatkuva funktio sekä T : C C, (T f)(t) := 1 K(t, s) f(s) ds (sanotaan, että T on integraalioperaattori, jonka ydin on K). Avaruus C varustetaan sisätulolla (f g) := 1 f(x) g(x) dx. Osoita, että T :llä on adjungaatti, integraalioperaattori T : C C, jonka ydin on K : [, 1] [, 1] C, K (t, s) := K(s, t). Huomaa, että C ei ole Hilbertin avaruus, joten operaattorin T adjungaatin olemassaolo ei ole itsestään selvää. Adjungaatin T : C C määrää sama ehto kuin Hilbertin avaruuden tapauksessa: (T f g) = (f T g) kaikille f, g C. Compact sets and operators are healthy, but many call in sick. 18. Olkoot λ = (λ n ) n=1 rajoitettu lukujono, H separoituva Hilbertin avaruus ja (e n ) n=1 sen Hilbertin kanta. Osoita, että operaattori T : H H, T x := n=1 λ n (x e n ) e n, on kompakti, jos ja vain jos λ c, t.s. λ n, kun n. 19. Olkoot H 1 ja H 2 Hilbertin avaruuksia ja A: H 1 H 2 jatkuva lineaarinen surjektio. Osoita, että A K : K H 2 on isomorfismi, kun K := ker A. Osoita lisäksi, että on olemassa vakio c > s.e. Ax c d(x, K) kaikille x H 1, kun d(x, K) := pisteen x etäisyys joukosta K, t.s. d(x, K) := inf{ x k k K}. [Vihje: Ortogonaalinen suora summa H 1 = K K saattaa auttaa.] 2. Olkoot H Hilbertin avaruus ja A: H H jatkuva lineaarikuvaus s.e. sen kuvajoukko A(H) on suljettu. Osoita, että on olemassa vakio c > s.e. Ax c d(x, K) kaikille x H, kun K := ker A. 21. Olkoot E ja F Banachin avaruuksia ja T : E F jatkuva lineaarikuvaus. Osoita, että seuraavavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) On olemassa vakio C > s.e. T x C x kaikille x E. (ii) ker T = {} ja Im T on suljettu. 22. Olkoot E ja F Banachin avaruuksia ja T : E F jatkuva lineaarikuvaus sekä K := ker T. Osoita, että seuraavavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) On olemassa vakio C > s.e. T x C d(x, K) kaikille x E. (ii) Im T on suljettu. [Vihje: Olkoot Ẽ := E/K ja T : Ẽ F, T [x] := T x, kun [x] = x + K Ẽ = E/K. Osoita, että T on jatkuva lineaarinen injektio ja Im T = Im T. Muista myös, että tekijäavaruudessa E/K on [x] = d(x, K).] 23. Olkoot E ja F Banachin avaruuksia ja T n : E F, n Z +, jatkuvia lineaarikuvauksia s.e. operaattorinormien jono ( T n ) n=1 on rajoitettu. Oletetaan, että on olemassa tiheä osajoukko D E s.e. kaikille x D jono (T n x) n=1 suppenee. Osoita, että jono (T n x) n=1 suppenee kaikille x E. 24. Olkoot H Hilbertin avaruus ja K H suljettu aliavaruus. Osoita, että kanonisen projektion π : H H/K, x [x] = x + K, rajoittuma π K on isometrinen isomorfismi K H/K.

4 ... jatkuu Olkoot E Banachin avaruus ja F E ja G E suljettuja aliavaruuksia siten, että F G = {} ja F + G = E (s.o. algebrallinen summa F + G = E on suora). Osoita, että kanonisen projektion π : E E/F, x [x] =: x + F, rajoittuma π G on lineaarinen homeomorfismi G E/F. What s yellow and equivalent to the axiom of choice? Määritelmiä: Olkoot V reaalinen vektoriavaruus ja K V epätyhjä osajoukko. Oletetaan, että K on kartio, t.s. jos x K, y K ja α niin x + y K ja α x K. Oletetaan lisäksi, että ehdoista x K ja x K seuraa x =. Määritellään x y (eli y x), jos y x K. Tällöin on järjestys(-relaatio) V :ssä. Sanotaan, että lineaarimuoto f : V R on K-positiivinen, jos f(x) kaikille x, t.s. kaikille x K. Olkoon F V aliavaruus. Oletetaan, että kaikille x F on olemassa k ± K siten, että k + x ja k x. Osoita, että kaikilla K-positiivisilla lineaarimuodoilla l: F R on laajennus K- positiiviseksi lineaarimuodoksi L: V R siten, että L F = l. [Vihje: Aseta p(x) := inf{l(k) k x} ja käytä Hahnin ja Banachin lausetta.] 27. (Jatkoa.) Anna esimerkki edellisen tehtävän kaltaisesta vektoriavaruudesta, kartiosta ja positiivisesta lineaarimuodosta. 28. Olkoot C := C([, 1]; C) sekä T : C C, (T f)(t) := t f(t), kun f C ja t [, 1]. Osoita, että T :n spektri Sp(T ) = [, 1] R, ja että T :llä ei ole lainkaan ominaisarvoja. 29. Olkoot L 2 := L 2 ([, 1]; C) sekä T : L 2 L 2, (T f)(t) := t f(t), kun f L 2 ja t [, 1]. Osoita, että T :n spektri Sp(T ) = [, 1] R, ja että T :llä ei ole lainkaan ominaisarvoja. 3. Merkitään C := C([, 1]; R), C 1 := välillä [, 1] jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko, ja f := sup x [,1] f(x), kun f C. Olkoon A: (C, ) (C, ), (Af)(x) := x f(t) dt. Osoita, että A:n spektri Sp(A) = {}, ja että A:lla ei ole lainkaan ominaisarvoja. [Vihje: Kannattaa tutkia yhtälön Af λf = g ratkaisemista f:n suhteen tapauksissa λ = ja λ.] 31. (Eräs momenttiongelma.) Olkoot (E, ) normiavaruus, c k K ja x k E lineaarisesti riippumattomia, kun k Z +. Osoita, että seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitäviä: (i) On olemassa f E siten, että f(x k ) = c k kaikille k Z +. (ii) On olemassa M R siten, että kaikille äärellisille osajoukoille I Z + ja kaikille λ k K, k I, pätee. λ k c k M λ k x k k I k I [Vihje: Kohdassa (ii) = (i) aseta g : {x k k Z + } K, g ( k I λ k x k ) := k I λ k c k.] 1 Zorn s Lemon.

5 ... jatkuu (Jatkoa.) Olkoot E := C([, 1]; K) varustettuna sup-normilla, c k K ja x k (t) := t k, kun k Z +. Anna riittävä ehto sille, että on olemassa f (C([, 1]; K)) siten, että f(x k ) = c k kaikille k Z +. Miten löydät merkkisen/kompleksisen Borel-mitan µ siten, että [,1] tk dµ(t) = c k kaikille k Z +? 33. Olkoon L: l 2 l 2, L(x 1, x 2, x 3,...) := (x 2, x 3,...). Osoita, että L:n spektri σ on suljettu yksikköympyrä D := {λ C λ 1} osoittamalla, että a) σ D ja b) jokainen λ C, jolle λ < 1, on L:n ominaisarvo. Osoita edelleen, että mikään λ C, jolle λ = 1, ei ole ominaisarvo. 34. Olkoon R: l 2 l 2, R(x 1, x 2, x 3,...) := (, x 1, x 2, x 3,...). Osoita, että R:n spektri on suljettu yksikköympyrä D. Osoita edelleen, että operaattorilla R ei ole lainkaan ominaisarvoja. [Vihje: On helppoa osoittaa, että R = L = L:n adjungaatti.] 35. Olkoon L: l l, L(x 1, x 2, x 3,...) := (x 2, x 3,...). Osoita, että että jokainen λ D on L:n ominaisarvo ja että L:n spektri on yksikköympyrä D. 36. Olkoot H kompleksinen Hilbertin avaruus ja S B(H; H). Osoita, että (i) (S λ I) = S λ I; (ii) S λ I on kääntyvä, jos ja vain jos S λ I on kääntyvä; (iii) σ(s ) = {µ C µ σ(s)}. 37. Olkoon A: c c jatkuva lineaarikuvaus. Olkoot a m,n K siten, että Ae n = m=1 a m,ne m ; tässä e n, n N, ovat l 2 :n standardikantavektorit. Osoita, että (i) lim m a m,n = kaikille n N; (ii) n=1 a m,n < kaikille m N; (iii) sup m n=1 a m,n < ; (iv) A = sup m n=1 a m,n. Osoita kääntäen, että jos luvuilla a m,n on ominaisuudet (i) (iii), niin lineaarikuvaus A: c c, jonka määrää ehto Ae n = m=1 a m,ne m kaikille n N, on jatkuva. 38. Olkoon A: l 1 l 1 jatkuva lineaarikuvaus. Olkoot a m,n K siten, että Ae n = m=1 a m,n e m ; tässä e n, n N, ovat l 2 :n standardikantavektorit. Osoita, että (i) m=1 a m,n < kaikille n N; (ii) sup n m=1 a m,n < ; (iii) A = sup n m=1 a m,n. Osoita kääntäen, että jos luvuilla a m,n on ominaisuudet (i) ja (ii), niin lineaarikuvaus A: l 1 l 1, jonka määrää ehto Ae n = m=1 a m,n e m kaikille n N, on jatkuva. 39. Olkoot H := l 2, U n, S n, W n : H H, siten, että kaikille (x 1, x 2, x 3,...) H on U n (x 1, x 2, x 3,...) := ( 1 n x 1, 1 n x 2, 1 n x 3,...), S n (x 1, x 2, x 3,...) := (,...,, x }{{} n+1, x n+2, x n+3,...), n kpl W n (x 1, x 2, x 3,...) := (,...,, x }{{} 1, x 2, x 3...). n kpl

6 Osoita, että kun n, niin U n B(H; H):ssa, t.s. U n ; S n x... jatkuu 6 kaikille x H, mutta S n B(H; H):ssa; f(w n x) kaikille x H ja f H, mutta W n x jollekin x H. 4. Friedrich Hirzebruchin ja Winfried Scharlaun funktionaalianalyysin kirjasta Einführung in die Funktionalanalysis löytyy Satz 7.1. Funktori E E, T T t, on kontravariantti funktori normiavaruuksien ja niiden jatkuvien lineaarikuvausten kategoriasta Banachin avaruuksien ja niiden jatkuvien lineaarikuvausten kategoriaan. Se säilyttää normin, t.s. T t = T, ja on eksakti, t.s. jos jono E T F S G on eksakti, niin myös jono G S t F T t E on eksakti. Tässä funktori tarkoittaa likimain samaa kuin funktio ja kategoria likimain samaa kuin joukko. Jonon E T F S G eksaktius tarkoittaa, että ker S = T (F ). Tämä väite on väärin (eksaktiuden osalta; kategoriat ovat vääriä). Anna esimerkki tilanteesta, missä jono E T F S G on eksakti, mutta duaalijono G S t T t E ei ole eksakti. Korjaa väite oikeaksi ja todista se. F The paradox is now fully established that the utmost abstractions are the true weapons with which to control our thought of concrete fact. Alfred North Whitehead, 1925 The Committee which was set up in Rome for the unification of vector notation did not have the slightest success, which was only to have been expected. Felix Klein, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint, 1925