f(x) sin k x dx, c k = 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "f(x) sin k x dx, c k = 1"

Transkriptio

1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos k x + b k sin k x ) = c k e i k x oleva funktio, missä n Z +, a,..., a n C, b 1,..., b n C, c n,,..., c n C. Integroituvan funktion f L 1 ([, π]; C) Fourier n kertoimet ovat a k = 1 π f(x) cos k x dx, b k = 1 π Funktion f Fourier n sarjan k Z c k e i k x s n (x) := f(x) sin k x dx, c k = 1 n. osasumma on c k e i k x, f(x) e i k x dx. missä c k ovat yllä määriteltyjä Fourier n kertoimia. Trigonometristen funktioiden yhteydessä välin [, π] (tai [, ]) sijasta on luonnollisempaa tarkastella koko reaaliakselilla määräriteltyjä -jaksoisia funktioita. jaksoisten, välillä [, π] neliöintegroituvien funktioiden joukkoa merkitään jatkossa L ja jatkuvien vastaavasti C. Yksinkertaisuuden vuoksi olkoon e k (x) := e i k x. Funktioiden f, g L 1 konvoluutio määritellään kaavalla (f g)(x) := f(t) g(x t) dt = f(x t) g(t) dt. Koska jatkossa konvoluution toinen tekijä on yleensä jatkuva, on konvoluution olemassaolo tällaisissa tilanteissa selvä Weierstrassin trigonometrinen approksimointilause. Joukko {e k k Z} on ortogonaali ja e k =, joten joukko E := { 1 e k k Z} on ortonormaali. Joukko E näytetään avaruuden L Hilbertin kannaksi osoittamalla, että lineaarinen verho E on tiheä avaruudessa L, t.s. että jokaista f L voidaan approksimoida trigonometrisilla polynomeilla L -normin suhteen. ( 1 + cos t ) k, Olkoon Q k (t) := c k kun t R ja k Z+. Funktioille Q k on voimassa a) Q k (t) kaikille t R (kun c k ); π Q k(t) dt = 1, kun vakio c k valitaan sopivasti; b) 1 c) kun η k (δ) := sup{q k (t) δ t π}, < δ < π, niin lim η k(δ) = k kaikille δ (, π). Ehdot a ja b ovat selviä. Koska kosini on parillinen, ehdon b nojalla saadaan 1 = c ( k 1 + cos t ) k c π ( k 1 + cos t ) k c k dt > sin t dt = π π π (k + 1).

2 Koska kosini on välillä [, π] vähenevä, saadaan π (k + 1) ( 1 + cos δ ) k Q k (t) Q k (δ), kun k. Olkoon f C. Olkoot Q k, k Z +, trigonometrisia polynomeja, jotka toteuttavat ehdot a c. Asetetaan P k (x) := 1 (f Q k)(x) = 1 f(t) Q k (x t) dt = 1 f(x t) Q k (t) dt. Olkoon Q k (t) = n q k e i k t. Tällöin P k (x) = f(t) q k e i k (x t) dt = q k e i k x f(t) e i k t dt, josta käy ilmi, että P k on trigonometrinen polynomi. Ehdon b nojalla saadaan P k (x) f(x) = 1 (f(x t) f(x)) Q k (t) dt Olkoon nyt ε >. Koska f on tasaisesti jatkuva, on olemassa δ > siten, että f(x t) f(x) ε kaikille x R, kun t δ. Saadaan P k (x) f(x) 1 f(x t) f(x) Q k (t) dt = t δ δ< t π = 1 ε Q k (t) dt + 1 ε + 1 t δ δ< t π δ< t π Integraalin arviointiin käytetään ehtoa c. Olkoon M := sup{ f(t) t δ< t π [, π]}. Tällöin f(x t) f(x) M, joten 1 1 M η k (δ) dt M η k (δ). δ< t π Siis kaikille x [, π] on δ< t π P k (x) f(x) ε + M η k (δ). Kun k, on η k (δ), joten riittävän suurille k saadaan Tämä tarkoittaa, että P k f tasaisesti. P k (x) f(x) ε + ε. 3.. Paras approksimaatio. Olkoon f L. Merkitään ẽ k := 1 e k, jolloin joukko {ẽ k k Z} on ortonormaali. Olkoon J Z äärellinen indeksijoukko. Tällöin kaikille λ k C, k J on voimasssa f λ k ẽ k = f (f ẽ k )e k + (f ẽ k ) λ k. Välittömiä seurauksia: a) Valitsemalla λ k = (f ẽ k ) saadaan (f ẽ k) f, josta saadaan edelleen Besselin epäyhtälö (= luentomonisteen seuraus 9.4): (f ẽ k ) f. k Z

3 b) Etäisyyden f λ k ẽ k minimoi piste g = λ k ẽ k, jolle λ k = (f ẽ k ). Merkitään c k := (f ẽ k ), ja lasketaan f λ k ẽ k = f λ k (f ẽ k ) λ k (ẽ k f) + λ k = f λ k c k λ k c k + λ k 3 Toisaalta, Siis c k λ k = (c k λ k ) (c k λ k ) = c k c k λ k λ k c k + f λ k ẽ k = f + c k λ k c k. λ k Valitsemalla λ k = c k saadaan f c k ẽ k = f c k. Väite seuraa Hilbertin kanta. Ortonormaali joukko E := { 1 e k k Z} näytetään avaruuden L Hilbertin kannaksi osoittamalla, että jokaista f L voidaan approksimoida trigonometrisilla polynomeilla L (I)-normin suhteen, I := [, π]. Olkoot f L ja ε >. Jaetaan aluksi funktion f reaali- ja imaginaariosat positiivi- ja negatiiviosiin, f = f 1 f +i (f 3 f 4 ), missä jokainen f j L on ei-negatiivinen. Mittateoriasta tiedetään, että ei-negatiivinen mitallista funktiota f j voidaan approksimoida kasvavalla jonolla yksinkertaisia funktioita (g j,k ) k : g j,k f j ja g j,k (x) f j (x), kun k. Tällöin dominoidun konvergenssin lauseesta saadaan f j g j,k = f j g j,k, kun k, I sillä f j g j,k f j L 1 (I) ja f j (x) g j,k (x), kun k. Funktiolle g := g 1,k g,k + i (g 3,k g 4,k ) on siis f g ε, kun k on riittävän suuri. Seuraavaksi käytetään apuna Lusinin lausetta: 1 Olkoot η > ja g : I R mitallinen funktio, joka on melkein kaikkialla äärellinen. Tällöin on olemassa jatkuva funktio h: I R ja suljettu joukko F I siten, että g(x) = h(x) kaikille x F ja m(i \ F ) < η. Lisäksi, jos g(x) M kaikille x I, voidaan h valita niin, että h(x) M kaikille x I. Koska yksinkertainen funktio g k on mitallinen ja rajoitettu, on olemassa jatkuva funktio h ja suljettu joukko F I siten, että g k (x) = h(x) kaikille x F, m(i\f ) < η ja h(x) M = sup{ g(x) x I} kaikille x I. 1 Vaikka [, Thm 4.5].

4 Tällöin g(x) h(x) M kaikille x I, joten g h = g h + g h (M) η. F Valitsemalla η riittävän pieneksi, saadaan g h ε. Seuraavaksi korjataan h -jaksoiseksi. Olkoon δ (, π). Olkoon h π (x) := h(x), kun x π δ. Välillä [π δ, π] h π olkoon ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja yhdistää pisteet (π δ, h(π δ)) ja (π, h()). Tällöin h π on jatkuva ja jaksoinen. Koska h(x) h π (x) h, on h h π h δ. Valitsemalla δ riittävän pieneksi, saadaan h h π ε. Viimeisenä vedotaan Weierstrassin trigonometriseen approksimointilauseeseen. Koska h π on jatkuva ja -jaksoinen, on jokaiselle η > olemassa trigonometrinen polynomi p, jolle h π p η. Kun η valitaan riittävän pieneksi, saadaan h π p h π p η ε. Yhdistämällä edellä saadut approksimaatiot, saadaan kolmioepäyhtälön avulla f p 4ε. Tämä tarkoittaa, että E on tiheä avaruudessa L. Rieszin ja Fisherin lauseen, joka kertoo, että L p -avaruudet (1 p ) ovat Banachin avaruuksia ja eritoten L -avaruudet ovat Hilbertin avaruuksia, alkuperäinen, Rieszin esittämä versio käsittelee ortonormeerattua funktiojoukkoa e k tapauksessa p = : Kun c k C ja k Z c k <, on olemassa f L siten, että f I\F c k e k, kun n. Rieszin ja Fisherin lauseen todistuksesta ilmenee, että osasummien jonolla s n (x) = n c k e i k x on osajono (s nk ), joka suppenee melkein kaikkialla (tarkista asia Mitta- ja integraaliteorian luentomonisteesta). Tästä ei kuitenkaan voi päätellä mitään itse jonon (s n ) n=1 m.k.-suppenemisesta. On helppo konstruoida jono, joka ei suppene millekään muuttujan arvolle, mutta jolla on suppeneva osajono. 3 Seuraavassa esitetään muutamia tärkeitä klassisia tuloksia Fourier n sarjojen pisteittäisestä suppenemisesta Dirichlet n ja Fejér n ytimet. Funktioille e k ja f L on (f e k )(x) = f(t) e i k (x t) dt = e i k x f(t) e i k t dt = c k e i k x. Fourier n sarjan osasummille saadaan s n (x) = c k e i k x = (f 1 e k)(x) = (f 1 D n)(x), 4 Frigyes Riesz ja Ernst Fisher todistivat lauseen toisistaan riippumatta vuonna Esimerkiksi f n (x) := 1, kun k j x k (j + 1), n = k + j ja j < k, ja f n (x) := muuten, t.s. f n = χ In, missä I n = [ k j, k (j + 1)]. Tällöin lim inf n f n (x) = ja lim sup n f n (x) = 1 kaikille x [, 1], t.s. jono (f n (x)) n Z+ ei suppene millekään x [, 1]. Suppenevia osajonoja löytyy helposti, kun piirtää kuvan.

5 kun D n on Dirichlet n ydin 4 D n (x) := e i k x. Toinen tärkeä konvoluutioydin on Fejér n ydin K n (x) := 1 D k (x) n + 1 Fejér n ydin on konvoluutioydin, jonka avulla Fourier n sarjan osasummien aritmeettinen keskiarvo, Cesàron summa, σ n (x) := 1 s k (x), n + 1 saadaan konvoluutiona σ n (x) = (f 1 K n)(x). Geometrisen sarjan osasummien kaavalla saadaan kaikille x Z e ikx ix 1 einx = e 1 e = einx/ e inx/ e i(n+1)x/ = sin(nx/) ix e ix/ e ix/ sin(x/) ei(n+1)x/. Tästä saadaan D n (x) = sin(nx/) sin(x/) k= k= sin((n + 1)x/) cos((n + 1)x/) + 1 =. sin(x/) Vastaaavalla tavalla saadaan, kun x πz, e i(k 1)x = e ix e ik(x) = sin nx sin x einx sekä reaali- ja imaginaariosille sin nx cos(k 1)x = sin x, sin(k 1)x = sin nx sin x. Jälkimmäisen summan avulla saadaan, kun < t < π, K n (x) = 1 D k (x) = 1 ( sin((n + 1)x/) ). n + 1 n + 1 sin(x/) k= Koska ei k t dt =, kun k, on Dirichlet n ytimelle D n(t) dt =. Fejér n ytimelle saadaan a) K n on jatkuva, parillinen ja K n (t) kaikille t R; π K n(t) dt = 1; b) 1 c) kun η n (δ) := sup{k n (t) δ t π}, < δ < π, niin lim η n(δ) = n kaikille δ (, π). 4 Jos vakio 1 lisättäisiin tekijäksi Dirichlet n ytimeen, osasumman ja ytimen välinen kaava muuttuisi kauniimmaksi: s n = f D n. Tältä osin kirjallisuus on kirjavaa, samoin kuin L p -normin valinnan osalta; dt vai dt. 5

6 Viimeinen kohta seuraa helposti, kun käytetään apuna epäyhtälöitä sin x x, kun π x π, ja sin x x kaikille x. Näiden avulla saadaan { π } K n (t) min n + 1,, kun < t < π. (n + 1) t Edellä olevat ominaisuudet a c takaavat, että jatkuvalle -jaksoiselle funktiolle f on f 1 K n f tasaisesti, t.s. jatkuvan -jaksoisen funktion Fourier n sarjan osasummien aritmeettisten keskiarvojen jono suppenee tasaisesti kohti funktiota f. Koska Dirichlet n ytimelle f 1 D n = s n on Fourier n sarjan n. osasumma, ominaisuudet a c olisivat toivottavia myös Dirichlet n ytimelle. Näin ei kuitenkaan ole. Katznelson erinomaisessa kirjassa [5, I.] 5 määritellään summability kernel jonoksi (k n ) n=1 jatkuvia, -jaksoisia funktioita, joille a) 1 b) sup { 1 k n(t) dt = 1; k n(t) dt } < ; c) kaikille δ (, π) on lim k n (t) dt =. n δ t π On helppo todeta, että Weierstrassin trigonometrinen approksimointilause voidaan todistaa, vaikka jonon (Q k ) k tilalla käytettäisiin jonoa (k n ) n. Dirichlet n ydin ei ole ei-negatiivinen, eikä se toteuta edes yllä olevia summaustuvuusytimelle (k n ) n asetettuja ehtoja. Ongelmaisin on kohta b. Nimittäin on voimassa L n := 1 Epäyhtälöstä sin x x, saadaan L n = sin((n + 1)t) dt sin(t/) Epäoleellinen Riemann-integraali D n (t) dt, kun n. sin τ τ sin((n + 1 )t) t/ eli se suppenee, mutta sitä vastaava itseinen integraali 1 1 (n+ )π sin τ dt = 4 dτ. τ dt on tunnetusti vain ehdollisesti suppeneva dt hajaantuu. sin τ τ 3.5. Pisteittäisestä suppenemisesta. Koska Dirichlet n ytimelle on voimassa π D n(t) dt = 1, saadaan s n (x) f(x) = (f 1 D n)(x) f(x) = 1 D n (t) (f(x t) f(x) dt. Jos f L 1 toteuttaa Lipschitz-ehdon pisteessä x, t.s. on olemassa vakiot M ja δ > siten, että niin s n (x) f(x), kun n. f(x t) f(x) M t, kun t δ, 6 5 Kirja on Fourier-analyysiin varsin mainio pakkaus; pieni (n. 5 sivua), sisältää tuloksia, joita muualta on vaikea paikantaa, eikä kaipaa esitiedoikseen kuin mitta- ja integraaliteorian sekä funktionaalianalyysin perusasiat.

7 Nimittäin, Lipschitz-ehdon nojalla saadaan s n (x) f(x) 1 ( ) dt + dt t δ t >δ 1 D n (t) M t dt + 1 t δ =: 1 (n, δ) + 1 (n, δ). t >δ D n (t) (f(x t) f(x)) dt Ensimmäiselle integraalille saadaan epäyhtälön sin x x, kun < x π, avulla π 1 (n, δ) 1 sin((n + 1)t) M t dt 1 sin(t/) M π δ. t δ Kun ε > on annettu, voidaan δ > valita siten, että 1 (n, δ) ε kaikille n Z +. Jälkimmäiselle termille on (n, δ) = sin((n + 1 f(x t) f(t) )t) dt. sin(t/) π t >δ Tässä funktio g : t f(x t) f(x) on integroituva joukossa [, δ] [δ, π] =: I sin(t/) δ. Jos f on neliöintegroituva, on myös g neliöintegroituva, joten (n, δ) = (g(t) χ Iδ (t) cos t sin(n t) + g(t) χ I δ (t) sin t cos(n t)) dt on neliöintegroituvien funktioiden Fourier n kertoimien lineaarikombinaatio. Besselin epäyhtälön nojalla (n, δ), kun n. Jos funktiosta f oletetaan (Lipschitz-ehdon lisäksi) vain integroituvuus, seuraa (n, δ), kun n, Fourier-analyysin yhdestä keskeisestä tuloksesta: Riemannin ja Lebesguen lemma. Olkoon f L 1 (R). Tällöin R f(t) e i x t dt, kun x. Todistuksen osalta katso [1, Thm. 11.6], [, Thm. 15.7], [3, luku IX, 8 9]. [5, Thm. I..8], [6, lemma XII.4.4], [8, 5.14], [9, Thm. 813] On siis saatu Lause 3.1. Jos f L 1 toteuttaa Lipschitz-ehdon pisteessä x, niin s n (x) f(x), kun n. 7 Lemma 3.. Funktion f C 1 derivaatan f Fourier n kertoimet ovat c k = ik c k, kun c k ovat funktion f Fourier n kertoimet. Todistus. Harjoitusten 6 tehtävä 7. Lause 3.3. Funktion f C 1 Fourier n sarja suppenee itseisesti ja tasaisesti ja sen summa on f(x). Todistus. Harjoitusten 6 tehtävä 8 viimeistä väitettä lukuunottamatta.

8 Landaun O-symboli. Olkoot (c k ) ja (d k) annettuja lukujonoja. Merkitään c k = O(d k ), kun k, jos on olemassa vakiot M R ja K Z + siten, että c k M d k, kun k K. Jatkuvan funktion Fourier n kertoimien jono (c k ) k Z on rajoitettu, c k = O(1). (Riemannin ja Lebesguen lemma antaisi vähän enemmänkin). Käyttämällä lemmaa 3. toistuvasti, saadaan: Jos f on l kertaa jatkuvasti derivoituva, on c k = O( k l ). Käyttämällä samankaltaista menettelyä kuin lauseen 3.3 todistuksessa, saadaan osittain käänteinen tulos: Jos funktion f Fourier n kertoimille on voimassa c k = O( k s ), missä s >, niin f on l kertaa jatkuvasti derivoituva, missä l := s, jos s on kokonaisluku, ja l := s 1, jos s ei ole kokonaisluku. Erityisen kaunis yhteys saadaan C -funktioiden ja nopeasti vähenevien jonojen välille: -jaksoisen C -funktion f : R C, Fourier n kertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä eli toteuttavat kaikille s Z + on c k = O( k s ). Kääntäen, jos -jaksoisen funktion f : R C Fourier n kertoimien jonot ovat nopeasti väheneviä, niin f on C -funktio. Riemannin ja Lebesguen lemma sanoo siis, että funktion f L 1 Fourier n kertoimille c k on c k, kun k. Mutta kuinka nopeasti kertoimet vaimenevät? Strombergin erinomaisessa kirjassa [9, Cor. 8.19] osoitetaan mm.: Olkoon (a k ) k= jono, jolle a k ja a k, kun k. Tällöin on olemassa ei-negatiivinen f L 1, jonka Fourier n kertoimille on c k = c k > a k kaikille k N. Fourier n kertoimien jono voi siis vaimeta miten hitaasti vain Lisäksi kirjassa [9, Example 8.] osoitetaan, että on olemassa trigonometrisia sarjoja a k cos(k x) ja a k sin(k x) joista kosinisarja on L 1 -funktion Fourier n sarja, mutta sinisarja (samalle kerroinjonolle) ei. Kirjallisuutta [1] Tom M. Apostol, Mathematical analysis, toinen laitos, viides painos, Addison Wesley, [] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner ja Brian S. Thomson: Real analysis, second edition, ClassicalRealAnalysis.com, 8. [3] Jean Dieudonné: Infinitesimal calculus, Hermann, Paris [4] Lauri Kahanpää: Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, 4. [5] Yitzhak Katznelson: An introduction to harmonic analysis, Dover Publications, Inc., 1976; alunperin John Wiley & Sons Inc., [6] Serge Lang: Undergraduate analysis, toinen laitos, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, [7] Walter Rudin: Principles of mathematical analysis, toinen laitos, Tata McGraw-Hill, [8] Walter Rudin: Real and complex analysis, kolmas laitos, McGraw-Hill, [9] Karl Stromberg: An introduction to classical real analysis, Wadsworth International Mathematics Series,

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)

5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n) FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π

5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π 78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

B k := on tiheä G δ -joukko.

B k := on tiheä G δ -joukko. f ( n) n 7. Tasaisen rajoituksen periaatteesta 7.1. Singulariteettien kondensaatioperiaate. Täydennetään luentomonisteessa [6, 19] esitettyjä tasaisen rajoituksen periaatetta ja Banacin ja Steinausin lausetta

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta. Matematiikan pro gradu

Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta. Matematiikan pro gradu Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta Susanna Vähämäki Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 205 Tiivistelmä: Susanna Vähämäki, Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta,

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Reaalianalyysin perusteita

Reaalianalyysin perusteita Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Funktion approksimointi

Funktion approksimointi Funktion approksimointi Päivikki Vesterinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Päivikki Vesterinen, Funktion approksimointi (engl.

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on 1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit

4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?

f(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x? 102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214

Lisätiedot

Fourier-sarjat ja -muunnos

Fourier-sarjat ja -muunnos 24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

4. Hilbertin avaruudet

4. Hilbertin avaruudet FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2)

2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2) 3. Approsimointi 3.. Padén approsimaatio. Cauchyn approsimaatio: [7, I, 5.8]; Padén approsimaatio: [7, I, 5.9]; [, 9.5-8] Lagrangen interpolaatiopolynomi antaa ysinertaisen rataisun sileän funtion arvojen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on

Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on 1. Differentiaalimuodon integraalista II 1.1. ektorikentän pintaintegraali. (Ks. [2, 2.1] ja [2, 2.2.2] Olkoot S R 3 sileä alkeispinta ja ϕ: U S sen parametriesitys. Pinnan suunnistukseksi valitaan seuraavassa

Lisätiedot

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2.

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 5. Olkoon f : [0, 1] R kasvava. Osoita, että joukko. {x [0, 1] f ei ole jatkuva pisteessä x} on numeroituva. [Vihje: Lause 1.2. Harjoitukset 1 16.9.25 1. Merkitään Z + = {x Z x > }. Osoita, että f : Z + Z + Z +, f(x, y) = 2 x 1 (2y 1), on bijektio. Piirrä kuva. Perinteisempi kuvaus Z + Z + Z + on (x, y) (x + y 1)(x + y)/2 (x 1).

Lisätiedot

Weierstrassin funktiosta

Weierstrassin funktiosta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Tervaskangas Weierstrassin funktiosta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö TERVASKANGAS,

Lisätiedot

Funktionaalianalyysi. että näiden laajennusten joukossa on maksimaalinen laajennus. Työläin kohta todistuksessa

Funktionaalianalyysi. että näiden laajennusten joukossa on maksimaalinen laajennus. Työläin kohta todistuksessa f ( n) Funktionaalianalyysi n H. Hahnin ja Banachin sublineaarikuvauslause Määritelmä H.1. Olkoon E vektoriavaruus. Kuvaus p: E R on sublineaarinen, jos a) p(λx) = λp(x) kaikille λ 0, x E, b) p(x + y)

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot