r 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1
|
|
- Armas Jaakkola
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 5 4. Yleistetty Cantorin joukko 6 5. Vito Volterran esimerkki 7 6. Analyysin peruslauseesta 9 Kirjallisuutta. Cantorin 3 -joukko Merkitään J := J 0, := [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, := ( 3, 2 3 ). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J, ja J,2, J, := [0, 3 ], J,2 := [ 2 3, ]. Seuraavaksi välien J, ja J,2 keskeltä poistetaan avoimet välit, joiden pituus on /9 = /3 2, I 2, := ( 9, 2 9 ), I 2,2 := ( 7 9, 8 9 ). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 2,, J 2,2, J 2,3 ja J 2,4, J 2, := [0, 9 ], J 2,2 := [ 2 9, 3 ], J 2,3 := [ 2 3, 7 9 ], J 2,4 := [ 8 9, ]. Vaiheessa s Z + poistettuna on 2 s avointa väliä I s,j, j 2 s, ja jäljellä on 2 s suljettua väliä J s,k, k 2 s. Jokaisen välin I s,j ja J s,k pituus on /3 s. Seuraavaksi jokaisen välin J s,j keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on /3 s+. Näin jäljelle jää 2 s+ suljettua väliä J s+,l. Kun joukot J s+,l indeksoidaan saman periaatteen mukaan kuin edellä, on J s,k = J s+,2k I s+,k J s+,2k, k 2 s. Vaiheessa s välistä J on siis poistettu kaiken kaikkiaan s 2 r I r,j. r= j= Kuva. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä 2 s ( 2 r () C s := J s,k ja raja-arvoa C := C s = J \ I r,j ). k= s= r= j= Joukko C on Cantorin -joukko, jota jatkossa kutsutaan yksinkertaisesti Cantorin 3 joukoksi. Huomaa, että suljettujen joukkojen leikkauksena Cantorin joukko on kompakti, ja toisin kuin aluksi näyttäisi, se ei koostu pelkästään poistettujen välien I s,j Georg Cantor (845 98).
2 päätepisteistä (joita on vain numeroituva määrä). Lisäksi Cantorin joukolla ei ole yhtään sisäpistettä, koska muuten se sisältäisi avoimen välin. Avointa väliä C ei sisällä, koska C C s kaikille s Z + ja joukon C s osavälien pituus /3 s 0, kun s. 2 Poistettujen välien I s,j, j 2 s, s Z +, yhteenlaskettu pituus on 2 s m(i s,j ) = s= j= 2 s /3 s = s= j= Tästä seuraa, että Cantorin joukon mitta on 2 s /3 s = 3 s= m(c) = = 0. 2/3 =. Cantorin -joukon pisteet on helppo karakterisoida lukujen kolmikantaisen esityksen avulla. Luku x [0, ] esitetään aluksi muodossa x = 3 j= x j 3 j, missä x j {0,, 2} kaikille j Z +. Luvun x [0, ] kolmikantainen esitys on jono (x, x 2, x 3,... ) = (x, x 2, x 3,... ) 3. Geometrisen sarjan j= qj = /( q) avulla nähdään, että x I, = (, 2), 3 3 jos ja vain jos x = ja joillekin j > ja k > on x j ja x k < 2. Siis x C = J, J,2, jos ja vain jos x = 0 tai x = 2. Vastaavasti pisteille x C on x I 2, I 2,2, jos ja vain jos x 2 = ja joillekin j > 2 ja k > 2 on x j ja x k < 2. Siis x C 2 = J 2, J 2,2 J 2,3 J 2,4, jos ja vain jos x = 0 tai x = 2 ja x 2 = 0 tai x 2 = 2. Toistamalla tätä päättelyä todetaan, että (2) x C x = x s 3 s, missä x s {0, 2} kaikille s Z +. s= Huomaa s:nnen numeron merkitys: x s = 0 x J s,2k (= välin J s,k jaossa syntyvä vasen osaväli) ja x s = 2 x J s,2k (= oikea osaväli). Tapaus x s = merkitsee, että x Īs,k (= keskimmäinen osaväli päätepisteet mukaanlukien). Cantorin joukon pisteet voidaan kolmikantaisen esityksen avulla samaistaa jonojen (x, x 2, x 3,... ), missä jokainen x j {0, 2}, kanssa. On helppo osoittaa, että tällaisia jonoja on ylinumeroituva määrä. (HT. Tee antiteesi; käytä samaa diagonaalikonstruktiota, jota käytetään osoitettaessa, että lukusuoran väli (0, ) on ylinumeroituva.) 2. Cantorin funktio Käytetään samoja merkintöjä kuin edellä. Konstruoidaan funktio ψ : R [0, ], joka liittyy Cantorin joukkoon hyvin olleellisella tavalla. Asetetaan ψ(x) := 0, kun x 0, ja ψ(x) =, kun x. Välin J keskeltä poistetun avoimen välin pisteille x I, asetetaan ψ(x) :=. 2 Funktion ψ(x) arvoksi välillä I 2,k, k = tai k = 2, asetetaan keskiarvo niistä arvoista, jotka funktiolle ψ on annettu edellisessä vaiheessa välin I 2,k vasemmalla ja oikealla puolella, t.s. { ψ(x) :=, kun x I 4 2,, ja 3, kun x I 4 2,2, eli ψ(x) := (2k )/2 2, kun x I 2,k, k {, 2}. 2 Joukko A R on ei-missään tiheä, jos sen sulkeumalla ei ole sisäpisteitä. Cantorin joukko on siis ei-missään tiheä. 2
3 3 Kuva 2. Cantorin funktion arvot osaväleillä I,, I 2,, I 2,2, I 3,, I 3,2, I 3,3, I 3,4, I 4,, I 4,2, I 4,3, I 4,4, I 4,5, I 4,6, I 4,7 ja I 4,8. Vaiheessa s funktion ψ(x) arvoksi välillä I s,k, k 2 s, asetetaan keskiarvo niistä arvoista, jotka funktiolle ψ on annettu edellisessä vaiheessa välin I s,k vasemmalla ja oikealla puolella, t.s. ψ(x) := (2k )/2 s, kun x I s,k. Lopuksi Cantorin joukon pisteissä x C funktion ψ arvoksi asetetaan vasemmanpuoleinen raja-arvo ψ(x) := sup{ψ(t) t < x ja t J \ C}. Funktiota ψ kutsutaan Cantorin funktioksi, Lebesguen funktioksi, Lebesguen singulaarifunktioksi tai pirunportaiksi. Cantorin funktiolla on seuraavat ominaisuudet: (i) ψ on kasvava; (ii) ψ on jatkuva; (iii) funktiolla ψ on vakioarvo joukon J \ C = r= 2 r j= I r,j osaväleillä I r,j ; (iv) ψ on derivoituva joukossa J \ C ja ψ (x) = 0 kaikillle x J \ C. Ainoa kohta, joka kaipaa tarkempia perusteluja on jatkuvuus. Mutta kasvavalla funktiolla on jokaisessa pisteessä molemminpuoliset raja-arvot. Jos siis ψ olisi
4 epäjatkuva pisteessä x [0, ], ovat raja-arvot ψ(x ) = lim t x ψ(t) ja ψ(x+) = lim t x+ ψ(t) olemassa ja ψ(x ) < ψ(x+). Mutta tällöin ψ:n kuvajoukosta puuttuvat välit (ψ(x ), ψ(x)) ja (ψ(x), ψ(x+)), joista ainakin toinen on epätyhjä. Funktion ψ konstruktion nojalla kuvajoukkoon kuuluvat kuitenkin kaikki dyadiset luvut (2k )/2 s, k 2 s, s Z +, jotka muodostavat välille [0, ] tiheän osajoukon. Tästä seuraa, että ψ on jatkuva. Funktiosta ψ kannattaa lisäksi huomata, että ψ([0, ]) = [0, ], ja että ψ([0, ] \ C) on numeroituva (tämä joukko koostuu edellä mainituista dyadisista luvuista). Näistä seuraa, että Cantorin joukon kuvajoukko ψ(c) on ylinumeroituva ja edelleen, että Cantorin joukko ylinumeroituva. Erityisesti Cantorin joukko ei koostu pelkästään poistettujen välien I s,j päätepisteistä (koska niitähän on vain numeroituva määrä). Koska ψ (x) = 0 kaikille x J \ C ja C on nollamittainen, on ψ (x) dm(x) = 0 < = ψ() ψ(0). [0,] Analyysin peruslause ei siis pidä paikkaansa Cantorin funktiolle. On hyvä huomata, että on olemassa huomattavasti yksinkertaisempia kasvavia funktioita f, joilla derivaatta on olemassa melkein kaikkialla, f (x) = 0 melkein kaikille x, mutta f(0) < f(). Cantorin funktio on näiden lisäksi jatkuva. Huomautus 2.. Cantorin funktion konstruktiosta saadaan myös kauniimpi numerointitapa Cantorin joukon konstruktion avoimille väleille I s,k. Kun asetetaan Ĩ /2 := I, ; Ĩ /4 := I 2,, Ĩ 3/4 := I 2,2 ;..., Ĩ (2k )/2 s := I s,k, k 2 s, on Cantorin funktiolla ψ arvo r välillä Ĩr, kun r on dyadinen murtoluku. Kun D := {k/2 s s N, 0 k 2 s }, on C = [0, ] \ r D Ĩr. Lisäksi väli Ĩr on välin Ĩr vasemmalla puolella, jos ja vain jos r < r. Huomautus 2.2. Kun asetetaan g : [0, ] R, g(x) := (ψ(x)+x), on g jatkuva, 2 aidosti kasvava ja g([0, ]) = [0, ]. Lisäksi g kuvaa jokaisen välin Ĩr, r D, väliksi g(ĩr) = r + Ĩr, jonka pituus on puolet välin 2 2 Ĩr pituudesta. Siis m(g( r D Ĩr)) = m( 2 r D Ĩr) = ja m(g(c)) = m([0, ] \ g( 2 r D Ĩr)) =. Funktio g kuvaa siis 2 nollamittaisen joukon C positiivimittaiseksi joukoksi. Cantorin funktio voidaan määritellä myös käyttäen Cantorin joukon pisteille kolmikantaista esitystä (2). Tässä kannattaa muistaa numeroiden x s {0, 2} suunnistamismerkitys : x s = 0 vasen ja x s = 2 oikea. Nimittäin, kun x = s= x s 3 s C, missä x s {0, 2} kaikille s Z +, asetetaan ψ(x) := s= y s 2 s, missä y s := 0, jos x s = 0, ja y s :=, jos x s = 2. 3 Kaksikantaisen esityksen avulla määritellyille arvoille kannattaa käyttää vastaavaa suunnistamismerkitystä: y s = 0 alas ja y s = ylös. Cantorin joukon komplementissa eli väleillä I s,k funktiolle ψ annetaan vakioarvo, jonka se saa Cantorin joukon pisteistä C Īs,k (eli samat kuin edellä). 3 Lukujen desimaaliesityksiin liittyy seuraava ongelma: luku ei määrää esityksen numeroita yksikäsitteisesti. Luvun x [0, ] b-kantainen esitys on jono (x, x 2, x 3,... ) b, jolle x = j= x j b j ja x j {0,,..., b } kaikille j Z +. Kaksi keskenään erilaista esitystä (x, x 2, x 3,... ) b ja (y, y 2, y 3,... ) b määräävät saman luvun, jos ja vain jos jollekin k Z + on x k = y k +, x j = y j, kun j < k, ja x j = 0 ja y j = b, kun j > k; ks. [0, Thm. 2.57]. Tästä seuraa, että Cantorin funktion arvo on hyvin määritelty myös tällaisille pisteille. 4
5 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio Se, että analyysin peruslause ei päde Cantorin funktiolle, ei oikeastaan ole erityisen yllättävää. Cantorin funktiohan on vakio jokaisella Cantorin joukon komplementtijoukon osavälillä. Vielä yllättävämpi vastaesimerkki analyysin peruslauseelle on peräisin Rieszin ja Sz.-Nagyn funktionaalianalyysin kirjasta [9, No. 24]. 4 Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio F = lim n F n on jatkuva ja aidosti kasvava, mutta F (x) = 0 melkein kaikkialla. Kuvasta 3 selviää funktion konstruktioperiaate: funktio F n määritellään paloittain lineaarisesti välin [0, ] osaväleillä, jotka saadaan puolitusperiaatteella. Välin [a, b] uudessa jakopisteessä c = a+b seuraavan funktion arvo on 2 F n+ (c) = t F 2 n(a) + +t F 2 n(b). Tässä t on kiinteä vakio, jolle 0 < t <. Jono (F n ) n=0 konvergoi sen verran hitaasti, että ominaisuutta F (x) = 0 melkein kaikkialla, ei kuvasta 3 pysty päättelemään. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktiota on tarkasteltu tarkemmin ja yleisemmin kirjassa [3, 8.8] Kuva 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio F : [0, ] R, joka on jatkuva ja aidosti kasvava, mutta F (x) = 0 melkein kaikille x [0, ]. Kahdella ylemmällä rivillä approksimaatiot F 0, F, F 2, F 5, F 0 ja F 5. Alimmassa kuvassa on F 30 välillä [ 2, ] [0.5, ]. 4 Frigyes Riesz ( ) ja Béla Szökefalvi-Nagy (93 998).
6 4. Yleistetty Cantorin joukko Olkoon (a j ) j=0 annettu lukujono, jolle on voimassa a 0 := ja 0 < 2a j < a j kaikille j Z +. Cantorin 3 -joukolle on a j = 3 j. Määritellään jono (d j ) j= asettamalla d j := a j 2a j. Merkitään J := J 0, := [0, ]. Poistetaan välin J 0, keskeltä avoin väli, jonka pituus on d, I, := (a, a ). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J, ja J,2, J, := [0, a ], J,2 := [ a, ]. Seuraavaksi poistetaan välien J, ja J,2 keskeltä avoimet välit I 2, ja I 2,2, joiden pituus on d 2. Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 2,, J 2,2, J 2,3 ja J 2,4. Vaiheessa s Z + poistettuna on 2 s avointa väliä I s,j, j 2 s, ja jäljellä on 2 s suljettua väliä J s,k, k 2 s. Jokaisen välin I s,j pituus on a s. Seuraavaksi jokaisen välin J s,j keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on d s+. Näin jäljelle jää 2 s+ suljettua väliä J s+,l. Kun joukot J s+,l indeksoidaan saman periaatteen mukaan kuin edellä, on I s+,k J s,k, J s+,2k J s,k ja J s+,2k J s,k, k 2 s. Vaiheessa s välistä J on siis poistettu kaiken kaikkiaan s 2 r I r,j. r= j= Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä ja raja-arvoa (3) P := P s := 2 s k= J s,k ( P s = I \ s= 2 r r= j= I r,j ). Joukko P on yleistetty Cantorin joukko tai Smithin, Volterran ja Cantorin joukko. 5 Poistettujen välien I s,j, j 2 s, s Z +, yhteenlaskettu pituus on 2 s m(i s,j ) = s= j= s= 2 s d s = lim k k s= Tästä seuraa, että yleistetyn Cantorin joukon mitta on m(p ) = lim k 2 k a k. 2 s (a s 2a s ) = lim k ( 2 k a k ). 6 5 Henry John Stephen Smith ( ) vuonna 875, Vito Volterra ( ) vuonna 88 ja Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (845 98) vuonna 883.
7 7 5. Vito Volterran esimerkki Analyysin peruslause on ollut tärkeä lähtökohta Lebesguen integraalin synnylle. Vito Volterralta [] (vrt. [5, No. 29]) on peräisin esimerkki derivoituvasta funktiosta, jonka derivaatta on rajoitettu, mutta ei Riemann-integroituva. Oleellisesti sama esimerkki löytyy Natansonin kirjasta [8, Kap. V, 5] tai Abbottin kirjasta [, 7.6]. Yksinkertaisempi vastaava esimerkki ysityiskohtaisine ratkaisuvihjeineen löytyy Strombergin kirjan harjoitustehtävästä 23/s. 279 (peräisin Casper Goffmanilta 977). Lebesgue halusi osoittaa, että integraali voidaan laajentaa Volterran esimerkin kaltaisille funktioille, ja että analyysin peruslause pätee niille; vrt. [5, No. 28]. Tähän Lebesgue tarvitsi rajoitetun konvergenssin lausetta [5, No. 25]; vrt. [4, 6.6]. Derivaattojen väliarvolauseesta seuraa, että derivoituvan funktion derivaatalla ei voi olla hyppäysepäjatkuvuuksia. Näin millään paloittain jatkuvalla funktiolla f, jonka epäjatkuvuuskohdat ovat hyppäysepäjatkuvuuksia (ja jolla on ainakin yksi epäjatkuvuuskohta), ei ole integraalifunktiota F, t.s. funktiota F, jolla F (x) = f(x) kaikille x. Tämän ja Volterran esimerkin perusteella integraalifunktiointegraali ja Riemannin integraali eivät ole verrattavissa (t.s. kumpikaan ei ole toisen yleistys). Seuraavassa käytettävät merkinnät ovat kuten kohdassa 4. Esitettyjen väitteiden todistukset jätetään lukjijan tehtäväksi. Olkoon P yleistetty Cantorin joukko, jonka mitta on positiivinen. Olkoon ϕ: R R, ϕ(t) := t 2 sin(/t), kun t 0, ja ϕ(0) := 0. Tällöin ϕ on derivoituva, ϕ (t) < 3, kun t, mutta ϕ ei ole jatkuva origossa. Määritellään F : [0, ] R seuraavasti: Kun x P, olkoon F (x) := 0. Olkoon (a, b) jokin komplementin [0, ] \ P komponenttiväli. Asetetaan sekä c := sup{t (0, (b a)/2] ϕ (t) = 0} F (a + t) := F (b t) := ϕ(t), kun 0 < t c, ja F (x) := ϕ(c), kun a + c t b c. Idea: F käyttäytyy välin (a, b) päätepisteiden lähellä kuten ϕ origon lähellä ja välin (a, b) keskellä F on vakio; lisäksi F on jatkuvasti derivoituva välillä (a, b). Kuvassa 4 on funktion F kuvaaja tyypillisellä välillä (a, b). Tällöin a) F on derivoituva koko välillä [0, ]; b) F (x) = 0 kaikille x P [vihje: kun c P, on F (x) (x c) 2 kaikille x [0, ] ]; c) F (x) < 3 kaikille x [0, ]; d) F on epäjatkuva jokaisessa joukon P pisteessä [vihje: P ei sisällä yhtään avointa väliä]; e) F ei ole Riemann-integroituva millään välillä [0, x], 0 < x. f) Kuitenkin F (x) = [0,x] F (t) dm(t) kaikille x [0, ]. Kuvassa 5 on Volterran funktion konstruktiota sovellettu tavalliseen Cantorin 3 - joukkoon. Tässä tapauksessa F kuitenkin olisi Riemann-integroituva välillä [0, ] (miksi?). Kuvassa 6 on oikea Volterran funktio. Kuvaan on piirretty vain kolme komplementtijoukon osaväliä; muut osavälit olisivat erittäin lyhyitä, eikä funktion F käyttäytyminen tulisi enää näkyviin (vrt. vastaaviin kohtiin kuvassa 5).
8 Kuva 4. Volterran derivoituva funktio osavälillä [a, b] Kuva 5. Volterran derivoituva funktio sovitettuna Cantorin joukkoon Kuva 6. Volterran derivoituva funktio, kun a k = 3 5 k+2 k+ 2 k.
9 6. Analyysin peruslauseesta Analyysin peruslause eli derivaatan ja integraalin välistä yhteyttä kuvaava lause on oikeastaan usemman lauseen kokoelma: miten integroidaan derivaatta; miten integraalin avulla määritelty integraalifunktio derivoidaan; ja missä määrin derivaatta määrää funktion? Seuraavassa Analyysin peruslauseen nämä kolme versiota on esitetty Lebesguen integraalille (jolle tilanne on symmetrisin ; kannattaa kerrata, millaisia vastaavat tulokset ovat Riemannin integraalille, ja miten ne todistetaan). Lause 6. (Analyysin peruslause I). Olkoon f L ([a, b]). Määritellään F : [a, b] R asettamalla F (x) := f(t) dm(t). [a,x] Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla ja F (x) = f(x) melkein kaikille x [a, b]. Lause 6.2 (Analyysin peruslause II). Olkoon F : [a, b] R absoluuttisesti jatkuva. Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla, F L ([a, b]) ja F (x) F (a) = F (t) dm(t) kaikille x [a, b]. [a,x] Lause 6.3 (Analyysin peruslause III). Olkoon F : [a, b] R absoluuttisesti jatkuva. Jos F (x) = 0 melkein kaikille x [a, b], niin F on vakiofunktio. Oleellinen tulos näiden lauseiden todistamisessa on Lebesguen vuoden 904 integraalilaskentaa käsittelevien luentojensa Leçons [6] viimeisenä tuloksena todistama, nykyisin Lebesguen derivointilauseena tunnettu lause (vrt. [0, 4.52], [3, 7.2], [8, Kap. VIII, 2, Satz 4], [9, No. 2 3]). Aviopari Grace Chisholm Young ja William Henry Young osoitti vuonna 9, että Lebesguen alunperin tekemä jatkuvuusoletus on turha. Youngien todistus oli myös tekniikaltaan poikkeava: mittateoriaa ei tarvittu kovin paljoa. Kuten allaolevasta lauseesta ilmenee, väitettä varten riittää nollamittaisuuden käsite. (Tässä yhteydessä Youngit on syytä täsmentää ainakin etunimien etukirjaimin; samaan aikaan mitta- ja integrointiteoriaa tutkivat myös L. C. Young ja R. C Young.) Lause 6.4 (Lebesguen derivointilause). Monotonisella funktiolla f : [a, b] R on äärellinen derivaatta melkein kaikkalla. Muistettakoon, että väite tarkoittaa seuraavaa: kun derivaatalle sallitaan arvot ja +, niin joukko N := {x [a, b] f ei ole derivoituva pisteessä x} {x [a, b] f (x) = + } on nollamittainen. Seuraava lause on Lebesguen väitöskirjan tulos [5, No. 28], jolla Lebesgue korjasi Volterran esimerkin ongelman: Lause 6.5. Olkoon f : [a, b] R derivoituva funktio (siis äärellinen derivaatta f (x) on olemassa kaikille x [a, b]), jonka derivaatta f on rajoitettu. Tällöin f(x) f(a) = f (t) dm(t) kaikille x [a, b]. [a,x] 9
10 Funktion absoluuttisen jatkuvuuden karakterisoiva tulos [4, 9.] on tarkka, mutta ei kaikkein yksinkertaisin käyttää. Seuraavassa on helppo, riittävä ehto absoluuttiselle jatkuvuudelle. Huomaa, että Cantorin funktio antaa perustelun sille, miksi lauseen numeroituvuusoletuksesta joukolle D ei voida luopua. Lause 6.6. Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio. Oletetaan, että on olemassa numeroituva joukko D [a, b] siten, että (i) f (x) on olemassa ja äärellinen kaikille x [a, b] \ D; sekä (ii) f L ([a, b]). Tällöin f(x) f(a) = f (t) dm(t) kaikille x [a, b]. [a,x] Erityisesti f on absoluuttisesti jatkuva. Todistuksen osalta ks. [3, 8.4] tai [0, Ch. 6, s. 3, harjoitustehtävä 2]. Natansonin kirjasta [8, Kap. IX, 8, Satz ] löytyy hieman yksinkertaisempi versio tästä tuloksesta (D = ): Lause 6.7. Olkoon f : [a, b] R funktio, jolla (i) f (x) on olemassa ja äärellinen kaikille x [a, b]; sekä (ii) f L ([a, b]). Tällöin f(x) f(a) = f (t) dm(t) kaikille x [a, b]. [a,x] Erityisesti f on absoluuttisesti jatkuva. Luentomonisteen [4] luvussa 9 on osoitettu, että absoluuttisesti jatkuvalla funktiolle f on seuraavan lauseen ominaisuudet (i) (iii). Aluksi nimitys: funktio f : [a, b] R on N-funktio, jos kuvajoukko f(a) on nollamittainen jokaiselle nollamittaiselle joukolle A [a, b]. (N-funktion käsite on peräisin N. N. Lusinilta. Esimerkki funktiosta, joka ei ole N-funktio, löytyy Cantorin funktion yhteydestä.) Lause 6.8 (Banachin ja Zareckin lause). 6 Olkoon f : [a, b] R annettu funktio. Tällöin f on absoluuttisesti jatkuva, jos ja vain jos (i) f on jatkuva; (ii) f on N-funktio; ja (iii) f on rajoitusti heilahteleva eli V f (a, b) <. Todistuksen osalta katso [8, Kap. IX, 3, Satz 4], [3, Theorem 8.25], [2, Theorem 7.4], [0, HT 6, s. 333] (harjoitustehtävä). 0 6 Stefan Banach (925) ja M. A. Zarecki (925).
11 Kirjallisuutta [] Stephen Abbott, Understanding analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 200. [2] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner ja Brian S. Thomson, Real analysis, second edition, ClassicalRealAnalysis.com, [3] Edwin Hewitt ja Karl Stromberg, Real and abstract analysis. A modern treatment of the theory of functions of a real variable, kolmas painos, Graduate Texts in Mathematics 25, Springer-Verlag, 975. [4] Tero Kilpeläinen, Mitta- ja integraaliteoria , pdf-dokumentti osoitteessa (luettu kesäkuussa 2007). [5] Henri Lebesgue, Intégrale, longueur, aire, Annali di Matematica, (3) 7 (902), (Lebesguen kootut työt Oeuvres scientifiques 5 löytyvät JY/MaAn kirjastosta.) [6] Henri Lebesgue, Leçons sur l intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier- Villars, 904. [7] Henri Lebesgue, Sur la recherche des fonctions primitives par l intégration, R. Acc. Lincei Rend., (5), 6 (907), [8] I. P. Natanson, Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen, Zweite ergänzte und überarbeitete Auflage, Akademie-Verlag, 96; Theory of Functions of a Real Variable, Volume I, New York, Rederick Ungar, 955; Volume II, 960; alunperin venäjänkielisenä 949 (. laitos) ja 956 (2. laitos). [9] Frigyes Riesz ja Béla Sz.-Nagy, Functional analysis, Dover Publications, Inc, 990; alunperin Leçons d analyse fonctionelle, Académiai Kiadó, 952; 2 e ed. 953; engl. käännös Functional analysis, Frederick Ungar Publishing Co., 955; saks. käännös Vorlesungen über Funktionalanalysis, Dt. Verl. d. Wissensch., 956. [0] Karl Stromberg, An introduction to classical real analysis, Wadsworth International Mathematics Series, 98. [] Vito Volterra, Sui principii del calcolo integrale, Giorn. Mat., 9 (88), (Volterran kootut työt Opere matematichi: memorie e note 5 löytyvät JY/MaAn kirjastosta.)
Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä
Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 4 4. Yleistetty Cantorin joukko 5 5. Vito Volterran esimerkki 6 6. Analyysin peruslauseesta 8 Kirjallisuutta 9. Cantorin
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedot1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on
1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.
Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotMitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille
Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotJordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta
Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotDerivaatasta ja derivoituvuudesta
Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotLuentoesimerkki: Riemannin integraali
Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotLUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2
LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotDeterminoiruvuuden aksiooma
Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotTällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n.
Analyysi I ja II lisämateriaalia HAARUKOINTI Tässä käsitellään kootusti sellaisia differentiaali- ja integraalilaskennan kurssin kysymyksiä, joissa joudutaan syventymään lukusuoran hienovaraisimpiin ominaisuuksiin.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
LisätiedotMäärätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio
Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt, sl Ari Lehtonen
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, sl. 2006 Ari Lehtonen Esipuhe Tätä tekstiä kirjoitettaessa on käytetty apuna lähinnä viiteluettelossa mainittuja kirjoja [1] ja [7] sekä [4] (vähänlaisesti) ja [3] (varsin
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotPerusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
LisätiedotDERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja
DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA Annika Katariina Harja Matematiikan pro gradu Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto Kesä 2013 Tiivistelmä: Harja, A. 2013. Derivaattafunktion ominaisuuksia,
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotAnalyysi I (mat & til) Demonstraatio IX
Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot